토러스

Torus
혁명의 토러스
회전축으로부터의 거리가 작아짐에 따라 링 토러스는 혼 토러스가 되고, 그 후 스핀들 토러스가 되어, 최종적으로 이중 피복의 구체로 퇴화한다.
작은(빨간색) 원과 큰(자홍색) 원의 곱으로 석면비 3을 가진 토러스.

기하학에서 토러스(복수 토리, 구어체로는 도넛 또는 도넛)는 원과 동일 평면인 축을 중심으로 3차원 공간에서 원을 회전시킴으로써 발생하는 회전면이다.

회전축이 원에 닿지 않으면 표면이 고리 모양을 하고 회전의 토러스라고 불립니다.회전축이 원에 접하면 표면이 뿔 토러스입니다.회전축이 원을 두 번 통과하면 표면이 스핀들 토러스입니다.만약 회전축이 원의 중심을 통과한다면, 표면은 이중으로 덮인 구인 퇴화 토러스이다.회전 곡선이 원이 아닌 경우, 표면은 관련 형상인 트로이드가 됩니다.

회전의 토러스에 가까운 실제 물체는 수영 링, 내부 튜브, 링테트 링을 포함합니다.구면 보정과 원통 보정을 조합한 안경 렌즈는 토릭 [citation needed]렌즈입니다.

토러스는 원반이 아닌 원반을 축 주위에 회전시켜 형성된 고체 토러스와 혼동해서는 안 된다.고체 토러스는 토러스에 토러스 내부의 부피를 더한 것입니다.고체 토러스에 가까운 실제 물체에는 O-링, 팽창되지 않는 구명부이, 링 도넛, 베이글 등이 있습니다.

위상학에서, 링 토러스는 원의 데카르트 에 동형이며, S1 × S이며1, 후자는 그 맥락에서 정의로 간주된다.1속 소형 2매니폴드입니다.링 토러스는 이 공간을 유클리드 공간에 삽입하는 한 가지 방법이지만, 이것을 하는 또 다른 방법은 평면 내에 S1 삽입하는 데카르트 곱이다.이것은 클리포드 토러스라고 불리는 기하학적인 물체를 만들어냅니다. 4공간 안에 있는 표면입니다.

위상학 분야에서 토러스는 토러스와 [1]동형인 위상 공간입니다.커피잔과 도넛의 표면은 모두 1속 토리이다.

예를 들어 고무시트 등의 연성재료의 직사각형 띠를 취하여 위쪽 가장자리를 아래쪽 가장자리에, 왼쪽 가장자리를 오른쪽 가장자리에 반 비틀림 없이 접합함으로써 토러스의 예를 구성할 수 있다(Möbius 띠와 비교).

기하학.

하단 하프 및
수직 단면적
ring
R > r : 링토러스 또는 앵커링
horn
R=r: 뿔토러스
spindle
R < r: 자기교차 스핀들 토러스

토러스는 다음과 [2]같이 파라미터로 정의할 수 있습니다.

서 ''는

  • ,, are는 원을 이루는 각도이기 때문에 같은 지점에서 시작하고 끝나는 값입니다.
  • R은 튜브의 중심에서 토러스 중심까지의 거리이다.
  • r은 튜브의 반지름입니다.

각도 θ는 튜브 주위의 회전을 나타내고, θ는 토러스 회전축 주위의 회전을 나타냅니다.R은 '장반경', r은 '단반경'[3]으로 알려져 있습니다.R을 r로 나눈 비율을 "애스펙트 비"라고 합니다.전형적인 도넛 과자는 가로 세로 비율이 약 3 대 2입니다.

z축에 대해 반경 대칭인 토러스에 대한 데카르트 좌표의 암묵적 방정식은 다음과 같다.

또는 f(x, y, z) = 0의 해이다.

제곱근을 대수적으로 제거하면 4차 방정식을 얻을 수 있다.

표준 토리의 세 가지 등급은 R과 r 사이의 세 가지 가능한 석면비에 해당합니다.

  • R > r경우, 그 표면은 익숙한 링 토러스 또는 앵커 링이 됩니다.
  • R = r은 사실상 "구멍"이 없는 토러스인 경음기 토러스에 해당합니다.
  • R < r은 자기교차 스핀들 토러스를 나타냅니다.그 안쪽 껍질은 레몬이고 바깥쪽 껍질은 사과입니다.
  • R = 0이면 토러스는 구형으로 퇴화됩니다.

R r r일 때 내부가

이 토러스의 는 유클리드 열린 원반과 원의 미분형(따라서 동형)이다. 고체 토러스의 부피와 토러스의 표면적은 파푸스의 중심 정리를 사용하여 쉽게 계산할 수 있으며,[4] 다음과 같다.

이 공식은 작은 원의 평면을 따라 튜브를 절단한 후 튜브의 중심을 따라 흐르는 선을 펴서 펴는 길이 2µR, 반지름 r의 실린더와 같다.튜브 안쪽의 표면적과 부피의 손실은 바깥쪽의 이득을 정확히 상쇄합니다.

그래서 R).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{, 원환체의 중심으로 표면에 부착된 바깥쪽 지점의 거리로 볼륨 p, 그리고 가장 안쪽 지점의 중심까지의 거리 q(는 표면을 표현하는 것.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}p+q/2과 r)p− q/2), 수익률.

폴로이드 방향(빨간색 화살표) 및
트로이덜 방향(파란색 화살표)

토러스는 두 개의 원의 곱이기 때문에 구면 좌표계의 변형된 버전이 사용되기도 한다.기존의 구면 좌표계에는 좌표계 중심으로부터의 거리인 R과 중심점에서 측정된 각도인 θθ의 세 가지 척도가 있다.

토러스에는 실질적으로 두 개의 중심점이 있기 때문에 각도의 중심점이 이동됩니다. θ는 구형 시스템에서와 같은 각도를 측정하지만 "토로이덜" 방향이라고 알려져 있습니다.θ의 중심점은 r의 중심으로 이동하며, 이를 "폴로이드" 방향이라고 한다.이 용어들은 지구 자기장에 대한 논의에서 처음 사용되었는데, 여기서 "극으로 향하는 방향"[5]을 나타내기 위해 "폴로이드"가 사용되었다.

오늘날에는 트로이덜과 폴로이덜이 자기 구속 융합 장치에 대해 논의하는 데 더 일반적으로 사용됩니다.

토폴로지

위상적으로 토러스는 S × S11 두 원의 으로 정의된 닫힌 표면이다.이것은 C에 있는2 것으로 간주할 수 있으며 반지름 θ2의 3-sphere3 S의 서브셋입니다.이 토폴로지 토러스는 종종 클리포드 토러스로도 불린다.실제로 S는 이러한3 방식으로 중첩된 토리족에 의해 채워진다(두 개의 퇴화원). 이는 S 2 섬유 다발(Hopf 다발)으로서 S를 연구하는데3 중요한 사실이다.

위에서 설명한 표면은 R3 상대 위상이 주어졌을 때 자신의 축과 교차하지 않는 한 위상 토러스와 동형이다.S3 북극에서 위상 토러스를 R3 입체 투영함으로써 특정 동형성을 얻을 수 있다.

토러스는 또한 식별 아래 데카르트 평면의 으로 설명될 수 있다.

또는, 마찬가지로, 단위 제곱의 몫으로서 반대쪽 모서리를 함께 붙여 기본 다각형−1−1 ABAB로 표현합니다.

펑크 난 토러스를 뒤집다

토러스의 기본 그룹은 그 자체와 함께 원의 기본 그룹의 직접적인 산물일 뿐입니다.

직관적으로 말하면, 이것은 토러스의 "구멍"(예를 들어, 특정 위도를 추적하는 원)을 돌고 토러스의 "몸통"(예를 들어, 특정 경도를 추적하는 원)을 도는 닫힌 경로가 본체와 구멍을 도는 경로로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.따라서, 엄격히 '위도' 경로와 엄격히 '종도' 경로가 통근합니다.같은 문장은 두 개의 신발끈이 서로를 통과하고, 그 다음에 풀리고, 되감는 것으로 생각할 수 있다.

토러스에 구멍이 뚫려 뒤집으면 위도와 경도가 서로 바뀐 다른 토러스가 생성됩니다.이것은 원통에서 원형의 끝을 접합하여 원통형으로 토러스(Torus)를 만드는 것과 같습니다.원호스의 양끝을 접합하는 것과 같은 외측과 양말을 굴리는 것(발끝을 잘라낸 것)의 두 가지 방법이 있습니다.또한 실린더가 직사각형의 반대쪽 두 변을 함께 접착하여 만들어진 경우 다른 두 변을 선택하면 동일한 방향 반전이 발생합니다.

토러스의 첫 번째 호몰로지 그룹은 기본 그룹과 동형이다. (이것은 기본 그룹이 아벨리안이므로 후레비츠 정리에 따른다.)

2장의 시트 커버

2-토러스는 2-구체를 이중으로 덮으며 4개의 파편점이 있습니다.2-토러스 상의 모든 등각 구조는 2-스피어의 2장 커버로 나타낼 수 있습니다.토러스 상의 라미네이션 포인트에 해당하는 점이 바이얼스트라스 포인트입니다.실제로 토러스의 컨포멀 타입은 4개의 의 교차비에 의해 결정된다.

n차원 토러스

xz 평면을 통해 단순 회전을 수행하는 4차원 클리포드 토러스의 입체 투영

토러스에는 고차원 토러스인 n차원 토러스(n-torus 또는 hypertorus)가 일반화되어 있습니다(이것은 n개의 구멍 또는 n개의 속인 "n-torus"라는 용어의 보다 전형적인 의미입니다).[6]토러스가 두 원의 곱 공간임을 상기하면, n차원 토러스는 n개의 의 곱이다.즉, 다음과 같습니다.

1토러스는 그냥 원입니다.T1 = S1. 위에서 설명한 토러스는 2-토러스, T이다. 그리고 2-토러스2 마찬가지로, n-토러스n, T는 임의의 좌표에서 적분 이동 하에서의 Rn 몫으로 설명할 수 있다.즉, n-토러스는 R 모듈n 정수 격자 Z의 작용(벡터 덧셈으로 작용)이다n.마찬가지로 n-토러스는 n차원 하이퍼큐브에서 마주보는 면을 접착함으로써 얻을 수 있다.

이러한 의미에서 n-토러스는 n차원 콤팩트 매니폴드의 한 예이다.이것은 또한 콤팩트 아벨리안의 한 예이다.이것은 단위 원이 콤팩트한 아벨리안 리 군이라는 사실에서 비롯된다(곱셈이 있는 단위 복소수와 동일할 때).토러스에서의 군 곱셈은 좌표 곱셈에 의해 정의된다.

트로이덜 그룹은 콤팩트 리이론에서 중요한 역할을 한다.이는 부분적으로는 어떤 콤팩트 Lie 그룹 G에서도 항상 최대 토러스, 즉 가능한 가장 큰 차원의 토러스인 닫힌 서브그룹을 찾을 수 있기 때문이다.이러한 최대 토리 T는 연결된 G 이론에서 제어 역할을 한다.트로이덜 그룹은 (토리와 같이) 다지관일 필요가 없는 콤팩트하게 연결된 아벨 군인 프로토리의 예이다.

격자 Z의 자기동형으로부터 T의 자기동형을 쉽게 구성할 수 있으며, 격자n Z는 크기 n의 가역적분행렬로 분류되며, 이들은 행렬식 ±1의 적분행렬에 불과하다.통상적인 방법으로n R에 작용하게 하면 전형적인 토랄 자기동형성을 갖는다.

n-토루스의 기본군순위 n의 자유 아벨 군이다.n-토루스의 k-호몰로지 그룹은 k를 선택하는 순위 n의 자유 아벨 군이다.따라서 n-토러스의 오일러 특성모든 n에 대해 0이다.코호몰로지 H(Tn, Z)는 발생기가 중요하지 않은 사이클의 이중인 Z 모듈n Z를 통해 외부 대수로 식별할 수 있다.

구성 공간

원에서 반드시 구별될 필요는 없는 2개의 점의 구성 공간은 뫼비우스 띠인 2토러스2 T2/S의 오비폴드 몫이다.
톤네츠는 음악 이론에서 토러스의 한 예이다.
Tonnetz는 Enharmonic 등가성이 가정될 때 진정한 Torus일 뿐이므로 반복 평행사변형의 오른쪽 가장자리의 (Fδ-A) 세그먼트가 왼쪽 가장자리의 (G♭-B♭) 세그먼트와 식별된다.

n-토루스는 원의 n배 곱이므로 n-토루스는 n개의 차수의 구성 공간이며, 반드시 원상의 구별되는 점은 아니다.기호n T = (S1)n이다.순서 없는 점의 구성 공간은 따라서 (좌표를 순열함으로써) n개의 문자에 대한 대칭 그룹의 토러스 몫인 오비폴드n T/S이다n.

n = 2의 경우, 몫은 뫼비우스 스트립으로, 두 좌표가 일치하는 오비폴드 점에 해당하는 모서리이다.n = 3의 경우, 이 지수는 단면이 일그러진 정삼각형인 고체 원환으로 설명할 수 있다. 마찬가지로, 상단과 하단이 1/3 비틀림(120°)으로 연결된 삼각 프리즘으로 설명할 수 있다.: 3차원 내부는 3개의 좌표가 모두 구별되는 3토러스상의 점, 2차원 면은 2개의 좌표가 같고 3번째 좌표가 다른 점, 1차원 에지는 3개의 좌표가 모두 동일한 점에 해당합니다.

이러한 오르비폴드는 음악 삼합주 [7][8]모델링에 사용되는 드미트리 티모츠코와 공동작업자(펠리프 포사다, 마이클 콜리나스 등)의 작품에서 음악 이론에 중요한 응용을 찾아냈다.

플랫토러스

3차원에서는 직사각형을 원환 모양으로 구부릴 수 있지만, 이렇게 하면 체크무늬의 왜곡에서 볼 수 있듯이 일반적으로 표면이 늘어납니다.
입체 투영으로 볼 때, 4D 평면 토러스를 3차원으로 투영하여 고정 축으로 회전시킬 수 있습니다.
평평한 토러스 중 가장 단순한 타일은 {4,4}1,0이며, 1개의 정점, 2개의 직교 모서리 및 1개의 정사각형 면을 가진 듀오 실린더 표면에 구축됩니다.이것은 입체적으로 3공간에 토러스처럼 투영된 것을 볼 수 있다.

평탄한 토러스란 그 표현으로부터 계승된 메트릭2 R/L로 하는 토러스이며, 여기서 L은 Z2 동형인 R의 이산2 부분군이다.이것은 에게 리만 다양체의 구조를 제공한다.아마도 가장 간단한 예는 L = Z2: R2/Z일2 이며, 이는 식별(x, y) ~ (x + 1, y) ~ (x, y + 1) 아래있는 데카르트 평면으로도 설명할 수 있다.이 특정한 평평한 토러스(및 그것의 균일한 스케일 버전)는 "사각형" 평평한 토러스라고 알려져 있습니다.

사각 평탄 원환의 이 메트릭은 친숙한 2-토러스를 유클리드 4공간 이상의 차원에 특정 내장함으로써도 실현될 수 있다.그것의 표면은 모든 곳에 0 가우스 곡률을 가지고 있다.실린더의 표면이 평평한 것과 같은 의미로 표면이 평평하다.3차원에서는 용지를 늘리지 않고 평평한 용지를 원통 모양으로 구부릴 수 있지만, 이 원통은 용지를 늘리지 않고 원통 모양으로 구부릴 수 없습니다(일부 규칙성 및 차별화 조건을 포기하지 않는 한 아래 참조).

직사각형 평면 토러스(사각형보다 일반)의 단순한 4차원 유클리드 매립은 다음과 같다.

여기R과 P는 석면비를 결정하는 양의 상수입니다.그것은 일반 토러스와 미분형상이지만 등각선은 아니다.유클리드 3-공간에는 해석적으로 삽입할 수 없다(C등급k 평활화, 2 µk µ µ µ µ it 。3칸으로 매핑하려면 1칸을 늘려야 하는데, 이 경우 일반 토러스처럼 보입니다.예를 들어, 다음 맵에서는 다음과 같습니다.

위의 평탄한 Torus 매개변수화의 R과 P가 단위 벡터(R, P) = (cos(cos), sin(sin))형성하면 u, v, 0 < θ < θ/2는 단위 3-sphere를 Hopf 좌표로 매개변수화한다.특히, θ3 = θ/4인 3구 S에서 정사각형 평탄 토러스의 매우 구체적인 선택에 대해, 토러스는 앞서 말한 평탄 토러스 표면을 공통 경계로 하는 두 개의 합동 고체 토리 서브셋으로 3구를 분할한다.예를 들어 다음과 같이 정의된 토러스 T가 있습니다.

이 분할 특성을 가진 S 3 다른 토리에는 QtT 형식의 제곱토리가 포함된다.여기서 Q는 4차원4 공간 R의 회전, 즉 Q는 Lie군 SO(4)의 구성원이다.

평탄한 토러스를 3공간에 매설하는 C(2회 연속 미분 가능)는 존재하지2 않는 것으로 알려져 있다.(이러한 평탄한 토러스를 포함한 큰 구를 내부에 가져다가, 처음으로 토러스에 닿을 때까지 구체의 반경을 축소하는 것이 목적입니다.그러한 접점은 접선임에 틀림없다.하지만 이는 토러스의 일부가 어디에서나 곡률이 0이기 때문에 반드시 구 밖에 있어야 한다는 것을 의미하며, 이는 모순입니다.)한편 1950년대에 증명된 내쉬-카이퍼 정리에 따르면 등각1 C 매립이 존재한다.이것은 존재의 증거일 뿐이며, 이러한 삽입에 대한 명시적 방정식을 제공하지 않습니다.

2012년 4월, 3차원 유클리드 공간3 R에 평탄한 토러스의 명시적1 C(연속 미분 가능) 매립이 발견되었다.[9][10][11][12]일반적인 토러스(torus)를 반복하여 파쇄하여 구성되므로 프랙탈과 구조가 유사합니다.프랙탈과 마찬가지로 정의된 가우스 곡률이 없습니다.그러나 프랙탈과 달리 표면 규범이 정의되어 있습니다.이것은 미터법 공간으로서 평평한 정사각형 원환과 등각도라는 의미에서 평평한 원환이다.(이러한 무한 재귀적 코러지션은 3차원으로의 매립에만 사용되며, 평탄한 토러스의 본질적인 특징은 아닙니다.이러한 임베딩이 명시적 방정식에 의해 정의되거나 컴퓨터 그래픽에 의해 묘사된 것은 이번이 처음이다.

g속 표면

표면 이론에는 "genus" g 표면이라는 또 다른 물체가 있습니다.n개의 원의 대신 g속 표면은 g 2토리결합합이다.연결된 두 표면의 합계를 형성하려면 디스크 내부에서 각각 제거하고 경계 원을 따라 표면을 함께 "접착"합니다.두 개 이상의 서페이스의 연결 합계를 형성하려면 모두 연결될 때까지 한 번에 두 개의 서페이스를 합합니다.그런 의미에서 g속 표면은 g도넛이 나란히 붙어 있는 표면 또는 g핸들이 부착2구면과 유사하다.

예를 들어, 0속(경계 없음)은 2구면인 반면, 1속(경계 없음)은 일반 토러스입니다.더 높은 속들의 표면은 때때로 n-홀드 토리(또는 드물게 n-폴드 토리)라고 불립니다.double torus와 triple torus라는 용어도 가끔 사용된다.

표면에 대한 분류 정리는 모든 콤팩트하게 연결된 표면이 토리, 원반 및 실제 투영 평면의 구 또는 연결 합계와 위상적으로 동등하다는 것을 나타냅니다.

Double torus illustration.png
제2속
Triple torus illustration.png
제3속

트로이덜 다면체

6 × 4 = 24 변면가진 트로이덜 다면체

토러스의 위상형을 갖는 다면체를 트로이덜 다면체라고 하며, 오일러 특성 V - E + F = 0을 가진다. 임의의 수의 구멍에 대해 공식은 V - E + F = 2 - 2N으로 일반화되며, 여기서 N은 구멍의 수이다.

"토로이드 다면체"라는 용어는 또한 더 높은 다면체와 트로이드 다면체의 침지에도 사용된다.

자기동형

토러스의 동형성 그룹(또는 미분형성의 부분군)은 기하학적 위상학에서 연구된다.매핑 클래스 그룹(동형사상 그룹의 연결된 성분)은 가역 정수 행렬의 그룹 GL(n, Z)에 대해 투영적이며, 이는 표준 격자n Z(정수 계수에 해당)를 보존하고 그에 따라 으로n 하강하는 범용 피복 공간 R의 선형 맵으로 실현될 수 있다.

호모토피호몰로지 수준에서 매핑 클래스 그룹은 첫 번째 호몰로지(또는 동등하게 첫 번째 코호몰로지 또는 기본 그룹)에 대한 작용으로 식별될 수 있다. 이들은 모두 자연 동형이며 첫 번째 코호몰로지 그룹도 코호몰로지 대수를 생성한다.

토러스는 에일렌버그-맥레인 공간 K(G, 1)이므로, 호모토피까지 호모토피 등가물은 기본 그룹의 자기동형성과 동일할 수 있다. 토러스의 모든 호모토피 등가물은 동형성에 의해 실현될 수 있으며, 모든 호모토피 등가물은 동형성과 동일하다.

따라서 매핑 클래스 그룹의 짧은 정확한 시퀀스는 분할된다(토러스를 Rn 몫으로 식별하면 위와 같이 선형 맵을 통해 분할된다).

더 높은 속 표면의 지도 클래스 그룹은 훨씬 더 복잡하고 활발한 연구 영역입니다.

토러스 색칠하기

Torus의 색수는 7로, Torus에 삽입할 수 있는 그래프마다 최대 7의 색수를 가진다.(완전 { Torus에 삽입할 수 있고, 7\chi = upper7마찬가지로 영역으로 분할된 토러스에서는 인접한 영역이 같은 색이 되지 않도록 7가지 이하의 색상으로 영역을 색칠할 수 있다(평면에 대한 4색 정리와 대비).

이 건축물은 토루스가 7개의 영역으로 나뉘어져 있고, 각각의 토루스가 서로 맞닿아 있어 각각 고유한 색을 부여받아야 한다는 것을 보여준다.

데브루인토루스

1을 패널로, 0을 메쉬 구멍으로 하는 de Bruijn torus (16,32;3,23)의 STL 모델 - 일관된 방향으로 모든 3×3 매트릭스가 정확히 한 번 나타납니다.

조합 수학에서, de Bruijn torus는 모든 m-xn 행렬을 정확히 한 번 포함하는 알파벳(종종 0과 1)의 기호 배열이다.모서리는 행렬을 찾기 위해 랩어라운드로 간주되므로 원환형입니다.이 이름은 De Bruijn 수열에서 유래한 것으로, n은 1(1차원)인 특수한 경우로 간주할 수 있습니다.

토러스 절단

회전하는 고체 토러스(torus)는 n(> 0)개의 평면으로 최대화할 수 있습니다.

[13]부품에 액세스 할 수 있습니다.

0 ≤ n 10 10(위의 공식에 포함되지 않은 n = 0의 경우를 포함)에 대한 첫 11개의 부품 번호는 다음과 같습니다.

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ...(OEIS의 시퀀스 A003600).

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  • Nociones de Geometryria Analytica y Algebra Lineal, ISBN978-970-10-6596-9, 작성자: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, 편집자:McGrow-Hill, Edition 2007, 744페이지, 언어:스페인어
  • 앨런 해처.대수 토폴로지케임브리지 대학 출판부, 2002.ISBN 0-521-79540-0.
  • V. V. 니쿨린, I. R. 샤파레비치지오메트리그룹.스프링거, 1987년ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
  • 마테마티크 재혼 백과사전의 '토레(tore·노션 게오메트리크)'

레퍼런스

  1. ^ Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. Geometry and Computing. Vol. 9. Springer, Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-34364-3. ISBN 978-3-642-34363-6. MR 3026641.
  2. ^ "Equations for the Standard Torus". Geom.uiuc.edu. 6 July 1995. Archived from the original on 29 April 2012. Retrieved 21 July 2012.
  3. ^ "Torus". Spatial Corp. Archived from the original on 13 December 2014. Retrieved 16 November 2014.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Torus". MathWorld.
  5. ^ "poloidal". Oxford English Dictionary Online. Oxford University Press. Retrieved 10 August 2007.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Torus". mathworld.wolfram.com. Retrieved 27 July 2021.
  7. ^ Tymoczko, Dmitri (7 July 2006). "The Geometry of Musical Chords" (PDF). Science. 313 (5783): 72–74. Bibcode:2006Sci...313...72T. CiteSeerX 10.1.1.215.7449. doi:10.1126/science.1126287. PMID 16825563. S2CID 2877171. Archived (PDF) from the original on 25 July 2011.
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  9. ^ Filippelli, Gianluigi (27 April 2012). "Doc Madhattan: A flat torus in three dimensional space". Proceedings of the National Academy of Sciences. 109 (19): 7218–7223. doi:10.1073/pnas.1118478109. PMC 3358891. PMID 22523238. Archived from the original on 25 June 2012. Retrieved 21 July 2012.
  10. ^ Enrico de Lazaro (18 April 2012). "Mathematicians Produce First-Ever Image of Flat Torus in 3D Mathematics". Sci-News.com. Archived from the original on 1 June 2012. Retrieved 21 July 2012.
  11. ^ "Mathematics: first-ever image of a flat torus in 3D – CNRS Web site – CNRS". Archived from the original on 5 July 2012. Retrieved 21 July 2012.
  12. ^ "Flat tori finally visualized!". Math.univ-lyon1.fr. 18 April 2012. Archived from the original on 18 June 2012. Retrieved 21 July 2012.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Torus Cutting". MathWorld.

외부 링크