세바 정리

유클리드 기하학에서 세바의 정리는 삼각형에 관한 정리입니다. $삼각형$ △ abc가 주어지면, 선 AO, BO, CO를 꼭지점에서 공통점 O(△ abc의 한 변이 아닌)로 그려서 각각 D, E, F에서 서로 반대되는 변을 만나게 합니다. (세비앙이라고 하는 세그먼트 AD, BE, CF를 말합니다.) 그런 다음 부호화된 길이의 세그먼트를 사용하여

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}\cdot {\overline {BD}}\cdot {\overline {DC}}\cdot {\overline {CE}}{\overline {EA}}=1.

즉, $XY$ 길이는 X가 $어떤$ 고정된 선의 방향에서 $Y$ 의 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지에 따라 양수 또는 음수로 간주됩니다. 예를 들어, $AF / FB$ 는 $F$ 가 $A$ 와 B 사이에 있을 때 양의 값을 갖고 그렇지 않으면 음의 값을 갖는 것으로 정의됩니다.

세바 정리(Ceva's theorem)는 아핀 기하학의 정리로, 각도, 넓이, 길이의 개념을 사용하지 않고도 증명할 수 있다는 의미입니다. 따라서 어떤 필드 위의 어떤 아핀 평면에 있는 삼각형에 대해서도 성립합니다.

약간 적응된 역수 또한 참입니다. $점$ D, E, $F$ 가 각각 $BC, AC, AB$ 에서 선택된 경우, 다음과 같습니다.

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}\cdot {\overline {BD}}\cdot {\overline {DC}}\cdot {\overline {CE}}{\overline {EA}}=1,

$그러면$ AD, $BE, CF$ 는 동시이거나 세 개의 병렬 모두입니다. 그 반대는 종종 정리의 일부로 포함됩니다.

이 정리는 종종 지오반니 세바에게 기인하는데, 그는 1678년 그의 작품 De lineis rectis에서 이 정리를 발표했습니다. 그러나 그것은 11세기 사라고사의 왕 유수프 알 무타만 이븐 ű드에 의해 훨씬 더 일찍 증명되었습니다.

그림과 관련된 여러 용어는 세바의 이름에서 파생되었습니다: 세비안(선 AD, $BE,$ $CF$ 는 O의 세비안), 세비안 삼각형(삼각형 △ $DEF$ 는 O의 세비안 삼각형), 세비안 둥지, 안티세비안 삼각형, 세바 켤레. (Ceva는 Chay'va로 발음되고, Cevian은 chev'ian으로 발음됩니다.)

이 정리는 그들의 방정식이 부호만 다르다는 점에서 메넬라오스의 정리와 매우 유사합니다. 교차 비율로 각각 다시 작성함으로써 두 정리는 투영 이중으로 볼 수 있습니다.^[2]

증명

그 정리에 대한 몇 가지 증명이 제시되었습니다.^[3]^[4] 다음은 두 가지 증명을 제시한 것입니다.

첫 번째는 삼각형 영역의 기본 속성만을 사용하여 매우 초보적입니다.^[3] 그러나 점 $O$ 의 위치에 따라 몇 가지 경우를 고려해야 합니다.

두 번째 증명은 무게중심 좌표와 벡터를 사용하지만 다소 자연스럽고 대소문자 의존적이지 않습니다. 또한 모든 분야에서 어떤 아핀 평면에서도 작동합니다.

삼각형 영역 사용

먼저, 세 비율이 모두 양수이거나, $O$ 가 삼각형 안에 있거나(위의 도표), 또는 하나가 양수이고 나머지 둘이 음수인 경우, $O$ 가 삼각형 밖에 있는 경우(아래의 도표는 하나의 경우를 보여줍니다), 왼쪽의 부호는 양수입니다.

크기를 확인하려면 주어진 높이의 삼각형의 면적은 밑면에 비례합니다. 그렇게

{\frac { \triangle BOD}{ \triangle COD}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}={\frac { \triangle BAD}{ \triangle CAD}}}

그러므로,

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}={\frac { \triangle BAD - \triangle BOD}{ \triangle CAD - \triangle COD}}={\frac { \triangle ABO}{ \triangle CAO}}

( $A$ 와 $O$ 가 $BC$ 의 반대편에 있으면 마이너스를 플러스로 대체합니다.) 유사하게,

{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac { \triangle BCO}{ \triangle ABO}}

그리고.

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac { \triangle CAO}{ \triangle BCO}}

이 세 방정식을 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

\left {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}\cdot {\overline {BD}}\cdot {\overline {DC}}\cdot {\overline {CE}}{\overline {EA}}\right =1,

필요에 따라

그 정리는 또한 메넬라오스의 정리를 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.^[5] 삼각형△ $ACF$ 의 가로 $BOE$ 로부터,

{\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}\cdot {\overline {FO}}{\overline {OC}}\cdot {\overline {CE}}{\overline {EA}}=-1

그리고 삼각형 △ $BCF$ 의 가로 △ $AOD$ 로부터,

{\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}\cdot {\overline {FO}}{\overline {OC}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}=-1.

이 두 방정식을 나누면 정리가 나옵니다.

그 반대는 다음과 같은 결과입니다.^[3] 방정식이 성립하도록 선 $BC, AC, AB$ 위에 $D,$ E, $F를 주어$ 라. $AD$ $, BE$ 는 $O$ 에서 만나고 $,$ F'는 $CO$ 가 AB를 가로지르는 지점이 되게 합니다. 그 다음 정리에 의해 $방정식은$ D, $E,$ F $'$ 도 성립합니다. 둘을 비교해보면.

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}

그러나 최대 한 점에서 주어진 $비율$ 의 F = F $'$ 로 세그먼트를 절단할 수 있습니다.

무게중심좌표 사용

공선이 아닌 세 $개의 점$ A, $B$ , C와 같은 평면에 $속하는$ 점 O가 주어졌을 $때, A,$ B, $C$ 에 대한 O의 무게중심좌표는 $,$ λ B $,$ λ C ${\displaystyle$ \lambda _{A $},\$ lambda _{B},\lambda _{C}의 고유한 세 개의 λ입니다.

\lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,

그리고.

{\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}

모든 점 $X$ 에 대해(이 화살표 표기법의 정의 및 자세한 내용은 아핀 공간 참조).

세바의 정리에서 점 $O$ 는 삼각형의 두 꼭짓점을 지나는 어떤 선에도 속하지 않아야 합니다. 이것은 λ $\lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.$ λ B $\lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.$ λ C ≠ 0 $.{\displaystyle \lambda$ _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\n을 의미합니다. $eq 0.}$

선 $AB$ 와 $OC$ 의 교점 $F$ 를 $X$ 로 취하면(그림 참조), 마지막 방정식은 다음으로 재배열될 수 있습니다.

{\overrightarrow {FO}}-\lambda_{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda_{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda_{B}{\overrightarrow {FB}

이 식의 좌변은 선 $CF$ 와 같은 방향을 가지는 벡터이고, 우변은 선 $AB$ 와 같은 방향을 가지는 벡터입니다. $이$ 선들은 A, $B, C$ 가 일직선이 아니므로 방향이 다릅니다. 따라서 방정식의 두 멤버는 영벡터와 같으며,

\lambda_{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda_{B}{\overrightarrow {FB}}=0.

다음은

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}

여기서 좌변 분율은 선형 선분 $AF$ 및 $FB$ 길이의 부호화된 비율입니다.

같은 추론이 보여줍니다.

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}

세바의 정리는 마지막 세 방정식의 곱을 취함으로써 즉시 결과가 나옵니다.

일반화

정리는 중심좌표를 사용하여 고차원 단순화로 일반화할 수 있습니다. n-심플렉스의 세비안을 각 꼭짓점에서 $반대쪽 (n$ – 1)-면(면)의 점으로 광선으로 정의합니다. 그러면 각 세비안이 질량 중심에서 반대쪽 면과 교차하도록 질량 분포를 정점에 할당할 수 있는 경우에만 세비안이 동시에 존재합니다. 게다가, 세비안들의 교점은 심플렉스의 질량 중심입니다.^[6]^[7]

고차원 단순화에 대한 또 다른 일반화는 특정 비율의 곱이 1이라는 세바 정리의 결론을 확장합니다. 심플렉스의 한 점에서 시작하여 각 k면에 점이 귀납적으로 정의됩니다. 이 점은 k면의 반대쪽 꼭짓점에서 k면을 포함하는 ( $k +1$ )면에서 이 ( $k +1$ )면에 이미 정의된 점을 통과하는 세비아의 발입니다. 이 각각의 점은 그것이 누워있는 얼굴을 엽으로 나눕니다. 로브의 한 쌍의 주기가 주어졌을 때, 각 쌍의 로브 부피의 비율의 곱은 1입니다.^[8]

루스의 정리는 세비아인이 동시에 존재하지 않는 경우에 세비아인이 형성하는 삼각형의 넓이를 제공합니다. 세바의 정리는 넓이를 0으로 설정하고 그것을 풀면 얻을 수 있습니다.

평면에서 일반 다각형에 대한 정리의 유사체는 19세기 초부터 알려져 왔습니다.^[9] 이 정리는 일정한 곡률을 가진 다른 표면의 삼각형으로도 일반화되었습니다.^[10]

이 정리는 또한 구면 기하학과 쌍곡 기하학에 대한 잘 알려진 일반화를 가지고 있으며 비율의 길이를 각각 자신의 사인과 쌍곡 사인으로 대체합니다.

참고 항목

참고문헌

^ Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. p. 210. ISBN 978-3-642-14440-0.
^ Benitez, Julio (2007). "A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 11 (1): 39–44.
^ ^a ^b ^c Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press.
^ 알프레드 S. 포사멘티에와 찰스 T. Salkind(1996), 기하학의 도전적 문제, 177~180쪽, 도버 출판사, 2차 개정판.
^ 팔로우
^ Landy, Steven (December 1988). "A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions". The American Mathematical Monthly. 95 (10): 936–939. doi:10.2307/2322390. JSTOR 2322390.
^ Wernicke, Paul (November 1927). "The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension". The American Mathematical Monthly. 34 (9): 468–472. doi:10.2307/2300222. JSTOR 2300222.
^ Samet, Dov (May 2021). "An Etension of Ceva's Theorem to n-Simplices". The American Mathematical Monthly. 128 (5): 435–445. doi:10.1080/00029890.2021.1896292. S2CID 233413469.
^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). "Ceva, Menelaus and the Area Principle". Mathematics Magazine. 68 (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569.
^ Masal'tsev, L. A. (1994). "Incidence theorems in spaces of constant curvature". Journal of Mathematical Sciences. 72 (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519. S2CID 123870381.

외부 링크

수학 페이지의 메넬라오스와 세바
세바 정리의 절단면에서의 유도와 응용
세바 정리의 삼각형 모양-매듭에서
삼각형 중심 백과사전에는 세비아 삼각형, 세비아 둥지, 고대 삼각형, 세바 켤레, 세바 점에 대한 정의가 포함되어 있습니다.
세비아 둥지와 관련된 코닉스, 클라크 킴벌리 지음
Jay Warendorff의 Ceva 정리, Wolfram 데모 프로젝트.
Weisstein, Eric W. "Ceva's Theorem". MathWorld.
꼭지점에서 무게가 다른 삼각형의 중심을 실험적으로 찾는 것: 동적 기하학 스케치에서 세바 정리의 실제 적용, 신데렐라의 중력 시뮬레이터를 이용한 상호작용적 동적 기하학 스케치.
"Ceva theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. p. 210. ISBN 978-3-642-14440-0.

[2] Benitez, Julio (2007). "A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 11 (1): 39–44.

[r1-3] Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §7 Ceva's Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press.

[4] 알프레드 S. 포사멘티에와 찰스 T. Salkind(1996), 기하학의 도전적 문제, 177~180쪽, 도버 출판사, 2차 개정판.

[5] 팔로우

[6] Landy, Steven (December 1988). "A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions". The American Mathematical Monthly. 95 (10): 936–939. doi:10.2307/2322390. JSTOR 2322390.

[7] Wernicke, Paul (November 1927). "The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension". The American Mathematical Monthly. 34 (9): 468–472. doi:10.2307/2300222. JSTOR 2300222.

[8] Samet, Dov (May 2021). "An Etension of Ceva's Theorem to n-Simplices". The American Mathematical Monthly. 128 (5): 435–445. doi:10.1080/00029890.2021.1896292. S2CID 233413469.

[9] Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). "Ceva, Menelaus and the Area Principle". Mathematics Magazine. 68 (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569.

[10] Masal'tsev, L. A. (1994). "Incidence theorems in spaces of constant curvature". Journal of Mathematical Sciences. 72 (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519. S2CID 123870381.

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