카디널리티

세트

S(\

displaystyle

S

)

에는

S

5개의 요소가 있습니다.

|S|=5

S

|S|=5

(\displaystyle

S =

5

수학에서 집합의 카디널리티는 집합의 "원소 수"를 측정하는 것입니다.예를 들어 $A=\{2,4,6\}$ A $=$ { $A=\{2,4,6\}$ , $A=\{2,4,6\}$ , 6 $}({displaystyle$ A=\{2 $, 4$ , 6 $\})$ 에는 $A=\{2,4,6\}$ 3개의 요소가 포함되어 $있으므로$ A $({displaystyle$ A})의 $A$ 카디널리티는 3입니다.19세기 후반부터, 이 개념은 무한 집합으로 일반화되었고, 무한 집합은 다른 유형의 무한 집합을 구별하고 그 집합에 대해 산술을 수행할 수 있게 해준다.카디널리티에는 두 가지 접근법이 있습니다. 하나는 주입과 주입을 사용하여 세트를 직접 비교하는 접근법과 기수를 ^[1]사용하는 접근법입니다.세트의 카디널리티는 크기에 대한^[2] 다른 개념과 혼동할 수 없는 경우 크기라고도 합니다.

$세트$ A $(\displaystyle$ A)의 카디널리티는 $A$ 보통 $|A|$ ^[3]양쪽에 세로 막대가 있는 A(\ $displaystyle$ A $|A|$ 로 $|A|$ 됩니다.이는 절대값과 같은 표기법으로 의미는 컨텍스트에 따라 달라집니다. $세트$ A $(\$ displaystyle $A)$ 의 $A$ 카디널리티는 n $n(A)$ $\operatorname {card} (A)$ { $style$ n $A$ )}, A $\operatorname {card} (A)$ $displaystyle$ A $A$ $\operatorname {card} (A)$ $'($ A) { $displaystyle$ \operatorname ${card$ 또는 $\#A$ # $(\displaystyle$ \# $A$ 로 나타낼 수 있습니다.

역사

어떤 사물이나 사건의 그룹이 더 많거나 적거나 같은 수의 사례를 포함함으로써 다른 그룹과 비교한다는 인식인 조잡한 카디널리티의 감각은 수백만 년 전의 ^[4]기원을 암시하는 다양한 오늘날의 동물 종에서 관찰된다.카디널리티의 인간의 표현은 기록된 노치 그룹 또는 막대기와 ^[5]조개껍데기와 같은 다른 것의 대표 컬렉션과 같은 그룹의 크기를 동일시하면서 4만년 전에 볼 수 있다.숫자로서의 카디널리티의 추상화는 수메르 수학에서 기원전 3000년에 의해 명백해지고 특정한 사물이나 ^[6]사건의 그룹에 대한 언급 없이 숫자를 조작한다.

기원전 6세기부터, 그리스 필로스피어들의 글은 무한 집합의 카디널리티에 대한 첫 번째 힌트를 보여준다.그들은 무한의 개념을 숫자에 1을 반복적으로 추가하는 것과 같은 끝없는 일련의 작용으로 생각했지만, 무한 수의 집합의 크기를 그 ^[7]자체로 생각하지 않았다.고대 그리스의 무한이라는 개념 또한 사물을 무한히 반복되는 부분들로 나누는 것을 고려했다.유클리드의 요소에서 교환성은 두 개의 선분, a와 b의 길이를 비로서 비교할 수 있는 능력으로 설명되었다. 단, 아무리 작은 것이라도, a와 b에 단대단적으로 여러 번 넣을 수 있는 세 번째 선분이 있는 한 말이다.그러나 불합리한 숫자의 발견으로 모든 유리수의 무한 집합조차도 모든 ^[8]가능한 선분의 길이를 설명하기에 충분하지 않다는 것을 알게 되었다.그러나 무한 집합의 개념은 카디널리티가 있는 것으로 간주되지 않았다.

무한함을 더 잘 이해하기 위해, 집합론의 창시자인 게오르크 칸토르가 1880년경 카디널리티의 개념을 공식화했다.그는 두 세트를 바이젝션과 동일시하는 과정을 조사했다(예: 1 2 2, 2 , 4, 3 ) 6 등의 경우 두 세트의 요소 간의 1 대 1 대응).1891년 칸토어의 대각선 논거를 발표하면서, 그는 자연수의 집합과 일대일 대응에 놓일 수 없는 수의 집합, 즉 무한 자연수의 집합보다 더 많은 원소를 포함하는 셀 수 없는 집합이 있다는 것을 증명했다.연구는 서로 다른 무한 집합의 기수들이 서로 어떻게 비교되는지를 계속 연구한다.

세트 비교

N부터 짝수 집합 E까지의 분사 함수.E는 N의 적절한 서브셋이지만 두 세트의 카디널리티는 동일합니다.

N은 그 거듭제곱 집합과 동일한 카디널리티를 가지지 않는다P(N): N에서 P(N)까지의 모든 함수 f에 대해 집합 T = {nnN: nff(n)}은 f 범위의 모든 집합과 일치하지 않으므로 f는 주관적일 수 없다.그림에서는 f의 예와 대응하는 T를 나타내고 있습니다.빨간색은 n∈f(n)\T, 파란색은 ntT\f(n)입니다.

유한 집합의 카디널리티는 요소의 수일 뿐이지만, 개념을 무한 집합으로 확장하는 것은 보통 임의의 집합의 비교 개념을 정의하는 것으로 시작합니다(일부 집합은 무한할 수 있습니다.

정의 1: A = B

A에서 ^[9]B로의 바이젝션(일명 1대1 대응), 즉 A에서 B로의 함수, 즉 주입과 서브젝션의 양쪽이 존재하는 경우, 2개의 세트 A와 B는 같은 카디널리티를 가진다.이러한 집합은 등가성, 등가성 또는 등가성이라고 합니다.이 관계는 A b B 또는 A ~ B로 표시될 수도 있습니다.

예를 들어, 집합 E = {0, 2, 4, 6, ...음수가 아닌 짝수의 }은(는) 집합 N = {0, 1, 2, 3, ...과(와) 동일한 카디널리티를 가집니다.함수 f(n) = 2n은 N에서 E로의 분사이므로 자연수의 }.

유한 집합 A와 B의 경우, A에서 B로의 어떤 분사가 존재한다면, A에서 B로의 각 주입 또는 사출 함수는 분사가 된다.무한 A와 무한 B는 더 이상 해당되지 않습니다.예를 들어 g(n) = 4n으로 정의되는 N에서 E까지의 함수 g는 사출적이지만 사출적이지 않으며, h(n) = n - (n mod 2)로 정의되는 N에서 E까지의 함수 h는 사출적이지만 사출적이지 않다.g도 h도 f의 존재에 의해 확립된E = N에 도전할 수 없다.

정의 2: A b B

A에서 B로의 주입함수가 존재하는 경우, A는 B의 카디널리티 이하인 카디널리티를 가진다.

정의 3: A < B

A는 A에서 B까지 주입기능이 있지만 생체기능이 없는 경우 B의 카디널리티보다 엄격히 낮은 카디널리티를 가진다.

예를 들어 모든 자연수의 집합 N은 g(n) = {n}은 N에서 P(N)로의 주입 함수이므로 N에서 P(N)까지의 어떤 함수도 바이젝티브일 수 없음을 나타낼 수 있다(그림 참조).마찬가지로 N은 모든 실수의 집합 R의 카디널리티보다 카디널리티가 엄밀하게 작다.증명에 대해서는 칸터의 대각선 인수 또는 칸터의 첫 번째 불가산성 증명을 참조하십시오.

만약 A and B와 B a A라면, A = B (슈뢰더-번스타인 정리라고 알려진 사실)이다.선택 공리는 모든 A, ^[10]^[11]B에 대해 A b B 또는 B a A라는 진술과 같다.

기수

위의 섹션에서는 세트의 '카디널리티'가 기능적으로 정의되어 있습니다.즉, 특정 객체 자체로서 정의되지 않았습니다.단, 이러한 오브젝트는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

같은 카디널리티를 갖는 관계를 등가성이라고 하며, 이것은 모든 집합의 클래스에 대한 등가성 관계입니다.이 관계에 있는 집합 A의 동등성 클래스는 A와 같은 카디널리티를 가진 모든 집합으로 구성됩니다."세트의 카디널리티"를 정의하는 방법은 두 가지가 있습니다.

집합 A의 카디널리티는 등가 하에서의 등가 클래스로 정의됩니다.
각 동등성 클래스에 대해 대표 집합이 지정됩니다.가장 일반적인 선택은 그 클래스의 첫 번째 서수입니다.이것은 보통 자명한 집합론에서 기수의 정의로 받아들여진다.

선택 공리를 가정하면, 무한 집합의 기수는 다음과 같이 표시됩니다.

\alph _{0} <\alph _{1} <\alph _{2} <\ldots .

각 $(\displaystyle \alpha$ 에 $\aleph _{\alpha +1}$ + 1(\displaystyle \ $alph _{\alph$ +1 $\aleph _{\alpha +1}$ })은 $\aleph _{\alpha }$ \ $alph _$ {\ $alph$ $\aleph _{\alpha }$ 보다 작은 기수입니다.

자연수의 카디널리티는 alleph-null( $\aleph _{0}$ 0 \ $displaystyle \alph$ _ ${0})$ 로 나타내며, 실수의 카디널리티는 ${\mathfrak {c}}$ "c\displaystyle $\$ mathfrak ${c$ 로 나타내며, 연속체의 카디널리티라고도 합니다.Cantor는 대각선 인수를 사용하여 ${\mathfrak {c}}>\aleph _{0}$ c > ${\$ ${\mathfrak {c}}>\aleph _{0}$ (\ $displaystyle\mathfrak$ {c} >\ $alph _{$ 0 ${\mathfrak {c}}>\aleph _{0}$ 을 나타냅니다.c ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ 0 ({ $displaystyle {mathfrak {c$ }} = $2^{\alph$ _ ${0$ 이라는 ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ 을 알 수 있으며, 이는 자연수의 모든 부분 집합 집합의 카디널리티이기도 하다.

연속체 가설은 $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$ 1 $=$ $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$ $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$ 0 $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$ (\ $displaystyle \alph$ _{1}= $2^{\$ alph $_{0$ $2^{\aleph _{0}}$ $style$ 0 (\displaystyle 2 $^{\alph _0})$ 은 $2^{\aleph _{0}}$ $\aleph _{0}$ 0 $(\$ $displaystyle$ \ $alph _0$ 보다 큰 최소 기수이며, 즉 카드성이 엄밀하게 설정되어 있지 않다.f 실수입니다.연속체 가설은 집합론의 표준 공리화인 ZFC와 독립적이다. 즉, 연속체 가설 또는 ZFC로부터 부정을 증명하는 것은 불가능하다.상세한 것에 대하여는,^[12]^[13]^[14] 다음의 「연속체의 카디널리티」를 참조해 주세요.

유한, 계산 가능 및 계산 불가 집합

선택 공리가 맞다면 삼분법 법칙은 카디널리티를 지지한다.따라서 다음과 같은 정의를 내릴 수 있습니다.

카디널리티가 자연수보다 작은 집합 X, 즉 X < N은 유한 집합이라고 불립니다.
자연수 집합과 동일한 카디널리티를 갖는 집합 X 또는 X = N = $\aleph _{0}$ 0 (\ $displaystyle \alph$ _ ${0$ 는 셀 수 있을 만큼 무한 ^[9]집합이라고 한다.
자연수보다 카디널리티가 큰 집합 X 또는 X > N(예를 들어 R = ${\mathfrak {c}}$ \ $displaystyle$ \ $mathfrak$ { $c}$ ${\mathfrak {c}}$ > N)은 셀 수 없다고 합니다.

무한 집합

유한 집합에서 얻은 우리의 직관은 무한 집합을 다룰 때 무너진다.19세기 후반에 게오르크 칸토르, 고틀롭 프레게, 리처드 데데킨드 등은 전체가 ^[15]^{[citation needed]}부분과 같은 크기가 될 수 없다는 견해를 거부했다.이것의 한 예는 힐버트의 그랜드 호텔 역설이다.실제로, 데데킨트는 무한 집합을 엄격한 부분 집합(즉, 칸토어의 의미에서 같은 크기를 갖는 것)과 일대일 대응으로 배치할 수 있는 집합으로 정의했습니다. 이 무한의 개념을 데데킨드 무한이라고 합니다.칸토르는 기수를 도입하여 그의 분사에 기초한 크기 정의에 따라 일부 무한 집합이 다른 집합보다 크다는 것을 보여주었다.최소 무한 카디널리티는 자연수( $\aleph _{0}$ 0 \ $displaystyle \alph$ _ { $0})$ 입니다.

연속체의 카디널리티

칸토르의 가장 중요한 결과 중 하나는 연속체( $c\$ displaystyle $\mathfrak$ { $c$ 의 카디널리티가 자연수( $θ$ 0)보다 크다는 것이다. 즉, 칸토어는 자연수 N보다 실수 R이 더 많다. 즉, 칸토어는 ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ 로 $.$ $displaystyle {mathfrak$ { $c}}=2$ ^{\ $alph$ _{0}=\ $beth _{$ 1}(베스 ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ 원 참조)은 다음을 만족합니다.

\displaystyle 2^{\alph _{0}}>\alph _{0}

(칸터의 대각선 인수 또는 칸터의 첫 번째 불가산성 증명 참조).

연속체 가설은 실수의 카디널리티와 자연수의 카디널리티 사이에 기수가 없다는 것을 말한다. 즉,

2^{\alph _{0}}=\alph _{1}

그러나 이 가설은 ZFC가 일치한다면 널리 받아들여지고 있는 ZFC 자명 집합론 내에서 입증되거나 반증될 수 없다.

기수연산을 사용하여 실수선상의 점수가 그 선분의 점수와 동일할 뿐만 아니라 평면상의 점수와 동일하며, 실제로 유한차원 공간에서의 점수와 동일함을 나타낼 수 있습니다.이러한 결과는 S가 부분 집합에 속하지 않는 요소를 포함하고 S의 부분 집합에 포함되지 않는 요소를 포함하지만 S와 동일한 크기를 갖는 무한 집합 S의 적절한 부분 집합과 적절한 부분 집합이 존재함을 의미하기 때문에 매우 직감적이다.

첫 번째 결과는 예를 들어 구간(-π, ½)과 R 사이의 일대일 대응 관계를 제공하는 탄젠트 함수를 고려함으로써 명백하다(Hilbert의 그랜드 호텔 역설 참조).

두 번째 결과는 1878년 칸토에 의해 처음 입증되었지만, 1890년 주세페 페아노가 공간을 채우는 곡선, 정사각형, 큐브, 하이퍼큐브, 유한 차원 공간 전체를 채울 수 있을 만큼 비틀리고 회전하는 곡선을 소개하면서 더욱 분명해졌다.이러한 곡선은 선이 유한 차원 공간과 같은 수의 점을 갖는다는 직접적인 증거는 아니지만 이러한 증거를 얻기 위해 사용할 수 있습니다.

Cantor는 또한 카디널리티가 ${\mathfrak {c}}$ c $(\displaystyle\mathfrak$ {c $})$ 보다 ${\mathfrak {c}}$ 엄밀하게 큰 집합이 존재함을 보여주었다(일반화된 대각선 인수 및 정리 참조).예를 들어 다음과 같습니다.

R의 모든 서브셋의 집합, 즉 R의 동력 집합, P(R) 또는^R 2
R부터 R까지의 모든 함수의 집합^R R

둘 다 카디널리티가 있습니다.

2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}

(베스 2 참조).

기수 ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},$ c ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},$ c $,$ ${{displaystyle$ { $mathfrak {$ c} = $c}$ ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},$ 0 $,$ {{ $displaystyle {mathfrak {c} } =$ ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ 2 ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ { $displaystyle {mathfrak$ {c} } { $c$ } {c} = { $mathfrak}$ {c} {c} { $c$ }상세:

{{displaystyle {mathfrak {c}} =\left(2^{\alph _{0}} \오른쪽)^{2} = 2^{2\times {alph _{0}} = 2^{\alef _{0}}} = 2^{\alph _{c}}}}} }

{mathfrak {c}^{\alph _{0}}=\left(2^{\alph _{0}}=2^{\alph _{0}}=2^{\alph _{0}}}}={\alph _{0}}}}}={\alph _{\alph {c}}}}}}}

{{displaystyle {mathfrak {c}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\alph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}=2^{\mathfrak {c}}}}=2^{\times \mathfrak {c}}}.}

예와 속성

X = {a, b, c} 및 Y = {사과, 오렌지, 복숭아}이면 {(a, 사과), (b, 오렌지), (c, 복숭아)}은 X와 Y 집합 사이의 분사이기 때문에 X = Y입니다.X와 Y의 각 카디널리티는 3입니다.
X y Y일 경우, X = Z 및 Z y Y가 되도록 Z가 존재합니다.
만약 X and Y와 Y x X라면 X = Y이다. 이것은 무한 카디널에 대해서도 유지되며 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리라고 알려져 있다.
연속체의 카디널리티를 가지는 세트에는, 모든 실수의 세트, 모든 불합리한 번호의 세트, 및 간격 $[0,1]$ , $]$ \ $displaystyle [ 0$ , $1$ 가 포함됩니다.

유니온과 교차로

A와 B가 분리된 세트일 경우

(\displaystyle\left\vert A\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right.}

이를 통해 일반적으로 결합과 교차점의 기수가 다음 ^[16]방정식에 의해 관련된다는 것을 알 수 있다.

(\displaystyle\left\vert C\right\vert +\left\vert C\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right.}

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.
^ 지오메트리의 길이 및 면적 등.– 유한한 길이의 선은 무한 카디널리티를 가진 포인트 세트입니다.
^ "Cardinality Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-23.
^ 세펠레비츠, 조르다나 애니멀스 카운트 앤 유즈 제로 숫자는 어디까지 영향을 미치는가?Quanta, 2021년 8월 9일
^ "Early Human Counting Tools". Math Timeline. Retrieved 2018-04-26.
^ 던컨 J. 멜빌(2003)세 번째 밀레니엄 연대기, 세 번째 밀레니엄 수학.세인트로렌스 대학교
^ Allen, Donald (2003). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M Mathematics. Retrieved Nov 15, 2019.
^ Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
^ ^a ^b "Infinite Sets and Cardinality". Mathematics LibreTexts. 2019-12-05. Retrieved 2020-08-23.
^ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung", Mathematische Annalen, Leipzig: B. G. Teubner, 76 (4): 438–443, doi:10.1007/bf01458215, ISSN 0025-5831, S2CID 121598654
^ Felix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlin/Heidelberg: Springer, p. 587, ISBN 3-540-42224-2 - 오리지널 에디션(1914)
^ Cohen, Paul J. (December 15, 1963). "The Independence of the Continuum Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557.
^ Cohen, Paul J. (January 15, 1964). "The Independence of the Continuum Hypothesis, II". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964PNAS...51..105C. doi:10.1073/pnas.51.1.105. JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132.
^ Penrose, R (2005), The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe, Vintage Books, ISBN 0-09-944068-7
^ Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 91: 81–125
재인쇄처: 여기: 페이지 413의 밑면
^ 응용 추상 대수학, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7(학생판), ISBN 0-85312-563-5(도서관판)

[1] Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.

[2] 지오메트리의 길이 및 면적 등.– 유한한 길이의 선은 무한 카디널리티를 가진 포인트 세트입니다.

[3] "Cardinality Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-23.

[4] 세펠레비츠, 조르다나 애니멀스 카운트 앤 유즈 제로 숫자는 어디까지 영향을 미치는가?Quanta, 2021년 8월 9일

[5] "Early Human Counting Tools". Math Timeline. Retrieved 2018-04-26.

[6] 던컨 J. 멜빌(2003)세 번째 밀레니엄 연대기, 세 번째 밀레니엄 수학.세인트로렌스 대학교

[Allen-7] Allen, Donald (2003). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M Mathematics. Retrieved Nov 15, 2019.

[8] Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.

[:1-9] "Infinite Sets and Cardinality". Mathematics LibreTexts. 2019-12-05. Retrieved 2020-08-23.

[10] Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung", Mathematische Annalen, Leipzig: B. G. Teubner, 76 (4): 438–443, doi:10.1007/bf01458215, ISSN 0025-5831, S2CID 121598654

[11] Felix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlin/Heidelberg: Springer, p. 587, ISBN 3-540-42224-2 - 오리지널 에디션(1914)

[12] Cohen, Paul J. (December 15, 1963). "The Independence of the Continuum Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557.

[13] Cohen, Paul J. (January 15, 1964). "The Independence of the Continuum Hypothesis, II". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964PNAS...51..105C. doi:10.1073/pnas.51.1.105. JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132.

[14] Penrose, R (2005), The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe, Vintage Books, ISBN 0-09-944068-7

[Cantor.1932-15] Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 91: 81–125
재인쇄처: 여기: 페이지 413의 밑면

[16] 응용 추상 대수학, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7(학생판), ISBN 0-85312-563-5(도서관판)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(설정 차이) 드 모르간의 법칙 분리 결합 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

Search

카디널리티

네임스페이스

더

목차

역사