교환속성
Commutative property![]() | |
유형 | 소유물 |
---|---|
들판 | 대수학 |
진술 | 피연산자의 순서를 변경해도 결과가 변경되지 않으면 이진 연산이 상용화됩니다. |
기호명세서 |
수학에서 피연산자의 순서를 변경해도 결과가 변경되지 않는 경우 이진 연산은 교환 연산입니다.이것은 많은 이진 연산의 기본적인 성질이며, 많은 수학적 증명들이 이것에 의존합니다."3 + 4 = 4 + 3" 또는 "2 × 5 = 5 × 2"와 같은 속성 이름으로 가장 친숙한 속성은 보다 고급 설정에서도 사용할 수 있습니다.분할 및 뺄셈과 같은 연산이 존재하지 않기 때문에(예: "3 - 5 ≠ 5 - 3"), 이러한 연산은 상호호환적이지 않으므로 비호환적 연산이라고 합니다.숫자의 곱셈과 덧셈과 같은 단순한 연산이 교환적이라는 생각은 수년간 암묵적으로 가정되어 왔습니다.따라서, 이 속성은 수학이 공식화되기 시작한 19세기 전까지는 이름이 지어지지 않았습니다.[1][2]이항 관계에도 비슷한 성질이 있습니다. 이항 관계는 피연산자의 순서에 상관없이 관계가 적용되면 대칭이라고 합니다. 예를 들어, 등호 관계는 두 개의 등호 수학적 대상이 순서에 관계없이 동일하므로 대칭입니다.[3]
수학적 정의
집합 S의 이진 연산 ∗ 을(를) commutative라고 합니다.
하나는 x가 y와 통근하거나 x와 y가∗ 아래에서 통근한다고 말합니다.
예
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Commutative_Addition.svg/220px-Commutative_Addition.svg.png)
교환 연산
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Vector_Addition.svg/220px-Vector_Addition.svg.png)
- 덧셈과 곱셈은 대부분의 수 체계에서 호환적이며, 특히 자연수, 정수, 유리수, 실수와 복소수 사이에서 호환적입니다.이것은 또한 모든 분야에서 사실입니다.
- 덧셈은 모든 벡터 공간과 모든 대수에서 호환적입니다.
- 결합과 교집합은 집합에 대한 교호작용입니다.
- "그리고"와 "또는"은 교환 논리 연산입니다.
비상호업무
비상호화 바이너리 연산:[6]
나눗셈, 뺄셈, 지수화
뺄셈은 - ≠ - 이므로 비상호적이지만- =-(- ) =-(1 - 0이므로 비상호적으로 더 정확하게 분류됩니다
는 ≠ 3 2 이기 때문에 비상호적입니다 이 속성은 지수화의 두 가지 "역" 연산(즉, n번째 루트 연산과 로그 연산)으로 이어지는데, 이는 곱셈과 다릅니다.
진리함수
피연산자의 순서를 변경할 때 함수에 대한 진리표가 다르기 때문에 일부 진리 함수는 비상호적입니다.예를 들어, (A ⇒ B) = (A ¬ B) 및 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬ B)에 대한 진리표는
A B A ⇒ B B⇒A F F T T F T T F T F F T T T T T
선형함수의 함수구성
실수에서 실수로의 선형 함수의 함수 구성은 거의 항상 비상호적입니다.예를 들어 ( )= x+ ) = 2 + 1이고 ( x )= 3 + ) = 이라고 합니다그리고나서
그리고.
이는 벡터 공간에서 자신으로의 선형 및 아핀 변환에도 더 일반적으로 적용됩니다(행렬 표현은 아래 참조).
행렬 곱셈
제곱 행렬의 행렬 곱셈은 거의 항상 비상호적입니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
벡터곱
3차원에서 두 벡터의 벡터곱(또는 교차곱)은 반치환적입니다. 즉, b × a = -(a × b).
역사와 어원
교환물의 암묵적인 사용에 대한 기록은 고대로 거슬러 올라갑니다.이집트인들은 컴퓨팅 제품을 단순화하기 위해 곱셈의 교환 특성을 사용했습니다.[7][8]유클리드는 그의 책 Elements에서 곱셈의 교환적인 성질을 가정한 것으로 알려져 있습니다.[9]교환적 성질의 공식적인 사용은 수학자들이 함수에 대한 이론을 연구하기 시작한 18세기 말과 19세기 초에 생겨났습니다.오늘날 교환적 성질은 수학의 대부분 분야에서 잘 알려져 있고 기본적인 성질입니다.
1814년 프랑수아 세르부아(François Servois)의 회고록에서 '대체'라는 용어를 처음 사용한 것으로 기록되어 있는데,[1][10] 이는 현재 '대체 속성'이라고 불리는 기능을 설명할 때 '대체'라는 단어를 사용했습니다.이 단어는 "대체 또는 전환"을 의미하는 프랑스어 통근자와 접미사 "경향"을 의미하는 -atative의 합성어이므로 이 단어는 문자 그대로 "대체 또는 전환하는 경향"을 의미합니다.그 용어는 1838년 [2]던컨 파콰슨 그레고리의 "상징 대수의 실제 특성에 관하여"라는 제목의 글에서 1840년 에든버러 왕립학회의 거래에 발표되었습니다.[11]
명제논리학
변환규칙 |
---|
명제 연산 |
추론 규칙 |
교체규칙 |
술어논리 |
추론 규칙 |
교체규칙
진리함수 명제 논리학에서, 치환([12][13]cutation) 또는 치환(cutation[14])은 두 개의 유효한 치환 규칙을 말합니다.이 규칙은 논리적 증명에서 논리식 내의 명제 변수를 바꿀 수 있게 해줍니다.규칙은 다음과 같습니다.
그리고.
여기서 ⇔ \Left arrow는 "증명에서 대체할 수 있음"을 나타내는 금속학적 기호입니다.
Truth 기능성 연결 장치
교환성은 진리 함수 명제 논리의 논리적 연결체의 속성입니다.다음의 논리적 동치는 교환성이 특정 연결체의 속성임을 보여줍니다.다음은 진리함수 튜터링입니다.
- 접속의 교환성
- 교번성
- 의미의 교환성(순열의 법칙이라고도 함)
- 등가의 교환성(등가의 완전한 교환 법칙이라고도 함)
집합론
군론과 집합론에서, 많은 대수적 구조들은 특정 피연산자들이 치환 성질을 만족시킬 때 치환이라고 불립니다.분석 및 선형 대수학과 같은 고등 수학 분야에서는 잘 알려진 연산(예를 들어 실수와 복소수의 덧셈 및 곱셈)의 교환성이 증명에 자주 사용됩니다(또는 암묵적으로 가정됨).[15][16][17]
수학적 구조와 교환성
- 치환반군은 총합, 연상 및 치환 연산을 가진 집합입니다.
- 만약 작업에 아이덴티티 요소가 추가적으로 존재한다면, 우리는 치환 모노이드가 있습니다.
- 아벨리안 군(abelian group) 또는 치환군은 치환군의 연산이 치환군인 군입니다.[16]
- 가환환은 곱하기가 가환인 환을 말합니다. (환 안의 덧셈은 항상 가환입니다.)[18]
- 어떤 분야에서 덧셈과 곱셈은 모두 교환적입니다.[19]
관련속성
연상성
연관성은 교환성과 밀접한 관련이 있습니다.두 개 이상의 동일한 연산자가 포함된 식의 연관성은 항의 순서가 변하지 않는 한 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다.이와는 대조적으로, 교호적 속성은 항의 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않는다고 말합니다.
실제로 경험하는 대부분의 교환 연산은 연관성도 있습니다.그러나 교환성이 연상성을 의미하는 것은 아닙니다.반대되는 예로는 함수가 있습니다.
(예를 들어, (- 4 ( += - {\ f(- f +4))= - 이지만 (- 0+ ) =+ f ( -4, ), + 4 )= + 1 {\ f (f (- 0 +4) = +더 많은 그러한 예들은 대체 비연관성 마그마에서 발견될 수 있습니다.또한 연관성이 교환성을 의미하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 쿼터니언이나 행렬의 곱셈은 항상 연관성이 있지만 항상 교환성이 있는 것은 아닙니다.
분배
대칭성
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Symmetry_Of_Addition.svg/200px-Symmetry_Of_Addition.svg.png)
어떤 형태의 대칭은 교환성과 직접적으로 연결될 수 있습니다.교호 을 이진 함수 = ( y), {\z = f ( 로 쓸 때, 이 함수는 대칭 함수라고 불리고, 3차원 공간에 있는 함수의 그래프는 평면 = y = x에 대칭입니다 예를 들어, 함수 f 를 ( x ) = x+ f ( 로 정의하면이면 f는 대칭 함수입니다.
관계의 경우 대칭 관계는 R이 대칭인 ⇔ {\Left 인 교환 연산과 유사합니다
양자역학의 비통근 연산자
슈뢰딩거가 공식화한 양자역학에서 물리적 변수는 x에 곱한다는 의미), d d x {\과 같은 선형 연산자로 표현됩니다이 두 연산자는 파동 함수 ψ 및 연산자의 곱이라고도 함)의 의 효과를 고려하면 알 수 있듯이 통근하지 않습니다
하이젠베르크의 불확정성 원리에 따르면, 만약 한 쌍의 변수를 나타내는 두 개의 연산자가 통근하지 않는다면, 그 한 쌍의 변수는 상호 보완적이며, 이는 동시에 측정되거나 정확하게 알 수 없다는 것을 의미합니다.예를 들어, - 입자 방향의 위치와 선형 운동량은 각각연산자 및- ℏ ∂ ∂ 여기서 ℏ }는플랑크 상수 감소)로 표시됩니다.이것은 상수 - ℏ 를 제외하고는 동일한 예이므로다시 연산자가 출퇴근하지 않으며 물리적 의미는 주어진 방향의 위치와 선형 운동량이 상보적이라는 것입니다.
참고 항목
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Wiktionary-logo-en-v2.svg/40px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png)
- 역가환성
- 센트럴라이저 및 정규화기(커뮤터라고도 함)
- 가환도
- 교환(신경생리학)
- 정류자
- 평행사변형 법칙
- 입자 통계(물리학의 교환성)
- 페아노의 공리가 자연수의 덧셈의 교환성을 의미한다는 증거
- 준환속성
- 흔적모노이드
- 출퇴근확률
메모들
- ^ a b 카빌론 & 밀러, 교환 및 분배
- ^ a b Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, eds. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. p. 4. ISBN 9780191627941.
- ^ Weisstein, Eric W. "Symmetric Relation". MathWorld.
- ^ 크론, 페이지 1
- ^ Weisstein, 통근, p. 1
- ^ 야크, 페이지 1
- ^ Lumpkin 1997, 페이지 11
- ^ 게이 앤 슈트 1987
- ^ 오코너 & 로버트슨 리얼 넘버즈
- ^ 오코너 & 로버트슨, 서부아
- ^ Gregory, D. F. (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216.
- ^ 무어와 파커
- ^ 코피 & 코헨 2005
- ^ 헐리 앤 왓슨 2016
- ^ Axler 1997, 페이지 2
- ^ a b 갈리안 2006, 페이지 34
- ^ 갈리안 2006, 페이지 26, 87
- ^ 갈리안 2006, 페이지 236
- ^ 갈리안 2006, 페이지 250
참고문헌
책들
- Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- 추상대수론.그 맥락에서 교환성을 다룹니다.책 전체에 속성을 사용합니다.
- Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
- Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
- 선형대수론.1장에서 교환성을 설명하고, 그것을 전체적으로 사용합니다.
- Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
- 추상대수론.책 전체에 걸쳐 교환성 속성을 사용합니다.
- Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.
기사들
- Lumpkin, B. (1997). "The Mathematical Legacy of Ancient Egypt – A Response To Robert Palter" (PDF) (Unpublished manuscript). Archived from the original (PDF) on 13 July 2007.
- 고대 문명의 수학적 능력을 설명하는 글
- Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4.
- 린드 수학 파피루스의 번역과 해석
온라인 리소스
- "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- 크론, 아론, 플래닛 수학의 커뮤터티브, 2007년 8월 8일 접속.
- 교환성의 정의 및 교환 연산의 예
- Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld.2007년 8월 8일 Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld.접속.
- 출퇴근이란 용어에 대한 설명
- 2007년 8월 8일 액세스된 Planet Math.에서의 비호환적 "Yark".운영의 예
- 일부 비상호화 작업을 증명하는 예제
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "History of real numbers". MacTutor. Retrieved 8 August 2007.
- 실수의 역사를 알려주는 기사
- Cabillón, Julio; Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Mathematical Terms". Retrieved 22 November 2008.
- 수학 용어의 가장 초기 사용을 다루는 페이지
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "biography of François Servois". MacTutor. Archived from the original on 2 September 2009. Retrieved 8 August 2007.
- 그 용어를 처음 사용한 프랑수아 세르부아의 전기