연관성

연관성
	연관 연산을 나타내는 시각 그래프 ( y ) x ( z) { \ y )\ ( x \ y )\ zx \ ) }
유형	법률, 대체 규칙
들판	초등 대수; 부울 대수; 집합론; 선형 대수; 명제 미적분;
기호문	초등 대수; 명제 미적분 ;

수학에서 연관^[1] 속성은 일부 이진 연산의 속성으로, 식에서 괄호를 재배치해도 결과가 변경되지 않습니다.명제논리학에서 연상성은 논리증명에서의 표현에 대한 치환의 유효한 규칙이다.

같은 관련 연산자의 행에 2개 이상의 오카렌스를 포함하는 식에서는 오퍼랜드의 시퀀스가 변경되지 않는 한 조작이 실행되는 순서는 중요하지 않습니다.즉, (필요한 경우 괄호로 식을 다시 쓴 후 infix 표기로) 해당 식에서 괄호를 재배치해도 값은 변경되지 않습니다.다음 방정식을 고려합니다.

{\displaystyle(\displaystyle {aligned}(2+3)+4&=2+(3+4)=9,\2\times(4)&=(2\times 3)\times 4=24.\end { aligned}}

괄호는 각 행에 정렬되어 있어도 식 값은 변경되지 않았습니다.이는 임의의 실수에서 덧셈과 곱셈을 할 때 해당되므로 "실수의 덧셈과 곱셈은 연상 연산"이라고 할 수 있다.

어소시에이티비티는 2개의 오퍼랜드의 순서가 결과에 영향을 미치는지 여부를 다루는 정류성과는 다릅니다.예를 들어, 실수의 곱셈, 즉 × = ×의 순서는 중요하지 않으므로, 우리는 실수의 곱셈은 교환 연산이라고 한다.그러나 함수 구성 및 행렬 곱셈과 같은 연산은 연관성이 있지만 (일반적으로) 가환성이 아닙니다.

연관 연산은 수학에 풍부하다; 사실, 많은 대수 구조(반군 및 범주 등)는 연관 연산을 명시적으로 요구한다.

그러나 많은 중요하고 흥미로운 연산들은 연관성이 없습니다. 일부 예로는 감산, 지수화 및 벡터 교차 곱이 있습니다.실수의 이론적 특성과는 대조적으로, 컴퓨터 과학에서 부동소수점 숫자의 덧셈은 연관성이 없으며, 식을 연관짓는 방법의 선택은 반올림 오차에 큰 영향을 미칠 수 있습니다.

정의.

이 그림이 일치할 때 집합 S상의 2진 연산θ는 대응된다.즉

, S S

××에서 Scompose로 가는 두 경로가

\times\times S S

에서 S로 가는 동일한 함수로 가는 경우.

$형식적$ 으로 집합 S 위의 2진 연산θ가 다음 결합 법칙을 만족하는 경우 결합 연산 θ를 결합 연산이라고 한다.

(x

∗ )

S

의

모든

x, y,

z

에

대해

= y (

( ).

여기서 θ는 임의의 기호일 수 있는 연산의 심볼과 곱셈에 대한 기호(병렬 배치)의 부재를 치환하기 위해 사용된다.

()

= y z

()

S

의

모든

x,

y

,

z

에 대해

=. x y z

연관 법칙은 함수 표기법으로도 표현될 수 있다 $: f x$ ( , ) $x = y$ (, ).

일반조합법

연관성이 없는 경우, 5가지

요인

a,

b

,

c

,

d

,

e

는 차수가 4인 타마리 격자를 생성하며, 다른 제품일 수 있다.

바이너리 연산이 관련지어져 있는 경우, 이 연산을 반복 적용해도 유효한 괄호 쌍이 ^[2]식에 삽입되는 방법에 관계없이 같은 결과가 됩니다.이것을 일반화 결합법이라고 합니다.예를 들어, 4가지 원소의 곱은 요인의 순서를 변경하지 않고 다음 5가지 방법으로 작성할 수 있다.

$((a b) c) d$
$(a b)(c d)$
$(a (b c)) d$
$a ((b c) d)$
$a (b (c d))$

제품 연산이 연관성이 있는 경우, 일반 결합 법칙에 따르면 이 모든 식은 동일한 결과를 산출합니다.따라서 생략된 괄호가 있는 표현이 이미 다른 의미를 가지지 않는 한(아래 참조) 괄호는 불필요하다고 간주될 수 있으며 "the" 곱은 다음과 같이 모호하지 않게 쓰여질 수 있습니다.

를 클릭합니다

a b c d

.

요소의 수가 증가함에 따라 괄호를 삽입할 수 있는 방법은 빠르게 증가하지만 명확화를 위해 계속 필요하지 않습니다.

이 방법이 작동하지 않는 예로는 논리적 바이콘디셔널 $\leftrightarrow$ 가 있습니다.이는 연관성이 있기 때문에 $B \leftrightarrow$ ( $\leftrightarrow$ ) $A \leftrightarrow$ 와 동일하지만 ↔↔ 는 ( $\leftrightarrow$ ) $B$ 및 ( $\leftrightarrow$ ) 와 동등하지 않은 것을 의미합니다 $. A$

예

실수의 덧셈은 연관성이 있다.

관련 작업의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

3개의 스트링의 결합"hello"," ","world"첫 번째 두 문자열을 연결하여 계산할 수 있습니다."hello "세 번째 스트링 추가 ( )."world"또는 두 번째와 세 번째 스트링(제공)에 참여함으로써" world"첫 번째 스트링 연결("hello")과 그 결과를 나타냅니다.두 가지 방법으로 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.문자열 연결은 연관성이 있습니다(가환성이 아닙니다).
산술에서, 실수의 덧셈과 곱셈은 연관성이 있다.
$(\displaystyle\왼쪽).{cap{cap}(x+y)+z=x+(y+z)=x(y,z)=x,y,z\qquad \qquad \qquad \caps \caps \\\,\end{cap}\right\}{\mbox{for }x,y\mathbbps}\x,\mathbbbbin\x,\x\x\x,y\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\$
연관성을 위해 그룹 괄호는 모호하지 않게 생략할 수 있습니다.
사소한 연산 ∗ = (즉, 결과는 두 번째 인수에 관계없이 첫 번째 인수가 됩니다)는 연관성이 있지만 가환성이 없습니다.마찬가지로, 사소한 연산 ∘= (즉, 첫 번째 인수에 관계없이 결과는 두 번째 인수가 됩니다)는 연관성이 있지만 가환성이 아닙니다.
복소수와 4분의 1의 덧셈과 곱셈은 연관성이 있다.옥토니언의 추가도 연관성이 있지만 옥토니언의 곱셈은 연관성이 없습니다.
최대공약수와 최소공약수 배수는 동시에 작용합니다. $(\displaystyle\왼쪽).{\operatorname {gcd}(\operatorname {gcd}(x,y,z)=\operatorname {gcd}(x,\operatorname {gcd}(y,z))=\operatorname {gcd}(x,y,z)\\operatorname {lcm}(\operatorname {lcm}(x,y,z)=\operatorname {lcm}(x,\operatorname {lcm}(y,z)))\operatorname {lcm}(x,\operatorname {lcm}(y,z)=\operatorname {lcm}(x,y,z)\operatorname {lcm}(x,y,z\in \mathbb {Z}에 대해\mbox{\})$
집합의 교차점 또는 결합을 취합니다. $(\displaystyle\왼쪽).{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end {matrix}\right\}{\mbox {모든 세트}A, B, C.}$
M이 어떤 $집합$ 이고 S가 $M$ 에서 $M$ 까지의 모든 함수의 집합을 나타내는 $경우$ , S에서의 $함수$ 구성 연산은 연관성이 있다. $\displaystyle (f\g)\display h=f\display h(g\display h)=f\display h(g\display h)=f\display h(g\display h)\display h(g\display h)=f\dispart h(\mbox{mbox{})\in S.}$
조금 더 일반적으로, $4개$ 의 $세트$ $M$ , $N$ , P 및 Q가 주어졌을 때, $\to$ , : → 및 : →, $\displaystyle (f\display g)\display h=f\display h(g\display h)=f\display g\display h}$ 종전과 같이요컨대 지도의 구성은 항상 연관성이 있다.
범주론에서 형태론의 구성은 정의에 따라 연관성이 있다.함수의 연관성과 자연적 변환은 형태론의 연관성에서 비롯된다.
A, $B$ , $C$ 의 3가지 요소가 있는 세트를 검토합니다.다음의 조작:

× $A$ $B$ $C$

$A$ $A$ $A$ $A$

$B$ $A$ $B$ $C$

$C$ $A$ $A$ $A$
연관성이 있습니다.따라서 예를 들어 () $= A B C$ () = 와 $B C$ 같이 됩니다. 이 연산은 교환 연산이 아닙니다.
행렬은 선형 함수를 나타내고 행렬 곱셈은 함수 구성을 나타내기 때문에 행렬 곱셈은 ^[3]연관성이 있다는 결론을 즉시 내릴 수 있습니다.
실수(및 완전히 순서가 매겨진 집합)의 경우 최소 및 최대 동작은 관련지어집니다. $\displaystyle \max(a,\max(b,c)=\max(\max(a,b,c)\displays \text{ 및 }}\displays \min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b,c).}$

명제논리

교환 규칙

표준 진실에서 기능적 명제 논리, ^[4]^[5]연관성 또는 연관성은^[6] 치환의 두 가지 유효한 규칙이다.이 규칙에 의해 논리 증명에서 논리 표현식의 괄호를 이동할 수 있습니다.규칙(논리 접속 표기법 사용)은 다음과 같습니다.

\displaystyle(P\lor(Q\lor R))\왼쪽 화살표 ((P\lor Q)\lor R)}

그리고.

\displaystyle(P\land(Q\land R))\왼쪽 화살표((P\land Q)\land R),}

여기서 " ${\$ \ $displaystyle$ \ $Leftright$ arrow $\Leftrightarrow$ "는 "증거에서 대체할 수 있다"를 나타내는 금속학적 기호입니다.

실제 기능 연결

연관성은 진실함수적 명제논리의 논리적 연결의 특성이다.다음 논리적 동등성은 연관성이 특정 연결의 속성임을 나타냅니다.다음은 $(\leftrightarrow$ 가 가환적이기 때문에) 진실 함수 ^{[citation needed]}동어법입니다.

분리의 연관성: $((P\lor Q)\lor R)\left right arrow (P\lor (Q\lor R))}$
결합의 연관성: $\ displaystyle ( ( P \ land Q ) \ left right arrow ( P \ land ( Q \ land R ) ) 。$
등가의 연관성: $\ displaystyle ( ( P \ left right arrow Q ) \ left right arrow ( Q \ left right arrow R ) 。$

공동 거부는 연관성이 없는 진실 함수 연결의 예입니다.

비관련 작업

집합 S에서 관련 법칙을 충족하지 않는 이진 연산 $*$ δ(\ $displaystyle *)$ 를 $*$ 비관련 연산이라고 합니다.상징적으로

\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {mbox{일부}x,y,z\in S.}

이러한 수술에서는 평가 순서가 중요하다.예를 들어 다음과 같습니다.

뺄셈: $(5-3)-2,\neq,5-(3-2)$
나누기: $(4/2)/2,\neq \,4/(2/2)$
지수화: $\displaystyle 2^{(1^{2}),\neq \,(2^{1})^{2}$
벡터 크로스 곱: $\displaystyle {times \mathbf {i} \times \mathbf {j} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} \times \mathbf {i} \times \mathbf {i} \mathbf {0j} \times$

또한 덧셈은 유한합에 연관성이 있지만 무한합(계열) 내부에는 연관성이 없습니다.예를들면,

(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\display = 0

반면에.

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\display = 1.

일부 비연관 연산은 수학에서 기본이다.그것들은 종종 덧셈과 스칼라 곱셈을 가진 비연관 대수라고 불리는 구조에서 곱셈으로 나타난다.예를 들어 팔분수와 리 대수가 있다.리 대수에서, 곱셈은 연관 법칙 대신 야코비 항등식을 만족시킨다; 이것은 극소 변환의 대수적 특성을 추상화 할 수 있게 해준다.

다른 예로는 퀘이조, 퀘이실드, 비연관환 및 가환 비연관 마그마가 있다.

부동 소수점 계산의 비관련성

수학에서, 실수의 덧셈과 곱셈은 연관성이 있다.반면 컴퓨터 과학에서는 서로 다른 크기의 값이 ^[7]결합될 때 반올림 오차가 발생하기 때문에 부동소수점수의 덧셈과 곱셈은 연관성이 없다.

이를 설명하기 위해 4비트 가수에 의한 부동소수점 표현을 검토합니다.

(1₂.000×2⁰ + 1.000₂×2⁰) + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.001₂×2⁴

1.000₂×2⁰ + (1₂.000×2⁰ + 1.000₂×2⁴) = 1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2⁴

대부분의 컴퓨터가 24비트 또는 53비트의 ^[8]변수로 계산하지만 이는 반올림 오류의 중요한 원천이며 Kahan Summary 알고리즘과 같은 접근방식은 오류를 최소화하는 방법입니다.병렬 ^[9]^[10]컴퓨팅에서는 특히 문제가 발생할 수 있습니다.

비관련 연산의 표기법

일반적으로 표현식에 비관련 연산이 여러 번 표시될 경우 괄호를 사용하여 평가 순서를 나타내야 합니다(표기가 ${\dfrac {2}{3/4}}$ 3/ $(\$ {2 $}{3/4}}$ ${\dfrac {2}{3/4}}$ )).그러나 수학자들은 몇 가지 일반적인 비연관 연산에 대한 특정한 평가 순서에 동의합니다.이것은 단순히 괄호를 피하기 위한 표기 규칙입니다.

좌연산이란 일반적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 평가되는 비연산 연산이다.

(\displaystyle\왼쪽).\w*x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \qquad \param,\w*x*y=((w*x)*y)*z\param \{\mbox{ 등}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\,\end {matrix}\right\}{모든 }w,x,y,z\in S}에 대해\mbox{\}

오른쪽 관련 연산은 일반적으로 오른쪽에서 왼쪽으로 평가됩니다.

(\displaystyle\왼쪽).\syslog{x*y*z=x*(y*z)\qquad\qquad\syslog\,\w*x*y*z=w*(x*z)\syslog\{\mbox{etc}.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\,\end {matrix}\right\}{모든 }w,x,y,z\in S}에 대해\mbox{\}

왼쪽 어소시에이션 조작과 오른쪽 어소시에이션 조작이 모두 실행됩니다.좌측 관련 조작에는 다음이 포함됩니다.

실수의^[11]^[12]^[13]^[14]^[15] 뺄셈과 나눗셈: $x-y-z=(x-y)-z$; $x/y/z=(x/y)/z$
기능 응용 프로그램: $(f,x,y)=(f,x,y)$

이 표기법은 부분적인 적용을 가능하게 하는 카레링 동형사상에 의해 동기 부여될 수 있다.

오른쪽 어소시에이션 조작에는,

위첨자 표기법에서의 실수 지수화: $(\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})})$
반복적인 좌연관식 지수 연산은 거의 쓸모가 없기 때문에 일반적으로 괄호 또는 우연관식으로 사용됩니다.반복된 파워는 대부분 곱셈으로 고쳐 씁니다.; ${\displaystyle(x^{y})^{z}=x^{(yz)}}$
올바른 포맷을 지정하면 위 첨자는 본질적으로 괄호 세트로 동작합니다.예를 들어 식 $x$ + $2^{x+3}$ { $2^{(x+3)}$ $style$ 2 $^$ { x $2^{x+3}$ + 3 $2^{x+3}$ } 에서는 명시적인 $2^{(x+3)}$ 2 ( $2^{(x+3)}$ + $3$ { $display style$ 2 ^ { ( $x$ + 3 $2^{(x+3)}$ )} } } around around around around around the the the the the the the the the the the 。 $x^{y^{z}}$ x y $x^{y^{z}}$ (\ $displaystyle x^{y^{z$ 와 $x^{y^{z}}$ 식에 따라 x $(\displaystyle$ x $)$ 의 $x$ 완전 $y^{z}$ y(\ $displaystyle y^{$ z $y^{z}$ })가 먼저 평가됩니다.단, 특히 필기에서 x ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ z ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ ( ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ y ) ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ { $style {x^{y}$ = ( $x^{y})^{$ $z$ ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ = $x^{yz}=x^{(yz)}$ ( $x^{yz}=x^{(yz)}$ ) $x$ ( $yz$ ) = x y $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ ( $yz )$ = x $x^{yz}=x^{(yz)}$ y z $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ = x ( x $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ ) （ yz $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ ） } 、 $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ $yyzyle$ = x y $xstylestyle$ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ x이 경우, 일반적으로 오른쪽 연관성이 암시됩니다.
함수 정의: $\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} = \mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )$; $\displaystyle x\mapsto y\mapsto x=x\mapsto (y\mapsto x-y)}$
이러한 연산에 오른쪽 연관 표기법을 사용하는 것은 Curry-Howard 대응 및 Currying 동형사상에 의해 동기 부여될 수 있습니다.

기존의 평가 순서가 정의되지 않은 비연관 운영에는 다음이 포함된다.

infix^[16] 표기법에서의 실수 지수화: $\displaystyle (x^{\display }y)^{\display }z\neq x^{\display }(y^{\display }z)$
크누스의 위 화살표 연산자: $\displaystyle a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c}$; $\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c}$
세 벡터의 교차곱을 취한다.: ${\displaystyle {a}\times {\vec {b}\times {vec {a}\times {b}\neq}\times {vec {b}}\qquad {mbox{\vec {a}}, {\vec {c}\c}\mathbbb}\mathbbbbin {\c}\x}\rb}\xc}\ne}\nec}\x$
실수의 쌍별 평균 취하기: ${\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2)\neq {x+(y+z)/2\over 2)\qquad {mbox{모든}x,y,z\in \mathbb {R}{mbox{ with }x\neq z}}}.$
세트의 상대적 보완을 취합니다.: $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ ) $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ \ $displaystyle ( A$ \ $backslash$ B $)$ \ $backslash$ C \ $neq$ A \ $backslash ( B$ \ $backslash$ C ) } $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$
(논리적으로 재료 비복제 비교)

역사

윌리엄 로완 해밀턴은 존 T.^[18] 그레이브스로부터 배운 8진수의 비연관대수를 고민하던 1844년경에 "연관성"^[17]이라는 용어를 만든 것으로 보인다.

「」를 참조해 주세요.

빛의 연관성 테스트
텔레스코핑 시리즈, 무한 급수에서 항을 취소하기 위한 추가 연관성 사용
반군은 연관성 이진 연산을 가진 집합입니다.
교환성과 분포성은 이진 연산의 다른 두 가지 자주 논의되는 특성입니다.
힘의 연관성, 대체성, 유연성 및 N-ary 연관성은 약한 형태의 연관성입니다.
Moufang 정체성은 또한 약한 형태의 연관성을 제공한다.

레퍼런스

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[11] 조지 마크 버그만 "산술 연산 순서"

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