비표준 산술 모형

수학 논리학에서 비표준 산술 모델은 비표준 숫자를 포함하는 (일차 순서) 페아노 산술의 모델이다.산술의 용어 표준 모형은 표준 자연수 0, 1, 2 …을 가리킨다.페아노 산술의 모든 모델의 원소들은 선형적으로 순서가 정해지고 표준 자연수에 대한 초기 세그먼트가 이형화된다.비표준 모델은 이 초기 세그먼트 외부에 추가 요소가 있는 모델이다.이러한 모델의 건설은 Thoralf Scolem(1934년) 때문이다.

존재

산술 비표준 모델의 존재를 증명하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있다.

압축성 정리로부터

산술의 비표준 모델의 존재는 콤팩트 정리의 적용으로 증명할 수 있다.이를 위해 새로운 상수 기호 x와 함께 페아노 산술의 언어를 포함한 언어로 공리 P* 집합을 정의한다.공리는 페아노 산술 P의 공리와 또 다른 무한 공리의 집합으로 구성된다. 각 숫자 n에 대해 공리 x > n이 포함된다.이러한 공리의 어떤 유한 부분집합은 산술의 표준 모형과 상수 x가 P*의 유한 부분집합에서 언급된 어떤 숫자보다 큰 숫자로 해석되는 모델에 의해 충족된다.따라서 압축성 정리에는 모든 공리 P*를 만족하는 모델이 있다.P*의 어떤 모델도 P의 모델이기 때문에(공리 집합의 모델은 분명히 그 공리 집합의 어떤 부분집합의 모델이기도 하기 때문에), 우리는 우리의 확장된 모델도 Peano 공리의 모델이라는 것을 알고 있다.x에 해당하는 이 모델의 요소는 표시된 대로 어떤 표준 번호보다 크기 때문에 표준 번호가 될 수 없다.

보다 복잡한 방법을 사용하면 보다 복잡한 특성을 가진 비표준 모델을 구축할 수 있다.예를 들어 굿스타인의 정리가 실패하는 페이노 산술의 모델이 있다.굿스타인의 정리가 표준모델에서 가지고 있다는 것은 제르멜로-프렌켈 세트 이론에서 증명할 수 있으므로 굿스타인의 정리가 실패하는 모델은 비표준이어야 한다.

불완전성 이론으로부터.

괴델의 불완전성 이론은 산술 비표준 모델의 존재를 암시하기도 한다.불완전성 이론은 특정 문장 G, 즉 페아노 산술의 괴델 문장이 페아노 산술에서는 증명할 수 없거나 반증할 수 없다는 것을 보여준다.완전성 정리에 의해 이것은 페아노 산술의 어떤 모델에서 G가 거짓이라는 것을 의미한다.그러나 산술의 표준 모형에서 G는 참이므로 G가 거짓인 모형은 반드시 비표준 모형이어야 한다.따라서 ~G 만족은 모델이 비표준이 되기에 충분한 조건이다.그러나 이것은 필요한 조건이 아니다; 어떤 괴델 문장 G와 어떤 무한 카디널리티에 대해서도 G 참과 그 카디널리티를 가진 산술의 모델이 있다.

~G true가 있는 모형의 산술 불건전성

산수가 일치한다고 가정하면 ~G와의 산술도 일치한다.그러나 ~G는 산술에 일관성이 없다고 명시하고 있으므로 결과는 Ω 일관성이 없다( ~G는 거짓이고 이것은 Ω 일관성 위반이기 때문이다).

울트라프로덕트로부터

비표준 산술 모델을 구성하는 또 다른 방법은 초고속을 통한 것이다. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ 인 구조는 $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ {\ $displaystyle \mathb{N} ^{\mathb{N}}}}}}$ 의 모든 시퀀스 집합을 사용한다 $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ 두 시퀀스가 거의 모든 곳에서 일치할 경우 두 시퀀스를 식별하십시오.결과적인 의미 부여는 비표준 산술 모델이다.그것은 초자연적인 숫자로 식별할 수 있다.^[1]

셀 수 있는 비표준 모델의 구조

초고속 모델은 탑재할 수 없다.이것을 볼 수 있는 한 가지 방법은 N의 무한 생산물을 초고속으로 주입하는 것이다.그러나 뢰웬하임-스콜렘 정리에 의해 계산 가능한 비표준 산술 모델이 존재해야 한다.그러한 모델을 정의하는 한 가지 방법은 Henkin 의미론을 사용하는 것이다.

계산 가능한 비표준 모델은 모두 순서형 Ω + (Ω* + Ω) ⋅이 있으며, 여기서 Ω은 표준 자연수의 순서형이고, Ω*는 이중 순서(무한 감소 시퀀스), and은 합리수의 순서형이다.즉, 계산 가능한 비표준 모델은 무한 증가 시퀀스(모델의 표준 요소)로 시작한다.이어 정수의 순서 유형인 각 순서 유형 Ω* + Ω인 "블록" 집합이 이어진다.이 블록들은 차례로 이성들의 순서형식과 밀접하게 배열되어 있다.비표준 번호의 블럭은 엔드포인트 없이 밀도 있고 선형적으로 정렬되어야 한다는 것을 쉽게 알 수 있고, 이성계의 순서 유형은 엔드포인트 없이 카운트 가능한 밀도 선형 순서일 뿐이기 때문에 결과는 상당히 쉽게 따라온다.^[2]^[3]^[4]

그래서, 셀 수 있는 비표준 모델의 주문 유형이 알려져 있다.그러나 산술 연산은 훨씬 더 복잡하다.

산술적 구조가 Ω + (Ω* + Ω) ⋅ from과 다르다는 것을 쉽게 알 수 있다. 예를 들어, 비표준(비-핀라이트) 요소 u가 모델 내에 있다면 초기 세그먼트 N의 m에 대해서도 m ⋅ u이지만, u는² 어떤 표준 유한 m에 대해서도 m ⋅ u보다 크다.

또한² v > 2 ⋅ u와 같은 최소 v와 같은 "제곱근"을 정의할 수 있다.이것들은 u의 어떤 합리적인 배수의 표준 유한한 수 안에 있을 수 없다.비표준 분석과 유사한 방법으로 PA를 사용하여 최소 v > $π$ u와 같은 비표준 수 u의 비합리적인 배수에 대한 근접한 근사치를 정의할 수도 있다(이들은 $π$ 자체가 될 수 없음에도 불구하고 $π$ 의 비표준 유한 합리적 근사치를 사용하여 PA에서 정의할 수 있다).다시 한번 v - (m/n) ⋅ (u/n)은 어떤 표준 유한 m, n에 대해서도 어떤 표준 유한수보다 커야 한다.^{[citation needed]}

이것은 계산 가능한 비표준 모형의 산술적 구조가 이성들의 구조보다 더 복잡하다는 것을 보여준다.그러나 그것보다 더 많은 것이 있다:테넨바움의 정리는 어떤 계산 가능한 페아노 산술 비표준 모델의 경우 모델의 추가 또는 곱셈 연산을 코드에 계산할 수 있도록 모델의 요소를 (표준) 자연수로 코드화할 방법이 없다는 것을 보여준다.이 결과는 1959년 스탠리 텐넨바움(Stanley Tennenbaum)에 의해 처음 얻어졌다.

참조

인용구

^ Goldblatt, Robert (1998), "Ultrapower Construction of the Hyperreals", Lectures on the Hyperreals, New York: Springer, pp. 23–33, doi:10.1007/978-1-4612-0615-6_3
^ 안드레이 보비킨과 리차드 케이 오더 유형 페아노 산술 모델: 2001년 6월 14일 간단한 조사
^ Andrey Bobykin 2000년 4월 13일 과학부 박사 학위를 위해 버밍엄 대학에 제출된 산술 논문의 모델 주문 유형
^ Fred Landman 선형 순서, 이산형, 조밀도 및 연속형 – Q가 계수 가능한 유일한 조밀 선형 순서라는 증거를 포함한다.

원천

볼로스, 조지, 그리고 제프리, 리처드 1974.케임브리지 대학 출판부의 연산성과 논리학.ISBN 0-521-38923-2.
Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in German). 23 (1): 150–161.

[1] Goldblatt, Robert (1998), "Ultrapower Construction of the Hyperreals", Lectures on the Hyperreals, New York: Springer, pp. 23–33, doi:10.1007/978-1-4612-0615-6_3

[2] 안드레이 보비킨과 리차드 케이 오더 유형 페아노 산술 모델: 2001년 6월 14일 간단한 조사

[3] Andrey Bobykin 2000년 4월 13일 과학부 박사 학위를 위해 버밍엄 대학에 제출된 산술 논문의 모델 주문 유형

[4] Fred Landman 선형 순서, 이산형, 조밀도 및 연속형 – Q가 계수 가능한 유일한 조밀 선형 순서라는 증거를 포함한다.

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