아폴로니우스의 정리

기하학에서 아폴로니우스의 정리는 삼각형의 중앙의 길이와 옆면의 길이에 관련된 정리다. 그것은 "어떤 삼각형의 두 변의 제곱합은 세 번째 변의 절반에 제곱의 두 배와 세 번째 변의 중앙분리대의 제곱의 두 배와 같다"고 명시하고 있다.

특히 모든 삼각형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle ABC,}$에서 A ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle AD}$이(가) 중위수인 경우$$,

그것은 스튜어트의 정리를 보여주는 특별한 경우다. For an isosceles triangle with ${\displaystyle AB = AC ,}$ the median ${\displaystyle AD}$ is perpendicular to ${\displaystyle BC}$ and the theorem reduces to the Pythagorean theorem for triangle ${\displaystyle ADB}$ (or triangle ${\displaystyle ADC}$). 평행사변형의 대각선이 서로 이등분한다는 사실에서 볼 때, 그 정리는 평행사변형의 법칙에 해당한다.

이 정리는 고대 그리스의 수학자 페르가의 아폴로니우스의 이름을 따서 명명되었다.

증명

그 정리는 스튜어트의 정리의 특수한 경우로서 증명될 수도 있고, 벡터를 사용하여 증명할 수도 있다(평행형문법 참조). 다음은 코사인 법칙을 이용한 독자적인 증거다.^[1]

삼각형에 중앙값 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $a$$.$ ${\displaystyle$ $a$$.}$을(를) 측면에$$ $그리는$ a${\displaystyle ,}$ $b,$의 측면을 갖도록 두십시오. m ${\$$displaystyle m}$은(는) 중앙값에 의해$$ $형성$된 ${\displaystyle a}$의 세그먼트 길이가 되므로$$ $m{\displaystyle }$${\displaystystylean$ a$.}$의 절반으로$$ 두십시오$$. ${\displaystyle a$$}$과(와)$d$ {\$displaystyle$ \$theta }$과${\displaystyle {}^{}}$와) $\theta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ^{\$$prime$ $}$이(가) 있는 경우$$, $\$ {\$displaystystyle b}$과($와{\displaystyle }$)$\theta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystystystystytheta$$$}이$으)$이다.en ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ is the supplement of ${\displaystyle \theta }$ and ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$ The law of cosines for ${\displaystyle \theta }$ and ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ states that

첫 번째와 세 번째 방정식을 추가하여 얻으십시오.

필요에 따라

참고 항목

• 중위수 길이와 관련된 공식

참조

외부 링크

• 플래닛매트릭스의 아폴로니우스 정리.
• 데이비드 B. Surowski: 고등수학. 27페이지