교환속성

교환속성

유형	소유물
들판	대수학
진술	피연산자의 순서를 변경해도 결과가 변경되지 않으면 이진 연산이 상용화됩니다.
기호명세서	${\displaystyle x*y=y*x\quad \모든 x,y\in S.}$

수학에서 피연산자의 순서를 변경해도 결과가 변경되지 않는 경우 이진 연산은 교환 연산입니다.이것은 많은 이진 연산의 기본적인 성질이며, 많은 수학적 증명들이 이것에 의존합니다."3 + 4 = 4 + 3" 또는 "2 × 5 = 5 × 2"와 같은 속성 이름으로 가장 친숙한 속성은 보다 고급 설정에서도 사용할 수 있습니다.분할 및 뺄셈과 같은 연산이 존재하지 않기 때문에(예: "3 - 5 ≠ 5 - 3"), 이러한 연산은 상호호환적이지 않으므로 비호환적 연산이라고 합니다.숫자의 곱셈과 덧셈과 같은 단순한 연산이 교환적이라는 생각은 수년간 암묵적으로 가정되어 왔습니다.따라서, 이 속성은 수학이 공식화되기 시작한 19세기 전까지는 이름이 지어지지 않았습니다.^[1][2]이항 관계에도 비슷한 성질이 있습니다. 이항 관계는 피연산자의 순서에 상관없이 관계가 적용되면 대칭이라고 합니다. 예를 들어, 등호 관계는 두 개의 등호 수학적 대상이 순서에 관계없이 동일하므로 대칭입니다.^[3]

수학적 정의

집합 S의 이진 연산 ∗ ${\displaystyle *}$을(를) commutative라고 합니다.

위 속성을 만족하지 않는 연산을 비상호화 연산이라고 합니다.

하나는 x가 y와 통근하거나 x와 y가$$∗ ${\displaystyle *}$ 아래에서 통근한다고 말합니다.

즉, 두 요소가 모두 통근하는 경우 연산은 통근형입니다.

예

교환 연산

• 덧셈과 곱셈은 대부분의 수 체계에서 호환적이며, 특히 자연수, 정수, 유리수, 실수와 복소수 사이에서 호환적입니다.이것은 또한 모든 분야에서 사실입니다.
• 덧셈은 모든 벡터 공간과 모든 대수에서 호환적입니다.
• 결합과 교집합은 집합에 대한 교호작용입니다.
• "그리고"와 "또는"은 교환 논리 연산입니다.

비상호업무

비상호화 바이너리 연산:^[6]

나눗셈, 뺄셈, 지수화

$분할$은 1 ÷ ${\displaystyle 2}$ ≠ ${\displaystyle 2}$ ÷ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$이므로 비상호적입니다$.$

뺄셈은 $0$ -${\displaystyle 1}$ ≠ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$이므로 비상호적이지만$$$0{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ =${\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle 0-1$=-(1 - 0$)}$이므로 비상호적으로 더 정확하게 분류됩니다$.$

${\displaystyle {}^{}}$는 ${\displaystyle {23}^{}}$ ≠ 3 2 ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$이기 때문에 비상호적입니다$.$ 이 속성은 지수화의 두 가지 "역" 연산(즉, n번째 루트 연산과 로그 연산)으로 이어지는데, 이는 곱셈과 다릅니다.

진리함수

피연산자의 순서를 변경할 때 함수에 대한 진리표가 다르기 때문에 일부 진리 함수는 비상호적입니다.예를 들어, (A ⇒ B) = (A ¬ B) 및 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬ B)에 대한 진리표는

A	B	A ⇒ B	B⇒A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

선형함수의 함수구성

실수에서 실수로의 선형 함수의 함수 구성은 거의 항상 비상호적입니다.예를 들어 $f$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x$) = 2 ${\displaystyle x}$$$+ 1$}$이고 $g{\displaystyle }$( x )${\displaystyle }$= 3 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle g(x$) = $3x+7}$이라고 합니다$.$그리고나서

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

그리고.

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

이는 벡터 공간에서 자신으로의 선형 및 아핀 변환에도 더 일반적으로 적용됩니다(행렬 표현은 아래 참조).

행렬 곱셈

제곱 행렬의 행렬 곱셈은 거의 항상 비상호적입니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\0&1\end{bmatrix}}\neq{\begin{bmatrix}0&1\0&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\0&1\end{bmatrix}}$

벡터곱

3차원에서 두 벡터의 벡터곱(또는 교차곱)은 반치환적입니다. 즉, b × a = -(a × b).

역사와 어원

교환물의 암묵적인 사용에 대한 기록은 고대로 거슬러 올라갑니다.이집트인들은 컴퓨팅 제품을 단순화하기 위해 곱셈의 교환 특성을 사용했습니다.^[7][8]유클리드는 그의 책 Elements에서 곱셈의 교환적인 성질을 가정한 것으로 알려져 있습니다.^[9]교환적 성질의 공식적인 사용은 수학자들이 함수에 대한 이론을 연구하기 시작한 18세기 말과 19세기 초에 생겨났습니다.오늘날 교환적 성질은 수학의 대부분 분야에서 잘 알려져 있고 기본적인 성질입니다.

1814년 프랑수아 세르부아(François Servois)의 회고록에서 '대체'라는 용어를 처음 사용한 것으로 기록되어 있는데,^[1][10] 이는 현재 '대체 속성'이라고 불리는 기능을 설명할 때 '대체'라는 단어를 사용했습니다.이 단어는 "대체 또는 전환"을 의미하는 프랑스어 통근자와 접미사 "경향"을 의미하는 -atative의 합성어이므로 이 단어는 문자 그대로 "대체 또는 전환하는 경향"을 의미합니다.그 용어는 1838년 ^[2]던컨 파콰슨 그레고리의 "상징 대수의 실제 특성에 관하여"라는 제목의 글에서 1840년 에든버러 왕립학회의 거래에 발표되었습니다.^[11]

명제논리학

변환규칙
명제 연산
추론 규칙
시사점 소개/제거(modus ponens) 바이컨디션 도입/탈락 접속부 도입/탈락 해체도입/제거 접속사/가설 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌/모더스 포넨도 톨렌 부정서론
교체규칙
연상성 교환성 분배율 이중부정 드 모르간의 법칙 전치 물질적 함의 내보내기 토우톨로지
술어논리
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴스화 실존적 일반화 / 인스턴스화

교체규칙

진리함수 명제 논리학에서, 치환(^[12][13]cutation) 또는 치환(cutation^[14])은 두 개의 유효한 치환 규칙을 말합니다.이 규칙은 논리적 증명에서 논리식 내의 명제 변수를 바꿀 수 있게 해줍니다.규칙은 다음과 같습니다.

${\displaystyle(P\lor Q)\왼쪽 오른쪽 화살표(Q\lor P)}$

그리고.

${\displaystyle(P\land Q)\왼쪽 오른쪽 화살표(Q\land P)}$

여기서 $$⇔ ${\displaystyle$\Left $right$ arrow$\}"$는 "증명에서 대체할 수 있음"을 나타내는 금속학적 기호입니다.

Truth 기능성 연결 장치

교환성은 진리 함수 명제 논리의 논리적 연결체의 속성입니다.다음의 논리적 동치는 교환성이 특정 연결체의 속성임을 보여줍니다.다음은 진리함수 튜터링입니다.

접속의 교환성

${\displaystyle(P\land Q)\왼쪽 오른쪽 화살표(Q\land P)}$

교번성

${\displaystyle(P\lor Q)\왼쪽 오른쪽 화살표(Q\lor P)}$

의미의 교환성(순열의 법칙이라고도 함)

${\displaystyle {\big(}P\to(Q\toR){\big)}\왼쪽 오른쪽 화살표 {\big(}Q\to(P\toR){\big)}$

등가의 교환성(등가의 완전한 교환 법칙이라고도 함)

${\displaystyle(P\left 오른쪽 화살표 Q)\left 오른쪽 화살표(Q\left 오른쪽 화살표 P)}$

집합론

군론과 집합론에서, 많은 대수적 구조들은 특정 피연산자들이 치환 성질을 만족시킬 때 치환이라고 불립니다.분석 및 선형 대수학과 같은 고등 수학 분야에서는 잘 알려진 연산(예를 들어 실수와 복소수의 덧셈 및 곱셈)의 교환성이 증명에 자주 사용됩니다(또는 암묵적으로 가정됨).^[15][16][17]

수학적 구조와 교환성

• 치환반군은 총합, 연상 및 치환 연산을 가진 집합입니다.
• 만약 작업에 아이덴티티 요소가 추가적으로 존재한다면, 우리는 치환 모노이드가 있습니다.
• 아벨리안 군(abelian group) 또는 치환군은 치환군의 연산이 치환군인 군입니다.^[16]
• 가환환은 곱하기가 가환인 환을 말합니다. (환 안의 덧셈은 항상 가환입니다.)^[18]
• 어떤 분야에서 덧셈과 곱셈은 모두 교환적입니다.^[19]

관련속성

연상성

연관성은 교환성과 밀접한 관련이 있습니다.두 개 이상의 동일한 연산자가 포함된 식의 연관성은 항의 순서가 변하지 않는 한 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다.이와는 대조적으로, 교호적 속성은 항의 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않는다고 말합니다.

실제로 경험하는 대부분의 교환 연산은 연관성도 있습니다.그러나 교환성이 연상성을 의미하는 것은 아닙니다.반대되는 예로는 함수가 있습니다.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$

(예를 들어, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 4${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 0,}$ +${\displaystyle 4))}$= - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ f$$(-$4,$ f $(0,$ +4))$$= - $1$이지만 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 4,}$ 0${\displaystyle ),}$+ ${\displaystyle 4}$ ) =${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ f ( -${\displaystyle }$4, ${\displaystyle 0}$ ), + 4 )${\displaystyle }$= + 1 {\$displaystyle$ f (f (-$4,$ 0$),$ +4) = +$1}.$더 많은 그러한 예들은 대체 비연관성 마그마에서 발견될 수 있습니다.또한 연관성이 교환성을 의미하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 쿼터니언이나 행렬의 곱셈은 항상 연관성이 있지만 항상 교환성이 있는 것은 아닙니다.

분배

대칭성

어떤 형태의 대칭은 교환성과 직접적으로 연결될 수 있습니다.교호 $연산$을 이진 함수 ${\displaystyle z}$ =${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x,}$ y$$), {\$displaystyle$z = f ($x,y),}$ 로 쓸 때, 이 함수는 대칭 함수라고 불리고, 3차원 공간에 있는 함수의 그래프는 평면 $y$ = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$y = x$}$에 대칭입니다$.$ 예를 들어, 함수 f 를 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$) = x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ f ($x)$ 로 정의하면$,$$y)=x+y}$이면 $f$ ${\displaystyle$ f$}$는 대칭 함수입니다.

관계의 경우 대칭 관계는 R이 대칭인 $경우$ ${\displaystyle \mathrm{Rb}}$ ⇔ ${\displaystyle \mathrm{Ra}}${\$displaystyle aRb\$Left $rightarrow bRa}$인 교환 연산과 유사합니다$.$

양자역학의 비통근 연산자

슈뢰딩거가 공식화한 양자역학에서 물리적 변수는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}($$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에 곱한다는 의미),$$ d d x {\$$$textstyle {\frac {d}{dx}}$과 같은 선형 연산자로 표현됩니다$.$이 두 연산자는 $1차원$ 파동 함수 ψ$x) {\dextstyle$ $x{\frac {d}{$$dx$$}}$ 및 $\frac{d}{}$ $\frac{}{}$ ${\textstyle {d}{dx}}($연산자의 곱이라고도 함)의 $구성$의 효과를 고려하면 알 수 있듯이 통근하지 않습니다$.$

${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x\cdot \psi '\neq \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} x} \over \mathrm {d}\left(x\cdot \psi \right)}$

하이젠베르크의 불확정성 원리에 따르면, 만약 한 쌍의 변수를 나타내는 두 개의 연산자가 통근하지 않는다면, 그 한 쌍의 변수는 상호 보완적이며, 이는 동시에 측정되거나 정확하게 알 수 없다는 것을 의미합니다.예를 들어, $x$ ${\displaystyle x}$ - 입자 방향의 위치와 선형 운동량은 각각$$연산자 $x$ ${\displaystyle x}$ 및$$- ${\displaystyle i}$ ℏ ∂ ∂ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}($여기서 ℏ ${\displaystyle \hbar$}는$$플랑크 상수 감소)로 표시됩니다.이것은 상수 -${\displaystyle i}$ ℏ ${\displaystyle -i\hbar}$를 제외하고는 동일한 예이므로$$다시 연산자가 출퇴근하지 않으며 물리적 의미는 주어진 방향의 위치와 선형 운동량이 상보적이라는 것입니다.

참고 항목

• 역가환성
• 센트럴라이저 및 정규화기(커뮤터라고도 함)
• 가환도
• 교환(신경생리학)
• 정류자
• 평행사변형 법칙
• 입자 통계(물리학의 교환성)
• 페아노의 공리가 자연수의 덧셈의 교환성을 의미한다는 증거
• 준환속성
• 흔적모노이드
• 출퇴근확률

메모들

참고문헌

책들

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  추상대수론.그 맥락에서 교환성을 다룹니다.책 전체에 속성을 사용합니다.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  선형대수론.1장에서 교환성을 설명하고, 그것을 전체적으로 사용합니다.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

  추상대수론.책 전체에 걸쳐 교환성 속성을 사용합니다.

• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

기사들

• Lumpkin, B. (1997). "The Mathematical Legacy of Ancient Egypt – A Response To Robert Palter" (PDF) (Unpublished manuscript). Archived from the original (PDF) on 13 July 2007.

  고대 문명의 수학적 능력을 설명하는 글

• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4.

  린드 수학 파피루스의 번역과 해석

온라인 리소스

• "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 크론, 아론, 플래닛 수학의 커뮤터티브, 2007년 8월 8일 접속.

  교환성의 정의 및 교환 연산의 예

• Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld.2007년 8월 8일 Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld.접속.

  출퇴근이란 용어에 대한 설명

• 2007년 8월 8일 액세스된 Planet Math.에서의 비호환적 "Yark".운영의 예

  일부 비상호화 작업을 증명하는 예제

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "History of real numbers". MacTutor. Retrieved 8 August 2007.

  실수의 역사를 알려주는 기사

• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Mathematical Terms". Retrieved 22 November 2008.

  수학 용어의 가장 초기 사용을 다루는 페이지

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "biography of François Servois". MacTutor. Archived from the original on 2 September 2009. Retrieved 8 August 2007.

  그 용어를 처음 사용한 프랑수아 세르부아의 전기