곱셈

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곱셈(종종 X 기호 ×, 중간선 점 연산자 ,, 병치 또는 별표 *로 표시됨)은 산술의 네 가지 기본 수학 연산 중 하나이며, 다른 것은 덧셈, 뺄셈, 나눗셈입니다.곱셈 연산의 결과를 곱이라고 합니다.

정수의 곱셈은 반복 덧셈으로 생각할 수 있다. 즉, 두 숫자의 곱셈은 곱셈 중 하나의 복사를 곱셈인 곱셈의 양만큼 더하는 것과 같다.두 숫자 모두 요인이라고 할 수 있습니다.

$({displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b}_{a420text{times}})$

예를 들어, 4에 3을 곱한 값$($종종 3${\displaystyle \times 4}$(\$displaystyle$ 3$\times$4)으로$$ $쓰이고{\displaystyle \mathrm{}}$ "3×4"로 말함)은 4의 복사본 3개를 더하면 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle 3\times 4=4+4=12}$

여기서 3(승수)과 4(승수)가 요인이고 12는 곱입니다.

곱셈의 주요 속성 중 하나는 교환 속성으로, 이 경우 4개의 복사본을 추가하면 3개의 복사본을 4개 추가하는 것과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3=12}$

따라서 곱셈과 곱셈의 ^[1]지정은 곱셈의 결과에 영향을 미치지 않는다.

이 기본 정의의 체계적 일반화는 정수(음수 포함), 유리수(분할) 및 실수의 곱셈을 정의합니다.

곱셈은 직사각형(정수)에 배열된 객체를 세거나 변의 길이가 지정된 직사각형의 영역을 찾는 것으로도 시각화할 수 있습니다.직사각형의 면적은 어느 쪽이 먼저 측정되느냐에 따라 달라지지 않는다. 즉, 교환 특성에 따른 결과이다.

두 가지 측정의 곱은 새로운 유형의 측정입니다.예를 들어 직사각형의 두 변의 길이를 곱하면 면적이 표시됩니다.이러한 제품은 치수 분석의 대상이다.

곱셈의 역연산은 나눗셈이다.예를 들어 4 곱하기 3은 12이므로 12 나누기 3은 4입니다.실제로, 3을 곱한 후에 3을 나누면 원래의 숫자가 됩니다.0 이외의 숫자를 나눗셈만으로 1이 됩니다.

곱셈은 복소수와 같은 다른 유형의 숫자와 행렬과 같은 더 추상적인 구문에 대해서도 정의됩니다.이들 보다 추상적인 구성 중 일부에서는 피연산자가 함께 곱되는 순서가 중요합니다.수학에 사용되는 다양한 종류의 제품 목록은 제품(수학)^[verification needed]에 나와 있습니다.

표기법 및 용어

× ⋅
곱셈 기호
유니코드	U+00D7 × 곱셈 부호(×) U+22C5 dot DOT 오퍼레이터(⋅)
와는 다르다
와는 다르다	U+00B7 · 가운데 점 U+002E . 풀스톱

산술적으로 곱셈은 종종 용어 사이의 곱셈 기호(× 또는$×(\displaystyle \times$를 사용하여 씁니다(infix 표기).^[2]예를들면,

${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ ($디스플레이$ 스타일 $2$\ $times$ 3 $= 6$ $$) (2 x 3 = 6 )

${\displaystyle 3\times 4=12}$

${\displaystyle 2\times 5=6\times 5=30}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2=32}$

곱셈에는 다른 수학적 표기법이 있습니다.

• 곱셈 기호 ×와 공통 변수 x 사이의 혼동을 줄이기 위해 곱셈은 점 기호(^[3]일반적으로 중간 위치 점)로도 표시됩니다(희박한 주기).

5 2 2 또는 5 . 3

Unicode에서 U+22C5 , DOT OPTER로 인코딩된 중간 도트 표기법은 현재 미국 등 소수점으로 마침표를 사용하는 국가에서 표준으로 사용되고 있습니다.도트 연산자 문자에 액세스할 수 없는 경우 인터폰트(·)를 사용합니다.쉼표를 소수점 표시로 사용하는 다른 국가에서는 ^{[citation needed]}곱셈에 마침표 또는 중간 점을 사용합니다.

역사적으로 영국과 아일랜드에서는 중간 점이 규칙선에서 사라지는 것을 방지하기 위해 소수점에 사용되기도 했으며, 마침표/완소점은 곱셈에 사용되기도 했다.그러나 1968년 ^[4]기술부가 이 시기를 소수점으로 사용하기로 결정하면서 SI 표준이 널리 채택된 이후, 이 사용법은 Lancet과 ^[5]같은 전통적인 저널에서만 찾아볼 수 있게 되었다.

• 대수학에서 변수를 포함하는 곱셈은 종종 x 곱하기 y의 xy 또는 5 곱하기 x의 5x와 같이 암시적 ^[6]곱셈이라고도 불리는 병렬 배치로 쓰여진다.이 표기법은 괄호로 둘러싸인 수량에도 사용할 수 있다(예: 5 곱하기 2에 대해 5(2) 또는 (5)(2)).이러한 암묵적인 곱셈 사용으로 인해 연결된 변수가 다른 변수의 이름과 일치하거나 괄호 앞에 있는 변수 이름이 함수 이름과 혼동되거나 올바른 연산 순서를 ^{[citation needed]}결정할 때 모호성이 발생할 수 있습니다.
• 벡터 곱셈에서는 십자 기호와 점 기호 사이에 차이가 있습니다.십자 기호는 일반적으로 두 벡터의 교차곱을 취하여 결과적으로 벡터를 산출하는 것을 나타내며, 점은 두 벡터의 점곱을 취하여 스칼라가 ^{[citation needed]}되는 것을 나타냅니다.

컴퓨터 프로그래밍에서 별표(와 같이)5*2)는 여전히 가장 일반적인 표기법입니다.이는 대부분의 컴퓨터가 역사적으로 곱셈 기호(예: ASCII 및 EBCDIC)가 없는 작은 문자 집합으로 제한되었기 때문입니다.⋅또는×모든 키보드에 아스타리스크가 표시되어 있습니다.이 사용법은 FORTRAN 프로그래밍 ^{[citation needed]}언어에서 비롯되었습니다.

곱하는 숫자를 일반적으로 "요인"이라고 합니다.곱하는 숫자는 "승수"이고, 곱하는 숫자는 "승수"이다.일반적으로 승수가 먼저 배치되고 승수가 ^[1]두 번째로 배치됩니다. 그러나 때로는 첫 번째 인자가 승수이고 두 번째 인자가 ^[7]승수입니다.또한 곱셈의 결과는 요인의 순서에 의존하지 않기 때문에 "승수"와 "승수"의 구별은 매우 초보적인 수준과 긴 곱셈과 같은 일부 곱셈 알고리즘에서만 유용하다.따라서 일부 출처에서는 "승수"라는 용어를 "요인"^[8]의 동의어로 간주한다.대수학에서 변수 또는 식(예: 3 in² 3xy)의 승수인 숫자를 계수라고 한다.

곱셈의 결과를 곱이라고 한다.한 요인이 정수일 경우 곱은 다른 요소의 배수이거나 다른 요소의 곱입니다.따라서 2 × θ는 5133 × 486 × θ와 같이 θ의 배수이다. 예를 들어 정수의 곱은 각 인자의 배수이다. 예를 들어 15는 3과 5의 곱이며 3의 배수이자 5의 ^{[citation needed]}배수이다.

계산

연필과 종이를 사용하여 숫자를 곱하는 일반적인 방법에는 작은 숫자(일반적으로 0에서 9 사이의 두 숫자)의 외우거나 참조한 곱셈표가 필요합니다.그러나 농민 곱셈 알고리즘이라는 한 가지 방법은 그렇지 않습니다.다음 예시는 '긴 곱셈'('표준 알고리즘', '학년 곱셈')을 나타내고 있습니다.

23958233 ×         5830 ———————————————       00000000 ( =      23,958,233 ×     0)      71874699  ( =      23,958,233 ×    30)    191665864   ( =      23,958,233 ×   800) + 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000) ———————————————   139676498390 ( = 139,676,498,390        )

독일과 같은 일부 국가에서는 위의 곱셈이 비슷하게 나타나지만, 원래의 곱셈은 수평을 유지하고 곱셈기의 ^[9]첫 번째 자리부터 연산을 시작한다.

23958233 · 5830 ———————————————    119791165     191665864       71874699        00000000  ———————————————    139676498390

손으로 숫자를 소수점 이하 몇 자리까지 곱하는 것은 지루하고 오류가 발생하기 쉽습니다.대수를 더하는 것은 곱하는 것과 같기 때문에, 일반적인 대수는 그러한 계산을 단순화하기 위해 발명되었다.슬라이드 규칙에 따라 숫자를 약 3개의 정확한 위치로 빠르게 곱할 수 있습니다.20세기 초부터 Marchant와 같은 기계식 계산기는 최대 10자리 숫자를 자동으로 곱했습니다.현대의 전자 컴퓨터와 계산기는 손으로 곱해야 하는 필요성을 크게 줄였다.

이력 알고리즘

곱셈 방법은 고대 이집트, 그리스, 인도,^{[citation needed]} 중국 문명의 글에 기록되어 있다.

약 기원전 18,000년에서 20,000년까지 거슬러 올라가는 이산고의 뼈는 중앙 아프리카의 구석기 시대 증식에 대한 지식을 암시할 수 있지만,^{[10][verification needed]} 이것은 추측에 불과하다.

이집트인

진드 수학 파피루스에 기록된 정수와 분수의 이집트 곱셈 방법은 연속적인 덧셈과 곱셈이었다.예를 들어 13과 21의 곱을 구하려면 21을 세 번 곱하여 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168을 구해야 했다.그런 다음 더블링 ^[11]시퀀스에서 발견된 적절한 용어를 추가하여 전체 제품을 찾을 수 있습니다.

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

바빌로니아인

바빌로니아인들은 현대의 십진법과 유사한 60진법 위치수 체계를 사용했다.따라서, 바빌로니아 곱셈은 현대의 십진법 곱셈과 매우 유사했다.60×60개의 서로 다른 제품을 기억하는 것이 상대적으로 어려웠기 때문에, 바빌로니아의 수학자들은 곱셈표를 사용했다.이들 표는 특정 주요 번호 n: n, 2n, ..., 20n의 처음 20배 목록으로 구성되었으며, 그 뒤에 10n: 30n 40n 및 50n의 배수가 이어졌다.그런 다음, 예를 들어 53n과 같은 60진수 곱을 계산하려면 ^{[citation needed]}표에서 계산한 50n과 3n을 더하기만 하면 된다.

중국인

기원전 300년 이전의 수학 텍스트인 저우비 쑤안징과 수학 예술에 관한 아홉 장에서는, 비록 초기 중국 수학자들이 장소의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 나눗셈을 포함하는 로드 미적분을 사용했지만, 곱셈 계산은 말로 쓰여졌다.중국인들은 전국시대 ^[12]말에 이미 십진 구구단을 사용하고 있었다.

현대적 방법

힌두-아랍 숫자 체계에 기초한 현대 곱셈 방법은 브라흐마굽타에 의해 처음 설명되었다.브라마굽타는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대한 규칙을 주었다.당시 프린스턴 대학의 수학 교수였던 헨리 버처드 파인(Henry Burchard Fine)은 다음과 같이 썼다.

인도인들은 위치 십진법 자체뿐만 아니라 이 시스템을 이용한 기초 계산에 관련된 대부분의 과정의 발명가들이다.덧셈과 뺄셈은 오늘날과 같이 수행되고 있습니다. 곱셈은 여러 면에서 영향을 미쳤습니다. 우리 곱셈도 마찬가지지만, 나눗셈은 누적적으로 수행되었습니다.^[13]

이들 자리값 10진수 산술 알고리즘은 9세기 초 Al Khwarizmi에 의해 아랍 국가에 도입되었고 13세기 ^[14]피보나치에 의해 서구 세계에 보급되었다.

그리드 방식

격자법 곱셈 또는 박스법은 잉글랜드와 웨일스의 초등학교와 미국의 일부 지역에서^[which?] 다중 자리 곱셈의 구조를 이해하는 데 도움이 되도록 사용된다.34에 13을 곱하는 예로는 다음과 같이 숫자를 그리드에 배치하는 것이 있습니다.

×	30	4
10	300	40
3	90	12

엔트리를 추가합니다.

컴퓨터 알고리즘

2개의 n자리 숫자를 곱하는 기존의 방법에는 n자리 곱셈이 필요합니다².곱셈 알고리즘은 큰 숫자를 곱할 때 계산 시간을 크게 단축하도록 설계되어 있습니다.이산 푸리에 변환에 기초한 방법은 계산 복잡성을 O(n log n log n log n)로 줄입니다.2016년 인자 로그 n은 여전히 ^[15]일정하지는 않지만 훨씬 느리게 증가하는 함수로 대체되었습니다.2019년 3월 David Harvey와 Joris van der Hoeven은 복잡도 O$(n log$n$$)의 $정수{\displaystyle }$ 곱셈 알고리즘을 제시하는 논문을 제출했다$.$} 이$$^[16] 알고리즘은 고속 푸리에 변환에 근거해 점근적으로 ^[17]최적이라고 추측된다$.$이 알고리즘은 매우 큰 수(2비트 ^[18]이상¹⁷²⁹¹²)를 곱하는 경우에만 빨라지기 때문에 실질적으로 유용하지 않습니다.

측정 제품

같은 유형의 수량만 의미 있게 더하거나 뺄 수 있지만, 다른 유형의 수량은 문제 없이 곱하거나 나눌 수 있다.예를 들어, 각각 3개의 구슬이 있는 4개의 가방은 다음과 ^[1]같이 생각할 수 있습니다.

[4봉지] × [1봉지당 구슬 3개]= 구슬 12개

두 측정값을 함께 곱하면 측정값 유형에 따라 제품이 유형이 됩니다.일반적인 이론은 차원 분석에 의해 제시된다.이 분석은 물리학에 일상적으로 적용되지만 금융 및 기타 응용 분야에도 적용됩니다.

물리학의 일반적인 예는 속도와 시간을 곱하면 거리가 생긴다는 사실이다.예를 들어 다음과 같습니다.

시속 50km×3시간=150km.

이 경우, 시간 단위는 소거되고 제품은 km 단위만 남습니다.

단위를 포함하는 곱셈의 다른 예는 다음과 같습니다.

2.5m × 4.5m = 11.25m2

11 m/초×9 초=99 m

1가구당 4.5명×20명=90명

수열의 곱

대문자 파이 표기법

일련의 요인의 곱은 그리스 알파벳 대문자 ${\(\$pi)에서 파생된 곱 기호로 쓸 수 있습니다(합계의 ^[19][20]문맥에서$$대문자$style$(\$displaystyle\textstyle$\sum$$}($$sigma)가 사용되는 것과 거의 유사합니다).Unicode position U+220F ∏ contains a glyph for denoting such a product, distinct from U+03A0 Π , the letter.이 표기법의 의미는 다음과 같습니다.

$\displaystyle _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,}$

그것은

${\displaystyle\displaystyle _{i=1}^{4}i=24.}$

첨자는 "곱셈 지수"라고 하는 한계 변수에 대한 기호(i)를 하한(1)과 함께 제공하는 반면, 상위 첨자(여기서 4)는 상한을 제공합니다.하한과 상한은 정수를 나타내는 식입니다.곱셈의 인수는 곱셈 지수에 대입된 연속 정수 값을 사용하여 하한에서 시작하여 상한까지 1씩 증가시켜 곱셈 연산자 뒤에 오는 식을 구한다.예를 들어 다음과 같습니다.

$\displaystyle _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=display}$

보다 일반적으로 표기법은 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle _{i=m}^{n}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},\cdot \cdot x_{n}$

여기서 m과 n은 정수를 계산하는 정수 또는 식입니다.m = n인 경우, 제품의 값은 단일 요인_m x의 값과 동일하며, m > n인 경우 제품의 값은 인자의 표현에 관계없이 1인 빈 제품이다.

대문자 파이 표기법 속성

정의상

$\displaystyle _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

모든 요인이 동일하면 n개의 요인의 곱은 다음과 같이 지수화와 같습니다.

$\displaystyle _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

곱셈의 연관성과 교환성은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∏ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}\underset{}{\overset{}{}}=}$ 1 ${\displaystyle n_{}}$x${\displaystyle }$i )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{（}}}$ ∏ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ = 1 ${\displaystyle n_{}}$ $y$i ） （ ∏stylei$=$ 1 n y$$i ） { $style$ \ display \ $n$} {$x _$ { i }$y$ _ { i } = \ left ( \ $right$) \$right$ ( \$i =$ {$i }x _$n _ { i$}$ y }\ $right$ )

$\displaystyle \left(\displaystyle _{i=1}^{n}x_{i}\오른쪽)^{a}=\syslog_{i=1}^{n}x_{i}^{a}$

a가 음수가 아닌 정수인 경우 ${\displaystyle {또는}_{}}$ 모든 xi$(\$i$$})가 양의 실수인 경우

$\displaystyle _{i=1}^{n}x^{a_{i}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

모든 $(\$i$$})가 음수가 아닌 정수이거나 x가 양의 실수인 경우.

무한 확장 제품

또한 무한히 많은 용어의 제품을 고려할 수도 있습니다. 이러한 제품을 무한 제품이라고 합니다.통지적으로 이것은 위의 n을 Infinity 기호 ∞로 대체하는 것으로 구성됩니다.이러한 무한 수열의 곱은 첫 번째 n개의 항의 곱의 한계로 정의되며, n은 제한 없이 커집니다.그것은,

$\displaystyle _{i=m}^{\infty}x_{i}=\lim _{n\to\infty}\displaystyle _{i=m}^{n}x_{i}.}$

마찬가지로 m을 음의 무한대로 대체하고 다음을 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle _{i=-\infty}^{\infty}x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty})\cdot \left(\lim _{n\to \infty}\right)\cdot _{i}{i}, \lim _{i=1\infty}x}{i},$

두 가지 제한이 ^{[citation needed]}모두 존재하는 경우.

특성.

예를 들어 자연수, 정수 및 분수를 포함하는 실수 및 복소수의 경우 곱셈에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

가환성

2개의 숫자를 곱하는 순서는 중요하지 않습니다.

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$^[21][22][23]

연관성

곱셈 또는 덧셈만을 포함하는 식은 연산 순서와 관련하여 불변합니다.

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$^[21][23]

분배 속성

덧셈에 대한 곱셈과 관련하여 유지됩니다.이 항등식은 대수식을 단순화하는 데 가장 중요합니다.

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$^[21][23]

아이덴티티 요소

곱셈 아이덴티티는 1이고, 1을 곱한 것은 그 자체입니다.이 기능 1을 ID 속성이라고 합니다.

${\displaystyle x\cdot 1=x}$^[21][23]

속성 0

임의의 숫자에 0을 곱하면 0이 됩니다.이를 곱셈의 제로 속성이라고 합니다.

${\displaystyle x\cdot 0=0}$^[21]

부정

-1 곱하기 임의의 숫자는 해당 숫자의 덧셈 역수와 같습니다.

${\displaystyle (}$ -${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x=}$ (${\displaystyle }$-$$x ) ( ( - $x$ ) \ $displaystyle ($- 1) \ $cdot$ x =$paramx$)${\displaystyle }$。여기서${\displaystyle }$( -${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$( -$x$ ) + x$$=$0$}

-1 곱하기 -1은 1이다.

${\displaystyle(-1)\cdot(-1)=1}$

역원소

0을 제외한 모든 숫자 x에는 ${\displaystyle \frac{1}{}}$의 역수$({$$displaystyle$$\frac$ {1}{$x\})$가 있습니다.${\displaystyle \frac{x}{}}$( ( ${\displaystyle 1}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$1 { $displaystyle$x \ cdot \ left$cdot$ \ $frac {1$} {$x}$ \ $right =$1 ) $。$^[24]

주문 보존

양수로 곱하면 순서가 유지됩니다.

a > 0의 경우 b > c 、 ab > ac 。

음수로 곱하면 순서가 반대로 됩니다.

a < 0 의 경우, b > c 의 경우는 ab < ac 입니다.

복소수에는 덧셈과 ^[25][26]곱셈 모두 호환되는 순서가 없습니다.

곱셈 연산을 포함하는 다른 수학 시스템은 이러한 모든 속성을 가지고 있지 않을 수 있습니다.예를 들어, 곱셈은 일반적으로 행렬과 ^[21]4분의 1에 대해 교환적이지 않습니다.

악리

주세페 페아노는 산술 원리, 노바 방법론 익스포시타에서 자연수에 대한 ^[27]그의 공리에 기초한 산술 공리를 제안했다.Peano 산술에는 곱셈에 대한 두 가지 공리가 있습니다.

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

여기서 S(y)는 y의 후계자, 즉 y 뒤에 오는 자연수를 나타낸다.연관성과 같은 다양한 특성은 이것들과 귀납을 포함한 페아노 산술의 다른 공리들로부터 증명될 수 있다.예를 들어, 1로 표시된 S(0)는 곱셈 항등식이다.

$(\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x).$

정수에 대한 공리는 일반적으로 정수를 자연수의 순서쌍의 동등성 클래스로 정의합니다.모형은 x와 y가 정수로 처리될 때 (x,y)를 x - y와 동등하게 처리하는 것을 기반으로 합니다.따라서 (0,1)과 (1,2)는 모두 -1과 같습니다.이렇게 정의된 정수에 대한 곱셈 공리는

$\displaystyle(x_{p},x_{m})\times(y_{p},y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m)}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}}\times y_{p}).}$

-1 × -1 = 1이라는 규칙은 다음과 같이 추론할 수 있다.

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

곱셈은 유리수와 비슷한 방식으로 확장되고 그 다음에는 ^{[citation needed]}실수까지 확장됩니다.

집합론에 의한 곱셈

음이 아닌 정수의 곱은 기수나 페아노 공리를 사용하여 집합론으로 정의할 수 있다.이 값을 임의의 정수를 곱한 다음 임의의 유리수를 곱하는 방법을 아래를 참조하십시오.실수의 곱은 유리수의 곱으로 정의됩니다.실수의 ^{[citation needed]}구성을 참조하십시오.

군론의 곱셈

곱셈 연산 하에서 군 구조를 정의하는 공리를 만족시키는 집합이 많이 있습니다.이러한 공리는 폐쇄성, 연관성 및 동일 요소 및 역의 포함입니다.

간단한 예는 0이 아닌 유리수의 집합입니다.여기서는 보통 ID가 0인 추가 대상 그룹이 아닌 ID 1이 표시됩니다.유리수는 0을 제외해야 합니다. 왜냐하면 곱셈에서는 역수가 없기 때문입니다. 즉, 0을 곱해서 1이 되는 유리수는 없습니다.이 예에서는 아벨 그룹이 있지만 항상 그런 것은 아닙니다.

이를 확인하려면 주어진 필드에 걸쳐 주어진 치수의 가역 제곱 행렬 집합을 고려하십시오.여기서, 폐쇄성, 연관성 및 동일성(아이덴티티 매트릭스)과 역의 포함을 확인하는 것은 간단합니다.그러나 행렬 곱셈은 가환성이 아니며, 이는 이 그룹이 비-벨리안임을 나타냅니다.

또 다른 주목할 만한 사실은 곱셈 중인 정수가 0을 제외하더라도 그룹을 형성하지 않는다는 것입니다.이는 1과 -1을 제외한 모든 원소에 대해 역수가 존재하지 않는 것으로 쉽게 알 수 있습니다.

군 이론에서의 곱셈은 일반적으로 점 또는 병렬(원소 사이의 연산 기호 생략)로 나타난다.따라서 요소 a에 요소 b를 곱하면 $"\displaystyle\cdot"$ $b$ 또는 ab"으로 표기할 수 있습니다.설정 및 조작 표시를 통해 그룹을 참조할 때는 점을 사용합니다.예를 들어 첫 번째 ${\displaystyle 예시}$는 ${\displaystyle (\mathrm{Q}}$/ { 0${\displaystyle }$} ,${\$ ) { $displaystyle$\left ( \$mathbb${ Q } / \ {$0$ \ , , \$cdot$ \$$right )$\}$^{[citation needed]}로 나타낼 수 있습니다.

다른 종류의 숫자의 곱셈

숫자는 셀 수 있다 (3개의 사과), 순서 (3번째 사과), 또는 측정 (3.5피트 높이); 수학의 역사가 우리의 손가락만 세는 것에서 양자역학을 모델링하는 것으로 발전함에 따라, 곱셈은 더 복잡하고 추상적인 유형의 숫자와 숫자가 아닌 것들로 일반화 되었다.ke 번호(쿼터니언 등)

Integers

${\displaystyle N}$×$$(\$displaystyle$ N$\times$ M$)$은 N과 M이 양의 정수일 때 M의 N개 복사본의 합계입니다.이것은 배열 N의 너비와 M의 높이를 나타냅니다.음수로 일반화하는 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle N}$× (${\displaystyle }$-${\displaystyle M}$ ) ${\displaystyle =}$( -${\displaystyle N}$) × ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle =}$- (${\displaystyle N}$ ×${\displaystyle M}$) { $display style$N \$times$ ( - M ) = - ( $N$$$\ $times$ M )$$} 、

${\displaystyle(-N)\times(-M)=N\times M}$

유리수와 실수에도 ^{[citation needed]}같은 부호 규칙이 적용됩니다.

유리수

${\displaystyle \frac{\mathrm{분수}}{}}$ ${\displaystyle \frac{A}{}}$× ${\displaystyle \frac{C}{}}$ D$($ 스타일)로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{일반화}}{}}$하면 A${\displaystyle \frac{}{}}$B ×${\displaystyle \frac{}{}}$C $=$ (${\displaystyle \frac{B}{}}$ × ${\displaystyle \frac{D}{}}$ ) ($표시$ 스타일 ${A}$ {$B$$}$ {FRAC} {B${\displaystyle \}}$ {\$frac$ {$C$}) {\$frac$ {$A$$}$ {$D}$ {\frac} {B} {\frac {A} {D} {\frac} {\$fr$} {\fr} {FRAC} {\} {\fr} {\fr} {\fr} {\fr} {\fr}입니다.${\displaystyle \frac{A}{}}$(높이 B$(디스플레이$ 스타일$)$와 폭 $($ 스타일)는 모두 B(디스플레이 스타일)와 폭 C$(디스플레이$스타일$)$로, 유리수가 ^[21][22]정수일 때 배열의 수와 동일합니다.

진정한 숫자

실수와 그 곱은 유리수의 수열로 정의할 수 있다.

복소수

$복소수{\displaystyle {}_{}}$ $({$과 $({$를 실수의${\displaystyle }$순서쌍($a1, b_{1$$\}){\displaystyle }$과 (${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$,$$b_${1})$의 순서쌍으로 간주하면,$z1$ × $2(a_{2},$ $z_2)$는 z_2이다.$displaystyle (a_{1$$}\times b_{$1$\}\}.$이는 가상의 $부품{\displaystyle {}_{}}$ $($ 스타일 $b_$${1$}) ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$b2($표시 스타일$b_{$2})$가 ^{[citation needed]}0일 때 ${\displaystyle {a1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$($표시 스타일 a_{1$}\$times a_2$})의 실과 동일합니다.

${\displaystyle \sqrt{\mathrm{마찬가지}}}$로 1$({$을 i$({displaystyle$i$\})$로 $나타내면{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$1 × ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle ={}_{}}$(${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}{}_{}}$ + ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$1 × ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}{}_{}{}_{}{}_{}}$× ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) + ( ${\displaystyle {}_{}}$ 1 × a 2 i ) + ( ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}{}_{}}$ × ${\displaystyle {}_{}{}^{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ (${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ )$displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{2}$$}$^[21][22]

또는 삼각 형식에서 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{cos\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle )}$이면 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 2 $=$ ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle \cos }$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$) { $display$ style $z_{1$}=$r_{$1}($cos$ \$phi _{1$}+$i\sin \phi$ _1_${2})$ {z},$).$$}$^[21]

추가 일반화

위의 그룹 이론의 곱셈 및 행렬 곱셈을 포함하는 곱셈 그룹을 참조하십시오.곱셈의 매우 일반적이고 추상적인 개념은 링에서 "승수로 표시됨" (두 번째) 이진 연산과 같습니다.위의 숫자 체계 중 하나가 아닌 링의 예는 다항식 링입니다(다항식을 더하고 곱할 수 있지만 다항식은 일반적인 의미에서 숫자가 아닙니다).

나누기

대부분의 경우 x $(\$$x}{y$는 x${\displaystyle (\frac{1}{}}$ y$)$ 곱셈과 같습니다.$일부$ 유형의 "number"에 대한 곱셈은 역수 없이 대응하는 $"display$ $"$을 가질 수 있습니다.영역 x에는 "$style$1"이 없습니다.rac ${1}$ {$x$ $단{\displaystyle \frac{}{}}$, $(\$를 정의할 수 있습니다.분할 링에는 반전이 $있지만{\displaystyle \frac{}{}}$ x${\displaystyle }$($1$y$)$ ({\$displaystyle x\$left $({\frac$ {1$}{y$}}\$right)$는 x$$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$ y${\displaystyle )x}$(\$displaystyle \left$ ({\$frac$${$1$}{$$y}}\$right$\})$^{[citation needed]}와 같을 필요는 없기 $때문$에 x$$ $(\$displaystyle \left ${{\$frac1$}{{\$frac1}{y}}}}\right$})$는 불명확률적인 링에서는 애매할 수 있습니다.x}입니다.x$.$

지수화

곱셈을 반복할 때 결과 연산을 지수화라고 합니다.예를 들어, 2의 3인수(2×2×2)의 곱은 "2를 3승으로 올린다"며, 2는³ 윗첨자 3을 가진다.이 예에서는 숫자 2가 밑수이고 3이 ^[28]지수입니다.일반적으로 지수(또는 윗첨자)는 식에 기본이 나타나는 횟수를 나타냅니다. 따라서 식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times\cdots\times a}_{n}$

는 베이스 a의 복사본 n개를 함께 곱하는 것을 나타냅니다.이 표기법은 곱셈이 검정력 ^[29]관련성이 있다고 알려진 경우 언제든지 사용할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

외부 링크

• 다양한 번호 체계에서의 곱셈 및 산술 연산
• 주판 위의 현대 중국어 곱셈법