산술의 기본 정리

수학에서, 독특한 인수분해 정리 및 소인수분해 정리라고도 불리는 산술의 기본 정리는 1보다 큰 모든 정수는 소수의 곱으로,^[3][4][5] 요인의 순서까지 독특하게 표현될 수 있다고 말한다.예를들면,

${\displaystyle 1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\ldot =$

이 정리에 따르면 이 예에 대해 두 가지를 알 수 있습니다. 첫째, 1200은 소수의 곱으로 표현될 수 있고 둘째, 이것이 어떻게 이루어지든 간에 항상 정확히 4개의 2와 1개의 3, 2개의 5가 있고 곱에는 다른 소수가 없습니다.

요소가 소수가 되어야 한다는 요건이 필요합니다.복합수를 포함하는 인수분해는 고유하지 않을 수 있습니다(예: ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 26}$ 6 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 34}$4 { $displaystyle$ 12 $= 2$ \ $cdot$ 6 $= 3$ \ $cdot$ 4$$} ） 。

이 정리는 1이 소수로 간주되지 않는 주요 이유 중 하나입니다. 1이 소수라면 소수점으로의 인수분해는 고유하지 않습니다. 예를 들어 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 21}$ 1 ${\displaystyle =}$ 2 ${\displaystyle 1}$ 1$$ ... { $displaystyle$ 2 $= 2$ \ $cdot$ 1$= 2$ \ $cdot$ 1 \ $ldots }$

이 정리는 다른 대수적 구조, 특히 필드 위의 다항식 고리에 일반화된다.이러한 구조를 고유 인수분해 도메인이라고 합니다.

유클리드의 원판

제7권, 제30권, 제31권, 제32권, 그리고 제9권, 유클리드 원소의 제14권은 본질적으로 기본 정리의 진술이자 증거이다.

만약 두 숫자가 서로 곱해서 어떤 숫자가 되고, 어떤 소수라도 곱하면, 그것은 원래의 숫자 중 하나를 측정하게 된다.

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(현대 용어로는 소수 p가 곱 ab를 나누면 p는 a 또는 b 중 하나 또는 둘 모두를 나눈다.)발의안 제30호는 유클리드의 보조정리로 불리며 산술의 기본정리를 증명하는 열쇠이다.

임의의 합성수는 소수로 측정됩니다.

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(현대 용어로는 1보다 큰 모든 정수는 소수 몇 개로 균등하게 나눕니다.발의안 31은 무한 강하로 직접 증명된다.

모든 숫자는 소수이거나 소수입니다.

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발의안 32는 발의안 31에서 파생되어 분해가 가능하다는 것을 증명한다.

소수로 측정되는 최소의 수치일 경우, 최초 측정치를 제외한 다른 소수로 측정되지 않습니다.

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(현대 용어로는 여러 소수의 최소공배수는 다른 소수의 배수가 아닙니다.)제9권, 제14호는 제7권, 제30호에서 파생된 것으로, 이 분해가 독특하다는 것을 부분적으로 증명하고 있다.이것은 앙드레 ^[6]베일에 의해 비판적으로 지적되었다.실제로, 이 명제에서는 모든 지수가 1이므로, 일반적인 경우에는 아무것도 언급되지 않는다.

가우스의 디스퀴지먼트 산술 16조는 모듈식 ^[1]산술을 사용한 초기의 근대적 진술과 증거이다.

적용들

양의 정수의 표준 표현

모든 양의 정수 n > 1은 정확히 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{2}^{n_{2}\cdots p_{k}^{n_{k}=\cdots _{i=1}^{k}p_{i}^n_{i}}}}$

여기서₁ p < p₂ < ... < p는_k 소수, n은_i 양의 정수입니다.이 표현은 일반적으로 빈 곱이 1이라는 규칙에 따라 1을 포함한 모든 양의 정수로 확장됩니다(빈 곱은 k = 0에 해당).

이 표현은 n의 표준 표현^[7] 또는 n의 표준^[8][9] 형식이라고 불립니다.예를들면,

999 = 3³×37,

1000 = 2³ × 5³

1001 = 7×11×13.

계수⁰ p = 1은 n의 값을 변경하지 않고 삽입할 수 있습니다(예: 1000 = 2³×3⁰×5³).사실, 모든 양의 정수는 모든 양의 소수에서 무한곱으로 고유하게 표현될 수 있습니다.

${{displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots=\cdots_{i=1}^{\infty}p_{i}^{n_{i}}}},$

여기서 n의_i 유한수는 양의 정수이고 나머지는 0입니다.음의 지수를 허용하는 것은 양의 유리수에 대한 표준 형식을 제공합니다.

산술 연산

두 숫자 a와 b의 곱, 최대공약수(GCD) 및 최소공약수(LCM)의 정규 표현은 a와 b 자체의 정규 표현으로 단순하게 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}}3^{a_{2}+b_{2}}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}}\cdots,&=\prod p_{나는}^{a_{나는}+b_{나는}},\\\gcd(a,b)&, =2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &,&=\prod p_{나는}^{\min(a_{나는},b_{나는})},\\\operatorname{lcm}(a,b)&, =2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &,&=\prod p_{나는}^{\max(&.a_{나는},b_{나는})}.\end {alignedat}}$

그러나 정수 인수분해, 특히 큰 숫자는 계산 제품, GCD 또는 LCM보다 훨씬 더 어렵습니다. 따라서 이러한 공식은 실제로 제한적으로 사용됩니다.

산술 함수

많은 산술 함수는 정규 표현을 사용하여 정의됩니다.특히, 가법 및 곱셈 함수의 값은 소수 거듭제곱에 대한 값에 의해 결정된다.

증명

증거는 유클리드의 보조정수를 사용한다: 만약 소수가 두 정수의 곱을 나눈다면, 그것은 적어도 이 정수들 중 하나를 나누어야 한다.

존재.

1보다 큰 모든 정수는 소수이거나 소수 곱이라는 것을 보여줘야 한다.먼저 2는 소수입니다.그런 다음, 강한 유도에 의해 1보다 크고 n보다 작은 모든 숫자에 대해 이것이 사실이라고 가정합니다.n이 소수이면 더 이상 증명할 것이 없습니다.그렇지 않으면, 정수 a와 b가 있는데, 여기서 n = a, 1 < a b b < n이다. 유도 가설에 따르면, a₁ = p₂ ⋅ p 및_j b = q₁₂ ⋅ q q q q q q q_k q는 소수의 곱이다.그러나 n = a b = p₁₂ p q_j12 q q q는_k 소수 곱이다.

고유성

반대로 두 개의 서로 다른 소인수 분해가 있는 정수가 있다고 가정합니다.n을 최소 정수로 하고 n = p₁₂ ... p_j = q₁₂ ... q ... q로_k 적습니다. 여기서 p와_ii q는 각각 소수입니다.우리는 p가 q를_12k 나눈다는₁ 것을 알 수 있다₁. q는 유클리드의 보조정리법으로 나눈다_i.일반성의 손실 없이 p₁ 나눗셈₁ q. p와₁ q는 둘 다 소수이므로₁ p = q₁₂. n의₁ 인수분해로 돌아가면₂ 이 두 인자를 취소하고 n보다 작은_j 정수의 두 개의 서로_k 다른 소수 분해가 있다고 할 수 있습니다. 이제 n의 최소성과 모순됩니다.

유클리드의 법칙이 없는 독특함

산수의 기본정리는 유클리드의 보조정리를 사용하지 않고도 증명될 수 있다.^[10]이어지는 증거는 유클리드의 원래 버전의 유클리드 알고리즘에서 영감을 얻었다.

$\displaystyle$s가$$ 두 가지 다른 방법으로 소수의 곱인 최소 양의 정수라고 가정합니다.덧붙여서, 이는 s$\$$displaystyle$s가 존재하는 경우$1$보다$$$큰{\displaystyle \mathrm{}}$ 복합수여야 함을 $의미$합니다.

${\displaystyle {narged}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end { aligned}}$

모든 $({$는 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$j와 구별되어야 합니다$.$ ({$displaystyle$ $q_{j}).$ 그렇지 않으면 ${\displaystyle p_{}}$ $= q_{$$j}$라고 $하면{\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle =s}$ / ${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ s /$$({$displaystyle$ t=$s/p_i$} s$s})$보다 작은 양의 $정수$가 존재합니다.ct prime 인수분해.또한 필요에 따라 2개의 인수분해를 교환함으로써 p < 1, {\$displaystyle p_{1}$ <$q_{1$} 이라고 가정할 수도 있습니다.

설정하면 P)p2⋯ pm{\displaystyle P=p_{2}\cdots p_{m}}와 Q)q2⋯ qn,{\displaystyle Q=q_{2}\cdots}q_{n},을 가지고 있s= p1.P는 q1Q.{\displaystyle s=p_{1}P=q_{1}Q.}또한 p1<>q1,{\displaystyle p_{1}<, q_{1},}을 가지고 있Q<>P.{\displaystyle Q<. P.}그때 foll아아아

${\displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q) <s.}$

s보다 작은 양의 정수는 고유한 소인수 분해가 되어야 하므로 $({$은 ${\displaystyle {q1\mathrm{}}_{}}$- $({$}-$p_1})$ 또는$$ Q의 $인수{\displaystyle {}_{}}$ 분해에서 발생해야 합니다.후자의 경우는 불가능합니다.Q는 s보다 작기 때문에 소인수 분해가 고유해야 $하며{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ style $p_{1})$은 $모든{\displaystyle {}_{}}$ $.\display q_{j}$와 다르기 때문입니다.}$p1$({$displaystyle p_{$1$$})이${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ -$,$ {$displaystyle$$q_$${$1}의 $약수$인$$경우$$ $p1$({$displaystyle p_1$$})$과$q_1$$({style$q_${$1$$})의 $약수$인 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$$,$ p1({$displaystyle$ p_1})의 구별이 ${\displaystyle {불가능}_{}}$하기 때문에 전자의 경우도 마찬가지입니다$.$.

따라서 단일 소인수 분해 이상의 최소 정수는 존재할 수 없습니다.모든 양의 정수는 고유한 인수인수를 갖는 소수 자체이거나 고유한 소수인 복합이어야 하며, 소수가 아닌 $정수{\displaystyle \mathrm{}}$1(\$displaystyle$1)의$$경우여야 합니다.

일반화

이 정리의 첫 번째 일반화는 2차 상호성에 관한 가우스의 두 번째 논문(1832)에서 찾을 수 있다.이 논문은 현재 가우스 정수의 링이라고 불리는 모든 복소수 a + bi의 집합 a와 b가 정수인 것을 소개했다.이제 Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i]}$ $.\displaystyle \mathbb {Z}$ [$i]$로 표시됩니다.} 이$$ 고리는 4개의 단위 ±1과 ±i를 가지며, 0이 아닌 단위수는 소수와 합성물의 두 종류로 나뉘며, (순서를 제외한) 합성물은 ^[11]소수의 곱으로서 독특한 인수분해를 갖는다는 것을 보여주었다$.$

마찬가지로, 1844년 아이젠슈타인은 입방정역학을 연구하면서 링${\displaystyle }Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [$](\displaystyle \mathbb {Z}$ [\$obe$를 도입했다.여기서 ω $=$ 1${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$+ - ${\displaystyle \frac{3}{\mathrm{}}}$2$$, \$displaystyle \ope frac${-$1$$+\$$displayrt${-$3}$ {$2},$ $= 1$ \$displaystyle ^1 ^$3}이것은 아이젠슈타인 정수의 고리이며, 그는 이것이 ${\displaystyle \mathrm{6개}}$의 단위${\displaystyle }$±${\displaystyle }$1,${\displaystyle }$±${\displaystyle \theta ,}$ ± ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$2({$디스플레이$ 스타일 $\pm$ 1$,\pm \ophiga,\pm$\ophiga $^{2}})$를 가지며, 독특한 인수 분해가 있음을 증명했습니다.

그러나 고유한 인수분해가 항상 유지되는 것은 아니라는 사실도 밝혀졌다.${\displaystyle \sqrt{\mathrm{예}}}$를 들어 Z${\displaystyle \sqrt{}[}$ - 5$]{$ $displaystyle \mathbb${$Z }$ [ { \ $sqrt${ - $5$ } } 。이 링에서는 다음과^[12] 같이 표시됩니다.

$({displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\cdot {-5})(1-{\cdisplayrt {-5})).}$

이와 같은 예는 "프라임"의 개념을 수정하게 만들었다.Z${\displaystyle \sqrt{}}$[ - $]$ {\$displaystyle \mathbb {Z} [{\displayrt${-$5}}}}$에서 위의 요인 중 하나를 곱으로 나타낼 수 있는 경우, 예를 들어 2 = ab이면 a 또는 b 중 하나가 단위임을 증명할 수 있다.이것이 "프라임"의 전통적인 정의이다.또한 이러한 요인들 중 어느 것도 유클리드의 보조 법칙에 따르지 않는다는 것을 증명할 수 있다. 예를 들어, 2는 곱 6을 나누더라도 (1 + δ-5) 또는 (1 - δ-5도 나누지 않는다.대수적 수론에서 2는 Z${\displaystyle \sqrt{}}$[${\displaystyle }$- 5$$] ${\displaystyle \mathbb {$Z$}$ [{\$sqrt$ {-5$}}}$ (그 자체 또는 단위로만 나누어짐) }$$ {\sqrt {-5}} $$} 에서는 소수가 아니라, Z${\displaystyle \sqrt{}}$[ - $]$ {$displaystyle$ \$mathbb$ {Z} [{\$sqrt${-$5}}$ } } } } } }에서는 곱을 나누면 곱으로 나누어짐) 라고 한다.$Z{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- $]$ { \ $displaystyle$\$mathbb { Z$ } [ { \ $sqrt${ - 5$$} } } 에는 2가 소수이며 축소할 수 없기 때문에 언급이 필요합니다$.\$ $displaystyle$\$mathbb${ $Z$} . } 이$$ 정의를 사용하면 모든 적분 영역에서 소수가 불가하다는 것을 증명할 수 있습니다.유클리드의 고전적 약어는 "$Z의 고리$ 안에서$"$로 바꿔 $말할$ 수 있다.이는 Z${\displaystyle }$[ $]{$ $displaystyle \mathbb {Z$}[$i$$$]} 및$$${\displaystyle }Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle ],}${ $displaystyle$$\mathbb {Z}$ [ \ omega $}$ } 에서도 해당되지만${\displaystyle }$Z${\displaystyle \sqrt{}}$[ - ${\displaystyle \sqrt{5}]}$에서는 해당되지 않습니다.{ \ $sqrt${-$5}$ } } 。$}$

환원 불가능한 것으로 인수분해되는 고리를 고유 인수분해 도메인이라고 합니다.중요한 예는 정수 또는 필드, 유클리드 영역 및 주요 이상 영역 위에 있는 다항식 고리이다.

1843년 쿠머는 이상수 개념을 도입했는데, 이것은 Dedekind (1876)에 의해 이상, 고리의 특별한 부분 집합에 대한 현대 이론으로 더욱 발전되었습니다.곱셈은 이상을 위해 정의되며, 곱셈이 고유한 인수분해를 갖는 고리를 데데킨트 도메인이라고 합니다.

서수에는 고유 인수분해 버전이 있지만 고유성을 보장하기 위해서는 몇 가지 추가 조건이 필요합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 정수 인수분해 – 숫자를 곱으로 분해하는 방법
• 주요 시그니처 – 소수 인수분해에서의 소수 지수 다중 집합

메모들

레퍼런스

디스퀴지스 산술서는 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었다.독일어판은 수론에 관한 그의 모든 논문들을 포함하고 있다: 모든 2차 상호성의 증명, 가우스 합의 부호 결정, 2차 상호성의 조사, 그리고 미발표 주.

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), translated by Clarke, Arthur A., New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition) (in German), translated by Maser, H., New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

가우스가 2차 상호관계에 대해 발표한 두 개의 논문에는 연속적으로 번호가 매겨져 있다.첫 번째 논문에는 § 1-23과 § 24-76이 포함되어 있다.이를 참조하는 각주는 "Gauss, BQ, n n" 형식이며, 디스퀴지션 산술을 참조하는 각주는 "Gauss, DA, Art. n" 형식이다.

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

이것들은 가우스의 베르케 제2권 65–92페이지와 93–148에 있다. 독일어 번역본은 디스퀴지스 독일어판 511–533페이지와 534–586페이지이다.

• Baker, Alan (1984), A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, vol. 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), "Fundamental theorem of arithmetic", Formalized Mathematics, 12 (2): 179–185
• 를 클릭합니다Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
• 를 클릭합니다Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766.
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
• Weil, André (2007) [1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6
• Weisstein, Eric W., "Abnormal number", MathWorld
• Weisstein, Eric W., "Fundamental Theorem of Arithmetic", MathWorld

외부 링크

• 산술의 기본정리는 왜 명확하지 않은가?
• GCD와 산술의 기초정리.
• PlanetMath: 산술의 기본정리의 증명
• 페르마의 마지막 정리 블로그: 독특한 인수분해 블로그는 알렉산드리아의 디오판토스에서 앤드류 와일즈의 증명까지 페르마의 마지막 정리 역사를 다루는 블로그입니다.
• 2007년 울프람 시연 프로젝트, 헥터 제닐의 "산술의 기본 정리"
• Grime, James, "1 and Prime Numbers", Numberphile, Brady Haran, archived from the original on 2021-12-11