순서 이형성

순서 이론의 수학적 분야에서 순서 이소모르피즘은 부분 순서 집합(포셋)에 대해 이소모르피즘의 적절한 개념을 구성하는 특별한 종류의 단조함수다.순서가 이형질일 때마다 원소의 명칭만 바꾸면 어느 한쪽 순서가 다른 쪽으로부터 얻어질 수 있다는 점에서 '본질적으로 동일하다'고 볼 수 있다.질서 이형성과 관련된 두 가지 엄격히 약한 개념은 주문 임베딩과 갈루아 연결이다.^[1]

정의

Formally, given two posets ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ and ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, an order isomorphism from ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ to ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ is a bijective function ${\displaystyle f}$ from ${\displ$$aystyle S}$ to ${\displaystyle T}$ with the property that, for every ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle x\leq _{S}y}$ if and only if ${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$. That is, it is a bijective order-embedding.^[2]

순서 이형성을 굴절적 질서-임베딩으로 규정하는 것도 가능하다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 모든 요소를 포괄하고$$$$ 순서를 보존한다는 두 가지 가정은 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(}$ y ) ${\displaystyle f(x)=f(y)}$인 경우($f{\displaystyle }$ ${\displaystyf}$이 순서를 유지한다고$$ 가정하면)에 따라 f ${\displaystystystystysty$ f$}$도 일대일$$ 수 있다.$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ =$$y {\$displaystyle x\leq$ y$$$}$ 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ y$\leq x}$을(를) 따르며, x${\displaystyle }$= y ${\displaystyle x=y}$라는 부분 순서의 정의에 의해 암시된다$.$

그러나 질서의 또 다른 특징인 이소모르프들은 정확히 단조로운 반전을 갖는 단조로운 편견이라는 것이다.^[3]

부분적으로 순서가 정해진 집합에서 그 자체로 순서가 이형화된 것을 순서 자동성이라고 한다.^[4]

When an additional algebraic structure is imposed on the posets ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ and ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, a function from ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ to ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ must satisfy additional properties to be regar이등형식으로 추론하다For example, given two partially ordered groups (po-groups) ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ and ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$, an isomorphism of po-groups from ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ to ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ is an order isomorphism that is또한 집단 이형성, 단순한 주문 내장형인 편향성만이 아니다.^[5]

예

• 부분적으로 정렬된 집합의 ID 함수는 항상 주문 자동형이다.
• Negation is an order isomorphism from ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ to ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ (where ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is the set of real numbers and ${\displaystyle \leq }$ denotes the usual numerical comparison), since −x ≥ −y if and only if x ≤ y.^[6]
• 열린 간격${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle (0,1)}$ $$(again, 숫자순으로 정렬)은 닫힌 간격$[{\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$에 오거나 닫힌 간격[0,1]에 오더 이형성이 없으며$,$ 닫힌 간격은 최소 요소를 가지지 못하며, 순서 이형성은 최소 원소의 존재를 보존해야 한다.^[7]
• 칸토르의 이형성 정리로는, 한없이 셀 수 없는 모든 밀도 선형 순서는 이성적인 숫자의 순서에 이형성이 있다.^[8]민코프스키의 물음표 함수에 의해 2차 대수적 숫자, 이성적 숫자, 다이라디적 이성적 숫자 사이의 명시적 순서 이형성이 제공된다.^[9]

오더유형

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 순서 이형성이라면, 그 역함수 역시 마찬가지다.Also, if ${\displaystyle f}$ is an order isomorphism from ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ to ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ and ${\displaystyle g}$ is an order isomorphism from ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ to ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$,그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$의 함수 구성 자체가${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$) ${\displaystyle (S,\leq _{S})$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle U}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$) ${\displaystystyle (U,\leq _{U$^[10]까지 오더 이형이다$$.

부분적으로 순서가 정해진 두 세트는 한 세트에서 다른 세트로 순서가 이형질일 때 순서가 이형질이라고 한다.^[11]ID 함수, 함수 invers 및 함수의 구성은 각각 동등성 관계의 세 가지 정의 특성(반사성, 대칭성, 그리고 전이성)에 대응한다.그러므로 질서 이형성은 등가관계다.부분적으로 정렬된 세트의 클래스는 그것에 의해 동등성 클래스로 분할될 수 있으며, 서로 모두 이형성인 부분 순서 세트의 패밀리가 있다.이러한 동등성 클래스를 순서 유형이라고 한다.

참고 항목

• 순열 패턴, 순열 패턴, 다른 순열의 순서 이형성인 순열화된 순열

메모들

참조

• Bloch, Ethan D. (2011), Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, pp. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Ciesielski, Krzysztof (1997), Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society Student Texts, vol. 39, Cambridge University Press, pp. 38–39, ISBN 9780521594653.
• Schröder, Bernd Siegfried Walter (2003), Ordered Sets: An Introduction, Springer, p. 11, ISBN 9780817641283.
• Fuchs, Laszlo (1963), Partially Ordered Algebraic Systems, Dover Publications; Reprint edition (March 5, 2014), pp. 2–3, ISBN 0486483878.