아폴로니아계

Apollonian circles
일부 아폴로니아계. 모든 푸른 원은 모든 붉은 원과 직각으로 교차한다. 모든 빨간 원은 CD라는 두 점을 통과하고, 모든 파란 원은 두 점을 분리한다.

아폴로니아 원은 두 개의 원 계열로 되어 있어 첫 번째 가족의 모든 원이 두 번째 가족의 모든 원과 직교적으로 교차하고, 그 반대도 마찬가지다. 이 원들은 양극 좌표의 기초를 이룬다. 그것들은 그리스의 유명한 지구계페르가의 아폴로니우스에 의해 발견되었다.

정의

아폴로니아 원은 CD로 표시된 선분류에 의해 두 가지 다른 방식으로 정의된다.

첫 번째 패밀리의 각 원(그림의 파란색 원)은 양의 실수 r과 연관되며, X C D 사이의 거리의 비율이 r과 같도록 X 지점의 중심점으로 정의된다.

r 값이 0에 가까울 경우 해당 이 C에 가깝고, r 값이 to에 가까울 경우 해당 원이 D에 가깝고, 중간 r = 1의 경우 원은 CD의 수직 이등분선인 선으로 변한다. 이러한 원을 로커스로 정의하는 방정식은 더 큰 가중치 세트의 페르마-아폴로니우스 원을 정의하기 위해 일반화할 수 있다.

두 번째 패밀리의 각 원(그림의 빨간색 원)은 각도 θ과 연관되며, 새겨진 각도 CXD가 θ과 같도록 지점 X의 중심점으로 정의된다.

0에서 π까지의 θ을 스캔하면 CD 두 점을 통과하는 모든 원의 집합이 생성된다.

모든 붉은 원이 교차하는 두 점은 푸른 계열의 원 쌍의 한계점이다.

양극 좌표

주어진 푸른 원과 주어진 붉은 원은 두 점으로 교차한다. 양극 좌표를 얻기 위해서는 어느 점이 올바른지 지정하는 방법이 필요하다. 이솝틱 호는 벡터의 지정된 방향각(즉, 벡터)에서 C와 D 지점을 보는 X 지점의 위치다.

그러한 호는 붉은 원 안에 들어 있으며 CD 점으로 경계를 이룬다. 해당 빨간색 원의 나머지 부분은 ( + ) 이다 우리가 정말로 전체 빨간색 원을 원할 때는 직선의 방향 각도를 사용한 설명을 사용해야 한다.

원의 연필

아폴로니아 서클의 두 집안은 모두 원의 연필이다. 각각은 연필의 생성기라고 불리는 그것의 구성원들 중 두 사람에 의해 결정된다. 구체적으로 하나는 타원형 연필(그림의 빨간색 원 계열)으로, 정확히 두 점(C와 D)으로 서로 통과하는 두 개의 발전기로 정의된다. 다른 하나는 어떤 지점에서 서로 교차하지 않는 두 개의 생성기에 의해 정의되는 쌍곡선 연필(그림의 푸른 원 계열)이다.[1]

급진축과 중심선

연필 안에 있는 이 두 개의 원은 같은 급진적인 축을 가지고 있고, 연필 안에 있는 모든 원은 주름이 있다. 같은 계열의 서클이 3개 이상이면 동축 서클 또는 동축 서클이라고 한다.[2]

CD 두 점(그림에서 빨간색 원의 집합)을 통과하는 원의 타원형 연필은 선 CD를 그것의 급진적인 축으로 가지고 있다. 이 연필의 원의 중심은 CD의 수직 이등분선에 놓여 있다. C 지점과 D 지점(파란색 원)에 의해 정의된 쌍곡 연필은 선 CD의 수직 이등분선에 그것의 급진적인 축을 가지고 있으며, 그 모든 원은 선 CD에 중심을 두고 있다.

역 지오메트리, 직교 교차점 및 좌표

원은 거꾸로 원을 원으로, 원 연필은 원의 연필로 지도화하는 방식으로 평면을 변형시킨다. 연필의 종류는 보존되어 있다: 타원형 연필의 역전은 또 다른 타원형 연필이고, 쌍곡 연필의 역전은 또 다른 쌍곡 연필이며, 포물선 연필의 역전은 또 다른 포물선 연필이다.

아폴로니아 원에서는 모든 푸른 원들이 직교적으로, 즉 직각으로 모든 붉은 원과 교차한다는 것을 반전을 이용하여 비교적 쉽게 보여준다. C점을 중심으로 한 원과 관련하여 파란색 아폴로니아 원을 반전시키면 D 지점의 이미지를 중심으로 한 동심원 연필이 생긴다. 같은 역전은 빨간색 원을 D의 이미지를 모두 포함하는 일련의 직선으로 변형시킨다. 따라서 이 역행은 아폴로니아 원들이 정의한 양극 좌표계를 극좌표계로 변형시킨다. 분명히, 변형된 연필들은 직각으로 만난다. 역전은 순응적인 변형이기 때문에 그것이 변형하는 곡선들 사이의 각도를 보존하기 때문에 원래의 아폴로니아계도 직각으로 만난다.

또는 두 연필의 직교 특성은 연필 P의 급진적 축에 있는 어떤 지점 X에서 P 원까지의 탄젠트 길이가 모두 같다는 급진적 축의 정의 속성에서 따온 것이다.[3] 이로부터 이들 접선과 같은 길이의 X에서 중심되는 원은 P의 모든 원을 수직으로 가로지른다. P의 과격한 축에 있는 각 X에 대해 동일한 구조를 적용하여 P에 수직인 원의 또 다른 연필을 형성할 수 있다.

보다 일반적으로, 원의 모든 연필에는 첫 번째 연필과 수직인 원들로 구성된 독특한 연필이 있다. 한 연필이 타원형이라면, 그 수직 연필은 쌍곡선이며, 이 경우 두 연필은 아폴로니아 원형을 이룬다. 포물선 연필에 수직인 원의 연필 또한 포물선이다; 그것은 같은 공통 접선점을 가지고 있지만 그 지점에 수직 접선선을 가진 원들로 구성된다.[4]

물리학

아폴로니아 궤도는 광전자파 또는 결합 극지파와 같은 간섭 또는 결합장을 포함하는 일부 물리적 시스템에서 소용돌이 코어 또는 기타 정의된 상태에 의해 그 움직임으로 따라가는 것으로 보여 왔다.[5] 궤적은 관찰이 이루어지는 실제 공간에서 블로흐 구체의 전파함수의 라비 회전과 아폴로니아 원 사이의 동형적 매핑에서 발생한다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 슈워트페거(1979년, 페이지 8-10년).
  2. ^ 수학월드는 '동축'을 사용하고, 아코피안&자슬라프스키(2007)는 '동축'을 선호한다.
  3. ^ 아코피안 & 자슬라프스키(2007년), 페이지 59.
  4. ^ 슈워트페거(1979년, 페이지 30–31, 정리 A).
  5. ^ Dominici; et al. (2021). "Full-Bloch beams and ultrafast Rabi-rotating vortices". Physical Review Research. 3: 013007. doi:10.1103/PhysRevResearch.3.013007.

참조


외부 링크