폰 노이만 추기경 임무

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폰 노이만 추기경 임무는 서수 숫자를 사용하는 추기경 임무가 된다. 잘 정렬된 U의 경우, 우리는 본 노이만(Von Neumann)의 순서 번호 정의를 사용하여 기본 번호를 U와 같은 최소 순서 번호로 정의한다. 더 정확히 말하자면:

${\displaystyle U =\mathrm {card}(U)=\inf\{\nfa \in \mathrm {ON} \ \ \ 알파 =_{c}U\}}$

여기서 ON은 서수 등급이다. 이 서수를 추기경의 초서수라고도 한다.

그러한 서수가 존재하고 고유하다는 것은 U가 잘 정돈되어 있고 대체의 공리를 사용하여 서수의 등급이 잘 정돈되어 있다는 사실에 의해 보장된다. 선택이라는 완전한 공리로, 모든 세트는 잘 정돈되어 있어서, 모든 세트는 추기경이 있다; 우리는 서수 번호로부터 물려받은 순서를 사용하여 추기경들을 주문한다. 이는 ≤_c을 통한 주문과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이것은 추기경 수의 순서가 잘 되어 있다.

추기경의 초기 서수

각 서수에는 단순히 순서를 잊음으로써 얻은 연관된 추기경, 그 카디널리티가 있다. 주문 유형과 같은 서수를 가지는 순서가 잘 정돈된 세트는 모두 카디널리티가 동일하다. 카디널리티로 주어진 추기경을 가지는 가장 작은 서수를 그 추기경의 초기 서수라고 부른다. 모든 유한 서수(자연수)는 초기지만 대부분의 무한 서수들은 초기 서수가 아니다. 선택 공리는 모든 세트가 잘 정렬될 수 있다는 것과 같다. 즉, 모든 추기경에게 초기 서수가 있다는 것과 같다. 이 경우 초기 서수로 기수를 식별하는 것이 전통이며, 우리는 초서수를 추기경이라고 말한다.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \alpha}$ -th번째$$ 무한초기 서수는 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$$displaystyle \omega _{\$$alph _{\alph }}}}$라고 쓰여 있다$($α {\$displaystyle \$$alpha$ $}$ -th alph 번호$$). For example, the cardinality of ${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$ is ${\displaystyle \aleph _{0}}$, which is also the cardinality of ${\displaystyle \omega ^{2}}$, ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, and ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ (all are countable ordinals). 그래서 우리는 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$$alph _{\alpha$ $}}}$을(를) ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$로 식별하고$,$ 표기법$$ {\$displaystystyle$ \$ome _{\lpha }}}}}}}$을(를$$ 사용한다. 때문에 추기경들에 산술 ordinals에 산수에서ℵ α 2{\displaystyle \aleph_{\alpha}^{2}})ℵ α{\displaystyle \aleph_{\alpha}}반면ωα 2{\displaystyle \omega_{\alpha}^{2}}을에 대해 서로 다른 이유입니다;ω α{\displaystyle \omega_{\alpha}}. 또한, ω 중요하다. 1${\displaystyle \omega _{$1}은$$(존재하려면 자연수의 순서가 잘 배열된 동등성 등급 집합을 고려하십시오). 이렇게 잘 배열된 각 등급은 카운트 가능한 서수를 정의하고 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$는 해당 집합의 순서 유형이고, $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$$ 카디널리티가 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$등보다 큰 가장 작은 서수이며$,$ $자연수{\displaystyle }$ n ${\$$displaystyle \omega _{\n}$은 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystystyle$ $\$$omega$$_{n$}의 제한이다$$($$ 추기경의 모든 한계는 추기경이기 때문에 이 제한은 실제로 전이다).t $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ n$${\$displaystyle \omega_{n}$ 뒤에 $$cardinal.

무한 초기 서수는 한계 서수다. 서수의 산술,α<>ω β{\displaystyle \alpha<>\omega_{\beta}}을 사용하여 의미를 내포하고 α + ω β)ωβ{\displaystyle \alpha +\omega_{\beta}=\omega _{\beta}}, 그리고≤ α<>ωβ를 암시하 α · ωβ)ωβ고, 2≤ α<>ωβ를 암시하 αωβ)ωβ.는 베블런 계층 구조를 사용하여β ≠ 0과α<>ωβ을 암시하고φ α(ω β))ω{년\displaystyleβ.$varphi _{\alpha }(\omega _{\beta }})=\omega$ _${\beta }\,$ and$$_ωβ = Ω_β. 정말, 이것을 훨씬 뛰어넘을 수 있다. 그래서 서수로서 무한 초기 서수는 매우 강한 종류의 한계다.

참고 항목

• 알레프 수

참조

• Y.N. 모쇼바키스 집합론(1994 스프링거) 페이지 198