정의 가능한 실수

2의 제곱근은 다리의 길이가 1인 직각 삼각형의 하이포텐션 길이와 같으므로 구성 가능한 수이다.

비공식적으로 정의 가능한 실수는 그 설명에 의해 고유하게 지정될 수 있는 실적이다. 설명은 구성 또는 공식 언어의 공식으로 표현될 수 있다. 예를 들어 2, ${\sqrt {2}}$ ${\$ 의 양의 제곱근은 $x^{2}=2$ $x^{2}=2$ 2 = $x^{2}=2$ {\ $displaystyle$ x^{ $2}=2$ 에 대한 고유한 양의 솔루션으로 정의할 수 있으며 나침반과 직선으로 구성할 수 있다.

공식적인 언어의 다른 선택이나 해석은 다른 개념의 확정성을 낳는다. 정의 가능한 숫자의 특정한 다양성에는 기하학의 구성 가능한 수, 대수적 수, 계산 가능한 숫자가 포함된다. 공식 언어는 셀 수 없이 많은 공식만을 가질 수 있기 때문에, 정의 가능한 숫자의 모든 개념은 셀 수 없이 많은 정의 가능한 실제 숫자를 가지고 있다. 그러나 칸토어의 대각선 논법으로 보면 헤아릴 수 없이 많은 실수가 존재하기 때문에 거의 모든 실수는 정의할 수 없다.

구성 가능한 숫자

실제 숫자를 지정하는 한 가지 방법은 기하학적 기법을 사용한다. 실제 숫자 $r$ $r$ 은 길이 1의 고정 선 세그먼트부터 시작하여 나침반과 직선자를 사용하여 $r$ 길이 $r$ $r$ 의 선 세그먼트를 구성하는 방법이 있는 경우 구성 가능한 숫자다 $r$ .

각각의 양의 정수, 그리고 각각의 양의 합리적 숫자는 구성 가능하다. 2의 양의 제곱근은 구성 가능하다. 그러나 2의 큐브 루트는 구성될 수 없다. 이것은 큐브를 두 배로 증가시키는 불가능성과 관련이 있다.

실제 대수적 수

도별로 색칠된 복합 평면의 대수적 숫자(빨간색=1, 녹색=2, 파란색=3, 노란색=4)

real number $r$ ${\displaystyle$ $r$ $}$ 은 $p(x)$ 는) 정수 계수만 있는 $p(x)$ p $p(x)$ ( $p(x)$ ) ${\displaystyle$ $p$ $(x)}$ 이 $($ 가) $p$ 경우 real 대수적 숫자라고 불리며 $r$ , $r$ ${\$ $displaystyle p},$ 즉 $p(r)=0$ ( $p(r)=0$ ) $p(r)=0$ = $0.$ $p(r)=0$ 실제 대수적 숫자는 정의될 수 있다 $p(r)=0$ 실제의 주문 관계를 사용하여 확인. 예를 들어, $q(x)$ q $q(x)$ ) $q(x)$ {\ $displaystyle q(x)}$ 이 $q(x)$ (가) 5개의 실제 루트를 가진 경우, 세 번째 $q(r)=0$ 는 q $q(r)=0$ ) = 0 $q(r)=0$ {\ $displaystyle$ q $(r)=0}$ 및 $r$ $q(r)=0$ $\displaysty q}$ 이 $r$ (가 0)인 $q$ r ${\displaystystytype$ r $}$ 보다 작은 두 개의 고유 r $}$ 으로 정의할 수 있다.

모든 이성적인 숫자는 대수학이고, 모든 구성 가능한 숫자는 대수학이다. 2의 세제곱근과 같은 숫자들이 있는데 대수학적이지만 구성 불가능한 숫자들이 있다.

실제 대수적 숫자는 실제 숫자의 하위 영역을 형성한다. 즉, 0과 1은 대수 숫자이고, 더욱이 ${\displaystyle$ a $}$ 과 $a$ b ${\$ $displaystyle$ $b$ $}$ 이 $b$ $a+b$ 가) 대수 숫자라면 + b {\ $displaystyle a+b$ $a-b$ $a$ - $a+b$ ${\displaystyle a-b},$ $b$ ${\displaystytype$ b}이 0이 $b$ 아니면 a $/b$

실제 대수적 숫자들은 또한 실수의 하위 영역이 되는 것을 넘어, 각각의 양의 $정수$ n{\ $displaystyle$ n}과 $n$ 각각의 실제 대수적 숫자 a $displaystyle a}$ 에 대해 $실수인$ {\displaystyle a}의 $모든$ $n$ ${\$ displaystytle $n}$ 뿌리도 $n$ 대수적이라는 $a$ 속성을 가지고 있다.

대수학 숫자들은 헤아릴 수 없이 많을 뿐 실수는 셀 수 없이 많으므로 카디널리티의 관점에서 대부분의 실수는 대수학이 아니다. 모든 실제 숫자가 대수학적이지 않다는 이 비건설적 증거는 게오르크 칸토어가 1874년 논문 "모든 실제 대수학 번호 모음의 속성에 대하여"에서 처음 발표하였다.

비알골수(non algebrevertent number라고 부른다. 가장 잘 알려진 초월 숫자는 $π$ 과 $e$ 이다.

계산 가능한 실수

$n$ ${\displaystyle n$ 이라는 자연 숫자를 지정하면 $n$ $n$ 소수 $n$ 자릿수로 정확한 숫자에 대해 소수 확장을 생성하는 알고리즘이 있는 경우 실제 숫자는 계산 가능한 숫자다. 이 개념은 앨런 튜링에 의해 1936년에 도입되었다.^[1]

계산 가능한 숫자들은 $\pi$ ${\displaystyle \pi$ }, $e$ $e$ 을 포함한 많은 초월적 숫자와 함께 대수적 숫자들을 포함한다 $e$ 대수적 숫자들과 마찬가지로 계산 가능한 숫자들은 또한 실수의 하위 영역을 형성하며, 양의 계산 가능한 $n$ 은 n $n$ th $n$ r을 취하면 닫힌다.각 양의 $n$ $n$ 에 대한 oots $n$

모든 실제 수치가 계산 가능한 것은 아니다. 비컴퓨팅 실수의 구체적인 예로는 스피커 시퀀스의 한계, 차이틴의 Ω 번호와 같은 알고리즘적으로 무작위 실수의 한계가 있다.

산술의 정의성

또 다른 확정성의 개념은 페아노 산술과 같은 산술의 형식 이론에서 나온다. 산술의 언어는 0, 1을 나타내는 기호를 가지고 있는데, 자연수에 걸쳐서 통상적인 방법으로 해석되도록 의도된 후속 연산, 덧셈, 곱셈이 있다. 이 언어의 변수는 실제 숫자에 걸쳐 있지 않기 때문에, 실제 숫자를 참조하기 위해서는 다른 종류의 정의가 필요하다. 실제 숫자 a {\ $displaystyle a}$ 은(는) 산술(또는 산술) 언어로 정의할 수 있다. 즉, 산술 언어에 1차 공식 language $\varphi$ {\ $displaystyle \varphi }$ 이(가 $)$ 있을 경우 산술(또는 산술) 언어로 정의할 수 있으며 $a$ , 다음과 같은 3개의 자유 변수가 있다 $.$

\forall m\,\forall n\,\forall p\left(n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}{a\1}{m+1}{a\right).

여기서 m, n, p 범위는 음이 아닌 정수에 걸쳐 있다.

산술의 2차 언어는 변수와 정량자가 일련의 자연어들에 걸쳐 범위가 허용된다는 점을 제외하면 1차 언어와 동일하다. 산술어로 정의할 수 있는 2차 실물을 분석이라고 한다.

계산 가능한 모든 실제 숫자는 산술적이고 산술적 숫자는 분석적 숫자와 마찬가지로 실제의 하위 영역을 형성한다. 모든 산술적 숫자는 분석적이지만 모든 산술적 숫자가 산술적인 것은 아니다. 분석 숫자가 셀 수 없이 많기 때문에, 대부분의 실제 숫자는 분석적이지 않고, 따라서 산술적이지도 않다.

모든 계산 가능한 숫자는 산술적이지만, 모든 산술적인 숫자가 계산 가능한 것은 아니다. 예를 들어, Specker 시퀀스의 한계는 계산할 수 없는 산술적 숫자다.

산술적 및 분석적 실재의 정의는 산술적 계층 구조와 분석적 계층 구조로 계층화할 수 있다. 일반적으로, 실제는 그것의 데데킨드 컷이 산술적 계층의 $\Delta _{1}^{0}$ $\Delta _{1}^{0}$ $\Delta _{1}^{0}$ $[\$ 에 있는 경우에만 계산이 가능하다. 마찬가지로 산술적 데데킨드 컷이 있는 실체들은 분석 계층의 가장 낮은 수준을 형성한다.

ZFC 모델 정의 가능

$실제$ 번호 $a$ $a$ 은(는) ${\$ $displaystyle$ $\varphi$ $}$ 이 $\varphi$ (가 $)$ $displaystyle$ $a}$ 과 $\varphi (a)$ ( $와$ ) 같은 하나의 자유 변수가 $\varphi (a)$ 경우 매개 변수 없이 집합 이론의 언어로 첫 번째 순서를 정의할 수 있다 $a$ .lds.^[2] 이 개념은 집합 이론의 언어에서 공식으로 표현될 수 없다.

모든 분석 번호, 특히 계산 가능한 모든 숫자는 집합 이론 언어로 정의할 수 있다. 따라서 집합 이론의 언어로 정의 가능한 실수는 모든 대수적 숫자와 함께 0, 1, $\pi$ ${\displaystyle \pi$ $e$ ${\displaystyle e},$ et cetera와 같은 익숙한 실수를 모두 포함한다. 이들이 모델에서 집합을 형성한다고 가정할 때, ZFC의 특정 모델에 대해 세트 이론 언어로 정의할 수 있는 실제 숫자는 필드를 형성한다.

셀 수 없이 많은 실수를 포함하는 ZFC 세트 이론의 $M$ 각 세트 $모델$ M ${\$ $displaystyle M}$ 은( $M$ 파라미터가 없는) M {\displaystyle $M}$ 내에서 정의할 수 없는 실제 숫자를 포함해야 한다. 이는 수식이 셀 수 없이 $많으므로$ M {\ $displaystyle M}$ 에 대해 M {\displaystyle M}의 여러 요소를 $M$ 정의할 수 있다는 사실에서 $M$ 비롯된다. $따라서$ M {\ $displaystyle$ M $}$ 이(가) 실수를 셀 수 없이 많이 가지고 있다면 $M$ "외부" $M$ ${\displaystystyle M}$ 에서 모든 수식이 아니라는 것을 $M$ 증명할 수 있다. $M$ $M$ 은(는) $M$ $M$ 을(를) 통해 정의할 수 있다 $M$ $M$

이 주장은 폰 노이만 우주와 같은 ZFC의 클래스 모델에 적용하면 더욱 문제가 된다. "실수 $x$ $x$ 은 $x$ (는) 클래스 $모델$ N $N$ 에 대해 정의할 수 있다 $N$ 는 주장은 ZFC의 공식으로 표현할 수 없다.^[3]^[4] 마찬가지로 폰 노이만 우주가 정의할 수 없는 실수를 포함하고 있는지에 대한 문제는 ZFC의 언어로 문장으로 표현할 수 없다. 더욱이, 모든 실수, 모든 실수의 집합, 실수의 함수 등이 정의 가능한 ZFC의 계수 가능한 모델이 있다.^[3]^[4]

참고 항목

참조

^ Turing, A. M. (1937), "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem", Proceedings of the London Mathematical Society, 2, 42 (1): 230–65, doi:10.1112/plms/s2-42.1.230
^ Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam: North-Holland, p. 153, ISBN 978-0-444-85401-8
^ ^a ^b Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013), "Pointwise Definable Models of Set Theory", Journal of Symbolic Logic, 78 (1): 139–156, arXiv:1105.4597, doi:10.2178/jsl.7801090, S2CID 43689192
^ ^a ^b Tsirelson, Boris (2020), "Can each number be specified by a finite text?", WikiJournal of Science, vol. 3, no. 1, arXiv:1909.11149, doi:10.15347/WJS/2020.008

[turing-1] Turing, A. M. (1937), "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem", Proceedings of the London Mathematical Society, 2, 42 (1): 230–65, doi:10.1112/plms/s2-42.1.230

[kunen-2] Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam: North-Holland, p. 153, ISBN 978-0-444-85401-8

[hlr-3] Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013), "Pointwise Definable Models of Set Theory", Journal of Symbolic Logic, 78 (1): 139–156, arXiv:1105.4597, doi:10.2178/jsl.7801090, S2CID 43689192

[tsirelson-4] Tsirelson, Boris (2020), "Can each number be specified by a finite text?", WikiJournal of Science, vol. 3, no. 1, arXiv:1909.11149, doi:10.15347/WJS/2020.008

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 수 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ ${\$ ) 정수( $\mathbb {Z}$ ${\$ $\mathbb {Z}$ ) 합리적인 숫자( $\mathbb {Q}$ ${\$ $\mathbb {Q}$ ) 구성 가능한 숫자 대수적 숫자( $\mathbb {A}$ ${\$ ) 기간 계산 가능한 숫자 산술수 이론적으로 정의할 수 있는 숫자 설정 가우스 정수
구성 알헤브라스	분할 알헤브라스: 실수( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ ) 복잡한 숫자( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ ) 쿼터니온( $\mathbb {H}$ ${\$ $\mathbb {H}$ ) 옥토니언( $\mathbb {O}$ ${\$ $\mathbb {O}$ )
분할 종류들	$\mathbb {R}$ ${\$ 초과 $\mathbb {R}$ 분할복수 스플릿쿼터니온 스플릿옥톤 $\mathbb {C}$ 이상 ${\$ 바이콤플렉스 수 바이쿼터니온스 바이오크토니언스
기타 하이퍼 복합체	이중수 이중 쿼터니온 이중 복합수 쌍곡선 쿼터니언 Sedenion( $\mathbb {S}$ ${\$ $\mathbb {S}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티콤플렉스 수 기하 대수학 물리적 공간의 대수 스페이스타임 대수
기타유형	기수 연장된 자연수 비이성수 퍼지 수 초현실수 레비시비타 필드 초현실수 초월수 서수 p-adic 번호(p-adic 솔레노이드) 초자연적 수 초현실수
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