세데니온

추상 대수학에서, 세데니언은 실제 숫자에 대해 16차원 비협조적 및 비조합적 대수학을 형성한다; 그것들은 카일리-딕슨 구조를 옥토니언에 적용하여 얻는다. 그리고 이와 같이 옥토니언은 이소형이다. 8진법과 달리, 진정제는 대체 대수학이 아니다. 케일리-딕슨 구조를 침전물에 적용하면 32온 또는 삼각형이라고 불리는 32차원 대수학(trigintaduion)이 나온다.^[1] 케이리-딕슨 건설은 계속 임의로 여러 차례 적용할 수 있다.

세데니온이라는 용어는 바이쿼터니온의 2개의 사본의 텐서 제품이나 실수에 대한 4×4 행렬의 대수 또는 스미스(1995)가 연구한 것과 같은 다른 16차원 대수 구조에도 사용된다.

산술

옥토니언과 마찬가지로, 진정제의 곱셈은 교감적이거나 연상적이지 않다. 그러나 팔순절과 대조적으로, 그 진정제는 대체물이 될 수 있는 성질조차 가지고 있지 않다. 그러나 그들은 어떤 요소에도 권력 연관성의 속성을 가지고 있다. x $s{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$}$의 $power{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ n$${\$displaystyle$x^{$n}$이(가) 잘 정의되어 있다$$. 그들은 또한 융통성이 있다.

모든 세데니언은 ${\displaystyle {단위\mathrm{}}_{}}$ 세데니언 $e{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $e{\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\$ e ${\displaystyle {15}_{}}$ ${\$$15}$의 선형 결합으로, sedion의 벡터 공간의 기초를 형성한다. 모든 침전물은 그 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}}}}}}}}$

덧셈과 뺄셈은 해당 계수의 덧셈과 뺄셈으로 정의되며 곱셈은 덧셈보다 분배적이다.

케이리-딕슨 건축에 기반을 둔 다른 알헤브라와 마찬가지로, 이 세데니온에는 그들이 건설된 대수학이 들어 있다. 따라서 아래 표에 있는$$ 8진수($e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle e_{0}$에서 e ${\displaystyle {7\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle e_{7}$까지 생성됨),$$ 쿼터니언(e ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${0}$에서 ${\displaystyle {e3\mathrm{}}_{}}$}까지$$생성됨), 복잡한 $숫자$(e 0 {\$displaystystylee_e_{0}$ 및$$ {$}$에 의해 생성됨)를 포함했다.${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$) 및 실수($e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의해 생성됨).$$

침전물은 승수적 정체성 $원소{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$과 승수적 inverses를 가지고 있지만, 0점수를 가지고 있기 때문에 분할대수가 아니다. 즉 0이 아닌 두 개의 침전물을 곱하여 0을 얻을 수 있다는 뜻. 예로는 $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$+ e ${\displaystyle {10}_{}}$) ${\displaystyle ({}_{}}$ 6${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {15}_{}}$ )${\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15$ 케일리-딕슨 구조에 기초한 침전 이후의 모든 하이퍼 콤플렉스 번호 시스템도 0을 포함한다.

진정제 곱하기 표는 다음과 같다.

${\displaystyle e_{i}e_{j}}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$
	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$
	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$
	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$
	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$
	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$
	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{3}}$
	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{1}.$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}:$
	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}.$
	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}:$	${\displaystyle -e_{1}:{1}$	${\displaystyle -e_{0}}$

세데니온 특성

위의 표에서 우리는 다음을 확인할 수 있다.

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{all}\,i,}$

${\displaystyle {}_{}\mathrm{e}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ i${\displaystyle {}_{}=}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}\,\,i\neq$ 0$,}$ 및

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,\\\\neq j\,\,\i\neq j\,\,\\i,j\neq 0.}$

반 연관성

그 진정제들은 완전히 반 연상적이지 않다. 생성기 4개를 선택하십시오($i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle k}$, k$,$ $displaystyle$ i$,j,k}$ $및$ l$${\$displaystyle l$ 다음의 5주기에서는 이들 5대 관계가 모두 반연관적일 수 없다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle (ij)(kl)=-(ij)k=(ij)l=(ik)l=-i(jk)l=i(j)=i(j)=0}$

특히 위의 표에서 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{4},$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle e_{8}$를 사용하여 마지막$$ 식을 연관시킨다. ${\$

쿼터니온성 아발게브라

Cayley-Dickson 구조를 통해 진정제를 만드는 데 사용된 옥토니언의 7개 3중으로 구성된 이 특정 진정제 곱셈표를 구성하는 35개의 3중창은 다음과 같이 굵은 글씨로 표시되어 있다.

이러한 3배수 비트 XOR에서 0까지의 지수의 이항 표현.

{{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},
{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}}

The list of 84 sets of zero divisors ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$, where ${\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$:

적용들

모레노(1998)는 0으로 증식하는 노르말 원 침전 쌍의 공간이 예외적인 Lie 그룹₂ G의 콤팩트한 형태와 동형체라는 것을 보여주었다. (주: 그의 논문에서 "0분위"는 0으로 증식하는 한 쌍의 원소를 의미한다는 점에 유의한다.)

세데니온 신경망은 기계학습 어플리케이션에서 효율적이고 콤팩트한 표현 수단을 제공하며, 다중 시계열 예측 문제를 해결하는 데 사용되었다.^[3]

참고 항목

• 하이퍼복합수
• 피스터의 16제곱 정사각형 정체성
• 분할복수

메모들

참조

• Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), "Sedenions: algebra and analysis", Applied Mathematics and Computation, 115 (2): 77–88, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR 1786945
• Baez, John C. (2002). "The Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087.
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Large annihilators in Cayley-Dickson algebras II". Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 3: 269–292. arXiv:math/0702075.
• Kinyon, M.K.; Phillips, J.D.; Vojtěchovský, P. (2007). "C-loops: Extensions and constructions". Journal of Algebra and Its Applications. 6 (1): 1–20. arXiv:math/0412390. CiteSeerX 10.1.1.240.6208. doi:10.1142/S0219498807001990.
• Kivunge, Benard M.; Smith, Jonathan D. H (2004). "Subloops of sedenions" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998), "The zero divisors of the Cayley–Dickson algebras over the real numbers", Bol. Soc. Mat. Mexicana, Series 3, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013, Bibcode:1997q.alg....10013G, MR 1625585
• Smith, Jonathan D. H. (1995), "A left loop on the 15-sphere", Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, doi:10.1006/jabr.1995.1237, MR 1345298
• IEEE Access, 8, 페이지 144823-144838, 2020, doi: 10.1109/Access.20.3014690의 L. Saoud와 H. Al-Marzouqi, "Metacognogive Sedenion-Value Neural Network and 그것의 학습 알고리즘".