아폴로 개스킷

아폴로니아 가스켓의 예

수학에서, 아폴로니아 개스킷 또는 아폴로니아 망은 각각 다른 두 개의 접점에 있는 세 개의 원으로 시작해서, 각각 다른 세 개의 접점에 있는 더 많은 원을 연속적으로 채움으로써 생성되는 프랙탈이다.그것은 그리스의 수학자 페르가의 ^[1]아폴로니우스의 이름을 따서 지어졌다.

건설

서로 접하는 원.서로 접하는 세 개의 원(검은색)이 주어지면 일반적으로 서로 접하는 두 개의 다른 원(빨간색)이 있습니다.

Apolian 개스킷의 시공은 각각 다른 두 $C_{1}$ 의 원과 맞닿아 있는 C1 $(\$ C_ ${$ $1$ $(\$ $displaystyle C_{2$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_{3}$ $($ 그림의 검은색)로 시작하지만, 단 한 점의 삼중 접선점도 없습니다.이 원들은 서로 크기가 다를 수 있으며, 두 개는 세 번째 안에 들어가거나 세 개는 모두 서로 바깥에 있을 수 있습니다.아폴로니우스가 발견한 것처럼 C4 $($ $스타일$ C_ ${4$ $})$ $C_{5}$ 와 $C_{4}$ $($ )가 두 개 더 존재하며, 이 두 $C_{4}$ 을 아폴로니아 원이라고 합니다.이들 5개의 원은 6개의 곡선 삼각형 영역에 의해 서로 분리되어 있으며, 각각은 3개의 쌍으로 접선된 원의 호로 둘러싸여 있습니다.세 변에 접하는 여섯 개의 곡선 삼각형 각각에 하나씩 여섯 개의 원을 더함으로써 공사는 계속됩니다.그러면 18개의 곡선의 삼각형이 더 생성되고, 다시 접선원, 즉 무한으로 채워짐으로써 공사는 계속됩니다.

이와 같이 단계별로 진행되는 이 공사는 $n단계$ (\ $2\cdot 3^{n}$ $n$ 에서 2 $2\cdot 3^{n}$ (\displaystyle $2\cdot$ 3 $^{n})$ 의 $2\cdot 3^{n}$ 새로운 원을 $2\cdot 3^{n}$ 하여n단계(\ $style$ n $)$ 후에 $n$ $총$ $(\displaystyle$ 3 $^{n+1}+2})$ 의 $3^{n+1}+2$ 원을 $3^{n+1}+2$ 합니다.한계에서, 이 원의 집합은 아폴로 개스킷입니다.그 안에서 접선원의 각 쌍은 쌍 내의 두 원에 접선하는 원의 무한 파퍼스 사슬을 가진다.

제한 케이스(0,0,1,1)에서는 가장 큰 2개의 원이 평행 직선으로 치환된다.이것은 포드 서클의 패밀리를 낳는다.

각각의 새로운 원의 크기는 데카르트의 정리에 의해 결정되는데, 데카르트의 정리는 상호 접선 원 네 개에 대해 원의 반지름 $r_{i}$ (\ $displaystyle r_i$ 가 방정식을 따른다는 것이다.

\frac {1} {r_{1} + {\frac {1} {r_{3}} + {\frac {1} {r_{3} + {\frac {1} {r_{4}}\right} {2}=2\frac\frac {1} {r_{1} {r_{1} {{{1} + {{{{1} {r} {r} {frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac}

이 방정식은 음의 반지름을 갖는 해를 가질 수 있습니다. 즉, 원 중 하나(음의 반지름을 갖는 원)가 나머지 세 개를 둘러싼다는 것을 의미합니다.이 구조의 초기 원 중 하나 또는 두 개 또는 이 구조의 결과로 생긴 원은 직선으로 퇴화할 수 있으며, 이는 무한 반경의 원이라고 생각할 수 있습니다.선이 두 개일 때는 평행해야 하며 무한대의 점에서 접선으로 간주됩니다.개스킷에

x축

에

x

2개의 라인과

그 위에 1개의 유닛이 있고

y축

에

y

y

을 둔 두 라인에 접하는 단위 직경의 원이 포함되어 있는 경우

x축

에

x

접하는 원은 Ford 원이며, 이는 수론적으로 중요합니다

.

아폴로니아 가스켓의 하우스도르프 치수는 약 1.3057입니다.^[2]^[3]이것은 명확하게 정의된 분수 차원을 가지고 있기 때문에, 정밀하게 자기 유사하지는 않지만, 프랙탈이라고 생각할 수 있다.

대칭

평면의 뫼비우스 변환은 원의 모양과 접선을 보존하고, 따라서 아폴로 개스킷의 구조를 보존합니다.아폴로 개스킷 내의 서로 접하는 원의 3배는 뫼비우스 변환에 의해 서로 매핑될 수 있으며, 2개의 아폴로 개스킷은 뫼비우스 변환에 의해 서로 매핑될 수 있다.특히 아폴로니아 개스킷의 두 접선원에 대해 접선점(Möbius 변환의 특수한 경우)을 중심으로 한 원의 반전은 이 두 원을 두 개의 평행선으로 변환하고 나머지 개스킷을 두 개의 평행선 사이의 특수한 개스킷 형태로 변환합니다.이러한 반전의 구성은 임의의 두 접선점을 서로 변환하는 데 사용할 수 있습니다.뫼비우스 변환은 또한 쌍곡면의 등각성이기 때문에 쌍곡기하학에서 모든 아폴로 개스킷은 합동이다.따라서 어떤 의미에서 아폴로 개스킷은 (고압) 등각까지 1개뿐입니다.

아폴로 개스킷은 클라이니아 ^[4]군으로 알려진 뫼비우스 변환 그룹의 한계 집합입니다.

일반적으로 뫼비우스 변환이 아닌 유클리드 대칭 변환의 경우, 아폴로니아 개스킷은 생성되는 세 개의 원의 대칭을 상속합니다.그러나 일부 원의 3배는 초기 3배보다 더 높은 대칭을 가진 아폴로니안 개스킷을 생성할 수 있습니다. 이는 동일한 개스킷이 생성 원의 다른 대칭 집합을 가지고 있을 때 발생합니다.특히 대칭적인 예로는 두 개의 평행선 사이의 아폴로 개스킷(무한 이면체 대칭), 등변 삼각형의 세 개의 합동 원에 의해 생성된 아폴로 개스킷(삼각형의 대칭), 반지름 2의 원으로 둘러싸인 반지름 1의 두 개의 원에 의해 생성된 아폴로 개스킷(t)이 있다.반사 대칭의 wo 라인).

적분 아폴로 원 채우기

(-1, 2, 2, 3)의 원곡선으로 정의되는 아폴로니아 원 패킹의 적분
(-3, 5, 8, 8)의 원곡선으로 정의되는 아폴로니아 원 패킹 일체형
(-12, 25, 25, 25, 28)의 원곡선으로 정의되는 아폴로니아 원 패킹 일체형
(-6, 10, 15, 19)의 원곡선으로 정의되는 아폴로니아 원 패킹의 적분
(-10, 18, 23, 27)의 원의 곡선으로 정의되는 아폴로 원 패킹 일체형

아폴로 개스킷에서 서로 접하는 4개의 원이 모두 정수 곡률(반경의 역)을 가지면 개스킷의 모든 원은 정수 ^[5]곡률을 갖습니다.적분이든 아니든 아폴로 개스킷의 곡률에 관한 방정식이

({displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd,,})

따라서 새로운 마르코프 숫자를 찾을 때처럼 비에타 점프를 통해 곡선의 4배에서 다른 곡선으로 이동할 수 있다.이러한 통합형 아폴로 개스킷 중 처음 몇 개는 다음 표에 나열되어 있습니다.표에는 개스킷에서 가장 큰 원의 곡선이 나열되어 있습니다.각 개스킷을 완전히 설명하는 데 필요한 것은 처음 세 개의 곡선(표에 표시된 다섯 개 중)뿐이며, 다른 모든 곡선도는 이 세 개에서 도출할 수 있습니다.

**일체형 아폴로 개스킷**
시작 곡선	대칭
−1, 2, 2, 3, 3	D₂
−2, 3, 6, 7, 7	D₁
−3, 4, 12, 13, 13	D₁
−3, 5, 8, 8, 12	D₁
−4, 5, 20, 21, 21	D₁
−4, 8, 9, 9, 17	D₁
−5, 6, 30, 31, 31	D₁
−5, 7, 18, 18, 22	D₁
−6, 7, 42, 43, 43	D₁
−6, 10, 15, 19, 19	D₁
−6, 11, 14, 15, 23	C₁
−7, 8, 56, 57, 57	D₁
−7, 9, 32, 32, 36	D₁
−7, 12, 17, 20, 24	C₁
−8, 9, 72, 73, 73	D₁
−8, 12, 25, 25, 33	D₁
−8, 13, 21, 24, 28	C₁
−9, 10, 90, 91, 91	D₁
−9, 11, 50, 50, 54	D₁
−9, 14, 26, 27, 35	C₁
−9, 18, 19, 22, 34	C₁
−10, 11, 110, 111, 111	D₁
−10, 14, 35, 39, 39	D₁
−10, 18, 23, 27, 35	C₁
−11, 12, 132, 133, 133	D₁
−11, 13, 72, 72, 76	D₁
−11, 16, 36, 37, 45	C₁
−11, 21, 24, 28, 40	C₁
−12, 13, 156, 157, 157	D₁
−12, 16, 49, 49, 57	D₁
−12, 17, 41, 44, 48	C₁
−12, 21, 28, 37, 37	D₁
−12, 21, 29, 32, 44	C₁
−12, 25, 25, 28, 48	D₁
−13, 14, 182, 183, 183	D₁
−13, 15, 98, 98, 102	D₁
−13, 18, 47, 50, 54	C₁
−13, 23, 30, 38, 42	C₁
−14, 15, 210, 211, 211	D₁
−14, 18, 63, 67, 67	D₁
−14, 19, 54, 55, 63	C₁
−14, 22, 39, 43, 51	C₁
−14, 27, 31, 34, 54	C₁
−15, 16, 240, 241, 241	D₁
−15, 17, 128, 128, 132	D₁
−15, 24, 40, 49, 49	D₁
−15, 24, 41, 44, 56	C₁
−15, 28, 33, 40, 52	C₁
−15, 32, 32, 33, 65	D₁

적분 아폴로니아 원 채우기를 열거하는 중

$(a,b,c,d)$ ( $a<0\leq b\leq c\leq d$ $(a,b,c,d)$ $(a,b,c,d)$ $)$ ( $a$ b, c, d) (a, $b, c, d)$ 는 $(a,b,c,d)$ a $a<0\leq b\leq c\leq d$ < 0 $a<0\leq b\leq c\leq d$ c $a<0\leq b\leq c\leq d$ d $a<0\leq b\leq c\leq d$ \ $displaystyle$ a < $0$ \ $leq$ b \ $leq$ c \ $leq$ d $a<0\leq b\leq c\leq d$ 일 경우 루트 4배(일부 일체형 원 패킹에서 가장 작음)입니다. $\gcd(a,b,c,d)=1$ ( $\gcd(a,b,c,d)=1$ , $\gcd(a,b,c,d)=1$ , $\gcd(a,b,c,d)=1$ , $\gcd(a,b,c,d)=1$ ) $\gcd(a,b,c,d)=1$ { $displaystyle \gcd ( a$ , $b$ , $c$ , d ) $= 1$ . displaystyle ( $x$ , $d$ _ $1$ , $(x,d_{1},d_{2},m)$ $2$ , m $)\$ displaystyle ( x , d _ { 1 , d _ $d$ } )의 $(x,d_{1},d_{2},m)$ $새로운$ 변수 $(x,d_{1},d_{2},m)$ 를 행렬 방정식으로 정의합니다.

{bmatrix}a\\d\end{bmatrix}=param {bmatrix}1&0&1&0&1&0\1&1&1&2\end{bmatrix}{\d

(a,b,c,d)

(a,b,c,d)

(a,b,c,d)

)

{

displaystyle (a, b, c, d)}

이

(a,b,c,d)

x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}

+

x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}

x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}

x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}

{\

displaystyle

x

^{2}+m^{2

}일 때

x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}

하게 데카르트의 방정식을 만족시키는 시스템을 제공합니다.정확할 때 gcd(x, d1, d2)=1{\displaystyle \gcd(x,d_{1},d_{2})=1}}=d_{1}d_{2}}. 게다가,(a, b, c, d){\displaystyle(a,b,c,d)}, 그리고(a, b, c, d){\displaystyle(a,b,c,d)}은 뿌리 4배 정확하게 때)원시적인<0≤ 2m≤ d1≤ d2{\displaystyle x<, 0\leq 2.m\leq

d_{1}\leq d_{2

^[5]

이 관계를 사용하여 음의 $굴곡$ x $(\displaystyle$ x $x$ 를 갖는 모든 원시 루트 4배수를 찾을 수 있습니다.이 관계는 $2m\leq d_{1}$ $2m\leq d_{1}$ 및 $2m\leq d_{2}$ $(\$ ${2$ $})$ 에서 $2m\leq d_{1}$ $2m\leq d_{2}$ $4m^{2}\leq d_{1}d_{2}$ $4m^{2}\leq d_{1}d_{2}$ d2 $d2$ d2 d2 d2 $d2 d1$ 로 이어집니다. $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ 2 $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ d $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ 2 - $0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}$ $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ { { $displaystyle$ 3 m^ { $2$ } \ $leq d$ $_$ { $}$ - $m^$ {2} $= x$ } $0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}$ 。따라서 루트 4배수는 가능한 모든 m $m$ 을 반복하여 0 $0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}$ m $by$ x / $3을 충족$ 합니다. $({$ }}) 모든 $d_{2}$ 원시 루트 ^[6]4배수를 찾을 수 있습니다.다음 Python 코드는 위에 나열된 원시 루트 4배수를 생성하는 이 알고리즘을 보여줍니다.

수입품 수학   방어하다 get_module_module(n):     한다면 n == 0:         산출하다 0, 0, 1, 1         돌아가다     위해서 m 에 범위(수학.동작하다(n / 수학.sqrt(3))):         s = m**2 + n**2         위해서 d1 에 범위(맥스.(2 * m, 1), 수학.바닥.(수학.sqrt(s)) + 1):             d2, 남은 것 = divmod를 실행.(s, d1)             한다면 남은 것 == 0 그리고. 수학.gcd(n, d1, d2) == 1:                 산출하다 -n, d1 + n, d2 + n, d1 + d2 + n - 2 * m   위해서 n 에 범위(15):     위해서 구부러지다 에 get_module_module(n):         인쇄물(구부러지다)

아폴로니아 원 패킹의 대칭성

원의 곡률에 따라 개스킷과 함께 발생할 수 있는 여러 유형의 이면체 대칭이 있습니다.

대칭 없음

첫 번째 5개의 곡선 내에 반복되는 곡선이 없는 경우 개스킷은 대칭₁ 그룹 C로 표현되는 대칭을 포함하지 않습니다. 예를 들어 곡선(-10, 18, 23, 27)으로 표현되는 개스킷이 있습니다.

D₁ 대칭

개스킷에서 가장 큰 5개의 원 중 2개가 동일한 곡률을 가질 때마다 해당 개스킷은 회전 대칭 없이 경계 원의 직경을 따른 반사에 해당하는 D 대칭을 갖게₁ 됩니다.

D₂ 대칭

두 개의 서로 다른 곡선이 처음 5개 내에서 반복될 경우 개스킷은 D 대칭을 갖습니다₂. 이러한 대칭은 경계 원의 직경을 따라 두 개의 반사(서로 수직)로 구성되며 180°의 이중 회전 대칭이 됩니다.곡선(-1, 2, 2, 3)으로 설명된 개스킷은 (최대 스케일링 계수) D 대칭을 가진₂ 유일한 아폴로 개스킷입니다.

D₃ 대칭

대칭이 D인 정수₃ 개스킷은 없습니다.

양의 곡률이 가장 작은 세 개의 원이 동일한 곡률을 갖는 경우, 개스킷은 D 대칭을₃ 가지며, D 대칭은 경계 원의 직경(공간 120° 간격)을 따라 세 개의 반사에 해당하며 120°의 회전 대칭이 됩니다.이 경우 3개의 내부 원에 대한 경계 원의 곡률 비율은 2⁄3 - 3이며, 이 비율은 합리적이지 않기 때문에 많은 패킹이 근접하지만 일체형 아폴로 원 패킹은 이₃ D 대칭을 가지지 않는다.

거의₃ D 대칭

(−15, 32, 32, 33)

왼쪽 그림은 D 대칭으로₃ 보이는 일체형 아폴로 개스킷입니다.오른쪽에는 동일한 그림이 표시되어 있으며 내부 원의 곡률을 나타내는 라벨이 부착되어 있어 개스킷이 실제로 다른 많은 일체형 아폴로니아 개스킷에 공통되는 D 대칭만을₁ 가지고 있음을 알 수 있습니다.

다음 표는 거의 D에 가까운₃ 아폴로니아 개스킷을 더 나열한 것입니다.시퀀스에는 몇 가지 흥미로운 특성이 있으며, 표에는 이전 집합에서 현재 집합으로 이동하는 데 필요한 승수와 함께 곡선의 인수 분해 목록이 나와 있습니다."a" 디스크의 곡선 절대값은 반복 $관계$ a $(n)$ = $4a(n -$ 1) - $a (n$ - 2 $)($ OEIS의 시퀀스 A001353)를 따르며, 여기서 승수는 θ3 + 2 ≈ 3.732050807로 수렴한다.

**D에 가까운₃ 대칭을 가진 일체형 아폴로 개스킷**
곡률				요인들			승수
a	b	c	d	a	b	d	a	b	c	d
−1	2	2	3	1×1	1×2	1×3	—	—	—	—
−4	8	9	9	2×2	2×4	3×3	4.000000000	4.000000000	4.500000000	3.000000000
−15	32	32	33	3×5	4×8	3×11	3.750000000	4.000000000	3.555555556	3.666666667
−56	120	121	121	8×7	8×15	11×11	3.733333333	3.750000000	3.781250000	3.666666667
−209	450	450	451	11×19	15×30	11×41	3.732142857	3.750000000	3.719008264	3.727272727
−780	1680	1681	1681	30×26	30×56	41×41	3.732057416	3.733333333	3.735555556	3.727272727
−2911	6272	6272	6273	41×71	56×112	41×153	3.732051282	3.733333333	3.731112433	3.731707317
−10864	23408	23409	23409	112×97	112×209	153×153	3.732050842	3.732142857	3.732302296	3.731707317
−40545	87362	87362	87363	153×265	209×418	153×571	3.732050810	3.732142857	3.731983425	3.732026144

순차 곡선

네스트 아폴로 개스킷

임의의 정수 n > 0에 대해서, 다음의 곡선으로 정의되는 아폴로 개스킷이 존재한다.
(−n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1).
예를 들어 (-2, 3, 6, 7), (-3, 4, 12, 13), (-8, 9, 72, 73) 및 (-9, 10, 90, 91)로 정의된 개스킷은 모두 이 패턴을 따릅니다.n + 1로 정의된 모든 내부 원이 다른 개스킷에서 경계 원(-n으로 정의됨)이 될 수 있으므로 이러한 개스킷은 내포될 수 있습니다.이는 오른쪽 그림에 나타나 있습니다. 이 그림에는 n개가 2에서 20까지 작동하는 순차 개스킷이 포함되어 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

아폴로 구면 패킹

아폴로 네트워크, 아폴로 개스킷의 유한 부분 집합에서 파생된 그래프
아폴로니안 가스켓의 3차원 일반화인 아폴로니안 구체 패킹
유사한 조합 구조를 가진 자기 유사 프랙탈인 시에르핀스키 삼각형

메모들

^ 사티자, I. 이글레시아스 바세아스 세계의 나비: 가장 매력적인 양자 프랙탈의 이야기 (Bristol: IOP Publishing, 2016), 페이지 5.
^ Boyd, David W. (1973), "The residual set dimension of the Apollonian packing", Mathematika, 20: 170–174, doi:10.1112/S0025579300004745, MR 0493763
^ McMullen, Curtis T. (1998), "Hausdorff dimension and conformal dynamics, III: Computation of dimension" (PDF), American Journal of Mathematics, 120 (4): 691–721, doi:10.1353/ajm.1998.0031, MR 1637951
^ Hee Oh Brown의 Kleinian 그룹의 원과 에르고딕 이론.대학 2009년 12월
^ ^a ^b 로널드 L. 그레이엄, 제프리 C.라가리아스, 콜린 M. 말로즈, 앨런 R.Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packing:숫자 이론" J. 숫자 이론, 100(2003), 1-45
^ Bradford, Alden. "Revisiting Apollonian Gaskets". Retrieved 7 August 2022.

레퍼런스

Benoit B.만델브로트:자연 프랙탈 기하학, W H Freeman, 1982, ISBN 0-7167-1186-9
폴 D. 부르케: "아폴로니 프랙탈의 입문"컴퓨터와 그래픽스, 제30호, 제1호, 2006년 1월, 134~136페이지.
David Mumford, Caroline 시리즈, David Wright: Indra's Pearls: 펠릭스 클라인의 비전, 캠브리지 대학 출판부, 2002, ISBN 0-521-35253-3
제프리 C.라가리아스, 콜린 L. 말로즈, 앨런 R.Wilks: The Beyond the Descartes Circle Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No.4 (2002년 4월), 페이지 338-361 (arXiv:math.MG/01066 v1 2001년 1월 9일)

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Apollonian Gasket". MathWorld.
알렉산더 보고몰리, 아폴로니아 개스킷, 커트 더 노트
Wayback Machine의 순수 HTML5에서 실행되는 인터랙티브 아폴로니아 개스킷(2011-05-02 아카이브)
원 반전을 사용하여 n개의 동일한 원으로 2D 아폴로니아 개스킷을 플롯하는 Matlab 스크립트
JSXGraph를 사용한 온라인 실험
마이클 스크라이버의 아폴로 개스킷, 울프람 시연 프로젝트.
자바에서 작동하는 아폴로 개스킷의 인터랙티브 아폴로 개스킷 시연
다나 맥켄지.티스켓, 태스켓, 아폴로 개스킷.American Scientist, 2010년 1월 / 2월
외주가 9마일인 부분 아폴로 개스킷 형태의 예술작품에 대한 신문 기사"Sand drawing the world's largest single artwork", The Telegraph, 16 Dec 2009.
다이나믹 아폴로니안 개스킷, 2014년 조르지오 피에트로콜라의 타르타펠라고.(이탈리아어)

[1] 사티자, I. 이글레시아스 바세아스 세계의 나비: 가장 매력적인 양자 프랙탈의 이야기 (Bristol: IOP Publishing, 2016), 페이지 5.

[2] Boyd, David W. (1973), "The residual set dimension of the Apollonian packing", Mathematika, 20: 170–174, doi:10.1112/S0025579300004745, MR 0493763

[3] McMullen, Curtis T. (1998), "Hausdorff dimension and conformal dynamics, III: Computation of dimension" (PDF), American Journal of Mathematics, 120 (4): 691–721, doi:10.1353/ajm.1998.0031, MR 1637951

[4] Hee Oh Brown의 Kleinian 그룹의 원과 에르고딕 이론.대학 2009년 12월

[Graham_et_al-5] 로널드 L. 그레이엄, 제프리 C.라가리아스, 콜린 M. 말로즈, 앨런 R.Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packing:숫자 이론" J. 숫자 이론, 100(2003), 1-45

[6] Bradford, Alden. "Revisiting Apollonian Gaskets". Retrieved 7 August 2022.

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[6]

v t 포장 문제
추상 포장	빈 세트
서클 패킹	원/정삼각형/등변삼각형/직각삼각형으로 아폴로 개스킷 원 패킹 정리 Tammes 문제(구면)
구체 패킹	아폴로어 구체에서 큐브에 원통형 밀착 포장 키스 번호 구면 패킹(해밍) 바운드
기타 3-D 패킹	사면체 타원체
퍼즐	콘웨이 슬로터우버-그라츠마

v t 프랙탈
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스 카운트 히구치 상관 관계 하우스도르프 포장. 토폴로지 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반슬리 양치류 칸토어 집합 코흐 눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑망주 곡선 드람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르핀스키 곡선 Z차 곡선 스트링 T-제곱 n플레이크 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스나무 바이어스트라스 함수
이상한 매력자	다분할계
L계	프랙탈 캐노피 공간 채우기 곡선 H 트리
이스케이프 타임 프랙탈	불타는 배 프랙탈 줄리아 세트 가득 찬 뉴턴 프랙탈 두아디토끼 랴푸노프 프랙탈 만델브로트 집합 미시우레비치 점 멀티봇 세트 뉴턴 프랙탈 트리콘 만델박스 만델구
렌더링 기술	버드하브 궤도 트랩 피커버 줄기
랜덤 프랙탈	브라운 운동 갈색나무 브라운 모터 프랙탈 풍경 레비 비행 침투 이론 자기 회피 보행
사람	마이클 반즐리 게오르크 칸토르 빌 고스퍼 펠릭스 하우스도르프 데스몬드 폴 헨리 개스톤 줄리아 헬게 폰 코흐 폴 레비 알렉산드르 랴푸노프 브누아 만델브로 하미드 나데리 예가네 루이스 프라이 리처드슨 바츠와프 시에르핀스키
다른.	"영국 해안은 얼마나 깁니다?" 해안선의 역설 프랙탈 아트 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록 자연의 프랙탈 기하학 (1982년 책) 프랙탈의 아름다움 (1986년 책) 혼돈: 새로운 과학 만들기 (1987년 책) 만화경 카오스 이론

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