세미링

대수적 구조 → 고리 이론 고리이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적인 • 몫환 • 분수 아이디얼 • 분수의 총환 • 반지의 산물 • 연관대수의 자유곱 • 대수 텐서곱 환동형 • 알맹이 • 내적 자기형성 • 프로베니우스 내형 대수 구조 • 모듈 • 연상대수 • 등급환 • 인볼루시브 링 • 고리의 분류 • $초기{\displaystyle \mathbb{}}$ 링 Z ${\$ • 터미널 링 $0$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$displaystyle 0=\mathbb {$Z} _{1}$ 관련 구조물 • 필드 • 유한장 • 비연관성 고리 • 라이링 • 조던 링 • 세미링 • 세미필드
교환대수 교환환 • 적분영역 • 통합폐쇄도메인 • GCD 도메인 • 고유인수분해영역 • 주 아이디얼 도메인 • 유클리드 영역 • 필드 • 유한장 • 구도환 • 다항식환 • 정식 전력 계열 링 대수적 수론 • 대수적 수장 • 정수환 • 대수적 독립성 • 초월수론 • 초월도 p-adic 수론과 십진법 • 직접한계/역한계 • 영점 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ • 정수 모듈 $Z$n / ${\displaystyle {pn}^{}}$ n ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ /$p^{n}\mathbb {Z} }$ • Püfer p-링 $Z{\displaystyle }$( $p$∞ ) {\$displaystyle \mathbb${Z} ($p^{\$infty})} • 기본 p 원링 $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본 p 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • p-adic rationals $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • 기본 접두사 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • p-adic 정수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 숫자 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수기하학 • 아핀 품종
비상호 대수 비상환환 • 나눗셈 링 • 반원성 고리 • 심플링 • 정류자 비상호 대수기하학 자유 대수 클리포드 대수 • 기하대수 연산자 대수
v t

추상대수학에서 세미링(semiring)은 대수적 구조입니다.이것은 고리를 일반화하는 것으로, 각 원소가 역수를 첨가해야 한다는 요구 사항을 떨어트립니다.동시에, 이것은 경계 분포 격자의 일반화입니다.

링이 아닌 가장 작은 반올림은 $논리적$ 분리 ∨ ${\displaystyle$ \$lor$}을(를) 추가로 갖는 2요소 부울 대수입니다.고리도 격자도 아닌 동기를 부여하는 예는 숫자 0을 포함할 때 보통의 덧셈과 곱셈 하에서$$ 자연수 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 집합입니다.어떤 교환 모노이드에 대한 내형태론의 함수 구성으로 적절한 곱셈 연산이 발생하기 때문에 세미링은 풍부합니다.

교환 고리에 대한 (연관적) 대수 이론은 교환 고리에 대한 하나의 대수로 일반화될 수 있습니다.^{[citation needed]}

대수 구조
집단적인 그룹. 세미그룹/모노이드 랙앤쿼들 준군과 고리 아벨 군 마그마 거짓말군 군론
반지같은 울리다 Rng 세미링 니어링 교환환 도메인 적분영역 들판 나눗셈 링 라이링 고리이론
격자 같은 격자 반격자 상보격자 총순서 헤이팅 대수 부울 대수 격자도 격자론
모듈식 모듈 연산자와 그룹화 벡터공간 선형대수
대수적 대수학 연상적인 비연관성 조성대수 리 대수 등급이 매겨진 쌍대하학 호프 대수학
v t

용어.

$어떤{\displaystyle \mathrm{}}$ 저자들은 0 {\$displaystyle$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$$}$$또는$ 1 {\displaystyle $1}$이(가) 존재할 필요 없이 구조물의 반올림이라고 부릅니다$.$ 이는 한편으로는 링과 반올림을, 다른 한편으로는 그룹과 반올림을 비유하는 것을 더 부드럽게 만듭니다.이러한 저자들은 여기에 정의된 개념에 대해 종종 리그를 사용합니다.^{[1][note 1]}이것은 농담에서 비롯되었는데, 리그는 부정적인 요소가 없는 고리라는 것을 암시합니다. (그리고 이것은 rng를 사용하여 곱셈 정체성이 없는 고리를 의미하는 것과 유사합니다.)

디오이드(dioid, "이중 모노이드"에 해당)라는 용어는 반올림 또는 다른 구조를 의미하는 데 사용되었습니다.1972년 Kuntzman에 의해 세미링(semiring)을 나타내기 위해 사용되었습니다.^[2] (자연적으로 순서화된 세미링에 대해 대안적으로 사용되기도 하지만,^[3] 이 용어는 1992년 Baccelli 등에 의해 idempotent subgroups에도 사용되었습니다.)^[4]

정의.

세미링은 다음과 같은 두 개의${\displaystyle }$이진$$연산 + {\$displaystyle \,+\,}$과 덧셈 및 곱셈이라고 $하는$⋅, {\displaystyle $\,\$cdot,\,}을 갖춘 집합 R ${\displaystyle R}$입니다.

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle R,}$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle(R,+)}$은(는) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$이라는 ID 요소를 가진 모노이드입니다$.$
  • ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ${\displaystyle 0+a=a=a+0}$
• $R$ $⋅$ ) ${\displaystyle (R,\,\$cdot \,)}은(는) 1 ${\displaystyle$1}이라는$$ID 요소를 가진 모노이드입니다.
  • ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • ${\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1}$
• 덧셈은 대체성이 있습니다.
  • ${\displaystyle a+b=b+a}$
• 덧셈 ID $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$을(를) 곱하면 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 소멸됩니다$.$
  • ${\displaystyle a\cdot 0=0=0\cdot a}$
• 덧셈에 대한 왼쪽 및 오른쪽 곱셈 분포:
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
  • ${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$

명시적으로$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle R,}$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($R, $+)}$은(는) 교환 모노이드입니다.

표기법

$기호$⋅ {\$displaystyle$\cdot}은(는) 일반적으로 표기에서 생략됩니다. $즉$, ⋅ b ${\$displaystyle a\cdot b}는 그냥 b로 씁니다. {\displaystyle ab.}

마찬가지로, $연산$ 순서는 통상적으로 + {\displaystyle +} 앞에 ⋅ {\$displaystyle$\cdot}이(가) 적용됩니다. 즉, +b ⋅ c {\displaystyle a+b\cdot c}는 + (b ⋅ c) {\displaystyle a+(b\cdot c))를 나타냅니다.

명확한 구분을 위해 ${\displaystyle {0R}_{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {1R}_{}}$ ${\$라고 적을$$ 수 있습니다.

If ${\displaystyle x\in R}$ is an element of a semiring and ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$, then ${\displaystyle n}$-times repeated multiplication of ${\displaystyle x}$ with itself is denoted ${\displaystyle x^{n}}$, and one similarly writes ${\displaystyle x\,$$:{\displaystyle n}$에 대한 n:$=$x$+x+\cdots +x}$ - 반복되는 추가 횟수입니다.

신학기 건설

기본 집합 {${\displaystyle 0}\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{0\}}$이(가) 있는 영링도 사소한 세미링이라고 하는 세미링입니다$$.이 사소한 것은 $0$ = 1 ${\$$displaystyle$ 0=1}을(를) 통해 특성화할 수 있으므로 0 ≠ 1 {\displaystyle 0\neq 1}은(는) 종종 추가 공리인 것처럼 자동으로 가정됩니다.이제 어떤 세미링이 주어지면 새로운 세미링을 정의할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다.

언급한 바와 같이, 산술 구조를 가진$$ $자연수{\displaystyle \mathbb{}}$ N ${\$은 반올림을 형성합니다.$세미링$R {\displaystyle R}에서$상속$된 작업을 포함하는$${$x$ ∈ R ∣ x${\displaystyle {}_{}}$= 0 R ∨ ∃ ${\displaystyle p{}_{}}$x =$$p + 1 R} ${\displaystyle$ \$x\in$ R\$mid x$ = 0_{R}\lor \exists p.x = p + 1_{R}\} 집합은 $항상$R {\displaystyle R}의 $하위$입니다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 교환 모노이드인 경우 함수 구성은 반구형을 형성하기 위한 곱셈을 제공합니다.$M$→ M ${\displaystyle$M\to M}의 집합 ${\displaystyle \mathrm{End}}$ ⁡ ( M) ${\displaystyle$ \$operatorname {End$}(M)}은(는) 세미링을 형성하며, 여기서 덧셈은 M ${\displaystyle$M}의 점별$덧셈$에서 정의됩니다. 영 형태와 항등식은 각각의 중립 요소입니다.If ${\displaystyle M=R^{n}}$ with ${\displaystyle R}$ a semiring, we obtain a semiring that can be associated with the square ${\displaystyle n\times n}$ matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ with coefficients in ${\displaystyle R}$, the matrix semiring using ordinary addition and multiplication rules of matrices.더 추상적으로, $n$∈$$N ${\displaystyle$ n\$in {\mathbb${$}}}$과 R ${\displaystyle$ R}이${\displaystyle {}_{}}$가) ${\displaystyle {반올림}_{}}$일 때${\displaystyle ,}$ $(R$) ${\displaystyle$ {\$mathcal {M}$_{n}(R)}도 항상 반올림입니다.$일반적$으로$$R {\$displaystyle$ R}이$($가) 교체된 경우에도$$ 교체되지 않습니다.

Dorroh extensions: If ${\displaystyle R}$ is a semiring, then ${\displaystyle R\times {\mathbb {N} }}$ with pointwise addition and multiplication given by ${\displaystyle \langle x,n\rangle \bullet \langle y,m\rangle :=\langle x\cdot y+(x\,m+y\,n),n\cdot m\rangle }$ defines another semiring with mulitplicative unit ${\displaystyle 1_{R\times {\mathbb {N} }}:=\langle 0_{R},1_{\mathbb {N} }\rangle }$. Very similarly, if ${\displaystyle N}$ is any sub-semiring of ${\displaystyle R}$, one may also define a semiring on ${\displaystyle R\times N}$,수식에서 반복되는 덧셈을 곱셈으로 대체하기만 하면 됩니다.실제로 이러한 $구성$은$$구조 R {\$displaystyle$ R$}$이(가) 실제로 곱셈 단위를 가질$$ 필요가 없기 때문에 느슨한 조건에서도 작동합니다.

영합 자유 반지름은 고리에서 가장 멀리 떨어진 의미입니다.반올림이 주어지면, 새로운 $0{\displaystyle {\mathrm{}}^{\text{'}}}$ ${\$을(를) 기본 집합에 연결하여 0 나눗셈이 없는 이러한 0 무합 반올림을 얻을 수 있습니다.특히 현재 ${\displaystyle {}^{}}$ ⋅ ${\displaystyle 0}$ = $0'$ {\displaystyle 0\cdot 0'=0'}이며 이전 세미링은 실제로 하위 세미링이 아닙니다.그런 다음 항상 0을 존중하면서 한 번에 하나씩 새로운 요소를 "위에" 연결할 수 있습니다.이 두 가지 전략은 느슨한 조건에서도 작동합니다.∞$${\$displaystyle$ -$\$infty}의 주석이 반응하는 경우도 $있습니다$.$∞$ $이러한$ 구성을 수행할 때 ${\$displaystyle +\infty}이(가) 사용됩니다.

이런 식으로 사소한 반올림에 새로운 0을 붙이면, 분리와 연결의 논리적 연결로 표현될 수 있는 ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 반올림이 발생합니다: ⟨${\displaystyle }${ 0, 1${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle +,}$ ⋅, ⟨ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ⟩ ⟩ = ⟨$${⊥, ⊤ }, ∨, ∧, ⟨ ⊥, ⊤ ⟩ ⟩, lang {\displaystyle \lang \{0,1\}, +\cdot,\lang 0,1\rangle \rangle =\lang \{\bot,\top \},\lor,\lan$d,\langle \bot ,\top \rangle \rangle$ $\}.$ 결과적으로 이것은 고리가 아닌 가장 작은 반지름입니다.명시적으로 $모든$ P ${\$displaystyle P}, $즉$ 1 {\displaystyle 1}에 대해 ⊤ P = ⊤ ∨ ${\displaystyle$ \top \lor P=\top$$에 대해 링 공리를 위반합니다.In the self-dual definition, the fault is with ${\displaystyle \bot \land P=\bot }$. (This is not to be conflated with the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, whose addition functions as xor ${\displaystyle \veebar }$.) In the von Neumann model of the naturals, ${\displaystyle 0_{\omega }:=\{\}}$, ${\disp$$laystyle 1_{\omega$ }:$=\{0_{\omega }\},$ 2 $ω$ :$=$ ${\displaystyle {}_{}0}$$ω$, 1 $ω$} $=$ P 1 $ω$ {\displaystyle 2_{\omega }, 1_{\omega }\} $=$ {\mathcal {P}1_{\omega }}.2요소 반올림은 집합 P${\displaystyle }$1${\displaystyle }$ω${\displaystyle ,}$∪, ∩, ⟨ {}, ω ⟩ ⟩ ${\$displaystyle \langle {\$mathcal$ {P}},\cup,\cap,\langle \{\},\langle \{\},1_{\omega},\rangle \rangle }로 ⟨ 이론적 결합과 교집합에서 나타낼 수 있습니다.이제 이 구조는 $사실상$ 1$$ω {\displaystyle$1_{\$omega}}을(를) 임의의 세트로 대체해도 여전히 세미링을 구성합니다.

$부분{\displaystyle }$ 집합에 대한 표준 작업과 함께 $반올림$ R ${\$displaystyle R$\}$의 이상은 격자 순서의 단순하고 자유로운 반올림을 형성합니다.${\displaystyle {Mn}_{}}$($)$ {\$displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)$의 $이상$은 R$${\$displaystyle$$R$}의 이상과 대립합니다$.$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}($및 올바른 이상)의 왼쪽 이상들의 집합 또한 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 양면 곱셈 항등식으로 기능하지 않는$$ 것을 제외하고는 대수적 구조의 대부분을 가지고 있습니다.

$R$ ${\displaystyle R}$이(가) 반올림이고 $A$ ${\$$displaystyle$ $A}$이(가) 거주 집합이면 A ∗ {\$displaystyle$A^{*}는 자유 모노이드를 나타내며 단어 위의 형식 다항식 R [A ∗ ] {\displaystyle R[A^{*}}}은(는) 다른 반올림을 형성합니다.소규모 집합의 경우 생성 요소는 다항식 반올림을 나타내는 데 일반적으로 사용됩니다.For example, in case of a singleton ${\displaystyle A=\{X\}}$ such that ${\displaystyle A^{*}=\{\varepsilon ,X,X^{2},X^{3},\dots \}}$, one writes ${\displaystyle R[X]}$. Zerosumfree sub-semirings of ${\displaystyle R}$ can be used to determine sub-semirings of ${\displaystyle R[A^{*}]}$.

반드시 $단일{\displaystyle }$ 톤이$아닌$ 집합 A {\displaystyle $A}$이(가$)$ 주어지면 $기본{\displaystyle }$ 요소를 반올림$R$ {\$displaystyle$ R$}$의 기본 집합에 인접시키면$$ 부분 함수의$반올림$을 A {\$displaystyle{\displaystyle }$A}에서 R {\displaystyle $R}$로 정의할 수 있습니다$.$

반올림 $R$ ${\displaystyle R}$에 파생 ${\displaystyle {d}}$이(가) 주어지면$$$x$ ∙ y = y ∙ x + d ( y ) {\displaystyle x\bullet y = y\bullet x+{\mathrm {d}(y)}(y)를 충족하는 곱셈 "∙ {\displaystyle ${\$displaystyle \displaystyle \display}이(가) 설정될 수 있습니다.

위의 내용은 체계적인 구성 요소들의 총체적인 목록이 결코 아닙니다.

파생어

Derivations on a semiring ${\displaystyle R}$ are the maps ${\displaystyle {\mathrm {d} }\colon R\to R}$ with ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x+y)={\mathrm {d} }(x)+{\mathrm {d} }(y)}$ and ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x\cdot y)={\mathrm {d} }(x)\cdot y+x\cdot {\mathrm {d}$$}(y$

For example, if ${\displaystyle E}$ is the ${\displaystyle 2\times 2}$ unit matrix and ${\displaystyle U={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$, then the subset of ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(R)}$ given by the matrices ${\displaystyle a\,E+b\,U}$ with ${\displaystyle a,b$$\inR}$은(는) 파생 ${\displaystyle a}$ $E{\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U}$ $↦$ b U {\$displaystyle a\,E$ + b\,U$\maps$to b\,U}인 반올림입니다.

특성.

세미링의 기본 속성은 $1$ ${\displaystyle 1}$이(가) 왼쪽 또는 오른쪽 영점수가 아니라는 것이며, 1 ${\displaystyle$ 1$}뿐$만 아니라 $0$ ${\displaystyle 0}$개의 정사각형도 그 자체입니다. 즉, $u$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle u}$ ${\$displaystyle u^{2}=u}입니다.

일부 주목할 만한 특성은 모노이드 구조에서 상속됩니다.모노이드 공리는 단위 존재를 요구하므로 반올림의 기초가 되는 집합은 비워질 수 없습니다.또한 2진 술어 $x$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {pre}_{}}$ ${\displaystyle x\leq$ _${\mathrm {pre} }y}$가${\displaystyle }$∃ d로 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$됩니다. x + ${\displaystyle d}$ = y ${\$displaystyle \exists d.x + d = y}, 여기서 추가 연산에 대해 정의된 것은 항상 올바른 표준 선순서 관계를 구성합니다.반사율 y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pre}}_{}}$ {\$displaystyle y\leq$ _${\mathrm {pre}}$y}이$($가) ID에 의해 관찰됩니다$$.또한 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {pre}_{}}$ ${\displaystyle 0\leq _{\mathrm {pre}}y}$은(는$$) 항상 유효하므로 0은 이 전순서에 대한 최소 요소입니다.특히 '권리'의 구별은 교환적 부가물에 대한 것으로 보아도 무시될 수 있을 것이고,예를 들어 음이 $아닌{\displaystyle \mathbb{}}$정수 N {\$displaystyle$ \mathbb$${$N}}$에서 이 관계는 반대칭적이고 강하게 연결되어 있으므로 실제로는 (엄격하지 않은) 총 순서입니다.

아래에서는 조건부 속성에 대해 보다 자세히 설명합니다.

세미필드

임의의 필드는 또한 세미 필드이며, 이는 또한 곱셈 반전이 존재하는 세미링입니다.

반지.

임의의 필드는 또한 고리이며, 이는 또한 부가적인 역수가 존재하는 반구형입니다.세미링은 그러한 요구사항을 생략합니다. 즉, 이것은 치환군이 아니라 치환 모노이드만 필요합니다.고리 자체에 대한 추가적인 요구 조건은 이미 곱셈 0의 존재를 암시합니다.이러한 대조는 또한 세미링 이론의 경우 승수 0을 명시적으로 지정해야 하는 이유이기도 합니다.

Here ${\displaystyle -1}$, the additive inverse of ${\displaystyle 1}$, squares to ${\displaystyle 1}$. As additive differences ${\displaystyle d=y-x}$ always exist in a ring, ${\displaystyle x\leq _{\mathrm {pre} }y}$ is a trivial binary relation in a ring.

가환 준말

곱셈이 가환적인 경우 반올림은 가환적 반올림이라고 합니다.^[8]그 공리는 간결하게 기술될 수 있습니다.It consists of two commutative monoids ${\displaystyle \langle +,0\rangle }$ and ${\displaystyle \langle \cdot ,1\rangle }$ on one set such that ${\displaystyle a\cdot 0=0}$ and ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

반구형의 중심은 부분 반구형이며, 교환이 되는 것은 그 중심이 되는 것과 같습니다.

자연수의 교환 반올림은 그 종류 중에서 첫 번째 개체이며$,$ 임의의 교환 반올림에 N {\$displaystyle {\$mathbb {$N}}}$의 독특한 구조 보존 맵이 있음을 의미합니다.

유계 분포 격자는 부분적으로 순서화되고, 분포성 및 공력과 관련된 특정 대수 방정식을 충족하는 교환 반주기입니다.따라서 그들의 이중성도 마찬가지입니다.

주문반출

개념 또는 순서는 엄격한, 엄격하지 않은 또는 2차 공식을 사용하여 정의할 수 있습니다.교환성과 같은 부가적인 속성은 공리를 단순화합니다.

엄격한 총 순서(선형 순서 또는 구성 공식에서 의사 순서라고도 함)가 주어지면 정의에 따라 양 및 음의 요소는 < ${\displaystyle 0<x}$ 응답을 충족합니다.< ${\displaystyle x<0$ 엄격한 순서의 비탄력성으로 $인해$ s ${\displaystyles}$가 왼쪽 영분수이 $x$ s $⋅$y {\$displaystyle s\$cdot x<s\cdoty}는 거짓입니다.음이 아닌 는¬x < 0 ) ${\displaystyle \neg$x<0)}로 표시되며, 그런 다음 0$$≤ x${\displaystyle$ 0$\backslash$leq x}로${\displaystyle \mathrm{표시}}$됩니다.

일반적으로 엄격한 총 순서를 부정하여 관련 부분 순서를 정의할 수 있습니다.전자의 비대칭성은 < → x ≤ y {\$displaystyle x<y$\to x\leqy}로 나타납니다. 사실 고전 수학에서 후자는 (비 strict) 총 차수이고 0 ≤ x {\displaystyle 0\leq x}는 x = 0 ∨ 0 < x {\displaystyle x=0\lor 0<x}을 의미합니다. 마찬가지로, (비 strict) 총 차수가 주어지면, 그 부정은 굴절적이고 전이적입니다.그리고 함께 발견되는 두 성질을 엄격한 준순서라고 부르기도 합니다.고전적으로 이것은 엄격한 총 순서를 정의합니다 - 실제로 엄격한 총 순서와 총 순서는 서로의 용어로 정의될 수 있습니다.

위에서 정의한 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pre}}_{}}$ ${\$은$($는) 임의의 링에서 사소한 것입니다.사소하지 않은 엄격하지 않은 순서를 허용하는 고리의 존재는 이러한 고리가 반드시 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pre}}_{}}$ ${\$과 일치할 필요가 없음을 보여줍니다.$$

부가적으로 비능률 반올림

모든 요소가 덧셈 idempotent인, 즉 모든 요소 x {\displaystyle x}에 대해 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle x}$ ${\$displaystyle x + x = x}인 반올림을 (additive으로) idempotent semiring이라고 합니다.$1{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle 1 + 1 = 1}을(를) 설정하면 됩니다.때때로 이것은 곱셈에 대한 규칙에 관계없이 단지 idempotential semiring이라고 불리는 경우가 있음을 유의하십시오.

이러한 반올림에서 $x$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {pre}_{}}$ ${\displaystyle x\leq$ _${\mathrm {pre} }y}$는 x +${\displaystyle }$y =${\displaystyle y}$ ${\$displaystyle x$+$y=y}와 같으며 항상 부분 순서를 구성하므로 여기서는 x ≤ y {\displaystyle x\leqy}를 나타냅니다. 특히 여기서는 x ≤ 0 ↔ 0 {\displaystyle x\leq 0\leq 0\left right arrow x= 0}입니다. 따라서 부가적으로 비능률 반올림은 0이 없고,ed, 모든 부가적인 역수를 갖는 유일한 부가적으로 비능률적인 반지름은 사소한 고리이므로 이 성질은 반지름 이론에 특정됩니다.Addition and multiplication respect the ordering in the sense that ${\displaystyle x\leq y}$ implies ${\displaystyle x+t\leq y+t}$, and furthermore implies ${\displaystyle s\cdot x\leq s\cdot y}$ as well as ${\displaystyle x\cdot s\leq y\cdot s}$, for all ${\displaystyle x,y,t}$ and ${\displaysty$}을$($적음

$R$ ${\displaystyle R}$이(가) 추가적으로 멱등적이면 $R{\displaystyle }$[$X$∗] ${\displaystyle$ R[X^{*}}의 다항식도 마찬가지입니다.

기본 집합에 격자 구조가 있는 반올림은 $합$이 만남, x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle x}$ ∨ y {\$displaystyle$ x + y = x\lory}와 일치할 경우 격자 순서로 정렬되며, 곱은 결합 x ⋅ y ≤ x ∧ y {\displaystyle x\cdot y\leq x\land y} 아래에 놓여 있습니다.반올림 위의 이상의 격자 순서 반올림은 반드시 격자 구조에 대해 분포적이지는 않습니다.

단순한 덧셈적 idempotentity 이상으로, 모든 x {\displaystyle x}에 대해 $f$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ = 1 ${\$$displaystyle$ x + 1 = 1}인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 세미링을 단순이라고 합니다.그러면 또한 모든 x {\displaystyle x}에 대해 $1{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ = 1${\$$displaystyle$ 1+$1$=$1$}이고 x ≤ 1 {\displaystyle x\leq 1}입니다. 여기서 1 {\displaystyle 1}은(는) 추가적으로 무한한 요소와 유사한 기능을 합니다.$R$ ${\displaystyle R}$이(가) 추가적으로 비능률적인 세미링이면 {${\displaystyle x}$ ∈ ${\displaystyle \mathrm{R}}$ ∣ x + $1$= 1 } ${\displaystyle$ \{x\in R\mid x+1= 1\}이(가) 상속된 연산으로 간단한 하위 세미링입니다.단순하지 않은 부가적으로 비능률 반올림의 예는 표준 순서에 대한 2진 최대 함수를 추가로 포함하는 $R$ ∪ { -$$∞ } {\$displaystyle${\$mathbb {R}}\$cup \{-\infty \}의 열대 반올림입니다.간단한 서브 세미링은 사소한 것입니다.

c-세미링은 idempotental semiring이며 임의의 집합에 걸쳐 정의된 덧셈을 포함합니다.

idempotent 곱셈인 x $2$ = ${\displaystyle x^{}}$ $\{\backslash$displaystyle x^{2}= x}인 부가적으로 idempotent semiring을 부가적이고 곱셈적으로 idempotent semiring이라고 하지만 때로는 idempotent semiring이라고도 합니다.해당 속성을 가진 교환적이고 단순한 반올림은 고유한 최소 및 최대 요소를 가진 유계 분포 격자(즉, 단위)입니다.헤이팅 대수는 그러한 반올림이고 부울 대수는 특별한 경우입니다.

또한, 두 개의 경계 분포 격자가 주어졌을 때, 단순히 구조의 직접적인 합보다 더 복잡한 교환 가법적 비능률 반올림을 초래하는 구성이 있습니다.

번호선

In a model of the ring ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$, one can define a non-trivial positivity predicate ${\displaystyle 0<x}$ and a predicate ${\displaystyle x<y}$ as ${\displaystyle 0<(y-x)}$ that constitutes a strict total order, which fulfills properties such as ${\displaystyle \neg (x<0\lor 0<x$$)\to$x$=0$ 또는 고전적으로 삼분법의 법칙.표준 덧셈과 곱셈으로 이 구조는 엄격하게 순서화된 필드인 데데킨트-완전 필드를 형성합니다.정의에 따라, 실수의 이론에서 증명된 모든 1차 성질은 실수 폐쇄장의 결정 가능한 이론에서도 증명할 수 있습니다.예를 들어, 여기서 < ${\displaystyle x<y}$는 ∃ ${\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle y}$ + d2 = x${\displaystyle$ \exists d.y + d^{2와 상호 배타적입니다.}$=$ $x}.$

그러나 단지 순서가 매겨진 필드를 넘어, 아래에 나열된 4개의 속성은 $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle {\mathbb {R}}}$의 많은 하위 세미닝에서도 여전히 유효합니다$.$ 여기에는 이들 구조 각각의 음수가 아닌 부분도 포함됩니다.특히, 음이 아닌 실수, 음이 아닌 이성, 음이 아닌 정수는 그러한 반치입니다.처음 두 속성은 idempotential semirings에서 유효한 속성과 유사합니다.변환과 스케일링은 이 순서화된 링을 존중하며, 이 링의 덧셈과 곱셈이 유효하다는 점에서

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x+t<y+t}$
• ${\displaystyle (x<y\land 0<s)\,\to\,s\cdot x<s\cdoty}$

특히(< ∧0 < $s$ ) → 0 < s ⋅y {\displaystyle (0 < y\land 0< s)\to 0 < s\cdoty})이므로 요소의 제곱은 양의 값을 유지합니다.

링에서 항상 유효한 두 가지 속성을 추가로 기록합니다.먼저, 임의의 $P$ ${\displaystyle P}$에 대하여 $P$ → ${\displaystyle x}$ ≤ ${\displaystyle {pre}_{}}$ ${\displaystyle$ P$\,\to \,x\leq _{\mathrm {pre}}y.$특히, 양의 덧셈 차이 존재는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다$.$

• ${\displaystyle(x<y)\,\to \,x\leq _{\mathrm {pre}}y}$

둘째, 삼방정계가 존재하는 경우, 첨가제 그룹의 0이 아닌 원소는 양의 원소와 음의 원소로 분할되고, 반전 연산은 그들 사이를 이동합니다.$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle (-1)^{2}=1}을(를) 사용하면 모든 정사각형이 음수가 아님이 입증됩니다.결과적으로, 자명하지 않은 고리는 양의 곱셈 단위를 갖습니다.

• ${\displaystyle 0<1}$

엄격한 순서에 대해 논의한 결과, $0$≠ 1 ${\displaystyle$0\neq 1}, 1 ≠ 1 + 1 {\displaystyle 1\neq 1+1} 등이 뒤따랐습니다.

개별적으로 정렬된 세미링

질서 이론에는 몇 가지 모순되는 개념들이 있습니다.세미링에서 엄격한 순서가 주어지면, $그러한$ 개념 중 하나는 1 ${\displaystyle 1}$이(가) 이고 $0$ ${\displaystyle 0}$을(를) 커버하는 0 {\$displaystyle x}$인 장치$,$ ¬$($$0$ < ∧ x < 1) {\$displaystyle \neg$0 < x\land x < 1)}를 포함하는 것입니다. 이제 현재 상황에서, 이것이 충족되면 순서는 이산형이라고 불릴 것이고,, 또한 반올림의 모든 요소는 음이 아니기 때문에 반올림은 장치에서 시작됩니다.

${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$ -${\$로 표시하십시오. 또한 위의 네 가지 성질을 대수적 구조와 엄격한 순서와 관련시키는 것을 증명하는 교환적인, 무질서한 순서의 세미링 이론.모든 모델은 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 모델을 초기 세그먼트로 가지며$$, 괴델 불완전성과 타르스키 정의 불가능성은 이미 ${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$- ${\$에 적용됩니다$.$ 치환된 이산 순서의 환의 음이 아닌 요소는 $항상{\displaystyle {\mathsf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$-$${\$displaystyle {\mathsf {PA}^{-}$의 공리를 유효하게 합니다$.$ 따라서 슬리그다항식 링 $Z$ [${\displaystyle X}$] ${\displaystyle {\mathbb {Z}}[X]},$$p$ = ∑ $k$ = 0 n k X k {\displaystyle p = {\textstyle \sum }_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}, 마지막 0이 아닌 계수로 정의됨, {\displaystyle 0<p:=(0<a_{n})}, 위와 같이 < : (0 < q - p ) {\displaystyle p < q : = (0 < q - p )}.While ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ proves all ${\displaystyle \Sigma _{1}}$-sentences that are true about ${\displaystyle \mathbb {N} }$, beyond this complexity one can find simple such statements that are independent of ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$. For example, while ${\displaystyle \Pi _{1}}$-sentences true about ${\displaystyle \mathbb {N} }$ are still true for the other model just defined, inspection of the polynomial ${\displaystyle X}$ demonstrates ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$-independence of the ${\displaystyle \Pi _{2}}$-claim that all numbers are of the form ${\displaystyle 2q}$ or ${\displaystyle 2q+1}$ ("odd or even").Showing that also ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y]/(X^{2}-2Y^{2})}$ can be discretely ordered demonstrates that the ${\displaystyle \Pi _{1}}$-claim ${\displaystyle x^{2}\neq 2y^{2}}$ for non-zero ${\displaystyle x}$ ("no rational squared equals ${\displaystyle 2}$") is independent.Likewise, analysis for ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y,Z]/(XZ-Y^{2})}$ demonstrates independence of some statements about factorization true in ${\displaystyle \mathbb {N} }$. There are ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ characterizations of primality that ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ does not validate는 $숫자{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle 2}$에 해당합니다$.$

다른 방향으로, ${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$-$${\$displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}$의 임의의 모델로부터 순서가 있는 링을 구성할 수 있습니다. 그런 다음 순서에 대해 음의 요소를 가지고 있으며, 이는 $여전히{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$이(가$)$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 0}$을(를) 덮고 있다는 의미에서 분리됩니다$.$이를 위해 원래 세미링에서 쌍의 동등성 클래스를 정의합니다.대략, 링은 이전 구조의 요소들의 차이들에 대응하며, 초기 링 $Z${\$displaystyle \mathbb {Z}}$가 N$${\$displaystyle \mathbb {N}}$로부터 정의될 수 있는 방식을 일반화합니다$.$ 이것은 사실상 모든 역들을 더하고 그 다음에 그 사전 순서는 ${\displaystyle 그}$ ∀ ${\displaystyle x_{}}$에서 ${\displaystyle {\mathrm{다시}}_{}}$ $사소합니다$. x ≤$$pre 0 {\$displaystyle$ \$for$ all x.x\leq$_{\mathrm {pre}}0$

2요소 대수의 크기를 제외하면, 어떤 단순한 반올림도 단위로 시작하지 않습니다.또한 음이 아닌 이성분$$의 반올림에 대한 표준 순서 $지정$은 장치 사이에 밀도가 높은 ≥ 0${\$mathbb {Q$\}$_{\geq 0}}과(예: 음이 아닌 이성분 $Q$ sem 0 {\displaystyle 0 {\$displaystyle$ {\$mathbb$ {Q$}_{\$geq 0}).다른 예를 들어 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle X}$]${\displaystyle }$/ (${\displaystyle }$2 ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\mathbb {Z}}[X]/(2X^{2}-1)}$을(를) 개별적으로 정렬할 수는$$ 있지만 그렇지는 않습니다.

자연수

${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$-$${\$displaystyle${\$mathsf {PA}}^{-}$ 더하기 수학적 귀납법은 1차 Peano $산술{\displaystyle \mathsf{}}$ {\$displaystyle${\$mathsf$ {PA$}}$와 동등한 이론을 제공합니다$.$ 이 이론 또한 정범적이지 않은 것으로 유명하지만 N ${\$은 $당연히{\displaystyle \mathbb{}}$ 의도된 모델입니다.${\$은(는) 영의 나눗셈이 없고 합이 0이므로 그 모형이 환이 아님을 증명합니다$$.

${\displaystyle \mathsf{PA}}$ ${\$의 표준 공리화는 더 간결하며$$ 그 순서의 이론은 일반적으로 엄격하지 않은 ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ \$leq$_{\$mathrm$ {pre$}}"$의 관점에서 다루어집니다.그러나 공리화에서 강력한 귀납 원리를 제거하는 것만으로는 작동 가능한 대수 이론이 남지 않습니다.실제로$,$ 귀납을 제거하지만 이전의 존재 공준을 다시 추가하는 로빈슨 $산술$Q {\$displaystyle${\$mathsf$ {Q$}}$조차도 모노이드 ${\displaystyle \mathrm{공리}}$ ∀${\displaystyle y}$를 증명하지 못합니다. (${\displaystyle 0}$ + y$$= y ) ${\displaystyle$\forall. (0 + y = y)}.

완전반기

완전 반올림은 가법 모노이드가 완전 모노이드인 반올림이며, 이는$임의$의 $인덱스$ 집합 I ${\displaystyle$ I}에 대해$$σ I ${\$displaystyle I} \$Sigma$ _{I}이(가) 있고 다음 (무한) 분포 법칙이 성립해야 함을 의미합니다.

${\displaystyle {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left ({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}\right)),\qquad {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left ({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}\right)\cdot a}$

완전한 반올림의 예로는 결합 하에서 모노이드의 동력 집합과 완전한 반올림 상에서 매트릭스 반올림이 있습니다.^[13]

가환성, 부가적으로 무력하고 단순한 반올림의 경우, 이 속성은 잔류 격자와 관련이 있습니다.

연속반영

연속 반올림은 유사하게 추가 모노이드가 연속 모노이드인 반올림으로 정의됩니다.즉, 최소 상한 속성으로 부분적으로 순서를 정하며, 어떤 덧셈과 곱셈이 순서와 상위를 존중하는지 여부입니다.$일반적$인 덧셈, 곱셈 및 $순서$가 확장된 $반올림$ N$$∞ { ∪} {\$displaystyle$ \mathbb {N}$\$cup \{\infty \}입니다.

연속적인 세미링은 모두 완료됩니다.^[10] 이는 정의의 일부로 간주될 수 있습니다.^[13]

별 반주기

스타 세미링(star semiring)은 다음을 만족시키는 단항 연산자가 추가된 세미링입니다.^{[9][11][15][16]}

${\displaystyle a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.}$

클라인 대수는 idempotent 덧셈과 몇 가지 추가적인 공리를 가진 별 반지름입니다.그들은 공식언어와 정규표현의 이론에서 중요합니다.^[11]

완전 별 반주기

완전한 별 반지름에서 별 연산자는 일반적인 클라인 별과 더 유사하게 행동합니다. 완전한 반지름에서 우리는 무한합 연산자를 사용하여 클라인 별을 일반적으로 정의합니다.^[11]

${\displaystyle a^{*}={\textstyle \sum}_{j\geq 0}{a^{j}},}$

어디에

${\displaystyle a^{j}={\begin{case}1,&j=0,\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{case}}$

별 반지름은 *대수와 관련이 없으며, 대신 별의 작용은 복잡한 결합으로 간주되어야 합니다.

콘웨이 세미링

콘웨이 세미링(Conway semiring)은 별과 별의 합 방정식을 만족시키는 별 세미링입니다.^[9][17]

모든 완전한 별 반지름은 또한 콘웨이 반지름이지만,^[18] 그 반대는 성립하지 않습니다.완전하지 않은 콘웨이 반올림의 예는 확장된 음이 아닌 유리수 ${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ ≥ $0$∪ {∞ } ${\displaystyle$ \$mathbb {Q$} _${\$geq 0}\cup \{\infty \}이며, 일반적인 덧셈과 곱셈을 사용합니다. (이것은 이 절에서 비합리적인 숫자를 제거함으로써 확장된 음이 아닌 실수로 예제를 수정한 것입니다.)

반복 반지름은 존 콘웨이가 별 반지름의 그룹과 관련된 ^[9]콘웨이 그룹 공리를 만족시키는 콘웨이 반지름입니다.^[19]

예

• 정의에 따라, 어떤 링과 어떤 세미 필드도 또한 세미링입니다.
• 상호 교환적이고 이산적으로 정렬된 링의 음이 아닌 요소는 (위에서 정의된 의미에서) 상호 교환적이고 이산적으로 정렬된 세미링을 형성합니다.여기에는 음이 $아닌{\displaystyle \mathbb{}}$ 정수 N개$${\$displaystyle$ \$mathbb {N}이($가) 포함됩니다$.$
• 또한 음이 아닌 유리수와 음이 아닌 실수는 호환적인 순서의 세미링을 형성합니다.^[20][21][22]후자는 확률 반올림이라고 불립니다.^[6]고리나 분배 격자 둘 다 아닙니다.이 예제들에는 곱셈 역수도 있습니다.
• 설명된 바와 같이 새 반올림은 기존 반올림으로부터 조건부로 구성될 수 있습니다.확장된 자연수 $N$은$$$0$⋅ ∞ = 0 ${\displaystyle$ \mathbb {$N} \$cup \{\infty \}, 덧셈과 곱셈이 0 ∪= $0$이 되도록${\displaystyle \mathrm{}}확장$된 {\displaystyle 0\cdot \infty . 0}입니다.
• 자연수 계수가 $N{\displaystyle \mathbb{}}$[$$x${\displaystyle }$] , {\$displaystyle$ \${N}$[ $x],}$인 다항식 집합은 교환 세미링을 형성합니다$$.사실, 이것은 단일 생성기${\displaystyle }${${\displaystyle x\}}$의 자유 치환 반올림입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \{x\}.$$}$또한$$ 논의된 대로 다른 반올림에 계수가 있는 다항식이 정의될 수 있습니다.
• 음이 아닌 종단 분수 ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{N^{}}{}}$ :=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}^{}}$ -$n$∣ $,$ n ∈ N} {\tfrac {\mathbb {N}}{b^{\mathbb {N}}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} \right\}}, 주어진 기저 b ∈ N {\displaystyle b\in \mathbb {N}}에 대한 위치 수 체계에서, 유리수의 하위 반올림을 구성합니다.One has ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\subseteq {\tfrac {\mathbb {N} }{c^{\mathbb {N} }}}}$ if ${\displaystyle b}$ divides ${\displaystyle c}$. For ${\displaystyle b >1.}$, the set ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\tfrac {\mathbb {N}$$}{b^{\mathbb {N}}}\cup \left(-{\tfrac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N}}}\right)}$는 $기본{\displaystyle }$ b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ b$}$에 대한 모든 종단 분수의 환이며 Q ${\$에서 조밀합니다.
• The log semiring on ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ with addition given by ${\displaystyle x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)}$ with multiplication ${\displaystyle \,+,\,}$ zero element ${\displaystyle +\infty ,}$ and unit element ${\displaystyle 0.}$^[6]

마찬가지로, 바닥 요소가 있는 적절한 순서가 있는 경우,

• 열대성 반월선은 다양하게 정의됩니다.$max-plus$ 반올림 $R$ ∪ { -$$∞ } ${\displaystyle$ $\$mathbb {R} \cup \{-\infty \}는 최대 (a, b) {\displaystyle \max(a,b)}가 반올림 덧셈(identity - ∞ {\displaystyle -\infty})이 되고 보통 덧셈(identity 0)이 반올림 곱셈이 되는 교환 반올림입니다.대안적인 공식에서, 열대 반올림은 $R$ ∪ {$$∞ }, ${\$displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}, min은 max를 덧셈 연산으로 대체합니다.관련 버전에는 $R$ ∪ {±∞ $}$ {\$displaystyle \mathbb {R}$ \cup$$\{\pm \infty \}가 기본 집합으로 있습니다.그것들은 대수적인 다양성과 부분적인 선형 구조를 연결하는 활발한 연구 분야입니다.^[24]
• The Łukasiewicz semiring: the closed interval ${\displaystyle [0,1]}$ with addition given by taking the maximum of the arguments (${\displaystyle a+b=\max(a,b)}$) and multiplication ${\displaystyle ab}$ given by ${\displaystyle \max(0,a+b-1)}$ appears in multi-valued logic.^[11]
• Viterbi 반올림은 또한 기본 집합 $[{\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle [0,$ 1$]}$에 걸쳐 정의되며 최대를 덧셈으로 갖지만, 그 곱셈은 일반적인 실수의 곱셈입니다.확률론적 구문 분석에 나타납니다.^[11]

${\displaystyle max}$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\$displaystyle \max(x, x) = x}. 부가적으로 비능률 반올림에 대하여 더 자세히,

• 주어진 반올림의 모든 이상들의 집합은 이상들의 덧셈과 곱셈 하에서 반올림을 형성합니다.
• 경계가 있고 분포가 있는 격자는 결합과 만남 아래에 있는 교환형 반구형입니다.부울 대수는 이들 중에서 특별한 경우입니다.부울 링은 반링(실제로 링)이기도 하지만 덧셈에서는 공능하지 않습니다.부울 반올림은 부울 대수의 하위 반올림과 동형인 반올림입니다.^[20]
• 2 element 부울 대수에 의해 형성되고 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ = 1${\displaystyle$ 1 + 1 = 1}로 정의되는 치환 반올림입니다. 부울 반올림이라고도 합니다.Now given two sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y,}$ binary relations between ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ correspond to matrices indexed by ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ with entries in the Boolean semiring, matrix addition corresponds to union of relations,행렬의 곱셈은 관계의 구성에 해당합니다.^[25]
• 임의의 단위 퀀트는 조인 및 곱셈 하에서 반올림입니다.
• 링 $R$ ${\$displaystyle R$}$의 정규 $스큐$ 격자는 연산 곱셈과 나블라를 위한 반합이며, 후자의 ${\displaystyle \mathrm{연산}}$은 ∇ ${\displaystyle b}$ = a +${\displaystyle }$b +$ba$- a$ba$ - bb {\$displaystyle$a\nabla b = a + b + ba - baba - baba}로 정의됩니다.

모노이드를 더 많이 사용하고,

• 교환$모노이드$ M${\displaystyle$ M}에서 세미링 ${\displaystyle \mathrm{종료}}$⁡(M) ${\displaystyle {End}($M)} 구성에 대해 설명했습니다.언급한 바와 같이, $반올림{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$을(를) 지정하면${\displaystyle ,<img\; alt="R"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline\; mw-invert"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.764ex;\; height:2.176ex;">}$ $nx{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{n개}}$의$${\$displaystyle n\times$ n$}$개의$$ 행렬이 다른 반올림을 형성합니다.예를 들어 음이 아닌 항목이 있는 행렬인 $Mn{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$(${\displaystyle N\mathbb{}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}_{n}(\mathbb {N})$은 행렬 반올림을 형성합니다$$.^[20]
• Given an alphabet (finite set) Σ, the set of formal languages over ${\displaystyle \Sigma }$ (subsets of ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$) is a semiring with product induced by string concatenation ${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}}$ and addition 언어의 결합(즉, 보통의 결합 자산)으로서.이 세미링의 0은 빈 집합(빈 언어)이고 세미링의 단위는 빈 문자열만 포함하는 언어입니다.^[11]
• Generalizing the previous example (by viewing ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ as the free monoid over ${\displaystyle \Sigma }$), take ${\displaystyle M}$ to be any monoid; the power set ${\displaystyle \wp (M)}$ of all subsets of ${\displaystyle M}$ forms a semiring under set-theoretic union as addition and set-wise multiplication:${\displaystyle U}$
• 마찬가지로$,$ ($M$ e${\displaystyle ,}$⋅) {\$displaystyle (M$, e$,\$cdot )}이(가) 모노이드라면, M${\displaystyle$ M}의$$유한 다중 $집합$ 집합 집합은 반올림을 형성합니다.즉, ${\displaystyle \mathrm{요소}}$는 ∣ $M$ → $N$ {\$displaystyle$ f$\mid$M\$to \mathbb$ $\{$N}}의 함수입니다. M$,$ ${\displaystyle$ M}의 요소가 주어지면 함수는 해당 요소가 다중 집합에서 몇 번 발생하는지 알려줍니다.덧셈 단위는 상수 0 함수입니다.The multiplicative unit is the function mapping ${\displaystyle e}$ to ${\displaystyle 1,}$ and all other elements of ${\displaystyle M}$ to ${\displaystyle 0.}$ The sum is given by ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ and the product is given by ${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.}$${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\midy\cdot z=x\}입니다.$$}$

집합들 및 유사한 추상화들에 관하여,

• $집합{\displaystyle }$ $U{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle U,}$ U 위의 이진 관계 집합 ${\displaystyle U}$이(가) 주어진 집합은 (관계 집합의) 결합과 관계 구성의 곱을 더한 반올림입니다.반올림의 0은 빈 관계이고 그 단위는 동일성 관계입니다.^[11]이러한 관계는 부울 반올림의 항목이 있는$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$로 색인화된 정방행렬의 행렬 반올림(실제로 행렬 반대수)에 해당하며, 덧셈과 곱셈은 일반적인 행렬 연산인 반면, 0과 단위는 일반적인 영 행렬과 항등 행렬입니다.
• 주어진 무한 기수보다 작은 기수 집합은 기수 덧셈과 곱셈 하에서 반올림을 형성합니다.내부 모형의 모든 카디널의 클래스는 (내부 모형) 카디널 덧셈 및 곱셈 아래에서 (클래스) 세미링을 형성합니다.
• (동형 동치 클래스의) 합집합 클래스(각 크기의 객체가 유한하게 많은 객체가 있는 음이 아닌 정수 크기를 가진 객체의 집합)의 패밀리는 빈 클래스를 0 객체로, 빈 집합으로만 구성된 클래스는 단위로, 클래스의 분리 결합을 덧셈으로,그리고 곱셈으로서 수업의 데카르트 곱셈.^[26]
• 동일한 제품 및 제품 작업 하에 있는 모든 분포 범주의 개체에 대한 동형성 클래스는 번사이드 리그라고 하는 세미링을 형성합니다.^[27]Burnside rig는 카테고리가 사소한 경우에만 링입니다.

집합 반올림

(집합들의) ^[28]반올림은$$X {\$displaystyle$ X}의 $부분집합$ {\$mathcal$ {S$$$}}$의 ($공백$이 아닌) 집합 S {\displaystyle {$S}}$입니다.

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}에 있습니다.$
   • (3)이 성립하면 S가$$≠ ∅${\displaystyle 인}$ 경우에만 S${\$$displaystyle$ $\varnothing$ \in {\mathcal {S}}을 ∅ ∈합니다. {\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing.}
2. $E{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle F}$가 S {\$displaystyle$ E,F\$in {\mathcal {$S}}을$$∩${\displaystyle 하면}$ ${\displaystyle E}$는 F$$∈ $S. {\displaystyle$ E\cap F\in {\mathcal {S}}을(를) ∈.
3. If ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ then there exists a finite number of mutually disjoint sets ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ such that ${\displaystyle E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

$조건$ (2) 및 (3$)$과 S$$≠ ∅${\displaystyle }${\$displaystyle$ S$\$neq \varnothing}은(는) ∅ ∈ S. {\displaystyle \varnothing \in S.} 이러한 반올림은 측도 이론에서 사용됩니다.집합 반올림의 예는 반열림 반닫힘 실수 ${\displaystyle 구간}$ 모음 $[{\displaystyle a,b]}$ ⊂ R. ${\displaystyle$[a,$b)\subset \mathbb {$R} .

반대수군^[29] 또는 기본 가군은 (3)이 다음으로 대체된 것을 제외하고 반대수 특성을 만족시키는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 부분 집합 ${\mathcal {S}}$의 $집합$입니다.

• If ${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ then there exists a finite number of mutually disjoint sets ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ such that ${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

이 조건은 (3)보다 강하며, 이는 다음과 같이 볼 수 있습니다.${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}$가 반대수이고 E, F ∈ $S$ ${\displaystyle$ E,$F\in {\mathcal${S}}이면 F c${\displaystyle }$=$F$ ${\displaystyle 1_{}}$ ∪...${\displaystyle }$∪ ${\displaystyle F^{}}$ {\$displaystyle$F^{c}=F_{1}\cup$...$$Fi$$∈$ S {\$displaystyle F_{$i$\}\backslash$in S}의 \$cup F_{n}$입니다. 그러면$:$

및 $모든$ ${\displaystyle E{}_{}}$∩ $Fi$ ∈$S$ $\{\backslash$$displaystyle E$\cap F_{i}\in S}는 교차 하에서 닫혔으므로 닫히고$,$ $서로소 Fi {\displaystyle$ F_{i}}'$s$에 포함되어 있으므로 서로소.또한 조건은 엄격하게 더 강합니다. 환이면서 반대수인$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$는 대수이므로, 대수가 아닌 환도 반대수가 아닙니다(예: 무한 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 집합 모음).$$

별 반주기

위에서 언급한 여러 구조물에는 스타 작업이 장착될 수 있습니다.

• The aforementioned semiring of binary relations over some base set ${\displaystyle U}$ in which ${\displaystyle R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}}$ for all ${\displaystyle R\subseteq U\times U.}$ This star operation is actually the reflexive and transitive closure of ${\displaystyle R}$ (that is, the smallest reflexive and tra$R{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ R$.})$^[11]을 포함하는$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $U$$}$에 대한 nsitive 이진 관계입니다.
• 공식 언어의 반올림은 또한 완전한 별 반올림이며, 별 연산은 클라인 별(집합/언어의 경우)과 일치합니다.^[11]
• The set of non-negative extended reals ${\displaystyle [0,\infty ]}$ together with the usual addition and multiplication of reals is a complete star semiring with the star operation given by ${\displaystyle a^{*}={\tfrac {1}{1-a}}}$ for ${\displaystyle 0\leq a<1}$ (that is, the geometric series) and ${\displaystyl$$≥$$1$.{\displaystyle $a\$geq 1.}에 대해 a^{*}$=$\$infty }$
• ${\displaystyle 0}$ ∗ = 1 ∗ = $1인$ 부울 반올림. {\$displaystyle$ 0^{*}=1^{*}=1.}
• $N$ ∪ {∞ $},$ $확장$된 덧셈 및 곱셈을 가진 ${\$displaystyle$$\mathbb {N} \cup \{\infty \}, 0 ∗ = 1, ≥ 1에 $대한$ ∗ = {\displaystyle$$0^{*}= 1,a^{*}=\infty}. {\displaystyle a\geq 1.}

적용들

$({\displaystyle max,}$ ${\displaystyle +)}$ ${\displaystyle (\max$, $+)}$ 및$$ $({\displaystyle min,}$ ${\displaystyle +)}$ ${\displaystyle (\min$, $+)}$ 열대성$$ 반올림은 이산 이벤트 시스템의 성능 평가에 자주 사용됩니다.실제 숫자는 "비용" 또는 "도착 시간"입니다. "max" 연산은 이벤트의 모든 전제 조건을 기다려야 하는 것에 해당하며(따라서 최대 시간이 걸리는 것), "min" 연산은 가장 비용이 적게 드는 선택을 선택할 수 있는 것에 해당하며 +는 동일한 경로에 따른 누적에 해당합니다.

따라서 최단 경로에 대한 Floyd-Warshall 알고리즘은${\displaystyle }$(${\displaystyle min,}$ ${\displaystyle +)}$ ${\displaystyle (\min$, $+)}$개$$ 대수에 대한 계산으로 재구성될 수 있습니다.마찬가지로, 숨겨진 마르코프 모델에서 관측 시퀀스에 해당하는 가장 가능성 있는 상태 시퀀스를 찾기 위한 비터비 알고리즘은 확률에 대한${\displaystyle }$(${\displaystyle max,\times )}${\$displaystyle (\max,\times)}$ 대수에$$ 대한 계산으로도 공식화될 수 있습니다.이러한 동적 프로그래밍 알고리즘은 연관된 반올림의 분포 특성에 의존하여 많은 수의 항(지수적일 수도 있음)에 걸쳐 각각의 항을 열거하는 것보다 더 효율적으로 양을 계산합니다.^[31][32]

일반화

반올림의 일반화는 곱셈 동일성의 존재를 요구하지 않으므로 곱셈은 모노이드가 아닌 반군입니다.이러한 구조를 헤미링^[33](hemiring) 또는 프리-세미링(pre-semiring)^[34]이라고 합니다.추가적인 일반화는 오른쪽 분배율(^[35]또는 왼쪽 분배율)이 필요 없는 왼쪽-사전-배선입니다.

그러나 추가적인 일반화는 제품에 대한 중립적인 요소, 즉 오른쪽 분배율(또는 왼쪽 분배율)을 필요로 하지 않을 뿐만 아니라 상호 교환을 위해 추가적인 요소를 필요로 하지 않습니다.기수가 (클래스) 반올림을 형성하는 것처럼, 표준 서수 덧셈과 곱셈이 고려될 때 서수도 반올림을 형성합니다.그러나 서수의 등급은 대신 소위 자연적(또는 헤센베르크) 연산을 고려함으로써 반구형으로 바뀔 수 있습니다.

범주 이론에서 2-리그는 리그와 유사한 함수 연산을 가진 범주입니다.기수가 리그를 형성한다는 것은 집합 범주(또는 일반적으로 모든 토포스)가 2-리그임을 나타내기 위해 분류될 수 있습니다.

참고 항목

• 집합 고리 – 조합 및 상대적 보완 하에 폐쇄된 패밀리
• Valuation algebra – 정보 처리를 설명하는 algebra 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지

메모들

인용문

서지학

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추가열람

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