자연수의 이론적 정의

Set-theoretic definition of natural numbers

세트 이론에서, 자연 숫자를 구성하기 위한 몇 가지 방법이 제안되었다. 여기에는 일반적으로 자명 집합 이론에 채택된 폰 노이만 서수들을 통한 표현과 고틀롭 프레지와 베르트랑 러셀에 의해 제안된 동일성에 기초한 시스템이 포함된다.

폰 노이만 서수로 정의

참고 항목: 제르멜로 서수

Zermelo-Fraenkel(ZF) 집합 이론에서 자연수는 각 n에 대해 0 = {}을(를) 빈 집합으로 하고 n + 1 = n ∪ {n}을(를) 놓아 재귀적으로 정의한다. 이러한 방식으로 n = 각 자연수 n에 대해 {0, 1, …, n - 1} 이 정의는 n이 n개의 요소로 구성된 속성이다. 이렇게 정의된 처음 몇 개의 숫자는 다음과 같다: (골드레이 1996).

자연수의 집합 N은 이 시스템에서 0을 포함하는 최소 집합으로 정의되며 S(n) = n defined {n}에 의해 정의된 후계 함수 S에 따라 폐쇄된다. 구조 ⟨N, 0, S⟩는 페아노 공리의 모델이다(골드레이 1996). 세트 N의 존재는 ZF 세트 이론에서 무한대의 공리와 동등하다.

세트 N과 그 요소들은, 이러한 방식으로 구성되었을 때, 폰 노이만 서수의 초기 부분이다.

프레지와 러셀

Gottlob Frege와 Bertrand Russell은 각각 자연수 n을 n개의 원소를 가진 모든 집합의 집합으로 정의할 것을 제안했다. 보다 공식적으로, 자연수는 등분율의 등가성 관계에 따른 유한 집합의 등가성 등급이다. 이 정의는 원형처럼 보일 수 있지만, 그렇지 않다. 예를 들어, 일 대 일 통신에 두 세트를 넣을 수 있으면 등분성이 동일하다고 말함으로써, 등분성이 다른 방식으로 정의될 수 있기 때문이다. 이것은 흄의 원칙이라고도 한다.

이 정의는 유형 이론에서, 그리고 유형 이론에서 나온 세트 이론에서, 예를 들어, 뉴 파운데이션이나 관련 시스템과 같이 작용한다. 그러나 이러한 시스템에서는 등가 등급이 집합이 아닌 적절한 등급이기 때문에 자명 집합 이론 ZFC나 특정 관련 시스템에서는 작동하지 않는다.

해처

윌리엄 S. 해처(1982)는 페아노의 공리를 ZFC와 범주이론을 포함한 몇 가지 기초 체계와 현대식 표기법과 자연 추론을 이용한 프레게의 그룬게세 데르 산술식 체계에서 유래한다. 러셀의 역설은 이 시스템이 일관성이 없다는 것을 증명했지만, 조지 볼로스(1998), 데이비드 J. 앤더슨과 에드워드 잘타(2004)는 이를 수리하는 방법을 보여준다.

참고 항목

참조

  • 앤더슨, D. J., 그리고 2004년 에드워드 잘타, "프레지, 볼로스, 논리 오브 철학적 논리학 저널 33: 1–26.
  • 조지 볼로스, 1998년 논리학, 논리학, 논리.
  • Goldrei, Derek (1996). Classic Set Theory. Chapman & Hall.
  • 해처, 윌리엄 S, 1982년 수학의 논리적 기초. 페르가몬. 이 본문에서 S는 페아노 공리를 가리킨다.
  • 홈즈, 랜들, 1998년 범용 집합이 있는 기본 집합 이론. 학계-브루얀트. 출판사는 이 소개서가 웹을 통해 NFU로 확산되는 것을 허용하기로 정중히 동의했다. 저작권은 보존되어 있다.
  • 패트릭 서피스, 1972년 (1960년) 자명 집합론. 도버.

외부 링크