스플릿옥토니언

수학에서 스플릿 옥톤은 실수에 대한 8차원 비 연상 대수다. 표준 옥톤과 달리, 그것들은 비반복적인 원소를 포함하고 있다. 또한 그들의 2차적 형태의 서명은 다르다: 분할-옥톤은 분할 서명 (4,4)을 가지고 있는 반면, 옥톤은 양-확정 서명 (8,0)을 가지고 있다.

이소모르피즘까지 8차원 구성 알헤브라는 8차원 구성 알헤브라가 실수에 비해 유일하게 8차원 구성 알헤브라가 된다. 그들은 또한 실수에 대한 유일한 옥토니언 알제브라들이다. 스플릿옥톤과 유사한 스플릿옥톤 알헤브라는 어떤 분야에서도 정의될 수 있다.

정의

케이리-딕슨 건설

옥토니언과 스플릿 옥토니언은 쿼터니언 쌍에 대한 곱셈을 정의함으로써 케이리-딕슨 구조에서 얻을 수 있다. 새로운 상상 단위 ℓ을 소개하고 quaternion(a, b)을 + ℓb 형식으로 쓴다. 제품은 다음 규칙에 의해 정의된다.^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\ba {d}ba)+\ell(da+b{\c})}$

어디에

$\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

만약 λ이 -1로 선택된다면, 우리는 8진법을 얻게 된다. 대신, +1로 간주하면 분할옥톤이 나온다. 또한 Cayley-Dickson을 통해 분할 분기의 두 배가 되는 분할 옥톤을 얻을 수 있다. 여기서 λ (±1) 중 어느 하나를 선택하든지 간에 분할 옥토니언은 주어진다.

곱셈표

분할옥톤의 기본은 세트${\displaystyle }${${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$,${\displaystyle \text{i},}$ ${\displaystyle \text{j},}$ ${\displaystyle \text{k}}$,${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle \text{ℓ}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \text{ℓ}}$ k,${\displaystyle \text{ℓ}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \text{}}}$ ${\$ $displaystyle$\{\, \, \, \\, \$el, \, \ell i,\\, \ell$j,\\\$ell$ k$\}$에 의해 주어진다$.$

모든 분할-옥톤 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 기본 요소의 선형 조합으로 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,},}$

실제 계수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$를 사용하여 $.$

선형성에 의해 분할 옥톤의 곱셈은 다음 곱셈표에 의해 완전히 결정된다.

		곱셈을 하다
		${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle k}$	$\displaystyle \ell }$	$\displaystyle \ell i}$	$\displaystyle \ell j}$	$\displaystyle \ell k}$
곱셈의	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle k}$	$\displaystyle \ell }$	$\displaystyle \ell i}$	$\displaystyle \ell j}$	$\displaystyle \ell k}$
	$(\displaystyle i}$	$(\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	$(\displaystyle k}$	${\displaystyle -j})$	$-\displaystyle -\ell i}$	$\displaystyle \ell }$	$-\displaystyle -\ell k}$	$\displaystyle \ell j}$
	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle$	${\displaystyle -1}$	$(\displaystyle i}$	$-\displaystyle -\ell j}$	$\displaystyle \ell k}$	$\displaystyle \ell }$	$-\displaystyle -\ell i}$
	$(\displaystyle k}$	$(\displaystyle k}$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	$-\displaystyle -\ell k}$	$-\displaystyle -\ell j}$	$\displaystyle \ell i}$	$\displaystyle \ell }$
	$\displaystyle \ell }$	$\displaystyle \ell }$	$\displaystyle \ell i}$	$\displaystyle \ell j}$	$\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle k}$
	$\displaystyle \ell i}$	$\displaystyle \ell i}$	$-\displaystyle -\ell }$	$-\displaystyle -\ell k}$	$\displaystyle \ell j}$	$(\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle k}$	${\displaystyle -j})$
	$\displaystyle \ell j}$	$\displaystyle \ell j}$	$\displaystyle \ell k}$	$-\displaystyle -\ell }$	$-\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle -j})$	$(\displaystyle$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$
	$\displaystyle \ell k}$	$\displaystyle \ell k}$	$-\displaystyle -\ell j}$	$\displaystyle \ell i}$	$-\displaystyle -\ell }$	$(\displaystyle$	$(\displaystyle j}$	$(\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$

편리한 니모닉은 오른쪽의 도표에 의해 주어지는데, 이것은 분할 옥톤에 대한 곱셈표를 나타낸다. 이 값은 부모 옥토니언(가능한 480개 중 하나)에서 파생된 것으로, 이 옥토니언은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\cHB _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}}\,}$

where ${\displaystyle \delta _{ij}}$ is the Kronecker delta and ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ is the Levi-Civita symbol with value ${\displaystyle +1}$ when ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$ and:

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{0}e_{0}e_{i};\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0}}},}$

$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 스칼라$$ 원소 및 $i{\displaystyle }$, j${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle \mathrm{1...7.}}$ ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

빨간색 화살표는 이 곱셈표와 함께 분할된 옥톤을 생성하는 부모의 오른쪽 하단 사분면을 부정함으로써 부과되는 가능한 방향 반전을 나타낸다.

결합, 정규 및 역수

분할옥토니언 x의 결합은 다음과 같다.

${\displaystyle {\x}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7},\,\ell k,},}$

팔분의 일에 관해서라면

x의 2차 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle N(x)={\bar {x}x=(x_{0}^{2}+x_{1)}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-(x_{4}^{2}+x_{5)}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

이 2차 형태 N(x)는 N(x) = 0이 아닌 분할-옥톤 x가 있기 때문에 등방성 2차 형태다. N과 함께 분할-옥톤은 R에 걸쳐 8차원의 유사-유클리드 공간을 형성하고, 때로는 R을^4,4 써서 2차 형태의 서명을 나타낸다.

N(x)이 0이면 x는 (양측) 승법 역 x가⁻¹ 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

특성.

분할-옥톤은 옥톤과 마찬가지로 비확정적이고 연관성이 없다. 또한 옥토니언과 마찬가지로 2차 형태 N이 곱하기 때문에 구성 대수학을 형성한다. 그것은

$[\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)]}$

스플릿-옥톤은 무방 정체성을 만족시켜 대체 대수학을 형성한다. 따라서 아르틴의 정리로는 어떤 두 원소에 의해 생성되는 아발지브라(subalgebra)가 연상된다. 모든 변환 불가능한 요소들(즉, N(x) ≠ 0이 Moufang 루프를 형성하는 요소들)의 집합.

스플릿옥토니언스의 오토모피즘 그룹은 14차원 리 그룹으로, 예외적으로 단순한 리 그룹 G의₂ 분할 실체 형태다.

조른의 벡터 매트릭스 대수

분할-옥톤은 연관성이 없기 때문에 일반 행렬로 나타낼 수 없다(매트릭스 곱셈은 항상 연관성이 있다). 조른은 변형된 매트릭스 곱셈을 사용하여 그것들을 스칼라와 벡터를 모두 포함하는 "매트릭스"로 표현하는 방법을 찾았다.^[2] 특히 벡터 매트릭스를 폼의^[3][4][5][6] 2×2 매트릭스로 정의하십시오.

${\displaystyle {\bmatrix}a&\mathbf {v}\\\mathbf {w} &b\end{bmatrix},}$

여기서 a와 b는 실제 숫자, v와 w는 R에서³ 벡터다. 규칙으로 이러한 행렬의 곱하기 정의

${\displaystyle{\begin{bmatrix}a&, \mathbf{v}\\\mathbf{w}&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&, \mathbf{v}'\\\mathbf{w}'&, b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}'&, a\mathbf{v}'+b'\mathbf{v}+\mathbf{w}\times \mathbf{w}'\\a'\mathbf{w}+b\mathbf{w}'-\mathbf{v}\times \mathbf{v}'&, bb'+\ma.thbf{v}'\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}$

여기서 ·와 ×는 3-벡터의 일반 도트 제품과 교차 제품이다. 추가 및 스칼라 곱셈을 평상시와 같이 정의하면 그러한 모든 행렬의 집합은 실제에 걸쳐 연관성이 없는 단일 8차원 대수학을 형성하는데, 이는 조른의 벡터 매트릭스 대수학이라고 불린다.

규칙에 의한 벡터 매트릭스의 "결정적" 정의

[ = - ${\$ \mathbf {$w$

이 결정요소는 조른의 대수에서 다음과 같은 구성 규칙을 만족하는 2차적 형식이다.

$[\displaystyle \det(AB)]=\det(A)\det(B).\,}$

조른의 벡터 매트릭스 대수학은 사실 분할 옥토니언의 대수학과는 이형성이다. 양식에$$ $8진수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 작성

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell(b+\mathbf {w} )}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$ 및 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 실제 숫자이고$$ v와 w는 R에서³ 벡터로 간주되는 순수한 가상 쿼터다. 스플릿옥토니언에서 조른의 대수까지 이형성은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x\mapsto \phi(x)={\matrix}a+b&\mathbf {v}+\mathbf {w}\\\mathbf {v}+\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}}}.}$

$이러한{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{이형성}}$은${\displaystyle }$N ( x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \det }$ (${\displaystyle x}$){\$displaystyle N(x)=\det(\$phi($x)}}$ 이후 규범을 보존한다$.$

적용들

스플릿 옥톤은 물리적 법칙의 설명에 사용된다. 예를 들면 다음과 같다.

• 물리학의 디락 방정식(전자나 양성자와 같은 자유 스핀 1/2 입자의 운동 방정식)은 고유 분할 옥토니언 산술로 표현할 수 있다.^[7]
• 초대칭 양자역학은 8진법의 확장을 가지고 있다.^[8]
• Zorn 기반 분할-옥톤 대수학은 국소 게이지 대칭 SU(3) 양자 색역학 모델링에 사용할 수 있다.^[9]
• 반경 3배의 볼 위에서 미끄러지지 않고 굴러가는 문제는 이 문제를 스플릿 옥토니언으로 설명할 수 있기 때문에 예외적인 그룹₂ G의 분할 실형을 대칭군으로서 가지고 있다.^[10]

참조

• Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.
• 내쉬, 패트릭 L (1990) "분할된 옥토니언 대수학의 구조에 대하여", 일 누오보 시멘토 B 105(1) : 31–41. 도이:10.1007/BF02723550
• Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.