구성가능수

기하학 및 대수학에서 단위 길이의 선분이 주어졌을 때 길이$r$의 선분이 한정된 수의 스텝으로 나침반과 직선으로 구성될 수 있는 경우에만 실수 ${$$displaystyle$$$r$}$을 구성할 수 있다.마찬가지로 r$\displaystyle$r은 $정수만$을 사용하여 r$\display$r에$$ $대한{\displaystyle }$ 닫힌 형식 표현식과 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 제곱근 연산이 있는 경우에만 구성할 수 있습니다.

구성 가능한 숫자의 기하학적 정의는 다시 기하학적 또는 대수적으로 설명할 수 있는 구성 가능한 점의 해당 정의에 동기를 부여합니다.지정된 단위 길이 세그먼트에서 시작하여 나침반 및 직선 모서리 구조의 점(선 세그먼트의 끝점 또는 두 선 또는 원의 교차점) 중 하나로 생성할 수 있는 경우 점을 구성할 수 있습니다.또는 등가적으로 주어진 세그먼트의 두 끝점을 데카르트 좌표계의 점(0, 0)과 (1, 0)으로 하면 데카르트 좌표가 모두 구성 가능한 ^[1]숫자일 경우에만 점을 구성할 수 있다.구성 가능한 숫자와 점을 눈금자 및 나침반 숫자, 눈금자 및 나침반 점이라고 부르기도 하는데,^[2] 이는 다른 프로세스를 사용하여 구성될 수 있는 숫자와 점들과 구별하기 위함입니다.

구성 가능한 숫자 집합은 필드를 형성합니다. 이 집합의 멤버에 4개의 기본 산술 연산 중 하나를 적용하면 구성 가능한 다른 숫자가 생성됩니다.이 필드는 유리수의 필드 확장이며, 차례로 대수적 ^[3]숫자의 필드에 포함됩니다.그것은 유리수의 ^[4]유클리드 닫힘이며, 모든 양의 제곱근을 포함하는 유리수의 가장 작은 필드 확장입니다.

구성 가능한 숫자의 대수적 정의와 기하학적 정의 사이의 동등성의 증명은 나침반과 직선 구조에 대한 기하학적 질문을 고대 그리스 수학의 몇몇 유명한 문제들을 포함하여 대수학으로 변형시키는 효과를 가지고 있습니다.이 질문들의 대수적 공식은 이전에 수 세기의 공격을 무시한 동일한 문제의 기하학적 공식화 후에 그들의 해법이 구성 가능하지 않다는 증거로 이어졌다.

기하학적 정의

기하학적으로 구성 가능한 점

$(\displaystyle$ O$)$와 A$(\displaystyle$ A$)$를 유클리드 평면에서 서로 다른 두 점으로 하고$$S$(\displaystyle$ S$)$를 O$(\displaystyle$ O$)$와 $(\displaystyle$ A$)$로 $시작$하는 나침반과 직선 모서리로 구성할 수 있는 점 집합으로 $정의$합니다.$S}$를 구성 가능한 점이라고 합니다.$(\displaystyle$ O$)$ 및$$ $(\displaystyle$ A$)$는 정의상$$S(\$displaystyle$ S$)$의 요소입니다. S$(\displaystyle$ S$)$의 나머지 요소를 보다 정확하게 설명하려면 다음 두 가지 정의를 ^[5]내립니다.

• 끝점이 S$(\style$ S$)$에 있는 선분을 생성 세그먼트라고 하며,
• 중심이 S$(\displaystyle$ S$)$에 있고 S$(\displaystyle$ S$)($또는$반경$이 S(\$displaystyle$ S$))$ $점$을 통과하는 원을 생성 원이라고 합니다.

다음으로 O$($디스플레이 $스타일$ O$)$와 A$(디스플레이$ 스타일 A$)$ $외$에 S$(스타일$ S$)$의 포인트는 다음과 같습니다.^[5][6]

• 두 개의 비구축 세그먼트의 교차점 또는 구성된 세그먼트를 통과하는 선.
• 생성된 원과 생성된 세그먼트의 교차점 또는 생성된 세그먼트를 통과하는 선 또는
• 두 개의 분리된 원의 교차점.

예를 들어 구성된 $OA의 중간점$은 구성 가능한 지점입니다.한 가지 구조는$$(\$displaystyle OA)$를 반지름으로 $하여{\displaystyle }$ 두 개의 원을 만들고 이 두 개의 원의 교차점을 통과하는 선을 만드는 것입니다.$다음$으로 세그먼트 $(\displaystyle OA)$의 중간점은 이 세그먼트가 구성된 ^[7]라인과 교차하는 지점입니다.

기하학적으로 구성 가능한 수

기하학적 공식의 시작 정보를 사용하여 $점{\displaystyle }$ O$(\displaystyle$ O$)$가 좌표 $({\displaystyle 0,}$ $)$를 가진 원점과 $관련되고 점$ A$(\displaystyle$ $A$$)$가 좌표 $({\displaystyle 1,}$ $)$와 관련지어지는 데카르트 좌표계를 정의할 수 있습니다.$aystyle (1,0$ 입니다.$이제$$S$의 점 \displaystyle S를 사용하여 구성 가능한 ^[8]점의 좌표로 구성 가능한 숫자를 정의함으로써 기하학과 대수학을 연결할 수 있습니다.

동등한 정의는 구성 가능한 숫자는 구성 가능한 점$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle 0}$)의^[6] $x{\displaystyle }${\$displaystyle$$x}$ - 좌표$$ 또는 $구성$ 가능한 ^[9]선분의 길이입니다.이 동등성의 한 방향에서 구성 가능한 점에 좌표$({\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y$$) {$displaystyle ($x$$,$$y )$\}$ {displaystyle (x , y )} 이 있는 경우 점$({\displaystyle x}$, $)$ {$displaystyle ($x ,$0$ )은$$ x$${$displaystyle$ x$$} $축$에 수직 투영된 점으로 구성될 수 있으며, 원점에서 이 점까지의 세그먼트는$$x {$displaystyle$ $길이$입니다.$x$ 역방향으로 x${displaystyle$ x$}$가 구성 가능한 선분의 길이인 $경우{\displaystyle }$ x{$displaystyle$ x$}$의$$O{$displaystyle$ O$}$를 $중심$으로 한 원과 x${displaystyle$$x$의 교차는 점${\displaystyle }$($,$을 부여합니다.이 등가 됩니다.모자 데카르트 좌표가 기하학적으로 구성 가능한 숫자인 모든 점은 그 자체로 기하학적으로 구성 가능한 점입니다.x$({displaystyle$ x$}$ $및$ y$({displaystyle$ $y$$})$가 기하학적으로 구성 가능한 $숫자$일$$경우 좌표축에 ^[10]수직인 ($x$$,$ $0$$)$과 $,$ ${\displaystyle y})$를${\displaystyle }$지나는 선의 교점으로 점$y)$을 구성할 수 있습니다.

대수적 정의

대수적으로 구성 가능한 수

대수적으로 구성 가능한 실수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈 역, 양의 제곱근의 연산을 사용하여 정수를 결합하는 공식에 의해 설명될 수 있는 실수의 부분집합이다.더 간단히 말하면, 이러한 공식들을 더 길게 만드는 대신, 이러한 공식의 정수는 0과 ^[11]1로만 제한될 수 있습니다.예를 들어 2의 제곱근은 2$(\$$${$sqrt$$${$2}})$ $또는$ 1$+$(\$displaystyle {1$1}) $공식$으로 나타낼 수 있기 때문에 구성 가능합니다.

이와 유사하게, 대수적으로 구성 가능한 복소수는 양수로 제한되지 않고 대신 임의의 복소수를 인수로서 취할 수 있는 제곱근의 보다 일반적인 버전을 사용하여, 같은 유형의 공식을 갖는 복소수의 부분집합이다.또는 복소수의 동일한 계통을 실수와 허수 부분이 모두 구성 가능한 ^[12]실수인 복소수로 정의할 수 있다.예를 들어 복소수$i$의 공식은${\displaystyle \sqrt{}}$1$($스타일 {-$})$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{또는}}}$ 0-1$(디스플레이 스타일$ {$0-1$이며, 실제 부분과 허수 부분은 각각 구성 가능한 숫자 0과 1입니다.

구성 가능한 복소수에 대한 이 두 정의는 동일합니다.^[13]어떤 방향에서는 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle =}$x + ${\displaystyle i}$ {$displaystyle$ q$=x+iy}$가 실수 $부분{\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ {$displaystyle$y$}$와$허수$ 부분 y {displaystyle$$y}가$$ 모두 구성 가능한 복소수인 $경우{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+${\displaystyle \sqrt{}}$y - ${\displaystyle \sqrt{1}}$의 공식으로$$x 및$$y {$displaystyle$y}를 $대체$합니다.$${\$displaystyle$ x$+yclrt${-$1}}$은$($는)$q$ {\$displaystyle$q}의 공식을 복소수로 생성합니다.다른 방향에서, 대수적으로 구성 가능한 복소수의 공식은 공식의 각 연산을 그 인수의 실제와 허수 부분에 대한 연산으로 재귀적으로 확장함으로써 그것의^[14] 실수와 허수 부분에 대한 공식으로 변환될 수 있다.

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {1}{a+ib}}=squalfrac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i440frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \sqrt{a}}$+ ${\displaystyle \sqrt{i}}$ b ${\displaystyle =\frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{a}{}}$ +${\displaystyle \frac{r}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{r\sqrt{}}{}\frac{s}{}}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{r\sqrt{}}{}}$ ( \ $displaystyle${$$a + $r }$=$secrat$frac { ( a + r ) { \ $secrt${ $r }$ } { $s}$$여기$서 r ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{{a\mathrm{}}^{}}}$2 +${\displaystyle \sqrt{{}_{}{}^{}{}_{}}}{\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ \ $displaystyle$ r =$rt$ { $r$$}{$ b } { $b ^2$$$}$}{}_$${\!}}}}}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sqrt{s}=\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{({}^{}{}^{}}}$+ r${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$) 2 +$$ 2 ({ $displaystyle$ s =$secrt {$ $($a +$r)^{2$} + b^{$2$}$\}\}\}\}\}.$

대수적으로 구성 가능한 점

대수적으로 구성 가능한 점들은 두 개의 실직좌표가 모두 대수적으로 구성 가능한 실수인 점들로 정의될 수 있다.또는 대수적으로 구성 가능한 복소수에 의해 주어진 복소 평면 내의 점으로 정의할 수 있다.대수적으로 구성 가능한 복소수에 대한 두 정의 사이의 동등성에 의해, 대수적으로 구성 가능한 점들의 이 두 정의들 또한 ^[13]동등하다.

대수적 정의와 기하학적 정의의 등가성

${displaystyle$ a$}$ $및$ b${displaystyle$ b$}$가 기하학적으로 구성된 세그먼트의 길이가 0이 아닌 $경우{\displaystyle }$ 기본 나침반 및 직선 모서리 구조를 사용하여${\displaystyle }$a +$b$${\displaystyle a}$ -${\displaystyle }{\displaystyle b}$ {$displaystyle a$$$- b$$$},$ b {$displaystyle$ ab$\}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ {$displaystyle$ab} $길이$의 구성된 세그먼트를 얻을 수 있습니다.$(\displaystyle$ a$/b$입니다.후자의 두 가지는 절편 정리에 기초한 구성으로 할 수 있다.이러한 도구를 사용하는 조금 덜 기본적인 구조는 기하학적 평균 정리에 기초하고 $길이$의 세그먼트 a$({displaystyle$$$a$\})$에서 길이 $세그먼트{\displaystyle \sqrt{}}$ a$({$를 구성합니다. 따라서 대수적으로 구성 가능한 모든 숫자는 이 t를 사용하여 기하학적으로 구성 가능합니다.echniques: 번호의 공식을 ^[15]번호의 구성으로 변환합니다.

다른 방향에서는 기하학적 객체 세트를 대수적으로 구성 가능한 실수에 의해 지정할 수 있습니다. 즉, 점의 좌표, 기울기 $및{\displaystyle }$ 선의$$y(\$displaystyle$y) 절편$$, 원의 중심 및 반지름입니다.나침반과 직선 구조의 한 단계에서 추가할 수 있는 각 추가 객체에 대해 산술 및 제곱근만 사용하여 이러한 값의 관점에서 공식을 개발하는 것은 가능합니다(그러나 지루함).이러한 공식으로부터 모든 기하학적으로 구성 가능한 숫자는 대수적으로 ^[16]구성 가능하다는 것을 알 수 있다.

대수적 성질

대수적으로 구성 가능한 숫자의 정의는 추상 대수에서 필드를 정의하는 것과 같은 연산인 이 숫자들의 합, 차이, 곱, 역수를 포함한다.따라서 구성 가능한 숫자(위의 방법 중 하나로 정의됨)가 필드를 형성합니다.보다 구체적으로, 구성 가능한 ^[17]실수는 각각의 양의 원소의 제곱근을 포함하는 순서 있는 필드인 유클리드 필드를 형성합니다.이 필드와 그 서브필드의 속성을 조사하면 구성 가능한 숫자에 필요한 조건이 생기며, 이는 고전적인 기하학적 구성 문제에서 발생하는 특정 숫자가 구성 가능하지 않음을 보여주는 데 사용될 수 있습니다.

구성 가능한 숫자의 전체 필드 ${\displaystyle \mathrm{대신}}$ 임의의 구성 가능한 $숫자{\displaystyle }$ ${\$ {\$displaystyle \gamma$에 의해 생성된 $서브필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q$($ ${\displaystyle )}$)(\$displaystyle$ \gamma$)$를 고려하고$$ 이 $필드$를 분해하기 위해 ${\$ {\$displaystyle \gamma$}의 대수적 구조를 사용하는 것이 편리합니다.$\delta {\displaystyle }${$displaystyle \display}$가 구성 가능한 실수인 경우, ${\displaystyle {}_{}}$를 구성하는 공식 ${\displaystyle {내}_{}}$에서 발생하는 값을 사용하여 ${\displaystyle {각}_{}}$$$$i{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$i$\},$${\displaystyle }$$Q{\displaystyle \mathbb{}({\alpha }_{}{}_{}}$1)에 대해 n $=$ {$displaystyle \alpha _{1},\displaystyle$ \n}=\$displays$α의$$ 유한한 시퀀스를 생성할 수 있습니다${\displaystyle .}$$)(\displaystyle$$$\$mathbb$${Q$$}(\$$alpha$$$_${1},\dots ,a_{i})$는$$Q$(α$1,${\displaystyle \dots ,a_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$)의 ^[18]2도 $확장입니다.$약간 다른 용어를 사용하여, 실수는 실 2차 확장의 유한한 타워의 꼭대기에 있는 필드에 존재하는 경우에만 구성할 수 있다.

유리 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$Q({$displaystyle \mathbb$ ${Q})$부터 시작합니다. $여기$서 ${\$$${\$displaystyle$ \displaystyle $K_{n})$는 0 <$$n \$displaystyle$ 0 $<j\leq n$에${\displaystyle }$대해 [${\displaystyle {KJ}_{}{}_{}}$: ${\displaystyle K_{}{\mathrm{j}}_{}}$ - 1 ]$$ ${\displaystyle 2}$ {$displaystyleq }$ :$K_{j-1}]=2$^[19] 이 분해로부터 필드 확장 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$) : $]$ { $displaystyle$ [ \ $mathbb { Q$} ( \ $displaystyle$) : \ $mathbb${$Q }$ }의$$ 정도가 ${\displaystyle 2^{}}$r { $displaystyle$ 2^^[20] {$r$입니다. $여기$서$$r { $displaystyle$ r$}$은 2차 확장 스텝의 수를 카운트합니다.

실제의 경우와 유사하게, 복소수는 복소 2차 ^[21]확장의 유한 타워의 꼭대기에 있는 필드에 존재하는 경우에만 구성할 수 있다.$더{\displaystyle }$ 정확히 말하면 $§$ (\$displaystyle \gamma)$는 필드 타워가 존재하는 경우에만 구축 가능합니다.

$여기$서 $\displaystyle$\$displaystyle F_{n$은 $,$ 0 < ${\displaystyle {}_{}}$ n\ $displaystyle$0 <$j$ \ $leq$ n${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{j}{}_{}}$: F${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}]=}$2 {$displaystyle$ [ $F$ {$$$j$ :$F_{j-1}]=2$이 특성화와 실제 구성 가능한 숫자의 차이점은 이 타워의 필드가 실제에 제한되지 않는다는 것입니다.따라서 복소수$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \gamma)$가 구성 가능한 경우 [$(\displaystyle [\mathbb {Q}(\gamma):\mathbb {Q})]$는 2의 거듭제곱이 된다$.{\displaystyle }$단, 이 필수조건으로는 불충분합니다.차수가 2의 거듭제곱인 필드 확장은 일련의 2차 ^[22]확장에 인수분해할 수 없습니다.

Q$({$$$\$mathbb$$${$Q})$의 2차 확장 타워에서 이러한 방식으로 생성될 수 있는 필드를$$Q({$displaystyle$ \$mathbb${Q$\})$의 2차 확장이라고 한다. 실수와 복소수 구성 가능 수는 Q$({$})의 모든 실수 또는 복소 반복 2차 확장의 결합이다.$playstyle \mathbb {Q}$^[23]$}$ 。

삼각수

삼각수는$$$θ$의 유리배수인 코사인 $또는$각도의 사인입니다.이 숫자는 항상 대수적이지만 구성 가능하지 않을 수 있습니다.$각도{\displaystyle \mathrm{}}$ 2${\displaystyle \mu }$ /$$ {\$displaystyle 2\pi$/n}의$$ 코사인 또는 사인은 특정 특수 $번호{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$\}$^[24]에 대해서만 구성할 수 있습니다.

• 2의 거듭제곱
• 페르마 소수, 1 더하기 2의 거듭제곱인 소수
• 두 개의 서로 다른 페르마 소수의 거듭제곱의 곱입니다.

따라서 예를 들어 cos${\displaystyle \theta }$ ( ${\displaystyle /}$ / $){displaystyle \cos(\pi$/$15)}$는 2개의 페르마 소수인 3과 5의 곱이기 때문에 성립할 수 있다.

불가능한 시공

고대 그리스인들은 그들이 해결할 수 없는 직선과 나침반 구조의 특정한 문제들이 해결 ^[25]불가능한 것이 아니라 단순히 완고한 것이라고 생각했다.그러나 어떤 수의 비구축성은 논리적으로 ^[26]실행이 불가능하다는 것을 증명한다(그러나 문제 자체는 직선이나 나침반만으로 작업하는 제약을 넘어서는 방법으로 해결할 수 있으며 그리스인들은 이러한 방법으로 문제를 해결하는 방법을 알고 있었다.그러한 예 중 하나는 각도 3분할의 문제에 대한 아르키메데스의 Neusis 구성 해법이다.)^[27]

특히, 구성 가능한 숫자의 대수적 공식은 다음과 같은 구성 문제의 불가능성의 증명으로 이어진다.

큐브를 2배로 하다

단위 정사각형을 두 배로 하는 문제는 변 길이가 2(\$\sqrt{2})$와 영역$$2$(\backslash$$displaystyle2)$인 첫 번째 정사각형을 하나 더 만들면 해결됩니다. 이와 유사하게, 큐브를 두 배로 하는 문제는 $길이{\displaystyle \text{exception 25:}}$(\$displaystyle\sqrt[{3}{$2})의 구성을 요구합니다.}}정육면체의 부피 2{2\displaystyle}측면의 있습니다. 왜냐하면 길이의 최소 다항식 x, 3− 2{\displaystyle x^{3}-2}의 유일한 루트, 이 다항식, 왜냐하면 더 이상 줄일 수 없어야 한다 불합리하다 삼차 다항식에 따라 Q{\displaystyle \mathbb{Q}}.[28]에 학위 3개 조립할 수 있는. 아니다.e만약2차 실근을 가지면 2차 공역체는 두 번째 ^[29]실근을 제공할 것이다.

각도 3분할

이 문제에서는 주어진 각도$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \theta$에서 각도${\displaystyle \theta \mathrm{}}$ / 3$(\displaystyle \theta / 3$을 생성해야 한다. 대수적으로 각도는 선분 끝점의 데카르트 좌표를 다음과 같이 형성하는 사인이나 코사인 등의 삼각함수로 나타낼 수 있다.첫 번째 세그먼트따라서 x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \cos }$ {\$displaystyle$ x=\$cos \theta}$가 구성 가능한 수일 때 $각도{\displaystyle }$$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \$$theta$$}$는 구성 가능한 수이며, 각도 삼분할 문제는 ${\displaystyle \mathrm{구성}}$ cos${\displaystyle \theta \frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ 3$arccos$ $x )의 하나로 공식화$할 수 있다$.$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {60}^{}}$ { $displaystyle \theta$= \$pi$/ 3 =$60$^ { \ $seta }$ ${\displaystyle \mathrm{of<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash theta\; =\backslash pi\; /3=60^\{\backslash circ\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ffc626a1ebce31fdfd75388fdeabb7bbbab0acc2"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:14.323ex;\; height:2.843ex;">}=}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$2 { $displaystyle$ x = \$cos \theta$= 1 . $tfrac {$1} ${2$}$$= 3 ${\displaystyle =}$ 20${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {20}^{}}$ / )으로 등변 삼각형은 $나침반$과 직선으로 구성할 수 있다${\displaystyle .}$ed. cos$$ ${\displaystyle 9\mathrm{}}$ /$9$ { $displaystyle \cos \pi$/ 9 }는$$Q $over{\displaystyle \mathbb{}}$ 3의 $최소{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {다항식\mathrm{}}^{}}$8 x ${\displaystyle 3}$ - ${\displaystyle 6}$x -$$1 { $displaystyle 8x^{3}-$$6x-1$$\}$ 이므로 이 3분할 문제의 특정 인스턴스는 나침반과 스트레이트 엣지로는 해결할 수 없기 때문에 일반적인 문제도 해결할 ^[30]수 없습니다.

원을 제곱하다

단위 원과 같은 $면적$인 면적 ${\$ { $displaystyle \pi$ $\}$의 정사각형은 변 $길이{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$ { $displaystyle${$sqrt${$pi$ 즉 초월수입니다.따라서$$Q(\$displaystyle \mathbb {Q}$^[31]$}$ } $이상$의 대수가 아니기 때문에 이 정사각형과 변의 길이는 구성할 수 없습니다.

일반 폴리곤

$정{\displaystyle }$ n$(\displaystyle$n$$) -gon을 원점으로 구성할 경우 중심에서 연속 정점까지의 세그먼트 간 각도는 ${\displaystyle \mathrm{2\mu }}$ ${\displaystyle /}$(\$displaystyle$ 2$\pi/n$입니다. 이 각도의 코사인 값이 삼각수여야 폴리곤을 구성할 수 있습니다.따라서 예를 들어, 15-곤은 구성 가능하지만, 정규 헵타곤은 구성 가능하지 않다. 왜냐하면 7은 소수이지만 페르마 ^[32]소수가 아니기 때문이다.그 불변성을 보다 직접적으로 증명하기 위해, 일반 헥타곤의 정점을 ${\displaystyle {다항식\mathrm{}}^{}}$x ${\displaystyle 7}$- $1$의 복소근으로 표현합니다.${\displaystyle }x{\displaystyle }$ - $({$$displaystyle x-1$$\})$$인자를 제거$하고 x$$({$displaystyle$ x$^{$3$\}\})$로 나누고 $=$ + 1 / x x x x x + $/x$$$1로 $바꿉니다{\displaystyle }$.$}$은 더 간단한 다항식 y 3 +${\displaystyle {}^{}\mathrm{y}{}^{}}$2 -${\displaystyle 2}$ y -$1$ ({$displaystyle y^{3}+y^{2$}-2y-1$\})$을 제공합니다. $이$는 각각 복소수 정점의 실수 부분의 두 배인 ${\displaystyle {}^{}}$의 실수 루트를 가진 축소할 수 없는 세제곱입니다.그것의 뿌리는 건설할 수 없기 때문에, 헵타곤 또한 건설할 ^[33]수 없다.

알하젠 문제

두 개의 점과 원형 거울이 주어진다면, 주어진 점 중 하나가 다른 점의 반사된 이미지를 원의 어디에서 볼 수 있을까요?기하학적으로, 각 주어진 지점에서 반사 지점까지의 선은 동일한 각도와 동일한 길이의 화음으로 원을 만난다.그러나 나침반과 직선으로 반사점을 만드는 것은 불가능하다.특히 두${\displaystyle }$점(${\displaystyle 16\frac{\mathrm{}}{},\frac{16}{}}$)이 내부에 있는 단위원$({\tfrac {$1}{6$\},{\displaystyle }$ {\$tfrac${1$}{$6$$${\displaystyle \}\})}$과 (-${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{},}$ $)({\tfrac {1}{$2}, {\$tfrac {1}{2}})$은 용액이 적색의 좌표를 형성한다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle 2x}$ -$$ ({$style$ x$^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1$ 이 다항식의 분할장은 2의 거듭제곱이지만, 2차 확장에서 나온 것이 아니기 때문에 알하젠의 문제는 나침반과 직선 ^[34]해법이 없다.

역사

구성 가능한 숫자의 개념의 탄생은 세 가지 불가능한 나침반과 직선 구조의 역사와 불가분하게 연관되어 있습니다: 입방체 복제, 각도 삼등분, 원의 제곱.기하학적 구조에서 나침반과 직선만을 사용하는 것에 대한 제한은 플루타르코스의 한 구절 때문에 종종 플라톤에 기인한다.플루타르코스에 따르면 플라톤은 에우독소스와 아르키타스, 메네크무스에게 큐브(델리안) 문제를 복제해 줬고, 메네크무스는 이 문제를 순수한 ^[35]기하학으로 풀지 않았다는 비난을 받았다.그러나 이 속성은 부분적으로 이 이야기의 또 다른 버전(아스칼론의 에우토시우스의 에라토스테네스의 작품)이 존재하기 때문에 ^[36]이 세 가지 모두 해결책을 찾았지만 너무 추상적이어서 실질적인 ^[37]가치가 없다는 것이다.프로쿠스는 로도스의 에우데무스를 인용하면서 오이노피데스(기원전 450년경)가 두 개의 지배자와 나침반 구조를 가지고 있다고 주장했고, 이로 인해 일부 저자들은 오이노피데스가 제한의 ^[38]기원이라는 가설을 세웠다.나침반과 직선에 대한 제한은 고전적인 구조 문제의 불가능에 필수적이다.예를 들어 각도 삼분할은 고대 그리스인들에게 알려진 여러 가지 방법으로 이루어질 수 있다.엘리스의 히피아스의 쿼드라트릭스, 메네크무스의 원추형 또는 아르키메데스의 현저한 직선(neusis) 구조가 종이 ^[39]접기를 통한 보다 현대적인 접근법과 같이 모두 사용되었습니다.

전형적인 세 가지 구성 문제 중 하나는 아니지만, 직선 모서리와 나침반을 가진 일반 폴리곤을 구성하는 문제는 종종 이와 함께 처리됩니다.그리스인들은 n ${\displaystyle =}$ $($ $정수{\displaystyle }$ h$$(\$displaystyle$ n$=$$2^{h}),$$$ 3, 5 또는 이들 중 두세 개의 곱을 $갖는{\displaystyle }$ $정규{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$ -gon을 만드는 방법을 알고 있었지만, $다른{\displaystyle }$ 정규 n$(\displaystyle$ n$)$ -gon은 사용하지 않았다.1796년 당시 18세의 학생이었던 칼 프리드리히 가우스는 신문에서 그가 일자리와 ^[40]나침반을 가진 일반적인 17곤을 만들었다고 발표했다.가우스의 처리는 기하학적이라기보다 대수적이었고, 사실 그는 다각형으로 만든 것이 아니라 중심 각도의 코사인(cosine)이 구성 가능한 수라는 것을 보여주었다.이 주장은 그의 1801년 저서 "산술집 디스퀴지션$"$에서 일반화된 것으로, $일반{\displaystyle }$n곤을$$ 건설하기에 충분한 조건을 제시하고 있다.가우스는 그 조건 또한 필요하다고 주장했지만 증명하지 않았고, 몇몇 작가들, 특히 펠릭스 ^[41]클라인은 또한 ^[42]증명의 이 부분을 그에게 돌렸다.알하젠의 문제 또한 고전적인 세 가지 문제 중 하나가 아니지만, 중세 이슬람 수학자인 이븐 알-하이삼의 이름을 따서 명명되었음에도 불구하고, 그것은 이미 ^[20]2세기부터 프톨레마이오스의 광학에 관한 연구에 나타나 있다.

Pierre Wantzel (1837)은 나침반과 직선만 사용한다면 입방체를 두 배로 늘리고 각도를 삼등분하는 문제는 해결이 불가능하다는 것을 대수적으로 증명했다.같은 논문에서 그는 또한 어떤 정다각형들이 구성 가능한지를 결정하는 문제를 해결했다: 정다각형은 그 변의 수가 2의 거듭제곱의 곱이고 임의의 수의 구별되는 페르마 소수일 경우에만 구성 가능하다(즉, 가우스가 주는 충분한 조건도 필요하다).^[24][43]원을 제곱하는 것이 불가능하다는 시도는 1667년 제임스 그레고리에 의해 베라 서큘리와 하이퍼볼라 쿼드라투라 (The True Squaring of the Circuli et Hyperbolae Quadratura (The True Squaring of the Circular and Hypotola)비록 그의 증명은 잘못되었지만, 그것은 proper의 대수적 성질을 이용하여 문제를 풀려고 시도한 최초의 논문이었다.1882년이 되어서야 페르디난트 폰 린데만은 찰스 에르미트의 작업을 확장하고 ^[44][45]θ가 초월수라는 것을 증명함으로써 그 불가능성을 엄격하게 증명했다.알하젠의 문제는 엘킨이 연구하기 [46]전까지 나침반과 직선으로 해결하는 것이 불가능하다는 것이 증명되지 않았다.

구성 가능한 숫자에 대한 연구는 1637년에 출판된 그의 책 방법에 관한 담론의 부록인 La Géométrie에서 르네 데카르트에 의해 시작되었습니다.데카르트는 파푸스가 ^[47]제시한 고대 직선과 나침반 구성 문제를 해결함으로써 그의 철학적 방법의 힘을 보여주기 위해 기하학적 선분에 숫자를 연관시켰다.

「 」를 참조해 주세요.

• 계산가능수
• 정의 가능한 실수

메모들

레퍼런스

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Constructible Number", MathWorld
• Cut-the-Knot에서의 구성 가능한 수치