정리

수학에서, 정리는 증명되었거나 ^[a][2][3]증명될 수 있는 진술이다.정리의 증명은 연역체계의 추론 규칙을 사용하여 정리가 공리와 이전에 증명된 이론의 논리적 결과라는 것을 증명하는 논리적인 주장이다.

수학의 주류에서, 공리와 추론 규칙들은 일반적으로 암묵적으로 남아있고, 이 경우, 그것들은 거의 항상 선택의 공리를 가진 체르멜로-프랭켈 집합 이론 또는 페아노 산술과 같은 덜 강력한 이론의 것이다.주목할 만한 예외는 페르마의 마지막 정리에 대한 와일스의 증명으로, 그 존재는 ^[b]집합론에 새로운 공리를 추가해야 하는 그로텐디크 우주를 포함한다.일반적으로, 명확하게 정리라고 불리는 주장은 다른 알려진 이론의 즉각적인 결과가 아닌 입증된 결과이다.게다가, 많은 저자들은 가장 중요한 결과만을 이론으로 인정하며, 덜 중요한 이론에는 보조명제, 명제, 그리고 결과라는 용어를 사용한다.

수학 논리학에서, 정리와 증명의 개념은 그것들에 대한 수학적 추론을 가능하게 하기 위해 공식화되었습니다.이 맥락에서 문장은 일부 공식 언어의 잘 형성된 공식입니다.이론은 공리라고 불리는 몇 가지 기본 진술과 몇몇 추론 규칙들로 구성됩니다.이론의 정리는 추론 ^[c]규칙을 사용하여 공리에서 도출할 수 있는 진술이다.이러한 공식화는 증명 이론으로 이어졌고, 증명 이론에서는 이론과 증명에 대한 일반적인 이론들을 증명할 수 있다.특히, 괴델의 불완전성 이론은 자연수를 포함하는 모든 일관된 이론이 이론의 이론이 아닌 자연수에 대한 참된 진술을 가지고 있다는 것을 보여준다.

공리들이 종종 물리 세계의 속성들의 추상화이기 때문에, 정리는 어떤 진실을 표현하는 것으로 여겨질 수 있지만, 실험적인 과학 법칙의 개념과 대조적으로, 정리의 진실의 정당성은 순수하게 ^[4][5]연역적이다.

정리와 진리

19세기말과 수학의 근본적인 위기까지, 모든 수학 이론은 자명한 것으로 여겨지는 몇 가지 기본적인 특성으로부터 만들어졌습니다. 예를 들어, 모든 자연수가 후계자를 가지고 있고, 두 개의 다른 점을 통과하는 선이 정확히 한 개 있다는 사실 말입니다.완전히 명백하다고 여겨지지 않은 그러한 기본적인 성질을 가정이라고 불렀다. 예를 들어 유클리드의 가정이다.모든 정리는 이러한 기본 특성을 암묵적으로 또는 명시적으로 사용함으로써 증명되었고, 이러한 기본 성질의 증거 때문에 증명된 정리는 증명에 오류가 없는 한 결정적인 진리로 간주되었다.예를 들어 삼각형의 내각 합계는 180°이며, 이는 명백한 사실로 간주되었다.

수학의 근본적인 위기의 한 측면은 어떤 모순도 초래하지 않는 비유클리드 기하학의 발견이었지만, 그러한 기하학에서 삼각형의 각도의 합은 180°와 다르다.그래서, "삼각형의 각도의 합은 180°이다"라는 속성은 유클리드의 가설이 가정되느냐에 따라 참이거나 거짓이다.마찬가지로 집합의 "명백한" 기본 특성을 사용하는 것은 러셀의 역설의 모순으로 이어진다.이 문제는 세트 조작에 허용되는 규칙을 상세하게 설명함으로써 해결되었습니다.

이 위기는 수학의 기초를 더 엄격하게 하기 위해 다시 살펴봄으로써 해결되었다.이러한 새로운 기초에서, 정리는 이론의 공리와 추론 규칙에서 증명될 수 있는 수학 이론의 잘 형성된 공식이다.따라서 삼각형의 각도의 합에 대한 위의 정리는 다음과 같다.유클리드 기하학의 공리와 추론 규칙에 따르면, 삼각형의 내부 각도의 합은 180°와 같다.마찬가지로, 공리화된 집합론에서, 모든 집합의 집합은 잘 형성된 공식으로 표현될 수 없기 때문에 러셀의 역설은 사라진다.더 정확히 말하면, 만약 모든 집합의 집합이 잘 형성된 공식으로 표현될 수 있다면, 이것은 이론이 일관성이 없다는 것을 의미하며, 모든 잘 형성된 주장과 그것의 부정은 정리이다.

이런 맥락에서, 정리의 유효성은 오직 증명의 정확성에 달려있다.그것은 진실이나 심지어 공리의 의의와는 무관하다.이것은 재미없는 공리의 의미가 아니라, 정리의 타당성이 공리의 의미와 독립적이라는 것을 의미한다.이러한 독립성은 명백히 관련이 없는 영역에서 수학의 일부 영역의 결과를 사용할 수 있게 함으로써 유용할 수 있다.

수학에 대한 이러한 사고방식의 중요한 결과는 수학 이론과 이론들을 수학적 대상으로 정의하고 그에 대한 이론들을 증명할 수 있다는 것이다.예로는 괴델의 불완전성 이론이 있다.특히, 비록 더 넓은 이론에서 증명될 수 있지만, 주변 이론의 정리가 아닌 것으로 증명될 수 있는 잘 형성된 주장들이 있다.예를 들어 페아노 산술에서는 언급될 수 있지만 페아노 산술에서는 입증할 수 없다는 것이 증명된 굿스타인의 정리가 있다.그러나, 이것은 체르멜로-프랭켈 집합 이론과 같은 더 일반적인 이론에서 입증할 수 있다.

인식론적 고려사항

많은 수학 정리는 조건부 진술이며, 그 증명은 가설이나 전제라고 알려진 조건으로부터 결론을 추론한다.증거의 해석에 비추어 볼 때, 결론은 종종 가설의 필연적인 결과로 여겨진다.즉, 가설이 참일 경우, 더 이상의 가정 없이 결론이 참이라는 것이다.그러나 조건부는 파생 규칙과 조건부 기호(예: 비고전적 논리)에 할당된 의미에 따라 특정 연역 체계에서 다르게 해석될 수도 있다.

비록 정리는 완전한 상징적 형태(예: 명제 미적분의 명제)로 쓰여질 수 있지만, 더 나은 가독성을 위해 종종 영어와 같은 자연 언어로 비공식적으로 표현된다.논리적으로 체계적이고 명확하게 표현된 비공식적인 주장으로 종종 표현되는 증거들도 마찬가지이며, 이는 독자들에게 어떤 의심도 없이 정리 진술의 진실성을 확신시키고, 그리고 원칙적으로 공식적인 상징적 증거가 구성될 수 있는 것을 의도한다.

더 나은 가독성 외에도, 비공식적인 주장은 순수하게 상징적인 것보다 일반적으로 확인하기가 더 쉽습니다. 사실, 많은 수학자들은 정리의 타당성을 증명할 뿐만 아니라 어떤 방식으로든 그것이 명백히 참인 이유를 설명하는 증명에 대한 선호도를 나타낼 것입니다.어떤 경우에는 그림을 증거로 사용함으로써 정리를 입증할 수도 있다.

정리가 수학의 핵심이기 때문에, 그것들은 또한 수학의 미학의 중심이다.이론들은 종종 "사소한", "어렵다", "깊다", 또는 "아름답다"로 묘사된다.이러한 주관적인 판단은 사람에 따라 다를 뿐만 아니라 시간과 문화에 따라 다릅니다. 예를 들어, 증거를 얻거나 단순화하거나 더 잘 이해하면, 한때 어려웠던 정리가 사소한 것이 ^[6]될 수 있습니다.반면에, 깊은 정리는 간단히 언급될 수 있지만, 그 증거는 수학의 상이한 영역들 사이의 놀랍고 미묘한 연관성을 포함할 수 있다.페르마의 마지막 정리는 그러한 ^[7]정리의 특히 잘 알려진 예이다.

비공식 정리 계정

논리적으로 많은 정리들이 지시 조건의 형태이다.만약 A라면, B.그러한 정리는 B를 주장하지 않는다. 다만 B가 A의 필연적인 결과라는 것이다.이 경우, A는 정리의 가설(여기서 "hypothesis"는 추측과 매우 다른 것을 의미함)이라고 불리고 B는 정리의 결론이다.이 둘을 함께 (증명 없이) 정리 명제 또는 진술이라고 한다(예: "A이면 B"는 명제이다).또는 A와 B는 각각 ^[8]선행 및 결과라고도 할 수 있다."n이 짝수 자연수라면, n/2는 자연수"라는 정리는 가설이 "n은 짝수 자연수"이고, 결론은 "n/2도 자연수"인 전형적인 예이다.

정리가 증명되기 위해서는 원칙적으로 정확하고 형식적인 진술로 표현될 수 있어야 한다.그러나, 정리는 보통 완전한 상징적 형태가 아닌 자연 언어로 표현된다. 즉, 공식 진술이 비공식 진술에서 파생될 수 있다는 가정과 함께 말이다.

수학에서 주어진 언어 내에서 많은 가설을 선택하고 그 이론이 이러한 가설에서 입증 가능한 모든 진술로 구성되어 있다고 선언하는 것은 흔한 일이다.이러한 가설은 이론의 기초가 되며 공리 또는 공식이라고 불립니다.증명 이론으로 알려진 수학 분야는 공식 언어, 공리, 증명 구조를 연구합니다.

어떤 정리는 정의, 공리 및 다른 정리에서 명백한 방식으로 따라온다는 점에서 "사소한" 개념이며 놀라운 통찰력을 포함하지 않는다.반면에, 어떤 것들은 "깊이"라고 불릴 수 있는데, 왜냐하면 그들의 증명은 길고 어려울 수 있고, 정리 자체의 진술과 표면적으로 구별되는 수학의 영역들을 포함하거나,^[9] 수학의 다른 영역들 사이에 놀라운 연관성을 보여주기 때문이다.정리는 진술하기 쉬우면서도 깊이가 있을 수 있다.좋은 예는 페르마의 마지막 ^[7]정리이고, 다른 분야들 중에서 수 이론과 조합론에서 단순하지만 깊은 이론의 많은 다른 예가 있다.

다른 이론들은 쉽게 기록할 수 없는 알려진 증거를 가지고 있다.가장 두드러진 예는 4색 정리와 케플러 추측이다.이 두 이론 모두 컴퓨터 프로그램에 의해 검증되는 컴퓨터 검색으로 줄여야만 참인 것으로 알려져 있다.처음에, 많은 수학자들은 이러한 형태의 증거를 받아들이지 않았지만, 그것은 더 널리 받아들여지고 있다.수학자 Doron Zeilberger는 심지어 이것들이 아마도 수학자들이 ^[10]증명한 유일한 중요하지 않은 결과일 것이라고 주장하기까지 했다.다항식 항등식, 삼각함수^[11] 항등식 및 초기하학적 ^{[12][page needed]}항등식을 포함하여 많은 수학 이론들이 보다 간단한 계산으로 축소될 수 있다.

과학 이론과의 관계

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수학의 이론과 과학의 이론은 인식론에서 근본적으로 다르다.과학적 이론은 증명될 수 없다; 그것의 핵심 속성은 반증이 가능하다는 것이다. 즉, 그것은 실험을 통해 시험할 수 있는 자연계에 대한 예측을 한다.예측과 실험 사이의 불일치는 과학 이론의 부정확성을 보여주거나 최소한 그것의 정확성이나 타당성을 제한한다.반면에, 수학 정리는 순전히 추상적인 형식적 진술이다: 정리의 증명은 그러한 증거가 ^[4]과학 이론을 뒷받침하기 위해 사용되는 것과 같은 방식으로 실험이나 다른 경험적 증거를 포함할 수 없다.

그럼에도 불구하고, 수학 정리의 발견에는 어느 정도의 경험론과 데이터 수집이 수반된다.패턴을 확립함으로써 때로는 강력한 컴퓨터를 사용하여 수학자들은 무엇을 증명해야 할지, 어떤 경우에는 어떻게 증명해야 할지 계획을 세울지도 모른다.또한 하나의 반례를 찾을 수 있으며, 따라서 현재 명제에 대한 입증의 불가능성을 확립할 수 있으며, 실현 가능한 증거를 가질 수 있는 원래 명제의 제한된 형식을 제안할 수 있습니다.

예를 들어, 콜라츠 추측과 리만 가설은 모두 잘 알려진 미해결 문제들이다; 그것들은 경험적 확인을 통해 광범위하게 연구되었지만 증명되지 않은 채로 남아있다.콜라츠 추측은 약 2.88 × 10까지의¹⁸ 시작 값에 대해 검증되었다.리만 가설은 제타 함수의 처음 10조 개의 중요하지 않은 0을 유지하는 것으로 검증되었습니다.비록 대부분의 수학자들이 추측과 가설이 사실이라고 가정하는 것을 참을 수 있지만, 이 두 가지 명제는 모두 증명된 것으로 간주되지 않는다.

그런 증거는 증거가 되지 않는다.예를 들어 이제 거짓 것으로 알려진 것은 자연스러운 숫자에 대해서, 메르텐스 추측은 명세서,지만 어떤 명확한 반례(즉,이 Mertens 기능은 자연수 nM(n)는 또는 시작\n의 제곱 근을 초과하:이하 1014년 가지고 있는 메르텐스 속성은 모든 숫자 및 이가 없는 가장 작은 수 p. 알려져 있r연산자는 1.59 × 10의⁴⁰ 지수보다 작은 것으로 알려져 있으며, 이는 4.3 × 10의³⁹ 제곱에 대한 약 10이다.우주의 입자의 수는 일반적으로 10의 100승 이하(구골)로 간주되기 때문에, 철저한 탐구에 의해 명확한 반례를 찾을 희망은 없다.

"이론"이라는 단어는 수학에도 존재하며, 예를 들어 군 이론과 같이 수학적 공리, 정의, 정리의 본체를 나타낸다.과학, 특히 물리학과 공학에도 "이론"이 있지만, 그들은 종종 물리적인 가정과 직관이 중요한 역할을 하는 진술과 증거를 가지고 있다; 그러한 "이론"이 기초가 되는 물리적인 공리들은 그 자체로 반증이 가능하다.

용어.

수학적 진술에는 여러 가지 다른 용어가 존재합니다.이 용어들은 특정 주제에서 진술이 수행하는 역할을 나타냅니다.다른 용어의 구별은 때때로 다소 자의적이며, 일부 용어의 사용은 시간이 지남에 따라 발전해 왔다.

• 공리 또는 가정은 연구 대상에 관한 기본적인 가정으로, 증거 없이 받아들여진다.관련 개념은 알려진 개념의 관점에서 단어나 구문의 의미를 부여하는 정의의 개념이다.고전 기하학은 일반적인 진술인 공리와 기하학적 ^[13]물체에 대한 진술인 공식을 구별합니다.역사적으로, 공리는 "자명한" 것으로 간주되었다; 오늘날 그것들은 단지 사실로 추정될 뿐이다.
• 추측은 사실로 믿어지는 증명되지 않은 진술이다.추측은 일반적으로 공공장소에서 이루어지며, 그 제조자의 이름을 따서 명명된다(예를 들어 골드바흐의 추측과 콜라츠 추측).가설이라는 용어는 이 의미에서도 사용된다(예를 들어 리만 가설). 이것은 증거의 전제로서 "hypothesis"와 혼동되어서는 안 된다.다른 용어들도 가끔 사용되는데, 예를 들어 사람들이 그 진술이 사실이라고 믿어야 하는지 확신할 수 없을 때 문제가 발생한다.페르마의 마지막 정리는 수 세기 동안 추측에 불과했지만 역사적으로 정리라고 불렸다.
• 정리는 공리와 다른 정리에 근거해 참이라는 것이 증명된 진술이다.
• 명제는 덜 중요하거나 증명 없이 진술될 수 있는 매우 기초적이고 명백하다고 여겨지는 정리이다.이것은 명제 논리에서 사용되는 "제안"과 혼동되어서는 안 된다.고전 기하학에서는 "명제"라는 용어가 다르게 사용되었습니다: 유클리드의 c.요소 (기원전 300년)에서는, 모든 이론과 기하학적 구조는 그들의 중요성과 상관없이 "명제"라고 불렸습니다.
• 보조 명제는 "보조 명제"입니다. 즉, 특정 증거에서 사용하는 것 외에는 거의 적용되지 않는 제안입니다.비록 "렘마"라는 용어는 보통 그 이름의 일부로 유지되지만, 시간이 흐르면서 레마는 중요성을 갖게 되고 정리로 여겨질 수 있다.
• 결론은 필요한 증명 ^[14]없이 다른 정리나 공리에서 바로 이어지는 명제입니다.결론은 정리를 더 단순한 형태로 다시 기술하는 것일 수도 있고 특별한 경우일 수도 있습니다. 예를 들어, "사각형 내의 모든 내부 각도가 직각"이라는 정리는 "사각형 내의 모든 내부 각도가 직각"이라는 결과를 가지고 있습니다. 즉, 정사각형이 직사각형의 특수한 경우입니다.
• 정리의 일반화란 유사한 문장이지만 더 넓은 범위를 가진 정리이며, 여기서 원래의 정리는 특수한 경우(결과)로 추론될 수 있다.^[d]

역사적 또는 관습적 이유로 다음과 같은 다른 용어를 사용할 수도 있습니다.

• 항등식은 두 표현 사이의 등식을 나타내는 정리이며, 영역 내의 모든 값(예: 베주트의 항등식 및 반데르몽드의 항등식)을 유지한다.
• 규칙은 유용한 공식(예: 베이즈의 규칙과 크레이머의 규칙)을 확립하는 정리입니다.
• 법칙 또는 원리는 광범위한 적용가능성을 갖는 정리이다(예: 대수의 법칙, 코사인 법칙, 콜모고로프의 0-1 법칙, 하나크의 원리, 최소 상한 원리, 비둘기구멍 원리).^[e]

몇몇 잘 알려진 이론들은 나눗셈 알고리즘, 오일러 공식, 바나흐-타르스키 역설과 같은 훨씬 더 특이한 이름을 가지고 있다.

레이아웃

정리 및 그 증명은 일반적으로 다음과 같이 정리된다.

정리(증거를 증명한 자의 성명, 증거의 발견년 또는 공표년)

정리문(일명 명제라고도 함)

증명

증빙 설명

끝.

증명의 끝은 Q.E.D.(정규 에러 데모 각서) 또는 Paul Halmos가 ^[15]기사의 끝을 표시하기 위해 잡지에 사용한 후 도입한 "□" 또는 "증명의 끝"을 의미하는 "discription"과 같은 묘비 마크 중 하나로 표시할 수 있습니다.

정확한 스타일은 저자 또는 출판물에 따라 달라집니다.많은 출판물에서는 하우스 스타일로 조판하기 위한 지침이나 매크로를 참조해 주세요.

정리에 사용된 용어의 정확한 의미를 설명하는 정의가 선행되는 것은 일반적이다.또한 정리가 증명에 사용되는 다수의 명제나 보조명제 뒤에 오는 것이 일반적이다.하지만, 레마는 때때로 내포된 증명과 함께 또는 정리의 증명 뒤에 제시된 증명과 함께 정리의 증명에 포함된다.

정리와 증명 사이에 또는 증명 바로 뒤에 정리에 대한 결과들이 제시된다.때때로, 결론은 왜 그들이 정리로부터 따르는지 설명하는 그들만의 증거를 가지고 있다.

로레

매년 ^[16]25만 개 이상의 이론이 증명되는 것으로 추정된다.

유명한 격언인 "수학자는 커피를 이론으로 바꾸는 장치"는 아마도 Alfréd Rényi에 기인한 것일 것이다. 비록 그것은 종종 레니의 동료인 폴 에르데스(그리고 레니는 그가 만든 많은 이론과 그의 협업의 수,^[17] 그리고 에르디스를 생각했을지도 모른다)에 기인한다.

유한 단순군의 분류는 어떤 사람들에 의해 정리의 가장 긴 증명으로 여겨진다.100여 명의 저자가 쓴 500여 편의 저널 기사에 수만 쪽이나 실려 있다.이 문서들은 모두 완벽한 증거를 제공하는 것으로 여겨지고 있으며, 현재 진행 중인 여러 프로젝트에서 이 ^[18]증거를 줄이고 단순화할 수 있기를 희망하고 있습니다.이런 유형의 또 다른 정리는 컴퓨터가 생성한 증거가 사람이 읽기에는 너무 긴 4색 정리이다.그것은 ^{[citation needed]}평신도들이 쉽게 이해할 수 있는 가장 오래된 정리의 증명 중 하나이다.

논리학의 정리

수학 논리학에서, 형식 이론은 형식 언어 안에 있는 문장의 집합이다.문장은 자유 변수가 없는 올바른 형식의 공식입니다.이론의 구성원인 문장은 그 이론들 중의 하나이고, 이론은 그 이론들의 집합이다.보통 이론은 논리적 결과의 관계에서 닫힌 것으로 이해된다.어떤 계정에서는 이론이 의미론적 결과 관계( ${\$\ $displaystyle$ \ $models$)에서 닫히는 반면, 다른 계정에서는 구문론적 결과 또는 파생성 관계(display $\$ $displaystyle$\$vdash$^{[19][20][21][22][23][24][25][26][27][28]})에서 닫히는 것으로 정의한다.

이론이 파생 가능성 관계에서 닫히기 위해서는, 이론이 어떻게 도출되는지를 규정하는 연역 체계와 연관되어야 한다.연역체계는 명시적으로 명시될 수도 있고, 문맥상 명확할 수도 있다.논리적 결과의 관계에서 빈 집합의 닫힘은 연역 시스템의 이론인 문장만을 포함하는 집합을 산출한다.

논리학 내에서 사용되는 넓은 의미에서, 정리는 참일 필요가 없다. 왜냐하면 논리학을 포함하는 이론은 주어진 의미론이나 기초 언어의 표준 해석에 대해 불건전할 수 있기 때문이다.일관성이 없는 이론은 모든 문장을 이론으로 가지고 있다.

공식 언어의 문장으로서의 정리의 정의는 공식 증명의 구조와 입증 가능한 공식의 구조를 연구하는 수학의 한 분야인 증명 이론 내에서 유용하다.모델 이론에서 그것은 또한 중요한데, 이것은 해석을 통해 그들에게 의미론을 제공할 수 있는 형식 이론과 구조 사이의 관계에 관한 것이다.

비록 정리가 해석되지 않은 문장일지라도, 실제로 수학자들은 문장의 의미, 즉 그들이 표현하는 명제에 더 관심이 있다.공식 이론들을 유용하고 흥미롭게 만드는 것은 그것들이 진실된 명제로 해석될 수 있고 그들의 유래가 진실의 증거로 해석될 수 있다는 것이다.해석은 (정식 체계 내에서가 아니라) 형식 체계에 대한 참된 진술인 정리를 메타옴이라고 한다.

수리 논리학의 중요한 정리에는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 1차 로직의 콤팩트성
• 1차 로직의 완전성
• 괴델의 1차 산술의 불완전성 이론
• 1차 산술의 일관성
• 타르스키의 정의 불능 정리
• 처치튜링의 결정불가능성 정리
• 뢰브 정리
• 뢰벤하임-스콜렘 정리
• 린드스트롬의 정리
• 크레이그 정리
• 절토 소거 정리

구문 및 의미론

형식정리의 개념은 의미론을 도입하는 참 명제의 개념과는 대조적으로 근본적으로 통사적이다.다른 연역 시스템은 파생 규칙의 가정(즉, 믿음, 정당성 또는 기타 양식)에 따라 다른 해석을 산출할 수 있다.공식 시스템의 건전성은 모든 이론이 타당성 여부에 달려 있다.유효성(validity)은 가능한 모든 해석에서 참인 공식입니다(예를 들어, 고전 명제 논리에서는 유효성은 반복론입니다).공식 시스템은 그 모든 이론이 동치일 때 의미론적으로 완전한 것으로 간주됩니다.

형식정리의 해석

정리 및 이론

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• 정리 목록
• 기본 정리
• 공식
• 추론
• 완구정리

메모들

레퍼런스

레퍼런스

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외부 링크

• Wikimedia Commons 이론 관련 미디어
• Weisstein, Eric W. "Theorem". MathWorld.
• 오늘의 정리