그노몬의 정리

gnomon의 정리는 gnomon에서 발생하는 특정 평행사변형은 크기가 같은 영역을 가지고 있다고 말한다.

정리

In a parallelogram ${\displaystyle ABCD}$ with a point ${\displaystyle P}$ on the diagonal ${\displaystyle AC}$, the parallel to ${\displaystyle AD}$ through ${\displaystyle P}$ intersects the side ${\displaystyle CD}$ in ${\displaystyle G}$ and the side ${\displaystyle AB$$}$ in ${\displaystyle H}$. Similarly the parallel to the side ${\displaystyle AB}$ through ${\displaystyle P}$ intersects the side ${\displaystyle AD}$ in ${\displaystyle I}$ and the side ${\displaystyle BC}$ in ${\displaystyle F}$. Then the theorem of the gnomon states that the paralle로그램 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle HBFP}$^[1][2] 및$$ I ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ D ${\displaystyle IPGD}$의 영역은 동일하다.

Gnomon은 두 개의 겹치는 평행그램 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle AB$로 구성된 L자형의 이름이다.$FI}$ and ${\displaystyle AHGD}$. The parallelograms of equal area ${\displaystyle HBFP}$ and ${\displaystyle IPGD}$ are called complements (of the parallelograms on diagonal ${\displaystyle PFCG}$ and ${\displaystyle AHPI}$).^[3]

증명

주 평행사변형과 대각선 주위의 두 개의 내적 평행사변형 영역을 고려한다면 정리의 증거는 간단하다.

• 첫째, 주 평행사변형과 두 내부 평행사변형의 차이는 두 보완점의 결합 면적과 정확히 동일하다.
• 둘째, 그들 세명 모두 대각선으로 이등분된다. 생산량:^[4]

${\displaystyle IPGD ={\frac { ABCD }{2}}-{{2}}-{\frac { AHPI }{2}}-{\frac { PFCG }{2}}= HBFP }}}}$

애플리케이션 및 확장

gnomon의 정리는 직선과 나침반 구성을 이용하여 주어진 평행사변형 또는 직사각형에 동일한 영역의 새로운 평행사변형 또는 직사각형을 구성하는 데 사용될 수 있다. 이것은 또한 기하학적 용어로 두 숫자의 분열을 표현할 수 있게 하는데, 이것은 대수학적 용어로 기하학적 문제를 재조정하는 중요한 특징이다. 더 정확히 말하면, 두 개의 숫자를 선 세그먼트의 길이로 지정할 경우 세 번째 선 세그먼트를 구성할 수 있으며, 그 길이는 그 두 숫자의 몫과 일치한다(도표 참조). 또 다른 애플리케이션은 한 라인 세그먼트의 파티션 비율을 다른 라인 세그먼트(길이)로 전송하여 주어진 라인 세그먼트와 동일한 비율의 다른 라인 세그먼트를 나누는 것이다(도표 참조).^[1]

유사한 진술은 유사시 3차원으로 할 수 있다. 이 경우 평행선 대각선 공간에 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 있고, 평행선 면에 각각 $평행$한 P ${\displaystyle P}$을(를) 통과하는 평면이 세 개 있다$.$ 3개의 평면은 평행선을 8개의 작은 평행선으로 나눈다; 2개의 평면은 대각선을 $에워싸고{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ P$}$에서 만난다$.$ 이제 대각선을 둘러싼 평행선 각각에 나머지 6개의 평행선이 붙어 있고, 그 3개는 보완물의 역할을 하며 부피가 같다. (^[2]도표 참조).

내포된 병렬그램에 대한 일반 정리

gnomon의 정리는 공통의 대각선을 갖는 내포된 병렬그램에 대한 보다 일반적인 진술의 특별한 경우다. 주어진 평행사변형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ C ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle ABCD}$의 경우 A ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle AC}$을(를$)$ 갖는 임의의 내부 평행사변형 $AFCE${\$displaystyle$ AFCD}도 대각선으로 간주한다$$$$. 또한 외부 평행그램의 측면에 평행하고 내부 $평행그램$과 정점 F ${\$$디스플레이$ ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ IBJF}을$$(를$)$ 공유하는 ${\displaystyle 두}$ 개의 고유하게 결정된 평행그램 ${\displaystyle \mathrm{GF}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D}$ ${\디스플레이$ $스타일$ IBJF$}$이(가$)$ 있다. 이제 이 두 개의 평행그램 영역의 차이는 내부 평행그램의 영역과 동일하다. 즉,^[2]

$[\displaystyle AFCE = GFHD - IBJF }$

This statement yields the theorem of the gnomon if one looks at a degenerate inner parallelogram ${\displaystyle AFCE}$ whose vertices are all on the diagonal ${\displaystyle AC}$. This means in particular for the parallelograms ${\displaystyle GFHD}$ and ${\displaystyle IBJF}$, that their common 점 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 대각선 상에 있으며$$, 그들 영역의 차이가 0이라는 점이 바로 그노몬의 정리인 것이다.

역사적 측면

그노몬의 정리는 일찍이 유클리드 원소(BC 300년경)에서 설명되었으며, 거기서 다른 이론의 도출에 중요한 역할을 한다. 원소의 제1권에서는 명제 43으로 주어지는데, 여기서 그것은 "gonomon"이라는 용어를 사용하지 않고 평행사변형에 대한 진술로 표현된다. 후자는 유클리드에 의해 원소 제2권의 두 번째 정의로 소개된다. 그노몬과 그 속성이 중요한 역할을 하는 추가적인 이론은 2권의 제안 6, 6권의 제안 29, 그리고 13권의 제안 1~4이다.^[5][4][6]

참조

• 로렌츠 할바이젠, 노르베르트 헝거뷔를러, 후안 레우클리: 미트 하모니첸 베르하흐트니센 주 케겔슈니튼: 펄렌 데르 클라시첸 지오메트리. 스프링거 2016, ISBN9783662530344, 페이지 190–191(독일)
• 조지 W. 에반스: 유클리드 대수학의 일부. 수학 교사, 제20권, 제3권 (1927년 3월), 페이지 127–141 (JSTOR)
• 윌리엄 J. 아자르: 피타고라스 정리와 유클리드 정리의 일반화. The American Mathemical Monthly, Vol. 36, No. 1 (1929년 1월), 페이지 32–34 (JSTOR)
• 파올로 비기, 이그노 아스키에리: 테오 반 도스부르크의 그림 속 예술에서 수학으로. In: Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore(편집자): 모형, 인공신경망, 예술에서의 수학의 응용 스프링거, 2010, ISBN 9789048185818, 페이지 601–610

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 그노몬(지오메트리)과 관련된 미디어가 있다.

• 유클리드 원소의 그노몬 정리 및 그노몬의 정의

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