나머지

산술 연산 v t

덧셈(+) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle { text { term } , + , { \ text { term } \ scriptstyle { text { term } , + , \ text { addend } , + , \ text { addend } \ scriptstyle { } , + , \ text { } \ text { addend } } 、 \ \ \ \ \ 、 \ \\\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\$ $\scriptstyle\text{sum}\displaystyle$ 감산(-) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle { term } 、 \ text { term } 、 \ text { minuend } 、 \ text { minuend } 、 \ text { right } 、 = }$ $\scriptstyle\text{textrecision}$ 곱셈(×) $\displaystyle \scriptstyle \left.\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\text{factor},\times,\text{factor},\text{factor},=},$ $\scriptstyle \text {product}$ 중분류()) $\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle {\scriptstyle {\text{divisor}}\scriptstyle {\text{divisor}}\\\scriptstyle {\scriptstyle {\text{criptator}}}{\end{criptstyle}=,\criptstyle}$ $\scriptstyle\style\text{criptstyle\text{criptient}\\scriptstyle\text{cript}\end{criptstyle$ 지수화(^) $\scriptstyle \scriptstyle \text{base}^{\text{criptent},=,}$ $\scriptstyle \text {power}$ n번째 루트(표준) $\scriptstyle \scriptstyle {\text{degree}}{\scriptstyle {\text{radicand}}},=,}$ $\scriptstyle \text{root}\displaystyle$ 로그(로그) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-discriptm}}),=,}$ $\scriptstyle\text{textm}}$

수학에서, 나머지는 계산을 수행한 후 "남은" 양입니다.산술에서, 한 정수를 다른 정수로 나누어 정수 지수(정수 나눗셈)를 생성한 후의 나머지가 "왼쪽" 정수입니다.다항식 대수에서, 나머지는 한 다항식을 다른 다항식으로 나눈 후의 "남은" 다항식이다.모듈로 연산이란 배당 및 제수가 주어졌을 때 이러한 나머지를 생성하는 연산입니다.

또는, 다른 숫자에서 한 숫자를 뺀 나머지도 차이라고 하지만, 더 정확히는 차이라고 불립니다.이 용법은 몇몇 초등학교 교과서에서 찾아볼 수 있다; 구어체적으로는 "2달러를 돌려주고 ^[1]나머지를 보관하라"와 같이 "나머지"라는 표현으로 대체된다.그러나 함수에서 오차식("나머지")을 나머지 항이라고 하는 직렬 확장에 의해 근사되는 경우에는 "remainder"라는 용어가 여전히 사용됩니다.

정수 나눗셈

정수 a와 0이 아닌 정수 d가 주어지면, a = qd + r 및 0 µ r < d의 고유한 정수 q와 r이 존재함을 나타낼 수 있다.수q는 몫이라고 불리는 반면 r은 나머지로 불린다.

(이 결과의 증거는 유클리드 나눗셈을 참조하십시오.나머지의 계산 방법을 설명하는 알고리즘에 대해서는, 나눗셈 알고리즘을 참조해 주세요).

위에서 정의한 바와 같이, 나머지를 최소 양의 나머지 또는 단순히 ^[2]나머지로 부릅니다.정수 a는 d의 배수 또는 연속되는d의 배수 사이의 간격, 즉 (q+1)d(양수q의 경우) 중 하나입니다.

경우에 따라서는 a가 d의 정수배수에 가능한 한 근접하도록 나눗셈을 수행하는 것이 편리하다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있다.

a = kµd + s(일부 정수 k의 경우 s ≤ d/2).

이 경우 s는 최소 절대 ^[3]잔량이라고 불립니다.몫과 나머지와 마찬가지로 k와 s는 d = 2n 및 s = ± n인 경우를 제외하고 고유하게 결정된다.이 예외는 다음과 같습니다.

a = kµd + n = (k + 1)d - n.

이 경우 고유한 나머지를 규칙(항상 의 양의 값을 취하는 등)에 의해 얻을 수 있습니다.

예

43을 5로 나누면 다음과 같이 됩니다.

43 = 8 × 5 + 3,

그래서 3이 가장 작은 양의 나머지가 됩니다.그것도 있습니다.

43 = 9 × 5 − 2,

그리고 -2는 최소 절대 잔량이다.

이러한 정의는 d가 음수인 경우에도 유효하다. 예를 들어 43을 -5로 나누면

43 = (−8) × (−5) + 3,

그리고 3은 최소 양의 나머지가 됩니다. 단,

43 = (−9) × (−5) + (−2)

그리고 -2는 최소 절대 잔량이다.

42를 5로 나누면 다음과 같이 됩니다.

42 = 8 × 5 + 2,

그리고 2 < 5/2이므로, 2는 최소 양의 나머지와 최소 절대 나머지가 된다.

이 예에서, (음수) 최소 절대 잔량은 5를 빼서 최소 양의 잔량에서 구한다.이것은 일반적으로 유지된다.d로 나누면 두 잔차가 양수이므로 같거나 반대 부호가 있습니다.양의 나머지가 r이고₁ 음의 나머지가 r이면₂

r₁ = r₂ + d.

부동 소수점 번호의 경우

a와 d가 부동소수점 번호이고 d가 0이 아닌 경우, a는 나머지 없이 d로 나눌 수 있으며, 이 몫은 다른 부동소수점 번호입니다.그러나 지수를 정수로 제한하더라도 나머지의 개념은 여전히 필요합니다.a = qd + r이 0 µ r < d일 때 고유 정수 계수 q와 고유 부동 소수점 나머지 r이 존재함을 증명할 수 있다.

위에서 설명한 것처럼 부동 소수점 숫자에 대한 나머지의 정의를 확장하는 것은 수학에서 이론적으로 중요하지 않지만, 많은 프로그래밍 언어들이 이 정의를 구현합니다(모듈로 연산 참조).

프로그래밍 언어

정의에 내재된 어려움은 없지만, 잔량 계산에 음수가 수반될 때 발생하는 구현 문제가 있다.프로그래밍 언어마다 다른 규칙을 채택하고 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

• Pascal은 mod 연산 결과를 양수로 선택하지만 d가 음수 또는 0이 되도록 허용하지 않습니다(따라서 a = (div d ) × d + mod d가 항상 ^[4]유효한 것은 아닙니다.
• C99는 배당 ^[5]a와 같은 부호를 가진 나머지를 선택한다(C99 이전에는 C언어는 다른 선택을 허용했다).
• Perl, Python(현대 버전만 해당)은 제수 ^{[citation needed]}d와 같은 기호의 나머지를 선택합니다.
• Haskell과 Scheme은 두 가지 함수, 즉 잔여와 모듈로– Ada, Common Lisp 및 PL/I는 mod와 rem을 가지고 있으며, Fortran은 mod와 modulo를 가지고 있습니다. 각 경우, 전자는 배당에 동의하고 후자는 제수에 동의합니다.

다항식 나눗셈

다항식의 유클리드 나눗셈은 정수의 유클리드 나눗셈과 매우 유사하며 다항식 잔류를 이끈다.그것의 존재는 다음 정리에 기초한다: 두 개의 일변량 다항식 a(x)와 b(x) (여기서 b(x)는 0이 아닌 다항식)가 필드 위에 정의될 때, 다음을 ^[6]만족하는 두 개의 다항식 q(x)와 r(x)가 존재한다.

${\displaystyle a(x)=b(x)q(x)+r(x)}$

어디에

$\displaystyle \display(r(x))<\timeout(b(x)),}$

여기서 "θ(...)"는 다항식의 정도를 나타냅니다(항상 값이 0인 상수 다항식의 정도는 음수로 정의될 수 있으므로 이 정도가 나머지일 때 이 정도 조건은 항상 유효합니다).또한 q(x)와 r(x)는 이들 관계에 의해 고유하게 결정됩니다.

이것은 정수의 유클리드 나눗셈과는 다르다. 즉, 정수의 경우, 정도 조건은 나머지 r에 대한 경계로 대체된다(r이 유일함을 보장하는 음수가 아닌 제수보다 작음).정수에 대한 유클리드 나눗셈과 다항식에 대한 유클리드 나눗셈의 유사성은 유클리드 나눗셈이 유효한 가장 일반적인 대수적 설정을 찾는 데 동기를 부여한다.이러한 정리가 존재하는 고리를 유클리드 영역이라고 하지만, 이 일반성에서는 몫과 나머지의 고유성이 ^[7]보장되지 않는다.

다항식 나눗셈은 다항식 나머지 정리라고 알려진 결과를 낳는다.다항식 f(x)를 x - k로 나누면 나머지는 상수 r = f(k)^[8][9]이다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308

추가 정보

• Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, ed. (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). "remainder (noun)". The words of mathematics : an etymological dictionary of mathematical terms used in english. Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.