정상수

수학에서, 실수는 단순히 정수 기저에서 정규수라고 한다. b^[1] 만약 그것의 무한한 자릿수 시퀀스가 각각의 의미에 균일하게 분포된다면b숫자 값은 동일한 자연 밀도를 가집니다 1/b. 모든 양의 정수에 대하여, 숫자는 기저값에서 정규라고 한다.n, 가능한 모든 문자열n긴 자릿수는 밀도가 있다b를 클릭합니다⁻ⁿ.

직감적으로 단순히 정규 숫자라는 것은 어떤 숫자도 다른 숫자보다 더 자주 발생하지 않는다는 것을 의미합니다.숫자가 정규인 경우, 같은 길이의 다른 조합보다 더 자주 발생하는 특정 길이의 자릿수의 유한 조합은 없습니다.법선수는 동전 던지기(이진수) 또는 주사위 롤(베이스 6)의 무한계열로 생각할 수 있다.10, 100 또는 그 이상의 연속 꼬리(이진수) 또는 5(베이스 6), 또는 10, 100 이상의 연속 코인 플립(코인 플립) 또는 6-1(다이 2회 연속 롤)과 같은 시퀀스의 반복이 있더라도 길이가 동일한 다른 시퀀스도 동일하게 많을 것입니다.숫자 또는 시퀀스는 "즐겨찾기"되지 않습니다.

숫자는 2보다 크거나 같은 모든 정수 기저에서 정규인 경우 정규(절대 정규라고도 함)라고 합니다.

거의 모든 실수가 정규라는 일반적인 증거가 주어질 수 있지만(비정규수 집합의 르베그 측정값이 ^[2]0이라는 것을 의미), 이 증거는 건설적이지 않고 소수의 특정 숫자만 정규인 것으로 나타났습니다.예를 들어 Chaitin의 상수는 정상입니다(계산할 수 없습니다).(계산 가능한) 숫자 ,2, ,, e는 정상이라고 널리 알려져 있지만 증거는 아직 밝혀지지 않았다.

정의들

$δ$ 를 b자릿수의 유한 알파벳, 해당 알파벳에서 추출할 수 있는 모든 무한 시퀀스의 집합 및 유한 시퀀스 또는 ^[3]문자열 집합이라고 합니다.①을 수열로 하자. $δ$ 의 각 $a$ 에 대해 $a$ let ()는 시퀀스S의 첫 $번째$ n자릿수에 $숫자$ a가 표시되는 횟수를 나타냅니다.우리는 S가 단순히 정상이라고 $말한다$ . 만약 한계가

\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}=flac {1}{b}}}

각 $a$ 에 대해여기서 w를 임의의 유한 문자열로 $하고$ $, w$ $문자열$ w를 $시퀀스S$ 의 첫 $번째$ n자리 서브스트링으로 표시하는 횟수 $(,$ )로 합니다( $예$ 를 들어, = $010101 ...$ 인 $경우$ , $(010,$ 8) $= 3$ ). 모든 유한 문자열에 대해 S가 정상입니다.

\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}=param frac {1}{b^{w}}}}

여기서 $w$ 는 $문자열$ w의 길이를 나타냅니다.즉, 길이가 같은 모든 문자열이 동일한 점근 빈도로 발생하는 경우 $S$ 는 정규입니다.예를 들어 일반 이진 시퀀스(알파벳{ $0, 1$ }보다 큰 시퀀스)에서는 각각 0과 1이 빈도로 발생합니다.1µ2, 00, 01, 10, 및 11은 각각 주파수 1µ4, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 및 111은 주파수 1µ8 등으로 발생합니다.대략적으로 말하면, $S$ 의 임의의 위치에서 $문자열$ w를 찾을 확률은 시퀀스가 무작위로 생성되었을 때 예측되는 확률이다.

이제 b가 1보다 큰 $정수$ 이고 x가 실수라고 $가정$ 합니다. $기본$ b 위치 번호 시스템에서 x의 $무한$ 자릿수 시퀀스 확장을 고려합니다(소수점은 무시합니다).염기서열이 단순히^[4] 정규일 경우 x는 $염기서열$ b에서 정규이고 염기서열이 ^[5]정규일 경우 $x$ 는 $염기서열$ b에서 정규라고 $합니다$ . $숫자$ x는 ^[6]^[7]1보다 큰 $정수$ b마다 기본 $b$ 에서 정상일 경우 정규수(또는 절대 정규수)라고 불립니다.

주어진 무한수열은 정규수열 또는 정규수가 아닌 반면, 각 $정수θ2$ 에 대해 서로 다른 base-b 확장을 갖는 실수는 1개의 베이스에서는 정규수가 아닌 다른 베이스에서는 정규수가^[8]^[9] 될 수 있다(이 경우 정규수가 아니다).log / log real(그래서 = 및 = )이 $있는$ $base$ r $및$ s의 경우 $base$ r에서 정규인 모든 숫자는 base s에서 정규입니다.log $/log가 비이성$ 인 $염기$ $r$ 과 s의 경우, 각 염기에는 정상이지만 다른 ^[9]염기에는 정상인 숫자가 셀 수 없을 정도로 많습니다.

분리 시퀀스는 모든 유한 문자열이 나타나는 시퀀스입니다.정상적인 수열은 분리적 수열이지만 분리적 수열이 정규적일 필요는 없다. $기저$ b의 풍부한 숫자는 $기저$ b의 확장이 ^[10]이격인 수이다. 즉, 모든 기저에 대해 이격인 수를 절대적으로 이격이라고 부르거나 사전이라고 한다. $기저$ b에 정규인 $숫자$ 는 기저 b에 풍부하지만 반드시 그 반대일 필요는 없다. $집합$ ^[10]^[11]{ $mod$ 1 : $}이(x$ 가) 단위 간격에서 $조밀$ 할 경우에만 실수 x는 $베이스$ b가 풍부합니다.

각 자릿수가 주파수 $1µb$ 로 표시되는 경우 $기본$ b에서 단순히 정규 수치로 정의했습니다.특정 기저 $b$ 에 대해 숫자는 단순히 정규(그러나 정규 또는 b-dense가 아님) b-dense(^{[clarification needed]}단순히 정규 또는 normal이 아님), normal(단순히 정규 및 b-dense)이거나 둘 중 어느 것도 될 수 없습니다.수치가 단순히 어느 ^[6]^[12]기준에서든 정규가 아닌 경우 절대 비정규이거나 완전히 비정상입니다.

속성 및 예시

정규수의 개념은 에밀 보렐(1909)에 의해 도입되었다.보렐-칸텔리 법칙을 사용하여, 그는 거의 모든 실수가 정상이라는 것을 증명했고, 정상수의 존재를 확립했다.바츠와프 시에르핀스키(1917)는 특정 숫자를 지정할 수 있음을 보여주었다.Becher와 Figueira(2002)는 계산 가능한 절대 정규 숫자가 있음을 증명했다.이 구성은 구성된 숫자의 숫자를 직접 제공하는 것은 아니지만 원칙적으로 특정 정규 숫자의 모든 숫자를 열거하는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다.

비정상 숫자의 집합은 셀 수 없다는 의미에서 "크다"에도 불구하고 null 집합이다(실수의 부분 집합으로서의 르베그 측정값이 0이므로, 기본적으로 실수 내에서 공간을 차지하지 않는다).또한, 정규수뿐만 아니라 비정규수는 실수에서 밀도가 높습니다. 두 개의 서로 다른 실수 사이의 비정규수 집합은 모든 유리수를 포함하므로 비어 있지 않습니다(실제로 셀 수 없을 정도로^[13] 무한하고 심지어 동그라미입니다.예를 들어 소수점 확장(기본값 3 이상)에 숫자 1이 포함되지 않은 숫자가 셀 수 없을 정도로 많습니다. 이 숫자 중 정규 숫자는 없습니다.

챔퍼나운 상수

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

자연수의 십진수 표현을 순서대로 연결하여 얻은 값은 10진수에서 정규값이다.마찬가지로 (다른 염기에서 동일한 연결을 수행함으로써 수행됨) 다른 변종 챔퍼넌 상수는 각각의 염기에서 정규적이지만(예를 들어, 염기 2의 챔퍼넌 상수는 정규) 다른 염기에서는 정규인 것으로 증명되지 않았다.

코프랜드-에르드 상수

0.23571113171923293137414347535961677173798389...,

A에 의해 증명되었듯이, 소수점 10에 소수점을 연결한 것은 10에서 정규이다. H. Copeland와 Paul Erdiss(1946)보다 일반적으로, 후자의 저자들은 연계에 의해 기저 b에 표현되는 실수가 증명되었다.

0.f(1)f(2)f(3)...

여기서 f(n)는 기저 b에서 표현되는 n개의^th 소수이며, 기저 b에서 정규이다.Besicovitch(1969)는 f(n) = n인² 동일한 식에 의해 표현되는 숫자가

0.149162536496481100121144...,

밑수 10의 제곱수를 연결한 값은 밑수 10의 제곱수 10의 정규 값이다.Harold Davenport와 Erdss(1952)는 f가 양의 정수가 기저 10에서 표현되는 양의 정수인 모든 부정수 다항식인 상태에서 동일한 식에 의해 표현되는 숫자가 기저 10에서 정규적이라는 것을 증명했다.

Nakai와 Shiokawa(1992)는 f(x)가 모든 x > 0에 대해 f(x) > 0과 같은 실제 계수를 갖는 비정수 다항식이라면, 연결로 표현되는 실수라는 것을 증명했다.

0.[f(1)][f(2)][f(3)]...

여기서 [f(n)]는 기저 b에서 표현되는 f(n)의 정수 부분이며, 기저 b에서는 정규이다(이 결과는 위에서 언급한 Champernowne, Besicovitch 및 Davenport & Erdss의 모든 결과를 포함한다).저자들은 또한 f가 형식의 함수일 때 같은 결과가 훨씬 더 일반적으로 유지된다는 것을 보여준다.

f(x) = α·x^β₁ + α·x^β₁ + ...+α_d·x^β_d,

여기서 α와 β는 β₁ > β₂ > ...을 갖는 실수이다.> β_d ≤ 0 및 f(x) > 0(모든 x > 0)입니다.

Bailey와 Crandall(2002)은 스톤햄 수를 교란시킴으로써 셀 수 없이 무한한 b-정규수 클래스를 보여준다.

인위적으로 구성되지 않은 숫자의 정규성을 증명하는 것은 이해하기 어려운 목표였다.θ2, θ, ln(2) 및 e가 정상이라고 강하게 추측되고 있지만, 그것들이 정상인지 아닌지는 아직 밝혀지지 않았다.모든 자릿수가 실제로 그 상수의 십진수 확장에서 무한히 발생한다는 사실조차 증명되지 않았다(예를 들어 ,의 경우 "모든 숫자의 문자열이 결국 "에서 발생한다"는 일반적인 주장은 ^[14]사실이 아니다).또한 모든 비합리적인 대수적 숫자는 절대 정규수이며(이것은 δ2가 정규수임을 의미함), 어떤 기저에도 반례례가 알려져 있지 않다는 추측도 있다.그러나 어떤 기수에서도 비합리적인 대수적 숫자가 정규수라는 것이 증명되지 않았다.

비정규수

유리수의 자리수열은 결국 ^[15]주기적이기 때문에 어느 기저에서도 유리수는 정규적이지 않습니다.그러나 유리수는 특정 기저에서 단순히 정규수일 수 있습니다. ${\frac {13{,}717{,}421}{1{,}111{,}111{,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}$ 를 들어 13 ${\frac {13{,}717{,}421}{1{,}111{,}111{,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}$ 1,421 1, ${\frac {13{,}717{,}421}{1{,}111{,}111{,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}$ 9, $=$ { $13{,}717{,}421}{1,}car{,}}}}=frac123$ ,8 $,89,6789!$ ({ $0123456789}}}$ 은 ${\frac {13{,}717{,}421}{1{,}111{,}111{,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}$ (는) 10번 베이스에서는 정상입니다 $.$

마틴(2001)은 절대적으로 비정상적인 ^[16]비합리적인 숫자의 예를 제시한다.허락하다

f\left(n\right)=cases}n^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},&n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)\4,&n=2\end{cases

\alpha =\light _{m=2}^{\infty}\left1-{\frac {1}(m\right)}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}\right}\left(1-{\frac {1}{9}}\right}\left(1-{\fright})\fright}\fright}\frac{{{fright}\fright}\fright}\fright}\frac{{{{frac}}04201690728\ldots

그러면 α는 리우빌 수이고 완전히 비정상이다.

특성.

일반 번호의 추가 속성은 다음과 같습니다.

0이 아닌 모든 실수는 두 개의 정규 숫자의 곱입니다.이는 X의 보수가 0인 경우 모든 숫자는 $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ X $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ R $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ + \ $displaystyle$ X $\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ 의 $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ 두 숫자의 곱이라는 일반적인 사실에서 비롯됩니다.
베이스 $x\cdot a$ b에서 x가 정규이고, a가 $x\cdot a$ 0이면 b에서도 $x\cdot a$ ^[17] $x$ 가 $정규입니다.$
A⊆ N{\displaystyle A\subseteq \mathbb{N}}가 무성하(모든 α<1{\displaystyle \alpha<1}과 모든 충분히 큰 nA∩{1,…, n}≥ nα{\displaystyle A\cap){1,\ldots ,n\}\geqn^{\alpha}}을 위해)과 1,2,3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots}이다. 그 영혼A 요소의 se-b 확장은 $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ a $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ $…({displaystyle$ 0 $.a_{2}a_{3}\ldots$ 이며, A의 요소를 연결하여 형성된다(Copeland 및 Erdss 1946).여기서부터 챔퍼노운의 수는 (모든 양의 정수 집합이 분명히 조밀하기 때문에) 기저 10에서 정규이고 코플랜드-에르드의 상수는 (소수 정리가 소수 집합이 조밀하다는 것을 의미하기 때문에) 기저 10에서 정규이다.
같은 길이의 모든 블록이 동일한 주파수로 나타나는 경우에만 시퀀스는 정상이다(길이 k의 블록은 k의 배수인 시퀀스의 위치에 나타나는 길이 k의 부분 문자열이다. 예를 들어 S의 첫 번째 길이 k 블록은 S[1..k]이고 두 번째 길이 k 블록은 S[k+1]이다.2k] 등)이것은 Ziv와 Lempel(1978)의 작품에서 암묵적이었고 Bourke, Hitchcock, Vinodchandran(2005)의 작품에서 명확해졌다.
모든 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ + \ $style$ k $\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ 의 base에서^k 단순히 정규인 경우에만 Base에서 정규입니다.이는 정규성에 대한 이전의 블럭 특성화에서 비롯됩니다.베이스 b의 전개에 있어서의 길이 k의^th n개의^k 블록은 베이스 b의 전개에 있어서의 n개의^th 자릿수에 대응하고 있기 때문에, 베이스 b의 전개에 길이 k의 블록이 등주파수로 출현했을 경우에만, 베이스^k b의 n개의 블록은 단순히 정규이다.
수치가 정상인 것은 모든 베이스에서 단순히 정상인 경우뿐입니다.이는 b 기준 정규성의 이전 특성화에서 비롯됩니다.
, 만약 양의 정수 m1의 세트가 존재하는 숫자였을 것이다;m2<m3<⋯{\displaystyle m_{1}<, m_{2}<, m_{3}<, \cdots}수직선 상 어느 곳 단순히 기지 bm의 모든 m∈{m1m2.}은 일반적인 일이다.{\displaystylem\in\와 같이{m_{1},m_{2},\ldots)}.} 아닌 플레이어와 한정되어는 혼자 쓰기에 충분하다는 것을 보여 주기 시작했다[18]b-normal 있다.그 번호는 b-n.오르말
모든 정규 시퀀스는 유한 변동 하에서 닫힙니다.정상 시퀀스에서 한정된 자리수를 추가, 삭제 또는 변경합니다.마찬가지로 단순히 정규 시퀀스에 한정된 수의 숫자가 추가, 삭제 또는 변경되어도 새로운 시퀀스는 여전히 정규 시퀀스입니다.

유한 상태 머신과의 접속

아가포노프는 유한 상태 기계와 정상 시퀀스 사이의 초기 연관성을 보여주었다: 정규 언어에 의해 정상 시퀀스에서 선택된 모든 무한 연속성도 정상이다.즉, 각 유한 상태 머신의 상태가 "출력" 또는 "출력 없음"으로 라벨이 붙은 정상 시퀀스로 유한 상태 머신을 실행하고, 기계가 "출력" 상태로 들어간 후 다음에 읽은 숫자를 출력하지만 "출력 없음" 상태로 들어간 후 다음 숫자를 출력하지 않는 경우 시퀀스는 wi를 출력합니다.평범할 ^[19]거야

Finite-State Gambler(FSG; 유한 상태 도박기) 및 Information Lossless Finite-State Compressor(ILFSC; 정보 무손실 유한 상태 압축기)와의 보다 깊은 연결이 존재합니다.

유한상태 도박사(일명 유한상태 마티게일)는 유한한 알파벳 $\Sigma$ (\ $displaystyle$ \Sigma $\Sigma$ }) 위의 유한상태 기계로, 각각의 상태는 $(\displaystyle \Sigma$ 의 각 자릿수에 돈을 거는 비율로 라벨이 부착되어 있습니다. 예를 들어 $\Sigma =\{0,1\}$ 2진 FSG는 $\Sigma =\{0,1\}$ $=\{0,$ 1 $\Sigma =\{0,1\}$ 현재 상태 q는 비트 0에 대한 도박자 돈의 $q_{0}\in [0,1]$ q $q_{0}\in [0,1]$ [ 0 $q_{0}\in [0,1]$ , $q_{0}\in [0,1]$ ]({ $style$ $q$ $_ 0$ } \ $in$ [ 0 , 1 $q_{0}\in [0,1]$ ])을 $q_{0}\in [0,1]$ 걸고 $q_{1}=1-q_{0}$ q 1 $q_{1}=1-q_{0}$ $q_{1}=1-q_{0}$ - $q_{1}=1-q_{0}$ q 0({ $1}$ = 1 - q $_$ 0 $q_{1}=1-q_{0}$ } )을 1 비트에 베팅합니다 $.$ 입력 다음에 오는 숫자에 베팅한 금액(총 금액 곱하기 비율)에 $|\Sigma |$ (\ $displaystyle\Sigma$ 을 곱하면 나머지 금액이 손실됩니다.비트를 읽은 후 FSG는 받은 입력에 따라 다음 상태로 이행합니다.FSG는 $1부터 시작하여 해당 시퀀스에 베팅하여 무제한의 돈을 벌 수 있는 경우, 즉 다음과 같은 경우 무한 시퀀스 S에 성공한다. $\displaystyle \limsup _{n\to\infty}d(S\upharpoonright n)=\infty,}$ $d(S\upharpoonright n)$ ( $d(S\upharpoonright n)$ $d(S\upharpoonright n)$ n $d(S\upharpoonright n)$ ) $d(S\upharpoonright n)$ { $display style$ d $( S$ \ $upharpoon right$ n $d(S\upharpoonright n)$ } where $d(S\upharpoonright n)$ 、 S の superior nn ） bler bler 、 blerblerbler hasn 、 bler wheren bler 、 blerblerblern 、 blerblerblern 、 bler blerbler whereblerblerblerbler where where where
유한 상태 압축기는 빈 스트링을 포함한 상태 천이를 나타내는 출력 스트링을 가진 유한 상태 기계입니다(각 상태 천이마다 입력 시퀀스에서 한 자리씩 읽히기 때문에 압축이 이루어지기 위해서는 빈 스트링을 출력할 수 있어야 합니다).정보무손실 유한상태 압축기는 입력이 출력 및 최종상태에서 고유하게 회복될 수 있는 유한상태 압축기이다.즉, 상태 집합 Q를 갖는 유한 상태 압축기 C의 경우 $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ f : $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ × $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ × Q { $display style$ f $:$ \ $Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times$ Q $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ 는 C의 입력 문자열을 C의 출력 문자열 및 최종 상태에 매핑하는 1 ~1 입니다 $.$ Huffman 부호화 또는 Shannon-Fano 부호화 등의 압축 기술은 ILFSC를 사용하여 구현할 수 있습니다.ILFSC Ccompress는 다음과 같은 경우 무한 시퀀스S를 압축합니다. $\displaystyle \liminf _{n\to\infty}{\frac {C(S\upharpoonright n)}{n}<1,}$ $|C(S\upharpoonright n)|$ 서 C $|C(S\upharpoonright n)|$ $|C(S\upharpoonright n)|$ n $|C(S\upharpoonright n)|$ )({ $displaystyle$ C $(S\upharpoon right n)}$ 는 $|C(S\upharpoonright n)|$ S의 첫 번째 n자리 숫자를 읽은 후 C에 의해 출력되는 자릿수입니다.압축비(위의 한계치 이하)는 단순히 입력을 출력에 복사하는1 스테이트 ILFSC에 의해 항상 1이 되도록 할 수 있습니다.

Schnorr와 Stimm은 어떤 정상 시퀀스에서도 FSG가 성공할 수 없다는 것을 보여주었고, Bourke, Hitchcock, Vinodchandran은 그 반전을 보여주었다.그 때문에,

시퀀스는 성공하는 유한 상태 도박사가 없는 경우에만 정상입니다.

Ziv와 Lempel은 다음을 보여주었다.

시퀀스는 정보 무손실 유한 상태 압축기로 압축할 수 없는 경우에만 정상입니다.

(실제로 모든 ILFSC에 대한 시퀀스의 최적 압축비는 엔트로피율, 즉 시퀀스가 정상일 때 정확히 1인 정규성으로부터의 편차를 정량적으로 측정하는 것입니다).LZ 압축 알고리즘은 ILFSC와 마찬가지로 점근적으로 압축하기 때문에 LZ 압축 알고리즘은 비정상 ^[20]시퀀스를 압축할 수 있습니다.

정상 시퀀스의 이러한 특성화는 "정상" = "최소 상태 랜덤"을 의미하는 것으로 해석될 수 있다. 즉, 정상 시퀀스는 어떤 유한 상태 기계에서도 랜덤으로 보이는 시퀀스이다.이것을 임의의 알고리즘에 랜덤으로 나타나는 무한 시퀀스인 알고리즘 랜덤 시퀀스와 비교합니다(그리고 실제로 유한 상태 머신을 대체하는 튜링 머신과 유사한 도박 및 압축 특성을 가집니다).

등분포된 시퀀스에 대한 연결

${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ x는 ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ 염기서열 ( ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ x ) ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ 0 ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ { $displaystyle$ \ $left$ ( b^ { $k$ }x \ $right }_{k$ = $0}^{\infty$ }}이 ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ Weyl의 기준을 사용하여 등가 분포 모듈로 ^[21]^[22]1이거나 동등하게 분포되어 있는 경우에만 기저 b에서 정규이다.

\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\text{모든 정수}m\geq 1.}

이 연관성은 $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ ( $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ k ) $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ $=$ 0 $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ { $displaystyle \$ left $specx$ \ right ^ { k} \ $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ right )인 경우에만 기저 β에서 x가 정규라는 용어로 이어진다. $_{k=0}^{\infty}}$ 는 $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ 등분포 모듈로 ^[22]1이다.

메모들

^ 여기서 고려되는 유일한 기준은 1보다 큰 자연수이다.
^ 2009년 12월
^ θ는 가장 작은 무한서수이며 클렌별이다.
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「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

우리는 Clifford A의 Digits of Pi와 Live Forever에 있습니다. 픽오버
Weisstein, Eric W. "Normal number". MathWorld.

[1] 여기서 고려되는 유일한 기준은 1보다 큰 자연수이다.

[FOOTNOTEBeck2009-2] 2009년 12월

[3] θ는 가장 작은 무한서수이며 클렌별이다.

[FOOTNOTEBugeaud201278-4] Bugeaud 2012, 페이지 78

[FOOTNOTEBugeaud201279-5] Bugeaud 2012, 페이지 79

[FOOTNOTEBugeaud2012102-6] Bugeaud 2012, 페이지 102

[FOOTNOTEAdamczewskiBugeaud2010413-7] Adamczewski & Bugeaud 2010, 페이지 413.

[FOOTNOTECassels1959-8] 카셀 1959년

[FOOTNOTESchmidt1960-9] 슈미트 1960년

[FOOTNOTEBugeaud201292-10] Bugeaud 2012, 페이지 92

[11] $x b n mod$ 1은 $b n$ 의 분수 부분을 나타냅니다.

[FOOTNOTEMartin2001-12] 2001년 마틴

[FOOTNOTEBillingsley2012-13] 빌링슬리 2012.

[FOOTNOTEBaileyBorweinCaludeDinneen2012-14] Bailey et al. 2012.

[FOOTNOTEMurty2007483-15] 머티 2007, 페이지 483

[FOOTNOTEBugeaud2012113-16] Bugeaud 2012, 페이지 113

[FOOTNOTEWall1949-17] 1949년 벽

[FOOTNOTELong1957-18] 긴 1957년.

[FOOTNOTEAgafonov1968-19] 아가포노프 1968년

[FOOTNOTEZivLempel1978-20] 지브 & 렘펠 1978년

[FOOTNOTEBugeaud201289-21] Bugeaud 2012, 89페이지

[FOOTNOTEEverestvan_der_PoortenShparlinskiWard2003127-22] 에베레스트 외 2003, 페이지 127

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