스플릿쿼터니온

분할분할 곱하기
×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	i	1

추상 대수학에서 분할 쿼터나 공동 쿼터는 1849년 제임스 코클이 후자 이름으로 도입한 대수 구조를 형성한다. 그들은 실제 숫자에 걸쳐 차원 4의 연관 대수학을 형성한다.

20세기 반지와 알헤브라의 좌표가 없는 정의에 도입된 $이후$ , 분할 쿼터니온의 $대수학은$ 2×2 실제 행렬의 링과 이형성이라는 것이 증명되었다. 그래서 분할 분기의 연구는 실제 행렬의 연구로 축소될 수 있으며, 이것이 20세기와 21세기의 수학 문헌에서 분할 분기에 대한 언급이 거의 없는 이유를 설명할 수 있을 것이다.

정의

분할 쿼터는 다음과 같은 제품 규칙을 충족하는 4가지 기본 요소 1 $, i, j, k$ 의 선형 결합(실제 계수를 갖는)이다.

i 2 = -1

,

j 2 = 1

,

k 2 = 1

,

ij = k = -ji

.

연관성에 의해, 이러한 관계는 암시한다.

jk = -i = -kj

,

ki = j = -ik

,

그리고 $ijk$ = $1$ .

따라서 분할 분자는 ${$ 1 $, i, j, k}$ 을(를) 기본으로 하는 차원 4의 실제 벡터 공간을 형성한다. 그들은 또한 위의 제품 규칙을 모든 분할 쿼터까지 분배에 의해 확장함으로써 비협정적인 링을 형성한다.

정사각형 행렬을 고려하자.

{\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{정렬}}

그들은 해당하는 분할 분율과 같은 곱셈표를 만족한다. As these matrices form a basis of the two by two matrices, the function that maps $1, i, j, k$ to ${\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}$ (respectively) induces an algebra isomorphism from the split-quaternions to the two by two real matrices.

위의 곱셈 규칙은 $8원소$ 1, $i, j, k, -1, -i, -j, -k$ 가 이 곱셈에 따라 그룹을 형성한다는 것을 암시하는데, 이는 사각형의 대칭 그룹인₄ 이음계 그룹 D에 이형이다. 실제로 정점이 $좌표$ 가 0 또는 $1인$ 점인 정사각형을 고려한다면 매트릭스 ${\boldsymbol {i}}$ ${\$ 은(는) 회전 1/4의 시계방향 회전이고 ${\boldsymbol {i}}$ , ${\boldsymbol {j}}$ ${\$ 은 ${\boldsymbol {j}}$ 첫 번째 대각선 주위의 대칭이며, ${\boldsymbol {k}}$ ${\$ { $k}$ 은 {\\d}이다 ${\boldsymbol {k}}$ . $x축$ 주위의 대칭

특성.

1843년 해밀턴이 도입한 쿼터니온처럼 4차원 실제 연상 대수학을 형성한다. 하지만 매트릭스와 사원 법과는 달리처럼 split-quaternions. 예를 들어(,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{ 적지 않은 0제수, 멱영원의 구성 요소이며, idempotents을 함유하고 있다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1(1+j)는 멱등 zero-divisor, j멱영원은. − cm이다. 실수에 대한 대수학으로서, 분할-분할의 대수학은 위에서 정의한 이형성에 의해 2×2 실제 행렬의 대수학과는 이형성이다.

이러한 이형성 때문에 2×2 행렬로 각 분할 분자를 식별할 수 있다. 그래서 분할 쿼터의 모든 속성은 유사한 행렬의 속성에 대응하는데, 이것은 종종 다르게 명명된다.

분할 쿼터 $q$ = $w$ + $xi$ + $yj$ + $zk$ 의 $결합$ 은^∗ $q$ = w $- xi$ - $yj$ - $zk$ 이다. 행렬의 관점에서, 결합은 대각선 입력을 교환하고 다른 두 입력을 변경하여 얻은 공요소 행렬이다.

그 결합이 있는 분할 분기의 산물은 등방성 이차형이다.

N(q)=q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},

이를 분할 분기의 표준 또는 관련 행렬의 결정 요인이라고 한다.

분할 쿼터 $q$ = $w$ + $xi$ + $yj$ + $zk$ 의 실제 $부분$ 은 w = $(q *$ + $q)/2$ 이다. 그것은 연관된 행렬의 흔적과 같다.

두 개의 분할 쿼터가 있는 제품의 규범은 그 규범의 산물이다. 마찬가지로 행렬의 산물의 결정요인은 결정요인의 산물이다.

이것은 분할 쿼터와 2×2 행렬이 구성 대수학을 형성한다는 것을 의미한다. 0의 규범을 갖는 비제로 분할 분기가 있기 때문에 분할 분자는 "분할 구성 대수"를 형성하며, 따라서 그 이름이 다음과 같다.

규격이 0이 아닌 분할 분자는 승법 역, 즉 $q * / N (q$ )을 갖는다 $.$ 행렬의 관점에서, 이것은 행렬이 그 결정인자가 0이 아닌 경우에만 그 행렬을 바꿀 수 있다고 주장하는 크레이머 규칙이며, 이 경우 행렬의 역은 결정인자에 의한 공 인자 행렬의 몫이다.

The isomorphism between split-quaternions and 2×2 matrices shows that the multiplicative group of split-quaternions with a nonzero norm is isomorphic with $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),$ and the group of split quaternions of norm $1$ is isomorphic with ${\displaystyle \operatorna$ $me {SL}(2,\mathb {R}).$ $}$

복잡한 행렬로 표현

복잡한 항목이 있는 $2\times2$ 행렬의 통일적 연관성 하위 표제로서 분할 분열을 나타낸다. 이 표현은 + $xi$ + $yj$ + $zk$ 의 $분할$ 쿼터를 행렬에 매핑하는 대수 동형성으로 정의할 수 있다.

{\pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}.

여기서 i(이탈적)는 상상의 단위로서, 기본분할 4원법 산법안 된다 혼동해서는 i(우측 로마자)와.

이 동형성의 이미지는 형태의 행렬에 의해 형성된 매트릭스 링이다.

{\pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix},

여기서 위첨자 $∗{\$ 는 복잡한 결합을 의미한다 $^{*}$ .

이 동형성은 행렬에 각각 분할 $수량$ i, $j, k$ 를 맵핑한다.

{\pmatrix}i&#0\\0&-i\end{pmatrix},\pmatrix}0&1\0\end{pmatrix},\pmatrix {\pmatrix}0&i\-i0\end{pmatrix}.

이 표현이 대수적 동형상이라는 증거는 간단하지만 약간의 지루한 계산을 필요로 하는데, $이것$ 은 2 $\times2$ 실제 행렬로 분할-쿼터니온의 표현에서부터 시작하여 행렬 유사성을 사용함으로써 피할 수 있다. $S$ 를 행렬로 삼다.

S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}.

그 다음, $2\times2$ 실제 행렬로서 분할 분기의 표현에 적용하며, 위의 대수 동형성은 행렬 유사성이다.

S^{-1}MS.}

복잡한 행렬로 대표되는 분할 쿼터의 경우, 결합은 공분자의 행렬이며, 규범이 결정 요인인 것은 거의 즉시 뒤따른다.

분할 쿼터를 복잡한 행렬로 나타냄. 규범 $1$ 의 쿼터니온 행렬은 정확히 특수 단일 집단 SU(1,1)의 요소들이다. 이것은 푸앵카레 디스크 모델의 쌍곡 운동을 설명하기 위한 쌍곡 기하학에서 사용된다.^[1]

분할 복합 수에서 생성

케빈 맥크림몬은 L. E. 딕슨과 Adrian Albert가 디비전 알헤브라스 C, H, O를 위해 공표한 방식 이후 모든 구성 알헤브라가 어떻게 구성될 수 있는지를 보여주었다. 정말로, 그는 곱셈 규칙을 제시한다.

(a,b)(c,d)\\\(ac+d^{*}b,\da+bc^{*}}}}

실제 케이스에서 두 배의 제품을 생산할 때 사용한다. 이전과 같이 이중결합 $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ b $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ ) $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ = $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ ( $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ , $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ - b $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ ) $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ , $(a,b)^{*=(a^{*},-b)$ 이(가) 되도록 하였다 $(a,b)^{*}=(a^{*},-b),$ .

N(a,b)\\(a,b)(a,b)^{*}\\(aa^{*}-bb^{},0)

a와 b가 분할 복합 숫자 및 $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ 쿼터 $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ = $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ b $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ ) $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ = ( $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ + z $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ j ) $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ , ( $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ + $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ ) $q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),$ , ${\displaystyle q=(a,b)=(w+zj$ ), $(y+xj),}$

then ${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ $}$

층화

이 절에서는 단일 분할 분자에 의해 생성되는 하위 분지에 대해 연구 및 분류한다.

$p$ = $w$ + $xi$ + $yj$ + $zk$ 를 분할 쿼터로 한다. 그것의 실제 부분은 $w$ = 1/ $2 (p$ + $p *$ )이다 $.$ $q$ = $p$ – $w$ = $1$ / $2 (p *$ – p $)$ 을 비현실적인 부분으로 한다. 하나는 $q * =$ – $q$ 를 가지며, 따라서 $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ 2 $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ = $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ 2 $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ + $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ - $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ ( $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ ) $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ . ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q$ )이 있다 $.$ $}}$ $p^{2}$ $p^{2}$ {\ $displaystyle p^{2}}:$ $p$ 가 실수( $q$ = 0, $p$ = $w$ )이거나 순수하게 비현실적인 분할 쿼터( $w$ = $0$ , $p$ = $q$ )인 경우 실수라는 $p^{2}$ 후속조항이다 $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ .

$p$ 에 의해 생성된 $\mathbb {R} [p]$ 하위격자 $\mathbb {R} [p]$ [ $\mathbb {R} [p]$ $\mathbb {R} [p]$ ${\displaystyle \mathb$ { $R}[p]}$ 의 구조는 간단명료하게 이어진다. 가지고 있다

{\displaystyle \mathb {R} [p]=\mathb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathb {R}\},

그리고 이것은 교환 대수학이다. $p$ 가 실제인 경우를 제외하고 치수는 2이다(이 경우 하위게브라는 단순히 $\mathbb {R}$ ${\$

정사각형이 실제인 $\mathbb {R} [p]$ $\mathbb {R} [p]$ $\mathbb {R} [p]$ $\mathbb {R} [p]$ $\mathb {R}[p]$ 의 비현실 요소에는 $a\in \mathbb {R} .$ $a\in \mathbb {R} .$ $a\in \mathb {R$ 이 $($ 가) 있는 $aq$ 형식이 있다.

다음 하위 절에 자세히 설명되어 있는 세 가지 경우를 고려해야 한다.

닐포텐트 케이스

With above notation, if $q^{2}=0,$ (that is, if $q$ is nilpotent), then $N (q) = 0$ , that is, $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.$ This implies that there exist $w$ and $t$ in $\mathbb {R}$ such that $0 \leq t < 2 π$ and

p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .

이것은 비현실적인 부분이 영점인 모든 분할 쿼터의 파라메트리징이다.

This is also a parameterization of these subalgebras by the points of a circle: the split-quaternions of the form $\mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k}$ form a circle; a subalgebra generated by a nilpotent element contains exactly one point of the circle; and the circle does 다른 점을 포함하지 않는다.

nilpotent 요소에 의해 생성된 대수는 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ [ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ / $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ X $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ $\mathb {R}[X]/\langle X^{2}\angle$ 에 이형성이며, 이중 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ 숫자의 공간에는 이형성이 있다.

분해가능사례

두 장의 하이퍼볼로이드

$N (q)$ > $0$ . ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ = ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ ( ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ ) ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ , ${\textstyle n={\sqrt{N(q)}},}$ 1은 ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ 다음과 같은 경우다.

q^{2}=-q^{*q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-y^{2}-z^{2}.

1 $/ n$ $q$ 는 두 $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ 의 방정식 x $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ - $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ 2 $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ - $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ = 1 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z$ ^{2 $}=1.}$ 의 하이퍼볼로이드에 속하므로 $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ , 0 $t$ t < $2π$ 과 같은 실수의 $n,$ t, $u$ 가 있다.

p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

이것은 비현실적인 부분이 양의 규범을 갖는 모든 분할 쿼터의 파라메트리징이다.

This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of two sheets: the split-quaternions of the form $\cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ form a 2개의 시트로 구성된 하이퍼볼로이드; 양성 규범의 비현실적인 부분을 가진 분할 쿼터니온에 의해 생성된 아발지브라에는 이 하이퍼볼로이드에 정확히 두 개의 반대되는 점이 포함되어 있으며, 하이퍼볼로이드는 다른 점을 포함하지 않는다.

$\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ 의 정규의 비현실적인 부분을 갖는 분할 쿼터니온에 의해 생성된 대수는 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ [ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ X $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ / $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ 2 - $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ $⟩$ {\ $displaystyle \mathb {R}[X$ ]/\ $langle X^{$ 2}-1\ $rangele}$ 및 분할 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ 복합 숫자의 공간에 대해 이형적이다. It is also isomorphic (as an algebra) to $\mathbb {R} ^{2}$ by the mapping defined by ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.$ $}$

강제추행사건

1시트의 하이퍼볼로이드
(기사에서 세로축을

x

라고 한다)

$N (q)$ < $0$ . ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ = ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ - ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ ( ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ ) ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ , ${\textstyle n={\sqrt{-N(q)}}}$ 이 ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ (가) 있는 경우다.

q^{2}=-q^{*q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-y^{2}-z^{2}.

1 $/ n$ q가 y $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ + $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ - $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ = 1. ${\displaystyle$ y $^{2}+z^{2}-x^{2}=1$ . 따라서 $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$ 0≤ $t$ < $2π$ , $u$ 등의 실수는 $n,$ $t$ ,u이다 $.$

p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(t)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

이것은 비현실적인 부분이 음의 규범을 갖는 모든 분할 쿼터의 파라메트리징이다.

This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of one sheet: the split-quaternions of the form $\sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ form a h한 시트의 yperboloid; 음의 규범에 비현실적인 부분을 가진 분할 쿼터니온에 의해 생성되는 아발지브라에는 이 하이퍼볼로이드의 정확히 두 개의 반대되는 점이 포함되며, 하이퍼볼로이드는 다른 점을 포함하지 않는다.

음수 정규의 비현실적인 부분을 갖는 분할 쿼터니온에 의해 생성된 대수는 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ [ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ / $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ + $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ ${\displaystyle \mathb {R}[X]/\langle$ X $^{2}+1\angle }}$ 에 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ 이형이고 $\mathbb {C}$ 숫자의 C $\mathbb {C}$ ${\$ 에 이형이다 $.$

규범에 의한 층화

위에서 본 바와 같이, norm $-$ 1, 1 $및$ 0 형식의 순수 비현실 분할 분수는 각각 한 장의 하이퍼볼로이드, 두 장의 히포볼로이드, 비현실 쿼터 공간의 원형 원뿔이다.

이러한 표면은 쌍으로 점증하지 않으며 교차하지 않는다. 이들의 보어는 다음과 같은 6개의 연결된 영역으로 구성된다.

두 장의 하이퍼볼로이드의 오목한 쪽에 위치한 두 영역, 여기서 $N(q)>1$ ( $N(q)>1$ ) $N(q)>1$ > $N(q)>1$ ${\displaystyle N(q)>1$ }
두 장의 하이퍼볼로이드와 원뿔 사이의 두 영역( $0<N(q)<1$ 서 $0<N(q)<1$ 0 < $0<N(q)<1$ ( $0<N(q)<1$ ) $0<N(q)<1$ < 1 ${\displaystyle$ 0 $<N(q)<1})$
원뿔과 한 시트의 하이퍼볼로이드 사이의 영역, $-1<N(q)<0$ 서 $-1<N(q)<0$ 1 $-1<N(q)<0$ < $-1<N(q)<0$ ( $-1<N(q)<0$ ) $-1<N(q)<0$ < $-1<N(q)<0$ $[\displaystyle -1 <N(q)><0}$
$N(q)<-1$ ( q ) < - $N(q)<-1$ $N(q)<-1$ 인 시트의 하이퍼볼로이드 외부에 있는 영역

이러한 계층화는 고정된 표준의 분할 분자를 고려함으로써 정제될 수 있다: 모든 실제 수 n $n 0$ 에 대해 순수하게 비현실적인 분할 $분자$ 는 하이퍼볼로이드를 형성한다. 이 모든 하이퍼볼로이드는 위의 원뿔에 대해 점증하지 않으며, 이 표면들 중 어느 것도 다른 표면과 교차하지 않는다. 순수하게 비현실적인 분할 쿼터의 집합이 이러한 표면의 분리 결합이기 때문에, 이것은 원하는 층화를 제공한다.

역사 노트

공동취재단은 1849년 제임스 코클에 의해 런던-에딘버그-더블린 철학적 잡지에 처음 소개되었다.^[3] 코클의 입문서는 1904년 콰터니온 학회의 서지학에서^[4] 상기되었다. 알렉산더 맥팔레인은 1900년 파리에서 열린 국제수학자대회에서 연설할 때 분열-분열 벡터 구조를 외형적 체계라고 불렀다.^[5]

유닛 구체는 1910년 한스 벡에 의해 고려되었다.^[6] 예를 들어, 이음매 그룹은 419페이지에 나타난다. 분할-분할 구조는 수학 연보에도 간략히 언급되어 있다.^[7]^[8]

동의어

파라-쿼터니온(Ivanov and Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) 파라-쿼터니온 구조를 가진 다지관은 미분 기하학 및 끈 이론에서 연구된다. 파라쿼터니온 문헌에서 k는 -k로 대체된다.
외구형 시스템(Macfarlane 1900)
분할 쿼터니온(Rosenfeld 1988)^[9]
고대유물 (로센펠트 1988)
사이비쿼터니온(Yaglom 1968^[10] 로젠펠트 1988)

참고 항목

메모들

^ 카르젤, 헬무트 & 귄터 키스트(1985) "키네마틱 알제브라와 그 기하학", 링과 기하학, R. Kaya, P. Plaumann, K. 스트램바흐 편집자, 페이지 437–509, esp 449,50, D. 레이델 ISBN 90-277-2112-2
^ 케빈 맥크림몬(2004) 조던 알헤브라의 맛 64페이지 유니버시티텍스트 스프링어 ISBN 0-387-95447-3 MR2014924
^ James Cockle(1849), 하나 이상의 상상 철학 잡지가 참여한 대수학 온 시스템 (시리즈 3) 35: 434,5,5 생물다양성 유산 도서관의 링크
^ A. Macfarlane(1904) 코넬 대학교 역사 수학 모노그래프스의 Quaternions 및 Allied Systems of Mathics, James Cockle, 페이지 17–18의 출품작
^ 알렉산더 맥팔레인(1900) 곡선 좌표에 공간 분석 적용 2014-08-10년 웨이백 기계, 국제수학연합(International Mathematistics Union)의 국제수학회의 진행 306페이지에 보관
^ 한스 벡(1910) 아인 세이텐슈튀크 주르 모비우스의 스헨 기하학리 데르 크라이스버완샤프텐, 미국수학회의 거래 11
^ A. A. Albert(1942), "구성을 허용하는 양형", 수학 연보 43:161부터 77까지
^ 발렌타인 바그만(1947), "로렌츠 그룹의 불가해한 단일 표현", 수학 연보 48: 568–640
^ 로젠펠드, B.A. (1988) 비유클리드 기하학의 역사, 389페이지, 스프링거-베를라크 ISBN 0-387-96458-4
^ Isaak Yaglom (1968) 기하학의 복잡한 숫자, 24페이지, 학술지

추가 읽기

브로디, 도르제 C, 에바-마리아 그라페. "복잡한 역학과 코쿼터니온에 대해서." 물리학 저널 A: 수학 및 이론 44.7 (2011): 072001. doi :10.1088/1751-8113/44/7/072001
이바노프, 스테판, 잠코보이, 시메온(2005), "파라헤르미티아 및 파라쿼터니온 다지관", 차동 기하학과 그 응용 프로그램 23, 페이지 205–234, arXiv:Math.DG/0310415, MR2158044 .
Mohaupt, Thomas(2006), "특수 기하학의 새로운 발전", arXiv:hep-th/0602171.
외즈데미르, M. (2009) "분할 쿼터니온의 뿌리", 응용수학문자 22:258–63. [1]
외즈데미르, M. & A.A. 에르진(2006) "민코프스키 3-공간에서 시간적 쿼터가 있는 회전", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
포고루이, 아나톨리 & 라몬 M Rodrigues-Dagnino(2008) 코쿼터니온 대수학의 일부 대수학적 및 분석적 특성, 적용된 클리포드 알헤브라스에서의 진전.

[1] 카르젤, 헬무트 & 귄터 키스트(1985) "키네마틱 알제브라와 그 기하학", 링과 기하학, R. Kaya, P. Plaumann, K. 스트램바흐 편집자, 페이지 437–509, esp 449,50, D. 레이델 ISBN 90-277-2112-2

[2] 케빈 맥크림몬(2004) 조던 알헤브라의 맛 64페이지 유니버시티텍스트 스프링어 ISBN 0-387-95447-3 MR2014924

[3] James Cockle(1849), 하나 이상의 상상 철학 잡지가 참여한 대수학 온 시스템 (시리즈 3) 35: 434,5,5 생물다양성 유산 도서관의 링크

[4] A. Macfarlane(1904) 코넬 대학교 역사 수학 모노그래프스의 Quaternions 및 Allied Systems of Mathics, James Cockle, 페이지 17–18의 출품작

[5] 알렉산더 맥팔레인(1900) 곡선 좌표에 공간 분석 적용 2014-08-10년 웨이백 기계, 국제수학연합(International Mathematistics Union)의 국제수학회의 진행 306페이지에 보관

[6] 한스 벡(1910) 아인 세이텐슈튀크 주르 모비우스의 스헨 기하학리 데르 크라이스버완샤프텐, 미국수학회의 거래 11

[7] A. A. Albert(1942), "구성을 허용하는 양형", 수학 연보 43:161부터 77까지

[8] 발렌타인 바그만(1947), "로렌츠 그룹의 불가해한 단일 표현", 수학 연보 48: 568–640

[9] 로젠펠드, B.A. (1988) 비유클리드 기하학의 역사, 389페이지, 스프링거-베를라크 ISBN 0-387-96458-4

[10] Isaak Yaglom (1968) 기하학의 복잡한 숫자, 24페이지, 학술지

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v t 수 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ ${\$ ) 정수( $\mathbb {Z}$ ${\$ $\mathbb {Z}$ ) 합리적인 숫자( $\mathbb {Q}$ ${\$ $\mathbb {Q}$ ) 구성 가능한 숫자 대수적 숫자( $\mathbb {A}$ ${\$ ) 기간 계산 가능한 숫자 산술수 이론적으로 정의할 수 있는 숫자 설정 가우스 정수
구성 알헤브라스	분할 알헤브라스: 실수( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ ) 복잡한 숫자( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ ) 쿼터니온( $\mathbb {H}$ ${\$ $\mathbb {H}$ ) 옥토니언( $\mathbb {O}$ ${\$ $\mathbb {O}$ )
분할 종류들	$\mathbb {R}$ ${\$ 초과 $\mathbb {R}$ 분할복수 스플릿쿼터니온 스플릿옥톤 $\mathbb {C}$ 이상 ${\$ 바이콤플렉스 수 바이쿼터니온스 바이오크토니언스
기타 하이퍼 복합체	이중수 이중 쿼터니온 이중 복합수 쌍곡선 쿼터니언 Sedenion( $\mathbb {S}$ ${\$ $\mathbb {S}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티콤플렉스 수 기하 대수학 물리적 공간의 대수 스페이스타임 대수
기타유형	기수 연장된 자연수 비이성수 퍼지 수 초현실수 레비시비타 필드 초현실수 초월수 서수 p-adic 번호(p-adic 솔레노이드) 초자연적 수 초현실수
분류 리스트

Search