유클리드 기하학

기하학.
평면에 구면 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비아르키메데스 기하학 투사적 아핀 합성 분석 대수적 산술 디오판틴 차동 리만어 심플렉틱 이산 차동 복잡한 유한 디스크리트/컴비네이터리 디지털. 볼록하다 계산 프랙탈 발생률 비가환 기하학 비가환 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 병렬 꼭지점 일치 유사성 대칭
제로차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
2차원 비행기 지역 폴리곤 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모꼴 마름모꼴 사변형 사다리꼴 연 원형 직경 둘레 지역
입체 용량 큐브 입방체 실린더 피라미드 구
4차원/기타차원 테서랙트 하이퍼스피어
지오메트리
이름으로 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 불야이 브라마굽타 카르탄 콕서터 데카르츠 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 야에하데바 카티아야나 카이얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메시바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양후이 알-야사민 장 기하학 목록
기간별로 BCE 아흐메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1 ~ 16 진수 장 카티아야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 카이얌 알-야사민 알투시 양후이 파라메시바라 1400~1960년대 야에하데바 데카르츠 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700~1960년대 가우스 로바체프스키 불야이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
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유클리드 기하학은 고대 그리스 수학자 유클리드에게 귀속된 수학 체계로, 그가 기하학 교과서: 원소들에 기술했다.유클리드의 접근법은 직관적으로 호소하는 공리들의 작은 집합을 가정하고 이것들로부터 많은 다른 명제들을 추론하는 것으로 구성된다.유클리드의 많은 결과들이 이전에 ^[1]언급되었지만, 유클리드는 이러한 명제들을 각각의 결과가 공리로부터 증명되고 이전에 증명된 ^[2]이론들로 증명되는 논리 체계로 구성한 최초의 사람이었다.

요소는 평면 기하학에서 시작되며, 중등학교(고등학교)에서 최초의 공리 체계이자 수학적 증명의 첫 번째 예로서 여전히 가르칩니다.3차원의 입체 기하학으로 이어집니다.대부분의 원소들은 기하학적 ^[1]언어로 설명되는, 현재 대수학과 수 이론이라고 불리는 것의 결과를 말한다.

2000년 이상 동안, "유클리드"라는 형용사는 불필요했습니다. 왜냐하면 다른 종류의 기하학이 고안되지 않았기 때문입니다.유클리드의 공리는 너무나 직관적으로 명백해 보였고, 그것들로부터 증명된 어떤 정리도 절대적인, 종종 형이상학적 의미에서 사실로 간주되었다.그러나 오늘날에는 19세기 초에 처음으로 발견된 비유클리드 기하학 외에 많은 자기 정합성이 결여된 기하학이 알려져 있다.알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 함축적인 의미는 물리적 공간 자체는 유클리드가 아니며, 유클리드 공간은 단지 짧은 거리에서만 그것에 대한 좋은 근사치이다.^[3]

유클리드 기하학은 점이나 선과 같은 기하학적 물체의 기본 특성을 설명하는 공리에서 논리적으로 이러한 물체에 대한 명제로 진행된다는 점에서 합성 기하학의 한 예이다.이것은 거의 2,000년 후에 르네 데카르트에 의해 도입된 해석 기하학과는 대조적으로, 기하학적 특성을 대수 공식으로 표현하기 위해 좌표를 사용합니다.

요소

요소는 주로 기하학에 대한 초기 지식을 체계화한 것입니다.이전 치료법보다 개선되었다는 것을 빠르게 인식했고, 그 결과 이전 치료법을 보존하는 데 관심이 거의 없었고, 현재는 거의 상실되었다.

요소에는 13권의 책이 있습니다.

책 I-IV와 VI는 평면 형상에 대해 논의합니다.평면 도형에 관한 많은 결과는 예를 들어 "어느 삼각형에서든 함께 찍은 두 개의 각도가 두 개의 직각보다 작다"(제1권 제17호)와 "직각 삼각형에서 직각보다 작은 변의 정사각형은 직각을 포함하는 변의 정사각형과 같다"(제1권)는 피타고라스 정리이다.I, 발의안 47)

책 V와 VII–X는 숫자가 선분의 길이 또는 표면 영역의 면적으로 기하학적으로 처리되는 수 이론을 다룬다.소수, 유리수, 비합리수 등의 개념이 도입된다.소수가 무한히 많다는 것이 증명되었다.

북 XI~XIII는 솔리드 지오메트리에 관한 것입니다.전형적인 결과는 원뿔의 부피와 같은 높이와 베이스의 실린더 사이의 1:3 비율입니다.플라토닉 솔리드가 구성되어 있습니다.

악리

유클리드 기하학은 모든 이론("참 진술")이 소수의 단순한 공리로부터 파생되는 공리 체계이다.비유클리드 기하학의 출현까지, 이러한 공리는 물리 세계에서는 명백히 사실로 여겨졌고, 그래서 모든 이론들이 동등하게 진실일 것이다.그러나 유클리드의 추론은 가정부터 결론까지 그들의 물리적 ^[4]현실과는 무관하게 유효하다.

요소의 첫 번째 책의 시작 부분에서, Euclid는 (Thomas Heath에 의해 번역된)^[5] 구조 측면에서 평면 기하학에 대한 다섯 가지 공식(축)을 제시한다.

다음 사항을 가정해 보겠습니다.

1. 임의의 점으로부터 임의의 점까지 직선을 그립니다.
2. 직선으로 유한한 직선을 연속적으로 생성(확장)하는 것.
3. 중심과 거리(반경)가 있는 원을 기술한다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. [평행 공식]즉, 2개의 직선으로 떨어지는 직선이 같은 면의 내부 각도를 2개의 직각 미만으로 만드는 경우, 2개의 직선은 무한히 생성되는 경우, 2개의 직각이 2개 미만인 측면에서 만난다.

비록 유클리드가 명시적으로 구성된 물체의 존재를 주장할 뿐이지만, 그의 추론에서 그는 또한 암묵적으로 그것들이 독특하다고 가정한다.

요소에는 다음 5가지 "공통 개념"도 포함되어 있습니다.

1. 같은 것과 같은 것은 또한 서로 같다. (유클리드 관계의 추이적 특성)
2. 등가(등가)에 더하면 도매(등가(등가) 속성)가 같습니다.
3. 등식을 등식에서 빼면 차이가 같습니다(등식의 감산 특성).
4. 서로 일치하는 것은 서로 같다(반사 특성).
5. 전체는 부분보다 크다.

현대 학자들은 유클리드의 가설이 유클리드가 그의 ^[6]발표에 요구한 완전한 논리적 근거를 제공하지 못한다는 데 동의한다.현대의 치료법은 보다 광범위하고 완전한 일련의 공리를 사용한다.

평행 포뮬레이션

고대인들에게 평행 가설은 다른 가설보다 덜 명확해 보였다.그들은 절대적으로 확실한 명제의 체계를 만들고 싶어했고, 그들에게 평행선은 단순한 진술에서 증거를 필요로 하는 것처럼 보였다.이제 그러한 증명은 불가능하다고 알려져 있는데, 이는 평행 가설이 참인 기하학 체계(다른 공리들을 따르며)^[7]를 일관되게 구성할 수 있기 때문이다.유클리드 자신은 그것을 다른 것들과 질적으로 다르다고 여겼던 것 같습니다.원소의 구성에 의해 증명되었듯이, 그의 첫 28가지 명제는 그것 없이도 증명될 수 있는 것입니다.

(다른 공리의 맥락에서) 병렬 공식과 논리적으로 동등한 많은 대체 공리를 공식화할 수 있습니다.예를 들어 Playfair의 공리는 다음과 같습니다.

평면에서 주어진 직선이 아닌 점을 통해 주어진 선과 결코 일치하지 않는 선을 하나까지 그릴 수 있습니다.

최소한 하나의 평행선이 존재한다는 것을 나머지 공리로부터 증명할 수 있기 때문에 "최대" 절만 있으면 된다.

증명 방법

유클리드 기하학은 건설적이다.공식 1, 2, 3, 5는 어떤 기하학적 도형의 존재와 고유성을 주장하며, 이러한 주장은 건설적인 성질의 것이다: 즉, 우리는 특정한 것이 존재한다고 말할 뿐만 아니라 나침반과 표시되지 않은 직선 ^[8]모서리만을 가지고 그것들을 창조하는 방법도 주어진다.이런 의미에서 유클리드 기하학은 집합론과 같은 많은 현대의 공리 체계보다 더 구체적이다. 집합론은 종종 어떻게 구성할지 말하지 않고 물체의 존재를 주장하거나 심지어 ^[9]이론 내에서 구성될 수 없는 물체의 존재를 주장하기도 한다.엄밀히 말하면, 종이 위의 선은 공식 시스템 내에서 정의된 객체의 모델이지 객체의 인스턴스가 아닙니다.예를 들어, 유클리드 직선은 너비가 없지만 실제 그려진 선은 너비가 있습니다.비록 거의 모든 현대 수학자들이 비건설적인 방법들을 건설적인 방법만큼 건전하다고 생각하지만, 유클리드의 건설적인 증명들은 종종 잘못된 비건설적인 증명들 - 예를 들어, 보통 " ...^[10]의 가장 큰 공통적인 척도를 찾아라"와 같은 진술을 필요로 하는 비합리적인 숫자와 관련된 피타고라스인들의 증명들 -을 대체했다.

유클리드는 종종 모순에 의한 증거를 사용했다.유클리드 기하학은 또한 도형이 공간의 다른 점으로 옮겨지는 중첩 방법을 허용한다.예를 들어, 발의안 I.4, 삼각형의 변-각-변 일치성은 두 삼각형 중 한 변이 다른 삼각형의 등변과 일치하도록 이동한 후 다른 변도 일치함을 증명함으로써 증명된다.어떤 현대적 치료법은 여섯 번째 가설, 즉 삼각형의 강성을 추가하는데,^[11] 이것은 중첩의 대안으로 사용될 수 있다.

표기법 및 용어

포인트 및 수치 이름 지정

포인트는 알파벳 대문자를 사용하여 명명됩니다.선, 삼각형 또는 원과 같은 다른 그림에는 해당 그림에서 명확하게 선택할 수 있는 충분한 수의 점을 나열하여 이름이 지정됩니다. 예를 들어, 삼각형 ABC는 일반적으로 A, B 및 C 지점에 정점이 있는 삼각형입니다.

보각 및 보충각

합계가 직각인 각도를 보각이라고 한다.보각은 광선이 같은 정점을 공유하고 직각을 형성하는 두 원본 광선 사이에 있는 방향을 가리킬 때 형성된다.두 원래 광선 사이의 광선의 수는 무한하다.

합계가 직각인 각도는 보충이다.보조각은 광선이 같은 정점을 공유하고 직선각(180도 각도)을 형성하는 두 원본 광선 사이에 있는 방향을 가리킬 때 형성된다.두 원래 광선 사이의 광선의 수는 무한하다.

현대판 유클리드의 표기법

현대 용어로는 일반적으로 각도는 도 또는 라디안으로 측정됩니다.

현대의 학교 교과서는 종종 선(무한), 선(반무한), 선(반무한), 선(유한 길이)이라고 불리는 별도의 도형을 정의한다.유클리드는 광선을 한 방향으로 무한대로 뻗어나가는 물체로 논하기보다는 "직선이 충분한 길이로 뻗어나간다면"과 같은 위치를 사용하는 것이 일반적이다. 하지만 그는 가끔 "무한 선"을 언급하기도 했다.유클리드의 "직선"은 직선일 수도 있고 곡선이 될 수도 있으며, 그는 필요할 때 "직선"이라는 보다 구체적인 용어를 사용했다.

중요하거나 잘 알려진 결과

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  pons asinorum 또는 bridge of ass의 정리는 이등변 삼각형에서 α = β 및 β = δ라고 말한다.

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  삼각각 합 정리는 모든 삼각형의 세 각도, 이 경우 각도 α, β, θ의 합이 항상 180도일 것이라고 말한다.

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  피타고라스의 정리는 직각삼각형의 다리 (a와 b)에 있는 두 개의 정사각형의 면적 합계가 빗변 (c)에 있는 정사각형의 면적과 같다고 말한다.

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  탈레스의 정리는 만약 AC가 직경이라면, B에서의 각도는 직각이라고 말한다.

퐁스아시노룸

pons asinorum(당근다리)은 이등변 삼각형에서 밑면의 각도가 서로 동일하고, 같은 직선이 더 생성되면 밑면의 각도가 ^[12]서로 동일하다고 기술합니다.그 이름은 독자의 지능 요소에서 첫 번째 실제 테스트로서 그리고 그 뒤에 이어지는 더 어려운 명제로의 가교로서 그것의 빈번한 역할에 기인할 수 있다.그것은 또한 확실한 발을 가진 당나귀만이 ^[13]건널 수 있는 가파른 다리와 기하학적 형상이 닮았기 때문에 그렇게 이름 지어졌을 수도 있다.

삼각형의 일치

삼각형이 3변 모두 같으면(SSS), 2변과 그 사이의 각도가 같으면(SAS), 또는 2각과 변이 같으면(ASA) 삼각형은 일치합니다(책 I, 명제 4, 8, 26).3개의 등각(AAA)을 가진 삼각형은 유사하지만 반드시 일치하지는 않습니다.또한, 두 변과 인접한 각도를 가진 삼각형이 반드시 같거나 일치하지는 않습니다.

삼각각합

삼각형의 각도의 합은 직선 각도(180도)^[14]와 같다.이로 인해 정삼각형은 3개의 내부 각도가 60도입니다.또한, 모든 삼각형이 적어도 두 개의 예각과 최대 한 개의 둔각 또는 직각을 갖도록 합니다.

피타고라스 정리

유명한 피타고라스 정리(제1권, 제47호)는 직각 삼각형에서 변이 빗변인 정사각형의 면적(직각으로 만나는 두 변)은 두 다리인 정사각형의 면적 합계와 같다고 말한다.

탈레스 정리

Miletus의 Thales의 이름을 딴 Thales의 정리는 만약 A, B, C가 원의 직경인 원의 점이라면, 각도 ABC는 직각이다.칸토르는 탈레스가 유클리드의 제1권, 제32호에 의해 유클리드의 제3권,^[15][16] 제31호에 따라 그의 정리를 증명했다고 추정했다.

영역 및 볼륨 스케일링

현대 용어에서 비행기 모양의 면적은 어떤 선형의 크기, A∝ L2{\displaystyle A\propto L^{2}}의 제곱, 그리고 고체의 큐브가 볼륨을, V∝ L3{\displaystyle V\propto L^{3}}. 유클리드는 다양한 특별한 사례들에서 circle[17]의 지역과 같은 이러한 결과임을 증명했다 비례한다. volu직육면체 ^[18]고체의 나.유클리드는 비례성의 관련된 상수들 중 전부는 아니지만 몇 가지를 알아냈다.예를 들어, 구체가 ^[19]외접 원통의 2/3 부피를 가지고 있다는 것을 증명한 사람은 그의 후계자 아르키메데스였다.

측정 및 산술 시스템

유클리드 기하학에는 두 가지 기본적인 측정 유형인 각도와 거리가 있습니다.각도 척도는 절대적이며 유클리드는 직각을 기본 단위로 사용하므로, 예를 들어 45도의 각도는 직각의 절반이라고 할 수 있습니다.거리 척도는 상대적입니다. 0이 아닌 특정 길이의 선분을 임의로 단위로 선택하고 다른 거리를 그에 따라 표시합니다.거리의 덧셈은 하나의 선분을 다른 선분의 끝에 복사하여 길이를 연장하는 구조로 나타내며, 감산도 이와 유사하다.

면적과 부피의 측정은 거리에서 도출됩니다.예를 들어 가로 3과 세로 4의 직사각형에는 곱 12를 나타내는 영역이 있습니다.곱셈의 기하학적 해석은 3차원으로 제한되었기 때문에, 4개 이상의 숫자의 곱을 직접 해석할 수 있는 방법은 없었고, 유클리드는 그러한 곱이 예를 들어, 제9권, 명제 20의 증명에 암시되어 있지만, 그러한 곱을 피했다.

Euclid refers to a pair of lines, or a pair of planar or solid figures, as "equal" (ἴσος) if their lengths, areas, or volumes are equal respectively, and similarly for angles.더 강한 용어인 "동일"은 전체 도형이 다른 도형과 같은 크기와 모양이라는 생각을 의미합니다.또는 두 그림이 서로 일치하도록 다른 그림 위로 이동할 수 있는 경우 두 그림이 일치합니다(넘기는 것은 허용됨).예를 들어, 2x6 직사각형과 3x4 직사각형은 동일하지만 일치하지 않으며 문자 R은 거울 이미지와 일치합니다.크기가 다르다는 점을 제외하고 일치할 수 있는 수치를 유사한 수치라고 한다.한 쌍의 유사한 형상의 대응각은 일치하고 대응변은 서로 비례한다.

적용들

수학에서의 유클리드 기하학의 기본적 지위 때문에, 여기서 응용 프로그램의 대표 표본 이상을 제공하는 것은 비현실적이다.

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  평가관은 레벨을 사용합니다.

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  구면 패킹은 오렌지 더미에 적용됩니다.

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  포물선 거울은 평행한 광선을 초점에 맞춥니다.

이 단어의 어원에 의해 제시되었듯이, 기하학에 대한 관심의 가장 초기 이유 중 하나이자 가장 일반적인 현재의 사용 ^[20]중 하나는 측량이고, 3-4-5 삼각형의 직각 특성과 같은 유클리드 기하학의 어떤 실제적인 결과는 공식적으로 ^[21]증명되기 훨씬 전에 사용되었다.유클리드 기하학에서 기본적인 측정 유형은 거리와 각도이며, 두 가지 모두 측량자가 직접 측정할 수 있습니다.역사적으로, 거리는 종종 군터의 사슬과 같은 쇠사슬과 눈금이 매겨진 원, 그리고 나중에는 신상돌기를 사용하여 각도를 측정했습니다.

유클리드 입체 기하학의 적용은 n차원에서 구의 가장 효율적인 패킹을 찾는 문제와 같은 패킹 배열의 결정이다.이 문제는 에러 검출과 수정에 응용 프로그램이 있습니다.

기하학 광학은 유클리드 기하학을 사용하여 렌즈와 거울로 빛의 초점을 분석합니다.

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  기하학은 예술과 건축에 사용된다.

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  워터타워는 원추형, 원통형, 반구로 구성되어 있다.부피는 솔리드 지오메트리를 사용하여 계산할 수 있습니다.

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  지오메트리는 종이접기를 디자인하는데 사용될 수 있다.

지오메트리는 건축에서 광범위하게 사용됩니다.

지오메트리는 종이접기를 디자인하는데 사용될 수 있다.기하학의 몇몇 고전적인 구성 문제들은 나침반과 직선으로 불가능하지만 ^[22]종이접기로 해결할 수 있다.

CAD(컴퓨터 지원 설계)와 CAM(컴퓨터 지원 제조)의 대부분은 유클리드 기하학을 기반으로 합니다.설계 지오메트리는 일반적으로 평면, 실린더, 원뿔, 토리 및 기타 유사한 형상으로 경계된 형상으로 구성됩니다.오늘날 CAD/CAM은 자동차, 비행기, 선박, 스마트폰을 포함한 거의 모든 디자인에서 필수적입니다.몇 십 년 전만 해도 정교한 초안가들은 파스칼의 정리나 브리안촌의 정리 같은 것을 포함하여 상당히 진보된 유클리드 기하학을 배웠지만, 현대에는 더 이상 이것이 ^{[citation needed]}필요하지 않다.

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나중의 일

아르키메데스와 아폴로니우스

많은 역사적 일화가 기록된 다채로운 인물인 아르키메데스 (기원전 287년경–기원전 212년경)는 유클리드와 함께 고대 수학자들 중 가장 위대한 사람 중 한 명으로 기억된다.비록 그의 작품의 기초가 유클리드에 의해 마련되었지만, 유클리드의 작품과는 달리 그의 작품은 완전히 ^[23]독창적이었다고 여겨진다.그는 다양한 도형의 부피와 면적에 대한 방정식을 2차원과 3차원으로 증명했고, 유한수의 아르키메데스의 특성을 명확히 했다.

페르가의 아폴로니우스(기원전 262년경–기원전 190년경)는 원추형 단면을 조사한 것으로 주로 알려져 있다.

17세기:데카르츠

르네 데카르트는 기하학을 대수학으로 바꾸는 데 초점을 맞춘 기하학을 ^[24]공식화하기 위한 대안 방법인 해석 기하학을 개발했다.

이 접근법에서 평면상의 점은 데카르트(x, y) 좌표로 표현되고 선은 방정식으로 표현됩니다.

유클리드의 원래 접근법에서, 피타고라스 정리는 유클리드의 공리에서 따랐다.데카르트적 접근법에서, 공리는 대수학의 공리이고, 피타고라스 정리를 표현하는 방정식은 유클리드 공리들 중 하나의 용어의 정의이며, 이것은 현재 이론으로 여겨진다.

방정식

${{displaystyle PQ = pairrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2},}$

두 점 P = (p_x, p_y)와 Q = (q_xy, q) 사이의 거리를 정의하는 것을 유클리드 메트릭이라고 하며, 다른 메트릭은 비유클리드 기하학을 정의한다.

해석 기하학의 관점에서, 고전 기하학이 나침반 및 직선 구조에 제한된다는 것은 1차 및 2차 방정식(예: y = 2x + 1(선) 또는² x + y² = 7(원)에 대한 제한을 의미합니다.

또한 17세기에, 원근법에 의해 동기부여된 Girard Desargues는 이상화된 점, 선, 그리고 무한대의 평면의 개념을 도입했다.그 결과는 일반화된 기하학, 사영 기하학의 한 종류로 간주될 수 있지만, 특별한 경우의 수가 ^[25]감소하는 일반적인 유클리드 기하학에서 증거를 만드는 데 사용될 수도 있다.

18세기

18세기의 기하학자들은 유클리드 시스템의 경계를 정의하기 위해 애썼다.많은 사람들이 처음 네 개의 가설 중에서 다섯 번째 가설을 증명하려고 했지만 허사였다.1763년까지, 적어도 28개의 다른 증거들이 발표되었지만,^[26] 모두 틀린 것으로 밝혀졌다.

이 시기에 이르기 까지 기하학자들은 또한 유클리드 기하학에서 어떤 구성들이 성취될 수 있는지를 결정하려고 노력했다.예를 들어, 나침반과 직선으로 각도를 삼등분하는 문제는 공리들이 그 도구들로 수행될 수 있는 건설적인 연산을 의미하기 때문에 이론 내에서 자연스럽게 발생하는 문제이다.하지만, 1837년 피에르 원첼이 그러한 건설이 불가능하다는 증거를 발표하기 전까지, 수 세기의 노력은 이 문제에 대한 해결책을 찾는데 실패했다.불가능한 것으로 판명된 다른 건축물은 입방체를 두 배로 하는 것과 원을 제곱하는 것을 포함한다.입방체를 2배로 하는 경우, 나침반과 직선법은 ^[27]2의 정수승인 방정식을 수반하는 반면, 입방체를 2배로 하는 경우에는 3차 방정식의 해법이 필요하다는 사실에서 시공이 불가능하다.

오일러는 아핀 기하학이라고 불리는 유클리드 기하학의 일반화를 논의했는데, 아핀 기하학은 수정되지 않은 다섯 번째 전제를 유지하면서 각도(직각 삼각형이 무의미해짐)와 일반적으로 선분 길이의 동일성(여기서 원이 무의미해짐)의 개념을 없애는 방식으로 3과 4를 약화시켰다.e 평행도의 개념을 선 사이의 동등성 관계로서 유지하고 평행선 세그먼트의 길이의 동일성을 유지한다(그래서 선 세그먼트는 중간점을 계속 가진다).

19세기 비유클리드 기하학

19세기 초에 카르노와 뫼비우스는 결과를 ^[28]단순화하고 통합하는 방법으로 부호 있는 각도와 선분 사용을 체계적으로 개발했다.

기하학에서 세기의 가장 중요한 발전은 1830년경 야노스 볼랴이와 니콜라이 이바노비치 로바체프스키가 평행 공식이 ^[29]유효하지 않은 비유클리드 기하학에 대한 연구를 따로 발표하면서 일어났다.비유클리드 기하학이 유클리드 기하학과 비교적 일치하기 때문에, 평행 가설은 다른 가설로부터 증명될 수 없다.

19세기에, 유클리드의 10가지 공리와 공통 관념은 원소에 명시된 모든 이론을 증명하기에 충분하지 않다는 것도 깨달았습니다.예를 들어, 유클리드는 어떤 선이 적어도 두 개의 점을 포함한다고 암묵적으로 가정했지만, 이 가정은 다른 공리들로부터 증명될 수 없으며, 따라서 공리 그 자체여야만 한다.위의 그림에서 볼 수 있는 원소의 첫 번째 기하학적 증거는 모든 선분이 삼각형의 일부라는 것입니다. 유클리드는 이것을 두 끝점 주위에 원을 그리고 그들의 교점을 세 번째 꼭지점으로 삼음으로써 일반적인 방법으로 구성합니다.그러나 그의 공리는 원들이 실제로 교차하는 것을 보장하지 않는다. 왜냐하면 그것들은 연속성의 기하학적 속성을 주장하지 않기 때문이다. 왜냐하면 그것은 데카르트 용어로 실수의 완전성 속성과 동등하다.1882년 Moritz Pasch를 시작으로, 기하학에 대한 많은 개선된 공리체계가 제안되었고, 가장 잘 알려진 것은 Hilbert,^[30] George Birkhoff,^[31] 그리고 ^[32]Tarski이다.

20세기와 상대성 이론

아인슈타인의 특수 상대성 이론은 비유클리드인 4차원 시공간인 민코프스키 공간을 포함한다.이것은 평행 공식을 증명할 수 없다는 것을 보여주기 위해 몇 년 전에 소개되었던 비유클리드 기하학이 물리 세계를 기술하는데도 유용하다는 것을 보여준다.

그러나 민코프스키 공간의 3차원 "공간 부분"은 유클리드 기하학의 공간으로 남는다.시공간 부분의 기하학이 유클리드 ^[33]기하학이 아닌 일반상대성이론은 그렇지 않다.예를 들어 세 개의 광선으로 삼각형을 구성하면 일반적으로 중력으로 인해 내부 각도가 180도까지 합산되지 않습니다.지구나 태양과 같은 상대적으로 약한 중력장은 대략적으로, 그러나 정확히는 아닌 유클리드 측정법으로 표현된다.20세기까지는 유클리드 기하학에서 나오는 빛의 편차를 감지할 수 있는 기술이 없었지만 아인슈타인은 그러한 편차가 존재할 것이라고 예측했다.그것들은 나중에 1919년 일식 동안 태양에 의해 별빛이 약간 휘는 것과 같은 관측에 의해 입증되었고, 그러한 고려 사항들은 현재 GPS ^[34]시스템을 실행하는 소프트웨어의 필수적인 부분이 되었다.

공간의 구조에 대한 설명으로서

유클리드는 그의 공리들이 물리적 현실에 대한 자명한 진술이라고 믿었다.유클리드의 증명은 유클리드의 기본 ^[35]공리에서 분명하지 않은 가정에 의존하며, 특히 도형의 특정 움직임은 변의 길이와 내부 각도, 도형의 ^[36]번역, 반사, 회전을 포함하는 소위 유클리드 운동과 같은 기하학적 특성을 바꾸지 않는다.공간의 물리적 설명으로 받아들여지는, 공식 2 (직각의 등가)는 공간에 구멍이나 경계가 없다고 주장한다; 공식 4 (직각의 등가)는 공간은 등가성이며 그림들은 일치성을 유지하면서 어느 위치로든 이동할 수 있다고 말한다; 그리고 공간이 평평하다는 공식 5 (직각의 등가)(ture)^[37]

위에서 논의한 바와 같이, 알버트 아인슈타인의 상대성 이론은 이 관점을 크게 수정한다.

유클리드에 의해 원래 공식화된 공리의 모호한 특성은 다른 해설자들이 공간의 구조에 대한 그들의 다른 의미들, 예를 들어 무한인지^[38] 아닌지 그리고 그것의 위상이 무엇인지에 대해 의견을 달리하는 것을 가능하게 한다.현대적이고 보다 엄격한 시스템^[39] 개혁은 일반적으로 이러한 문제를 보다 깨끗하게 분리하는 것을 목표로 한다.보다 현대적인 접근의 정신으로 유클리드의 공리를 해석하면, 공리 1-4는 (타원 기하학에서처럼) 무한 또는 유한 공간과 일치하며, 다섯 개의 공리는 모두 다양한 위상(예: 2차원 유클리드 기하학에 대한 평면, 원통 또는 토러스)과 일치한다.

무한대 처리

무한 객체

유클리드는 때때로 "유한선"과 "무한선"을 명확하게 구별한다.하지만, 그는 전형적으로 그것들이 필요하지 않는 한 그러한 구별을 하지 않았다.예를 들어, 일부 해설자는 ^[38]공간이 무한하다는 것을 암시하는 반지름을 가진 원의 존재를 공식 3으로 해석하지만, 이 가설은 명시적으로 무한선을 지칭하지는 않습니다.

극소량의 개념은 엘레아 학파에 의해 이전에 광범위하게 논의되어 왔으나, 제노의 역설과 같은 보편적인 만족으로 해결되지 않은 역설과 함께 아무도 확고한 논리적 기초에 그것들을 둘 수 없었다.유클리드는 ^[40]극소수보다는 탈진법을 사용했다.

프로클루스(410–485 CE)와 같은 후기 고대 해설자들은 무한에 대한 많은 질문을 증거를 요구하는 문제로 다루었고, 예를 들어, 프로클루스는 그것을 ^[41]구성하는 짝수와 홀수의 경우를 고려한 모순에 의한 증거를 바탕으로 선의 무한 분할 가능성을 증명한다고 주장했다.

20세기 초에, 오토 스톨츠, 폴 뒤 부이스-레몽, 주세페 베로네즈, 그리고 다른 사람들은 두 점 사이의 거리가 뉴턴-라이브니즈라는 의미에서 ^[42]무한하거나 극소수일 수 있는 유클리드 기하학의 비아키메데아 모델에 대해 논쟁적인 연구를 했다.50년 후, 에이브러햄 로빈슨은 베로네즈의 ^[43]연구에 엄격한 논리적 기초를 제공했다.

무한 프로세스

고대인들이 병렬 공식을 다른 가설보다 덜 확실하다고 취급한 이유 중 하나는 물리적으로 검증하려면 두 개의 선이 서로 교차하지 않았는지 검사해야 하며, 이 검사에는 무한한 ^[44]시간이 걸릴 수 있기 때문입니다.

유도에 의한 증명의 현대적인 공식은 17세기에 이르러서는 개발되지 않았지만, 후대의 일부 해설자들은 소수 ^[45]무한의 증명과 같은 유클리드의 증명에 그것이 내포되어 있다고 생각한다.

제노의 역설과 같은 무한 급수와 관련된 것으로 추정되는 역설은 유클리드를 앞선다.유클리드는 그러한 논의를 피했고, 예를 들어 항 수가 무한해지는 가능성에 대한 언급 없이 IX.35의 기하 급수의 부분 합계에 대한 식을 제공했다.

논리적 근거

이 섹션은 확장해야 합니다.여기에 추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2010년 6월)

고전 논리학

유클리드는 종종 모순에 의한 증명 방법을 사용했고, 따라서 유클리드 기하학의 전통적인 표현은 모든 명제가 참이거나 거짓인 고전 논리를 가정한다. 즉, 어떤 명제 P에 대해서도, "P or not P" 명제는 자동적으로 참이다.

최신의 엄격한 기준

유클리드 기하학을 확고한 자명한 기초 위에 놓는 것은 ^[46]수세기 동안 수학자들의 관심사였다.1900년 파리 ^[46][47]회의에서 페아노 대표단의 알레산드로 파도아가 원시 개념 또는 정의되지 않은 개념의 역할을 분명히 제시했다.

...이론을 공식화하기 시작할 때, 우리는 정의되지 않은 상징은 완전히 의미가 결여되어 있고 증명되지 않은 명제는 정의되지 않은 상징에 부과된 조건일 뿐이라고 상상할 수 있다.

그렇다면, 우리가 처음에 선택한 아이디어의 체계는 정의되지 않은 심볼에 대한 하나의 해석일 뿐이지만, 하지만..이 해석은 독자에 의해 무시될 수 있으며, 독자는 그것을 다른 해석으로 자유롭게 대체할 수 있다.조건을 만족시키는...

따라서 논리적 질문은 경험적 또는 심리적 질문으로부터 완전히 독립하게 됩니다.

정의되지 않은 심볼의 체계는 ...의 경우에 생기는 전문화된 이론에서 얻은 추상화라고 볼 수 있다.정의되지 않은 기호의 시스템은 각각의 해석으로 순차적으로 대체된다...

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즉, 수학은 계층 구조 내에서 문맥에 의존하지 않는 지식이다.버트런드 ^[48]러셀의 말처럼:

만약 우리의 가설이 하나 또는 그 이상의 특정한 것에 관한 것이 아니라 어떤 것에 관한 것이라면, 우리의 추론은 수학이 된다.그러므로 수학은 우리가 무엇에 대해 이야기하고 있는지, 또는 우리가 말하는 것이 진실인지 결코 알지 못하는 과목으로 정의될 수 있다.

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그러한 근본적인 접근은 기초주의와 형식주의 사이에 있다.

자명한 공식화

기하학은 잘못된 숫자에 대한 올바른 추론을 하는 과학이다.

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• 유클리드의 원리:버트런드 러셀은 캠브리지 트리니티 칼리지에 보낸 논문에서 유클리드의 기하학이 ^[49]그 당시까지 철학자들의 마음 속에서 변화한 역할을 요약했다.그것은 실험과 무관한 특정 지식과 실험적인 입력을 요구하는 경험주의 사이의 충돌이었다.이 문제는 평행 공식이 반드시 유효한 것은 아니며 적용 가능한 기하학이 유클리드인지 비유클리드인지를 결정하는 경험적인 문제라는 것이 밝혀지면서 명확해졌다.
• 힐베르트 공리:힐베르트의 공리들은 가장 중요한 기하학적 이론들을 추론할 수 있는 단순하고 완전한 독립적 공리들의 집합을 확인하는 것을 목표로 하고 있었다.뛰어난 목표는 유클리드 기하학을 엄격히 하고(숨겨진 가정을 피하는) 평행 가설의 결과를 명확히 하는 것이었다.
• Birkhoff의 공리:Birkhoff는 스케일과 굴절기로 실험적으로 확인할 수 있는 유클리드 기하학에 대한 네 가지 공식을 제안했다.이 시스템은 ^[50][51][52]실수의 특성에 크게 의존한다.각도와 거리의 개념은 원시적인 ^[53]개념이 된다.
• 타르스키의 공리:알프레드 타르스키(1902–1983)와 그의 학생들은 초급 유클리드 기하학을 1차 논리로 표현될 수 있는 기하학으로 정의했고, ^[55]점 집합을 포함하는 힐베르트의 공리와는 대조적으로 논리적인 ^[54]기초를 위해 집합론에 의존하지 않았다.타르스키는 기본 유클리드 기하학에 대한 그의 공리적인 공식화가 일관되고 어떤 의미에서는 완전하다는 것을 증명했다: 모든 명제에 대해 참 또는 ^[32]거짓을 보여줄 수 있는 알고리즘이 있다.(유클리드 기하학은 정리가 적용될 수 있는 충분한 양의 산수를 설명할 수 없기 때문에 이것은 괴델의 정리에 위배되지 않는다.)^[56]이것은 기본 유클리드 기하학이 모형인 실제 닫힌 필드의 결정 가능성과 동등합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 절대 기하학
• 해석 기하학
• 버크호프의 공리
• 데카르트 좌표계
• 힐베르트 공리
• 입사 기하학
• 인터랙티브 지오메트리 소프트웨어 목록
• 미터법 공간
• 비유클리드 기하학
• 순서 기하학
• 평행 포뮬레이션
• 유형 이론

고전 정리

• 각도 이등분선 정리
• 나비 정리
• 체바의 정리
• 헤론의 공식
• 메넬라오스의 정리
• 구점원
• 피타고라스 정리

메모들

레퍼런스

• Ball, W. W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. 3볼륨으로.: vol.1 ISBN 0-486-60088-2, vol.2 ISBN 0-486-60089-0, vol.3 ISBN 0-486-60090-4.히스의 유클리드의 원소에 대한 권위 있는 번역, 그리고 그의 광범위한 역사적 연구와 텍스트 전체에 걸친 상세한 해설.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W. H. Freeman.
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. ISBN 9780684865232.
• Nagel, E.; Newman, J. R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.

외부 링크

• "Euclidean geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Plane trigonometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (분석 지오메트리를 사용한 처리, PDF 형식, GFDL 라이선스)