구성 대수

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

수학에서, 필드 K에 대한 구성 대수 A는 K에 대한 연관 대수일 필요는 없으며, 만족하는 비퇴행 이차적 형태 N과 함께 K에 대한 연관 대수일 필요는 없다.

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

A의 모든 x와 y에 대해

$합성{\displaystyle }$ 대수학에는 조합이라고 하는 비자발성이 ${\displaystyle {}^{}}$되어 있다: x ${\displaystyle \mapsto }$ x ${\displaystyle {\ast }^{}}$. ${\displaystyle x\mapsto$ x$^{*}}}$ 2차$$ 형태 $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ N$(x)=xx^{*}}}}}}}$는 대수의 표준으로 불린다$$.

구성 대수(A, ∗, N)는 분할 대수 또는 분할 대수로서, N(v) = 0, null 벡터라고 하는 것과 같은 A에서 0이 아닌 v의 존재에 따라 달라진다.^[1] x가 null 벡터가 아닌 경우 $\frac{x}{}$의 곱셈 역은 $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{\ast }^{}}{}$ N$\frac{}{}$( x$\frac{}{}$) ${\$ 0이 아닌 null 벡터가 있을 때 N은 등방성 2차형이며, "대수분열"이다.

구조 정리

필드 K에 대한 모든 단성 구성 대수학은 K (K의 특성이 2)와 다른 경우) 또는 2차원 구성 하위 골격(문자(K) = 2)으로 시작하는 Cayley-Dickson 구조를 반복적으로 적용함으로써 얻을 수 있다. 구성대수의 가능한 치수는 1, 2, 4, 8이다.^[2][3][4]

• 1차원 구성 알헤브라는 char(K) ≠ 2일 때만 존재한다.
• 차원 1과 차원 2의 구성 알헤브라는 서로 화합하고 연관성이 있다.
• 차원 2의 조성 알헤브라는 K의 2차적 자기장 확장 또는 K to K에 대한 이소모르픽이다.
• 차원 4의 구성 알헤브라는 콰터니온 알헤브라라고 불린다. 그들은 연관성이 있지만 서로 화합하지는 않는다.
• 차원 8의 구성 알헤브라는 옥톤 알헤브라라고 불린다. 그들은 연관성도 없고 서로 화합하지도 않는다.

일관된 용어로는 치수 1의 알헤브라를 유니언(unarion), 치수 2 이진법(dimension 2 binarion)이라고 부른다.^[5]

인스턴스 및 사용

필드 K를 콤플렉스 숫자 C와 2차 형태 z로² 취할 때, C 위에 있는 네 개의 합성 알헤브라는 C 그 자체, 바이콤플렉스 숫자, 바이쿼터니온(복제2×2 복합 매트릭스 링 M(2, C)에 대한 이형성), 바이오크토리온 C o O이며, 이를 콤플렉스 옥토니언이라고도 한다.

매트릭스 링 M(2, C)은 해밀턴(1853년)에 의한 바이쿼터니온으로, 이후 이소모르픽 매트릭스 형태로, 특히 파울리 대수로서 오랫동안 관심의 대상이 되어 왔다.

실수 필드의 제곱 함수 N(x) = x는² 원시 성분 대수를 형성한다. K 필드가 실제 숫자 R로 간주되면, 다른 6개의 실제 구성 알헤브라가 있을 뿐이다.^{[3]: 166} 2차원과 4차원, 8차원에는 모두 분할대수와 "분할대수"가 있다.

이항: 이항 형식 x² + y를² 갖는 복잡한 숫자와 이항 형식 x² - y를² 갖는 분할 형식 숫자,

쿼터니온과 스플릿쿼터니온,

옥톤과 스플릿옥톤

모든 구성 대수에는 표준 N과 양극화 정체성으로 구성된 관련 이선형 B(x,y)가 있다.

$[\displaystyle B(x,y)\\[N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}$^[6]

역사

정사각형 합계의 구성은 몇몇 초기 작가들에 의해 주목받았다. 디오판토스는 현재 브라마굽타-피보나치(Brahmagupta-Fibonacci) 정체성으로 불리는 두 칸의 합을 포함하는 정체성을 알고 있었는데, 이것은 또한 곱할 때 복잡한 숫자의 유클리드 규범의 속성으로도 표현된다. 레온하르트 오일러는 1748년 4제곱의 정체성에 대해 논의했고, 그것은 W. R. 해밀턴이 쿼터니온의 4차원 대수학을 구성하도록 이끌었다.^{[5]: 62} 1848년에 테사린은 이콤플렉스 숫자에 첫 빛을 주는 것으로 설명되었다.

약 1818년 덴마크 학자 페르디난드 데겐은 데겐의 8제곱 정사각형 정체성을 보여주었는데, 이 정체성은 후에 옥토니언 대수학의 원소 규범과 연결되었다.

역사적으로, 최초의 비 연관 대수학인 Cayley numbers는 구성을 허용하는 이차적 형태의 숫자-이론적 문제의 맥락에서 생겨났다. 이 숫자-이 문제는 특정 대수 체계, 즉 구성 알제브라에 관한 문제로 바뀔 수 있다.^{[5]: 61}

1919년 레너드 딕슨은 허비츠 문제에 대한 연구를 진전시켜 그 시기까지의 노력의 조사를 실시했고, 케일리 숫자를 얻기 위해 쿼터니온을 두 배로 증가시키는 방법을 보여 주었다. 그는 새로운 상상 단위 e를 도입했고, 쿼터니언 Q와 Q는 Cayley 번호 Q + Qe를 쓴다. q′로 쿼터니온 결합을 나타내며, 두 Cayley 번호의 산물은^[7]

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}$

Cayley 번호의 결합은 q' – Qe이며, 2차 형태는 qq + + QQ′이며, 이 숫자에 결합을 곱하여 구한다. 이중화 방식은 케이리-딕슨 건설이라고 불리게 되었다.

1923년에 확실한 형태를 가진 진짜 알헤브라의 경우는 허비츠의 정리(구성 알헤브라스)로 구분되었다.

1931년 막스 조른은 분할 옥톤을 생성하기 위해 딕슨 건축의 곱셈 규칙에 감마( ()를 도입했다.^[8] 아드리안 알베르트는 또한 1942년 딕슨이 2차적 형태로 바이나리온, 쿼터니온, 옥토니언 알헤브라를 구성하기 위해 스퀴링 기능을 가진 모든 분야에 적용할 수 있다는 것을 보여주었을 때 감마를 사용했다.^[9] Nathan Jacobson은 1958년에 구성 알제브라의 자동화를 묘사했다.^[2]

R과 C 위에 있는 고전적인 구성 알헤브라는 유니탈 알헤브라스다. H.P.에 의해 복수 정체성이 없는 합성 알헤브라가 발견되었다. 피터슨(Petersson Algebras)과 오쿠보 스스무(Okubo Algebras) 등.^{[10]: 463–81}

참고 항목

• 프로이덴탈 마법 광장
• 피스터형
• 삼위일체

참조

위키북스에는 다음과 같은 주제에 관한 책이 있다:연관구성 대수학

추가 읽기

• Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analysis on symmetric cones. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. pp. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
• Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations. Perspectives in Mathematics. Vol. 9. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.