무한정 정수

수학에서 무한정 정수는 반지의 한 요소(때로는 zee-hat 또는 zed-hat으로 발음되기도 함)이다.

${\displaystyle {\widehat {Z}}}}}=\varprojlim \mathb {Z} /n\mathb {Z} =\pod _{p}\mathb {Z} _{p}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \varprojlim \mathb {Z} /n\mathb {Z}}$

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 확실한 완성을 나타내며$,$ $인덱스{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$은(는) 모든 소수에서 실행되며$$, $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 p-adic 정수의 링이다$$.이 집단은 갈루아 이론, 에탈레 호모토피 이론, 아델레스의 고리와의 관계 때문에 중요하다.게다가, 그것은 무한대의 기본적인 추적 가능한 예를 제공한다.

건설 및 관계

Concretely the profinite integers will be the set of sequences ${\displaystyle \upsilon }$ such that ${\displaystyle \upsilon (n)\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ and ${\displaystyle m\ \ n\implies \upsilon (m)\equiv \upsilon (n){\bmod {m}}}$. Pointwise addition그리고 곱셈은 그것을 서로 교환하는 고리로 만든다.일련의 정수가 모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$에 대해 $modulo{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$을(를) 수렴할 경우$$ 한계는 무한정 정수로 존재할 것이다.정수의 링에 정수를 삽입하는 것은 정수의 주사가 있기 때문이다.

${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle Z\stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\${\$widehat {\\\mathb {Z}}}}}}$ 여기서$$ $n{\displaystyle \mapsto (n}$ ${\displaystyle mod}$ 1,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, …${\displaystyle }$) .$${\$displaysty n\mapsto (n{{{{1},nbmod {2}},\dots.)$$}$

Chinese Legacy 정리 사용

무궁무진한 정수의 구성을 이해하는 또 다른 방법은 중국의 나머지 정리를 이용하는 것이다.기본 인자화를 사용하는$$ $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해 이 값 호출

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}^{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}}}$

비반복적 소수인, 고리 이형성이 있다.

${\displaystyle \mathb {Z} /n\cong \mathb {Z} /p_{1}^{1}}\time \cdots \time \mathb {Z} /p_{k}^{k}}}}}}}}$

정리부터게다가, 어떤 추측은

${\displaystyle \mathb {Z} /n\to \mathb {Z} /m}$

거부반응을 유발하는 근본적인 부패에 대한 지도일 뿐이지

${\displaystyle \mathb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\mathb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}}}}}}}$

${\displaystyle {우리}_{}}$는 i${\displaystyle {}_{}{b}_{}}$ b i$${\$displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$를 가져야 하기 때문에$,$ 무한정 정수의 역한계 정의에 따라 이형성(異形性)이 있다는 것이 훨씬 더 명확해야 한다.

${\displaystyle {\widehat {\mathb {Z}}}}}}\cong \prod _{p}\mathb {Z} _{p}}}}}}$

p-adic 정수의 직접적인 산물로

위상학적 특성

무한정 정수의 집합은 유도된 위상으로서 콤팩트한 하우스도르프 공간을 가지고 있는데, 무한직물(infinite direct product)의 닫힌 부분집합으로 볼 수 있다는 사실에서 비롯된다.

${\displaystyle {\widehat {\mathb {Z}}}}\subset \prod _{n=1}^{\ft }\mathb {Z} /n\mathb {Z}}}}}$

타이코노프의 정리상으로는 제품 위상과 콤팩트하다.각 유한 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$의 위상은 이산 위상으로 제공된다는$$ 점에 유의하십시오.무궁무진한 정수의 추가는 연속적이므로 $Z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\${\$widehat {\\mathb{Z}}}}}$은 콤팩트한 하우스도르프 아벨리아 그룹이며$$, 따라서 폰트랴긴 이중은 이산 아벨리아 그룹이어야 한다.실제로 $Z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$의 폰트랴긴 듀얼은 이산 아벨리아 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$Q/${\displaystyle Z\mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Q}$ /\$mathb {Z}}}$이다$.$ 이 사실은 쌍을 이루어 나타난다.

${\displaystyle \mathb {Q} /\mathb {Z} \time {\widehat {\\mathb {Z}}}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi(qa)}$^[1]

where ${\displaystyle \chi }$ is the character of ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ induced by ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$.^[2]

아델과의 관계

텐서 제품 $Z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ^ ${\displaystyle ^{}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}_{}}$ Q ${\$은 유한 아델의 링이다.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathb {Q},f}={\pd_{p}}\mathb {Q} _{p}}}}$

$Q$ ${\$의 기호${\displaystyle {}^{}}$restricted ${\$은(는) 제한된 제품을 의미한다$$.^[3]이형성이 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathb {Q}\cong \mathb {R} \time ({\hatb {Z}}}}}}\mathb {Q})}} \time ({\mathb {Z}}})}$

갈루아 이론과 에탈레 호모토피 이론의 적용

대수학적 폐쇄 F ${\displaystyle q_{}}$ {\$displaystyle$ {\$displaybf{F}}}{q$$}$ 순서 q의$$ 유한장 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}}}의 대수학적 폐쇄${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}F{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$q의 경우 갈루아 그룹을 명시적으로 계산할 수 있다.From the fact ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ where the automorphisms are given by the Frobenius endomorphism, the Galois group of the algebraic closure of ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ is given by 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ $\}$의 역 한계로 인해 해당 Galois 그룹은 무한정 정수^[4] 그룹과 이형성이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal}({\overline {\mathbf {F}}}}}{q}/\mathbf {F}_{q})\cong {\widehat {\mathb {Z}}}}}}}}}$

유한 분야의 절대 갈루아 집단의 연산을 제공한다.

대수적 토리의 에탈레 기본군과의 관계

이 공사는 여러 가지로 해석할 수 있다.그 중 하나는 에탈레 기본 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle e}$ t${\displaystyle {}_{}^{}}$( X$){\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$을 자동화의 확실한 완성으로 정의한$$ 에탈레 호모토피 이론에서 나온 것이다.

${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{자동}(X_{i}/X)}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 X ${\displaystyle i_{}}$→ X ${\displaystyle X_{i}\to X}$은(는) 에탈레 커버다.그러면 무한정 정수는 집단에 이형성이 된다.

${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec})(\mathb {F} _{q})\cong {\hat {\mathb {Z}}}}}}$

이전의 무수한 갈루아 집단의 연산으로부터.또한 대수적 토러스 에탈레 기본 그룹 내부에 무궁무진한 정수가 내장되어 있다.

${\displaystyle {\hattb {Z}}}}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathb {G} _{m})}$

표지 지도는 다항식 지도에서 나온 것이기 때문에

${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathb {G} _{m}\m} \mathb {G} \m}}$

반향의 지도에서.

${\displaystyle f\mathbb{}}$: Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x\mathbb{},}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f:\mathb {Z}[x,x^{-1}]\mathb {Z}[x,x^{-1}]}}$이(가) x${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$x\$map x^{n}$을 전송함$$

since ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$. If the algebraic torus is considered over a field ${\displaystyle k}$, then the Etale fundamental group ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k$$)}}}}$에는 갈${\displaystyle (k\stackrel{}{}}$ / k ){\$displaystyle {\text{Gal}}({\overline{k}/k)$의 작용과$$ 에탈레 호모토피 이론의 기본적 정확한 순서가 포함되어$$ 있다.

학급장 이론과 무한정 정수

계급장 이론은 한 분야의 아벨식장 확장을 연구하는 대수적 수 이론의 한 분야다.글로벌 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 고려할 때$,$ 절대 Galois 그룹의 아벨리안화.

${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathb {Q}}}}/\mathb {Q} )^{ab}}}$

아델 $A{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$과(와) 연관된 아델 집합과 밀접하게 관련되어 있다.특히 아르틴 지도라고^[5] 불리는 지도가 있다.

${\displaystyle \PSI _{\mathb {Q}}:\mathb {A} _{\mathb {Q}^{\time }/\mathb {Q}^{\text}}}{\time }}}}{\mathb {Q}}}^{ab}}}}}}$

그건 이형성일 뿐이야이 지수는 다음과 같이 명시적으로 결정할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$

소정의 관계를 맺다$K{\displaystyle }$/ Q ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ K$/\mathb{Q} _{p}}$의 모든 유한 아벨 연장은 유한장 확장 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {p^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$/ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$\mathb ${f} _{p^{n}/\mathb {F} _{$p$\}\}\}\}\}\}\}$에서 유도되므로$$ 국부류장 이론과 유사한 문구가 있다.

참고 항목

• p-adic 수
• 아델 반지
• 초자연수

메모들

참조

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometry of the arithmetic site". arXiv:1502.05580.
• Milne, J.S. (2013-03-23). "Class Field Theory" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-06-19. Retrieved 2020-06-07.

외부 링크

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http:///www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf