평면 기반 기하 대수

평면 기반 기하 대수는 평면, 선, 점 및 강성 변환을 모델링하는 데 클리포드 대수를 적용한 것입니다.일반적으로 이는 3D ^[1]공간에서 이러한 요소들과 그 요소들의 교차점, 투영 및 각도와 관련된 엔지니어링 문제를 해결하는 것을 목표로 합니다.원래 ^[2]스피너에 대한 연구에서 성장한 이 제품은 로봇 공학에 대한 응용을 ^[3]^[4]염두에 두고 개발되었습니다.그 이후로 그것은 기계 학습,^[5] ^[6]강체 역학, 그리고 컴퓨터 ^[7]과학, 특히 컴퓨터 ^[8]^[9]그래픽에 적용되고 있습니다.이것은 보통 이중성 연산과 함께 "투영 기하 대수학"으로 알려진 체계로 결합됩니다. 아래를 참조하십시오.

평면 기반 기하 대수학은 평면 반사를 기본 요소로 하고, 그로부터 다른 모든 변환과 기하학적 객체를 구성합니다.기술 언어에서: 클리퍼드 대수의 1등급 요소, 즉 " ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 1 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle {e}}_{1}"$ 와 같이 한 개의 첨자로 작성된 요소로 평면 반사를 식별합니다.아래에 설명된 몇 가지 드문 예외를 제외하고 대수는 거의 $항상 3,0,1$ Cl $(R)$ 이며, 이는 제곱이 1{\ $displaystyle$ 1 $}$ 인 $1$ 3개의 기저 등급-1 요소와 제곱이 0{\ $displaystyle$ 0 $0$ 인 1개의 기저 요소를 가짐을 의미합니다.

평면 기반 GA는 회전의 축-각도 표현, 회전 및 변환의 사분위수 및 이중 사분위수 표현, 선의 플뤼커 표현, 평면의 점 정규 표현 및 점의 균질한 표현을 포함하여 공학에 적용되는 많은 대수적 구성을 포함합니다.그런 다음 듀얼 쿼터니언을 사용하면 고전 역학의 나사, 비틀림 및 렌치 모델을 ^[6]구성할 수 있습니다.

기하학에 대한 평면 기반 접근 방식은 점, 변환, 회전 축 및 평면 법선이 모두 "벡터"로 모델링되는 교차 곱을 사용하는 접근 방식과 대조될 수 있습니다.그러나 고급 공학 문제에서 벡터의 사용은 종종 깁스 벡터, 의사 벡터 및 반변 벡터를 포함한 여러 종류의 벡터 간의 미묘한 구분을 요구합니다.평면 기반 GA에서 이 둘 중 후자는 "회전축"과 "점"의 개념에 매핑되며,표기법에 의해 그들 사이의 구별이 명확해짐: ${\boldsymbol {e}}_{13}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}}_{13}}($ 2개의 하위 지수)와 같은 회전 축은 $e123$ {\displaystyle {\ $boldsymbol {e}_{$ 123}(3개의 하위 지수)와 같은 점과 다르게 표기됩니다.아래에서 고려되는 모든 물체는 벡터 공간의 요소라는 의미에서 여전히 "벡터"이지만, 교차 산물을 의미 있게 취할 수 있다는 의미에서 벡터는 아닙니다.이 글은 '벡터'라는 단어에서 오는 다양한 대수적 의미와 시각적 의미에 대한 충돌을 피하기 위해 이 단어의 사용을 피할 것입니다.

시공

평면 기반 기하 대수는 평면에서 시작하여 평면의 교차점을 이용하여 선과 점을 구성합니다.표준 기본값은 ${\boldsymbol {e}}_{2}$ ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle {e}_{1$ 로 표시되는 x = ${\displaystyle$ x= $0$ }, e2 ${\displaystyle$ { $z=0$ } ${$ 2 $}$ 로 표시되는 y = ${\boldsymbol {e}}_{2}$ 0 ${\$ $displaystyle$ y= $0$ $},$ z = 0 {\ $displaystyle$ z=0} 평면, ${\boldsymbol {e}}_{3}$ {\ $displaystyle {e}_{3$ 으로 구성됩니다.

다른 평면은 기본 평면의 가중 합으로 구할 수 있습니다.예를 들어 e ${\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}$ + ${\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}$ ${\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}_{3}}$ 는 ${\bold 기호 {e}}_{2}+{\bold 기호 {e}_{3}$ y 평면과 z 평면 사이의 중간 평면이 됩니다.일반적으로 평면 기반 GA에서 두 기하학적 물체를 결합하는 것은 항상 그들의 가중 평균으로 사용됩니다. 점을 결합하면 선을 결합하는 것과 마찬가지로 두 물체 사이에 점을 제공하고 실제로 회전합니다.

$요소$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 및 $A$ $B$ ${\displaystyle$ B $B$ 의 임의 쌍에 대해 기하학적 곱은 $변환$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 다음 $A$ 변환 B ${\displaystyle$ B $B$ 입니다.이 결과는 일반적으로 A{\ $displaystyle$ A $}$ $B$ B ${\displaystyle$ B $}$ 과(와) 동일한 유형의 개체가 아니지만 평면 기반 GA 내의 개체가 됩니다.예를 들어,

${\bold 기호 {e}_{1}{\bold 기호 {e}_{23}={\bold 기호 {e}_{123}$

이 식을 기하학적으로 해석하면 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 1 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle {\boldsymbol {e}}_{$ 1}("x = 0 평면에서의 수직 반사")와 e ${\boldsymbol {e}}_{23}$ 23 {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ { $e}_{$ 23 $}("$ x 축을 중심으로 180도 회전")을 ${\boldsymbol {e}}_{123}$ 후 $제품을 취하면$ e 123 ${\$ displaystyle ${\boldsymbol {e}}_{23}$ ${\displaystyle$ {\displaystyle {\boldsymbol { $e},$ 원점에서 점을 반영한 것입니다.변환 구성(기하학적 제품)은 "샌드위치 제품"으로 구현되는 변환 적용과 혼동해서는 안 됩니다(아래 참조).

이 기하학적 해석을 특정 $대수 3,0,1$ Cl $(R)$ 과 결합하면 평면 기반 기하학 대수의 일반적인 공리가 제공됩니다.

${\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}=1\qquad {\boldsymbol {e}_{2}=1\qquad {\boldsymbol {e}_{3}{\boldsymbol {e}_{3}=1\qquad {\boldsymbol {e}_{0}{\boldsymbol {e}_{0}=0$

처음 세 정의 방정식의 기하학적 해석은 동일한 평면 반사를 두 번 수행하면 시작한 곳으로 되돌아간다는 것입니다. 예를 들어 1등급 요소(평면)에 그 자체를 곱한 것이 항등식 함수 " $1$ ${\displaystyle$ 1 $}"$ 입니다. ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ 0 = ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}_{0$ }= $0}$ 이라는 ${\boldsymbol {e}}_{0}{\boldsymbol {e}}_{0}=0$ 이 더 미묘합니다.

무한대의 원소

대수 ${\boldsymbol {e}}_{0}$ ${\boldsymbol {e}}_{0}$ ${\$ {\ $boldsymbol {e}_{0}}$ 은 ${\boldsymbol {e}}_{0}$ 무한대의 평면을 나타냅니다.다른 비행기와 다르게 행동합니다. 직관적으로 "접근할 수는 있지만 도달할 수는 없습니다."3차원에서 ${\boldsymbol {e}}_{0}$ ${\$ {\ $boldsymbol {e}}_{0}$ 를 ${\boldsymbol {e}}_{0}$ 하늘로 시각화할 수 있습니다.그 안에는 "사라지는 점", "이상적인 점", 또는 단순히 "무한대의 점"이라고 불리는 점들이 있습니다.평행선은 이러한 지점에서 서로 마주칩니다.

무한대의 선도 존재합니다. 수평선은 이러한 선의 한 예입니다.평면에 서 있는 관찰자의 경우, 그들이 서 있는 평면에 평행한 모든 평면은 수평선에서 서로 만납니다.대수학적으로 ${\boldsymbol {e}}_{2}$ {\ $displaystyle {\boldsymbol {$ e}} $_{$ 2 $}$ 를 지면으로 ${\boldsymbol {e}}_{2}+5{\boldsymbol {e}}_{0}$ ${\boldsymbol {e}}_{2}+5{\boldsymbol {e}}_{0}$ + ${\boldsymbol {e}}_{2}+5{\boldsymbol {e}}_{0}$ $e0$ { $e}_{$ 0 $}$ 가 지면과 평행한 평면이 됩니다.이 두 평행 평면은 ${\boldsymbol {e}}_{02}$ 의 ${\boldsymbol {e}}_{02}$ 02 ${\$ {\ $boldsymbol {e}_{02$ 에서 서로 만납니다.

대부분의 선( ${\boldsymbol {e}}_{23}$ : 23 ${\boldsymbol {e}}_{23}$ {\ $displaystyle {e}}_{23$ 은 회전의 축으로 사용될 수 있으며, 실제로는 가상 쿼터니언으로 처리될 수 있습니다.그러나 ${\boldsymbol {e}}_{03}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ { $e}}$ _ ${0$ ${\boldsymbol {e}}_{03}$ 과 같이 ${\boldsymbol {e}}_{0}$ ${\boldsymbol {e}}_{0}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {$ $e}_$ {0 $}$ 행은 "회전"의 축 역할을 할 수 없습니다.대신, 이것들은 번역을 위한 축들이고, 복소수나 사분위수와 유사한 대수를 갖는 대신, 그들의 대수적 행동은 0으로 제곱하기 때문에 이중수와 같습니다.3개의 베이스 라인스루 더 ${\boldsymbol {e}}_{23}$ ${\$ ${\boldsymbol {e}}_{13}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}_{13$ ${\boldsymbol {e}}_{12}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}_{12$ $-1$ {\ $displaystyle -1$ 에 $-1$ 3개의 베이스 라인을 ${\boldsymbol {e}}_{01}$ ${\boldsymbol {e}}_{01}$ {\ $boldsymbol {e}_{01$ ${\boldsymbol {e}}_{02}$ ${\$ {\ $boldsymbol$ {\boldsymbol}_{01},{ $e}}_{02$ ${\boldsymbol {e}}_{03}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}_{03}}$ 은 ${\boldsymbol {e}}_{03}$ (는) 듀얼 쿼터니언에 필요한 요소를 제공합니다 $.$

기하학적 곱에서 다른 연산 도출

도트 제품과 교차 제품이 쿼터니언 제품에서 추출된 것과 유사하게 기하 제품에서 추출할 수 있는 여러 가지 유용한 제품이 있습니다.여기에는 다음이 포함됩니다.

객체의 교차점을 취할 때 유용한 "wedge" 곱 $\wedge$ ∧ {\ $displaystyle$ \ $wedge$ $\wedge$ 입니다. 예를 들어 $P$ P{\ $displaystyle$ P $}$ 와 $선$ L {\ $displaystyle$ L $}$ 의 교차점은 $P\wedge L$ P ∧ $P\wedge L$ ${\displaystyle$ P $\wedge$ L $P\wedge L$ 입니다.
객체의 투영을 다른 객체로 가져오는 데 유용한 "내부" 곱 ⋅ {\ $displaystyle \cdot$ }입니다 $\cdot$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 를 B $(A\cdot B){\tilde {B}}$ ${\displaystyle$ B $}$ 에 $B$ 하는 $(A\cdot B){\tilde {B}}$ 은 ( $(A\cdot B){\tilde {B}}$ ⋅ B $)$ ~ ${\displaystyle ($ A $\cdot$ B) ${\tilde$ { $B}}$ – 이 수식은 객체가 점, 선 또는 평면인지 여부를 나타냅니다.또한 객체 사이의 각도를 나타내는 데 사용할 수 있습니다. A ${\displaystyle$ A $}$ 와 B ${\displaystyle$ B $B$ $A$ 의 각도는 선이든 평면이든 A ${\sqrt {A\cdot B}}$ ${\sqrt {A\cdot B}}$ {\ $displaystyle {\sqrt {A\cdot$ B ${\sqrt {A\cdot B}}$ 입니다. 이는 A{\ $displaystyle$ A}와 B{\ $displaystyle$ B $}$ 가 모두 $1$ 1{\ $displaystyle$ 1 $1$ 을(를) 갖는다고 $A$ 합니다. ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ 를 들어 A ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ = ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ ${\sqrt {A\cdot A}}={\sqrt {B\cdot B}}=1$ = ${\sqrt {A\cdot$ A $}$ } $=$ {\ $sqrt {B\cdot$ B $}}=1$ 이므로 (대부분의 기하학적 대수와 마찬가지로) 내적은 점곱의 일반화로 동작합니다 $.$
A ${\displaystyle$ A $}$ 에서 $A$ B{\ $displaystyle$ B $}$ 로의 $B$ 변환은 B $B{\tilde {A}}$ ~ ${\$ B {\ $tilde {A$ 이며, $A$ {\ $displaystyle$ B $}$ 와 $A$ B{\ $displaystyle$ B}는 $B$ 다시 점, 선 또는 평면이 됩니다. ${\tilde {A}}$ 서 ${\tilde {A}}$ A ~ ${\$ 는 ${\tilde {A}}$ 그 반대(본질적으로 그 반대)입니다.변환은 A ${\displaystyle$ A $}$ 와 $A$ B ${\displaystyle$ B $B$ $A$ 의 각도 또는 거리의 두 배가 됩니다. 정확한 거리 또는 각도만큼 변환이 필요한 경우 이중 사분위수 지수 및 로그를 사용하여 얻을 수 있습니다.
점, 선, 평면 및 실제로 다른 강체 변환을 포함하여 임의의 객체에 강체 변환(이중 쿼터니언) 또는 ${\textstyle T}$ T ${\textstyle T}$ {\ $textstyle$ T $}$ 를 ${\textstyle T}$ 적용하는 것은 ${\textstyle TA{\tilde {T}}}$ T ~ {\ $textstyle$ T ${\tilde {T$ 이며 $,$ ${\textstyle A}$ 서 A ${\textstyle A}$ {\ $textstyle$ A $}$ 는 ${\textstyle A}$ 변환 대상 객체이며, 이는 "샌드위치 제품"입니다.
$A$ 행{\ $displaystyle$ $A$ $A$ $B$ ${\displaystyle$ B $}$ 에 $B$ 대해 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(AB-BA)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(AB-BA)}$ B - ${\textstyle {\frac {1}{2}}(AB-BA)}$ ${\textstyle$ {\ $frac {1}{2}}(AB-BA)}$ 로 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(AB-BA)}$ 정의된 정류자 $\times$ 제품 × $\times$ {\ $displaystyle$ \times $\times$ 은(는) 양쪽에 대해 직교하는 고유한 선을 제공합니다.

예를 들어 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 1 ${\$ {\ $boldsymbol {e}}_{1}$ 가 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 평면이고 ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ 1 ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ + ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ + ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ 0 ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ {\ $displaystyle {\boldsymbol {$ e}} $_{1}+{\boldsymbol {e}_{2}+{\boldsymbol$ { $e}_{0$ 가 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 을 기억하십시오.그들의 기하학적인 제품은 "반사 구성"입니다 $.$ ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle {e}_{$ 1 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ }}에 ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ + ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ + ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ {\ $displaystyle {\boldsymbol {e}}_$ {1 $}+{\boldsymbol {e}_{2}+{\boldsymbol {e}_{$ 0 ${\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{0}$ 결과적으로 이중 $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ 1 $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ + $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ $1+{\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ {\ $displaystyle$ 1 + {\ $boldsymbol$ { $e}_{12}+{\boldsymbol$ 가 됩니다. $bol {e}}_{10$ 그러나 이는 원하는 것 이상일 수 있습니다. 두 평면의 교차선만 사용하려면 이 결과의 "2등급 부분"만 보면 됩니다. 예를 들어 두 ${\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ 지수 e ${\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ + ${\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ 10 ${\boldsymbol {e}}_{12}+{\boldsymbol {e}}_{10}$ {\ $displaystyle {e}_{12}$ + {\ $boldsymbol$ { $e}_$ {\boldsymbol ${$ e}}_ ${10$ 평면 쌍에서 반사하면 교차선을 중심으로 회전하기 때문에 교차선이 두 평면의 변환 구성 내부에 포함되도록 지정하는 데 필요한 정보입니다.

반사 대수로서의 해석

3차원의 모든 거리 보존 변환(본질적으로 경직된 변환과 반사)의 대수를 유클리드 군, $E(3)$ {\ $displaystyle$ E $(3$ 라고 합니다. 카르탕-디외도네 정리에 의해, 그것의 어떤 요소도 평면에서의 일련의 반사로 기록될 수 있습니다.

평면 기반 GA에서는 본질적으로 모든 기하학적 객체가 변환으로 간주될 수 있습니다. ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}}_{1}}$ 와 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 평면은 평면 반사, ${\boldsymbol {e}}_{123}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}_{123}$ 과 ${\boldsymbol {e}}_{123}$ ${\boldsymbol {e}}_{123}$ 점은 점 반사, ${\boldsymbol {e}}_{12}$ ${\$ {\ $boldsymbol {e}_{12}$ 과 ${\boldsymbol {e}}_{12}$ 같은 선은 선 반사로, 3D로 180도 회전과 같습니다.아이덴티티 변환은 제로 반사로 구성된 고유 객체입니다.이 모든 요소가 E $E(3)$ ${\displaystyle$ E $(3$ 의 요소입니다.

E $E(3)$ ( $E(3)$ ${\displaystyle$ E $(3$ 의 $E(3)$ 요소, 예를 들어 180도가 아닌 임의의 각도만큼 회전하는 것은 시각화에 사용되는 특정한 기하학적 물체를 하나도 가지고 있지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 그것들은 항상 반사로 이루어진 것으로 생각될 수 있습니다.평면 기반 기하 대수학에서 객체의 일부 요소들의 선형 조합으로 항상 표현될 수 있습니다.예를 들어, $0.8+0.6{\boldsymbol {e}}_{12}$ + $0.8+0.6{\boldsymbol {e}}_{12}$ e $0.8+0.6{\boldsymbol {e}}_{12}$ {\ $displaystyle$ 0 $.$ $8$ + $0.6{\boldsymbol {e}_{12}}$ 축은 $0.8+0.6{\boldsymbol {e}}_{12}$ ${\boldsymbol {e}}_{12}$ ${\boldsymbol {e}}_{1}$ ${\boldsymbol {e}}_{12}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {e}_{12}$ 축을 ${\boldsymbol {e}}_{12}$ 중심으로 약간의 회전을 한 것으로 $,$ e 1 {\boldsymbol ${e}$ _ ${1},$ $0.8{\boldsymbol {e}}_{1}+0.6{\boldsymbol {e}}_{2}$ + $.$ ${\boldsymbol {e}}_{1}$ e 2 {\ $displaystyle 0.8{\boldsymbol {e}_{$ }+0의 기하학적 제품(변환 구성)으로 표기할 수 있습니다. $6{\boldsymbol$ ${\boldsymbol {e}}_{12}$ { $e}}_{2$ 둘 다 ${\boldsymbol {e}}_{12}$ ${\$ }}에서 교차하는 평면 반사입니다 ${\boldsymbol {e}}_{12}$

사실, 어떤 회전도 그 축을 통과하는 두 개의 평면 반사의 구성으로 쓰여질 수 있습니다. 따라서 그것은 ^[10]2-반사라고 불릴 수 있습니다.회전 반사, 활공 반사 및 점 반사는 항상 평면 반사 3개의 구성으로 작성될 수 있으므로 3-반사라고 합니다.3D의 경우 이 상한은 4반사인 나사 운동입니다.이러한 이유로 스크류 모션을 고려할 때 가장 높은 등급의 요소인 3D 평면 기반 GA의 grade-4 ${\boldsymbol {e}}_{0123}$ 인 ${\boldsymbol {e}}_{0123}$ {\ $boldsymbol {e}_{0123$ 를 사용해야 합니다.

기하학적 제품을 "취소" 반사로 해석하는 기하학적 해석

평면에서의 반사 뒤에 같은 평면에서의 반사는 변경되지 않습니다.이 기하학에 대한 대수적 해석은 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 1 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ {\ $displaystyle {e}_{1}}$ 제곱 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ $대$ 1{\ $displaystyle$ 1 $1$ 과 ${\boldsymbol {e}}_{1}$ 1등급의 요소가 "거울을 ^[10]취소"함으로써 기하학적 문제를 해결하는 장치로서 기하학적 제품의 일반적인 동작에 대한 기하학적 해석을 제공할 수 있습니다.

이것의 유용성에 대한 예를 들어, 3D에서 특정 L ${\displaystyle$ L $}$ 과 $L$ 직교하고 특정 P ${\displaystyle$ P $P$ 을 지나는 평면을 구하고자 한다고 가정하자. $L$ ${\displaystyle$ L}은 $L$ 2반사이고 P ${\displaystyle$ P $}$ 은 $P$ 3반사이므로 어떤 의미에서 $기하곱$ $PL$ ${\displaystyle$ PL $}$ 을 $PL$ (를) 생성합니다.s 5-반사. 그러나 아래 그림과 같이 이 중 2개의 반사가 취소되어 3-반사(때로는 회전자 반사라고도 함)가 남습니다.평면 기반 기하 대수 표기법에서, 이 회전자 반사는 점 반사에 "추가된" 평면 반사로 생각될 수 있습니다.이 회전체 반사의 평면 부분은 L선{\ $displaystyle$ L $L$ $}$ 과(와) $점$ P {\ $displaystyle$ P $P$ 에 직교하는 평면입니다. 유사한 절차를 사용하여 평면에 직교하고 점을 통과하는 선을 찾거나, 선과 평면의 교차점 또는 다른 평면과의 평면의 교차점 선을 찾을 수 있습니다.

파란색 삼각형을 빨간색 삼각형으로 변환하는 2D 변환으로, "게이팅"을 사용하여 단순화됩니다.완전한 변형은 네 가지 반사로 구성되었습니다.두 반사선이 일치하도록 측정된 두 반사선을 "취소"할 수 있습니다.

회전과 번역은 "대수하대수"입니다.

회전과 번역은 거리와 손의 전달력을 유지하는 변환입니다. 예를 들어, 물체의 집합에 적용되었을 때, 그 물체들 사이의 상대적인 거리는 변하지 않고, 오른손 장갑이 왼손 장갑으로 변하지 않을 것이라는 것을 의미하는 손의 전달력 또한 변하지 않습니다.3D 유클리드 평면 기반 기하 대수학의 모든 변환은 거리를 유지하지만 반사, 회전자 반사 및 반투과는 손을 유지하지 않습니다.

회전과 번역은 손의 힘을 유지하며, 3D Plane 기반 GA에서는 짝수 개의 반사의 구성으로 작성될 수 있음을 암시합니다.회전은 평면에서의 반사에 이어 첫 번째 평면(위의 PGA의 맥락에서 설정된 쿼터니언)과 평행하지 않은 다른 평면에서의 반사로 생각될 수 있습니다.평면이 평행한 경우 반사를 구성하면 번역이 됩니다.

회전과 병진은 모두 나사 운동의 특별한 경우입니다. 예를 들어 공간에서 선을 중심으로 회전한 후 같은 선을 따라 방향을 지정하는 병진입니다.이 그룹은 일반적으로 SE(3)라고 불리며, 3차원에서 특수(손잡이 보존) 유클리드(거리 보존) 변환의 그룹입니다.이 그룹은 대수와 계산에 사용할 수 있도록 일반적으로 사용되는 두 가지 표현을 가지고 있습니다. 하나는 실수의 4×4 행렬이고 다른 하나는 이중 사중주입니다.일반적인 쿼터니언과 마찬가지로 이중 쿼터니언 표현은 실제로 SE(3)의 이중 커버입니다.이중 사분위수는 대수적으로 닫혀 있고 의 짝수 개의 기저 요소로 만들어졌기 때문에 3D 유클리드 평면 기반 기하 대수의 짝수 하위 대수라고 불립니다.'스피너'라는 단어는 때때로 이 ^[11]^[12]아대수를 설명하는 데 사용됩니다.

비행기를 이용한 경직된 변형을 묘사하는 것은 카밀 ^[13]조단의 작업에서 주요한 목표였습니다.그리고 미셸^[14] 샤슬스는 치료가 차원에 구애받지 않는 것을 허용하기 때문입니다.

일반화

사영 기하 대수

실제로 평면 기반 기하학 대수는 거의 항상 "이중" 연산자와 결합하여 "투영 기하학 대수"라고 알려진 더 큰 대수 체계를 만듭니다.^[15]^[16]^[17]다른 기하학적 대수와 마찬가지로 이중성은 회귀곱의 정의를 허용합니다. 즉, 입력의 이중성의 쐐기곱의 이중성입니다.이를 통해 점을 선으로 "접합"할 수 있습니다(그림 참조).

이중성과 용어의 변형

회귀적 곱은 원래 호지 ^[3]이중성을 사용하여 정의되었지만, 다른 저자들은 그 이후로 등각 기하 대수학의 의사 스칼라에 기초한 이중성, 즉 투영 이중성을 사용했습니다. 비록 세 개의 이중성 모두 개념적으로 그리고 대수적으로 다르지만, 결합에 대해 동일한 공식을 낳습니다.

투영 이중성은 이중 공간에 대한 매핑입니다. 예를 들어 평면 기반 GA의 평면은 이중 공간의 점에 매핑됩니다.유클리드 변환은 비유클리드가 아닌 이중 공간의 변환에 매핑됩니다.

"프로젝티브 기하 대수"는 평면 기반 GA보다 더 큰 기하학적 객체 및 연산 집합입니다.다른 저자들은 평면 기반 GA와 동형인 PGA의 부분 집합에 다른 이름을 사용합니다.평면^[18] 기반 GA에 "유클리드 PGA"와 "듀얼 유클리드 PGA"를 사용하여 점을 1등급 객체로 해석하는 동일한 대수를 사용하는 것을 설명합니다.평면 기반 GA는 "공간"^[9]이라고도 할 수 있으며, 점 기반 GA는 "공간"인 것과 대조됩니다.

혼란스럽게도, 콘포멀 기하 대수학에서, 평면 기반 GA 하위 대수의 표기는 1등급 물체가 점이 아닌 평면이기 때문에 "이중 공간"(직접 ^[19]공간이 아닌)으로 설명됩니다(평면 반사를 달성하는 콘포멀 GA의 대수 물체는 여전히 1등급입니다).

등각기하대수학의 하위대수로서

등각 기하학 대수는 원과 구에서 등각 변환과 반전을 모델링할 수 있는 더 큰 대수입니다.평면에서의 반사는 구(평면은 무한한 반지름을 가진 구)에서의 반전의 특별한 경우이고, 등각 변환은 (강체 변환은 각도를 보존하기 때문에) 강체 변환을 포함하기 때문에, 그것은 하위 대수로서 평면 기반 기하 대수를 포함합니다.

따라서 평면 기반 GA는 CGA의 ^[20]하위 대수입니다.이것은 CGA가 일반적으로 "점 기반"이기 때문에 알기 어려울 수 있지만, 일부 저자들은 CGA의 5가지 기본 요소가 x-, y-, z-평면(평면 기반 GA와 동일)을 포함하는 평면 기반 접근 방식을 취합니다.무한대의 영반지름 구(평면 기반 GA의 "무한대의 평면")와 원점의 영반지름 구(평면 기반 GA에는 포함되지 않음).

비유클리드 기하학과 고전적 리 군의 투영 기하학 대수학

첫 번째 근사치에 따르면, 물리적 세계는 유클리드, 즉 대부분의 변환은 경직되어 있습니다. 따라서 투영 기하학 대수는 일반적으로 Cl $(R)$ 을_3,0,1 기반으로 합니다. 왜냐하면 경직된 변환은 이 대수에서 모델링될 수 있기 때문입니다.

그러나 ^[18]대수를 약간 달리하여 다른 공간을 모델링하는 것은 가능합니다.이러한 시스템에서 점, 평면 및 선은 평면 기반 GA에서 가지는 것과 동일한 좌표를 갖습니다.하지만 회전과 반사와 같은 변화는 기하학에 매우 다른 영향을 미칠 것입니다.아래의 모든 경우에서, 대수는 공간에서 반사, 회전, 회전 반사의 그룹의 이중 커버입니다.


기하학적 공간	변환군	겉보기 "무한대의 평면" 제곱은 다음과 같습니다.	손대성 보존 부분군의 이름(아대수)	메모들
유클리드적	$핀(N,0,1)$ $Cl 3,0,1 (R)$	0	이중 사중이온, $스핀(3, 0, 1),$ 강성 변환의 이중 커버	엔지니어링 애플리케이션에서 가장 중요한 것은 변환이 엄격하기 때문입니다. 또한 인간에게 가장 "직관적"이기 때문입니다.
타원형	$핀(N +1,0,0)$ $Cl 4,0,0 (R)$	1	스플릿 바이 쿼터니언, $스핀(4, 0,$ 0), 4D 회전의 이중 커버	"구면 기하학"이라고도 합니다.Cl $(R)$ 과_3,0,0 유사합니다. Gnonomic 세계 지도 투영 모델을 제공합니다.Poincaré 이중성 포함.
쌍곡선	$핀(N, 1, 0)$ $Cl 3,1,0 (R)$	−1	복소수 사분위수; $스핀(3, 1, 0);$ 로렌츠 그룹의 이중 커버	새들 기하학이라고도 합니다.그룹은 회전 및 시공간 부스트를 수행할 수 있습니다. 즉, 부스트(2,1,0)는 2D 쌍곡 기하학의 클라인 디스크 모델과 동일합니다.

유클리드 사례의 모든 공식은 이러한 다른 기하학으로 이어집니다. 쐐기곱은 여전히 물체의 교차점을 취하는 방법으로 기능합니다. 기하곱은 여전히 변환을 구성하는 방법으로 기능합니다. 쌍곡의 경우 내부곱은 쌍곡각을 측정할 수 있습니다.

스칼라에 의한 몫을 취한 후, 세 개의 짝수 대수는 모두 고전적인 리 군입니다.각 군에 대한 연관된 리 대수는 스칼라에 의한 몫을 취하지 않고 클리포드 ^[21]대수의 쌍벡터입니다.

참고문헌

^ .A Swift Introduction to Projective Geometric Algebra, retrieved 2023-09-09
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