코사인 법칙

삼각법
개요 역사 사용법 함수(역) 일반 삼각법
참조
정체성 정확한 상수 테이블 단위원
법과 정리
신스 코사인 접선 코탄젠트 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환법 통합(역 함수) 파생상품
v t

삼각법에서 코사인 법칙(코사인 공식, 코사인 규칙 또는 알카시의 정리라고도^[1] 함)은 삼각형의 면 길이와 그 각도의 한 개의 코사인(cosine)을 연관시킨다. 그림 1과 같이 표기법을 사용하여 코사인 법칙을 명시한다.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \coses,}$

여기서 γ은 길이 a와 b 사이의 각도와 길이 c의 반대쪽을 나타낸다. 같은 수치에서 다른 두 관계는 유사하다.

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \cos \coses,}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \cos \cos \}$

코사인의 법칙은 직삼각형만을 보유하는 피타고라스 정리를 일반화한다:각 angle이 직각(측량 90도)인 경우 또는 π/2라디안), 그 다음 cos γ = 0이며, 따라서 cosines의 법칙은 피타고라스 정리까지 감소한다.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

코사인 법칙은 양면과 밀폐된 각도를 알 수 있을 때 삼각형의 제3면을 계산하고, 삼면이 모두 알려질 경우 삼각형의 각도를 계산하는 데 유용하다.

역사

비록 코사인 개념이 아직 그의 시대에 발전되지 않았지만, 기원전 3세기까지 거슬러 올라가는 유클리드 원소에는 코사인 법칙에 거의 필적하는 초기 기하학적 정리가 들어 있다. 둔탁한 삼각형과 급성 삼각형의 경우(부정 또는 양의 코사인 두 경우에 대응함)는 제2권 제안 12와 13에서 별도로 취급한다. 유클리드 시대에 부재한 삼각함수와 대수(특히 음수)는 더 기하학적인 풍미를 가지고 있다.

발의안 제12호
둔각 삼각형에서 둔각 미분하는 측면의 사각형은 둔각, 즉 수직이 떨어지는 직사각형, 그리고 직선이 둔부를 향해 수직으로 떨어져 나가는 직선의 두 배만큼 둔각을 포함하는 측면의 사각형보다 크다.이삭을 줍다

— Euclid's Elements, translation by Thomas L. Heath.^[2]

그림 2와 같은 표기법을 사용하여 유클리드 문장은 공식으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CH)}$

이 공식은 CH = (CB) cos(cos)( = - γ) = - (CB) cos γ에 주목하여 cosines의 법칙으로 변형될 수 있다. 발의안 제13호는 급성 삼각형에 대해 완전히 유사한 진술을 포함하고 있다.

유클리드 원소는 코사인의 법칙을 발견하는 길을 닦았다. 15세기 페르시아의 수학자 겸 천문학자인 잠쉬드 알 카쉬는 코사인의 법칙에 대한 최초의 명시적 진술을 삼각 측정에 적합한 형태로 제공했다. 그는 정확한 삼각표를 제공하고, 정리를 현대 용법에 적합한 형태로 표현했다. 1990년대를 기점으로 프랑스에서는 코사인 법칙을 여전히 테오렘달카시(Téorem d'Al-Kashi)라고 부른다.^[1][3][4]

이 정리는 16세기에 프랑수아 비에트에 의해 서구 세계에서 대중화되었다. 19세기 초에 현대 대수 표기법은 코사인 법칙을 현재의 상징적 형태로 쓸 수 있게 했다.

적용들

정리는 삼각측량(triangulation)에 사용되며, 삼각형이나 원을 해결하기 위해, 즉 찾기(그림 3 참조):

• 삼각형의 세 번째 면과 두 변 사이의 각도를 아는 경우:

${\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \}},;}$

• 삼면을 아는 경우 삼각형의 각도:

${\displaystyle \,\cHB =\arccos \left\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}:}\,;}$

• 두 변과 그 중 하나와 반대되는 각도를 아는 경우 삼각형의 세 번째 변(직각 삼각형이라면 피타고라스 정리를 사용하여 이를 수행할 수도 있다).

${\displaystyle \,a=b\cos \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\n1}\}\,}$

이러한 공식은 삼각형이 매우 급성인 경우, 즉 c가 a에 비해 작고 b 또는 γ이 1에 비해 작을 경우 부동소수점 계산에서 높은 반올림 오차를 발생시킨다. 심지어 각도의 코사인보다 약간 큰 결과를 얻을 수도 있다.

표시된 세 번째 공식은 2차 방정식 a² - 2ab cos γ + b²² - c = 0에서 a에 대한 해결의 결과물이다. 이 방정식은 데이터가 주어진 가능한 삼각형 수에 해당하는 2, 1, 0의 양의 용액을 가질 수 있다. b sin < < c < b, c = b sin γ인 경우 하나의 양성 용액만, c < b sin if인 경우에는 해결책이 없을 것이다. 이러한 서로 다른 사례들은 또한 측면 각도의 응집 모호성에 의해 설명된다.

교정쇄

거리 공식 사용

길이 a, b, c의 변이 있는 삼각형을 고려한다. 여기서 c은 길이 c의 변 반대편에 있는 각도의 측정이다. 이 삼각형은 "x" 축을 따라 정렬된 횡방향으로 데카르트 좌표계에 배치될 수 있으며, 그림에서와 같이 삼각형의 세 지점의 구성요소를 표시하여 원점에 배치한다. 4:

${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{, }}C=(0,0).}$

거리 공식에 따르면

${\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}.}$

양쪽을 모두 분산시키고 단순화

${\displaystyle {\regated}c^{2}&{}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\c^{2}=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}$

이 증명의 장점은 삼각형이 급성, 우측 또는 둔탁할 때 서로 다른 경우를 고려할 필요가 없다는 것이다.

삼각법 사용

삼각형의 고도인 C 지점을 통해 측면 c에 수직선을 떨어뜨리는 것은 다음과 같다(그림 5 참조).

$\displaystyle c=a\cos \cos \cos \b\cos \cos \c$

(α 또는 β가 둔탁한 경우, 수직이 삼각형 바깥으로 떨어지는 경우에도 이는 여전히 사실이다.) c 수율에 의한 곱하기

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \cos \bc\cos \cos \cos \cos \$

삼각형의 다른 두 고도를 고려할 때

${\displaystyle a^{2}=ac\cos \cos \cos +ab\cos \cos \cos,}$

${\displaystyle b^{2}=bc\cos \cos \cos \cos \cos \cos \c}$

후자의 두 방정식을 더하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}}}}=ac\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos}$

마지막 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 다음과 같다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=ac\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos )}$

로 단순화하는.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \cos \cos.}$

이 증거는 다양한 각도의 코사인을 그 자체로 수량으로 취급한다는 점에서 삼각법을 사용한다. 그것은 각도의 코사인이 어떤 직각 삼각형으로 그 각도를 둘러싸고 있는 양쪽 사이의 관계를 나타낸다는 사실을 사용한다. 다른 증명(아래)은 cos γ과 같은 표현을 단지 특정 선 세그먼트의 길이에 대한 레이블로 취급한다는 점에서 더 기하학적인 것이다.

많은 증거들이 둔각과 급성 각 γ의 경우를 별도로 다룬다.

피타고라스의 정리를 이용하여

둔각의 경우

유클리드는 피타고라스의 정리를 표시된 그림(AHB와 CHB)에 있는 두 개의 오른쪽 삼각형 각각에 적용함으로써 이 정리를 증명했다. d를 사용하여 높이 BH에 대한 선 세그먼트 CH와 h를 나타냄, 삼각형 AHB는 우리에게

${\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},}$

그리고 삼각형 CHB는

${\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}$

첫 번째 방정식을 확장하면

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.}$

두 번째 방정식을 여기에 대입하면 다음과 같은 것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.}$

이것은 원소 제2권에 나오는 유클리드 제안서 12이다.^[5] 코사인 법칙의 현대적 형태로 변모시키기 위해서는 다음과 같은 점에 유의한다.

$[\displaystyle d=a=cos(\pi -\cos )=-a\cos \cos \cos \cos.}$

급성 각의 경우

그의 발의안 13에 대한 유클리드의 증명서는 그의 발의안 12에 대한 증명과 같은 선을 따라 진행된다: 그는 : 각도를 둘러싸고 있는 한쪽 면에 수직선을 떨어뜨려 형성된 양쪽 오른쪽 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하고 이항 정리를 사용하여 단순화한다.

급성 사건의 또 다른 증거

삼각법을 더 많이 사용하면, 코사인의 법칙은 피타고라스의 정리를 한 번만 사용함으로써 추론할 수 있다. 사실, 그림의 왼쪽에 있는 직각 삼각형을 이용해 6이:c2)(b− 오리온 ⁡ γ)2+(죄를 ⁡ γ)2)b2−는 2b. 왜냐하면 ⁡ γ+a2. 왜냐하면 2⁡ γ 2죄 2⁡ γ)b2+a2−는 2b. 왜냐하면 ⁡ γ,{\displaystyle{\begin{정렬}\quad c^{2}&.)(b-a\cos \gam+표시할 수 있다.엄마.$)^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \cos \cos \cos \{2}+a^{2$$}}\cos ^{2}\reas +a^{2}\sin ^{2}\reas \b^{2}+a^{2}-2ab\cos \cos \injusted}}}$

삼각적 정체성을 사용하여

$\displaystyle \coses ^{2}\boards +\sin ^{2}\boards =1.}$

이 증거는 b < a cos(cos)인 경우 약간의 수정이 필요하다. 이 경우 피타고라스 정리가 적용되는 오른쪽 삼각형은 ABC 삼각형 밖으로 이동한다. 이것이 계산에 미치는 유일한 영향은 b - a cos(cos)가 cos(cos) - b로 대체된다는 것이다. 이 양이 제곱을 통해서만 계산에 들어가기 때문에 나머지 증명은 영향을 받지 않는다. 그러나 이 문제는 β가 둔탁할 때만 발생하며, γ의 이등분자에 대한 삼각형을 반영하여 피할 수 있다.

그림 6을 참조하여, 반대편 a의 각도가 α인 경우, 다음 사항에 유의할 필요가 있다.

${\displaystyle \tan \cHB ={\frac {a\sin \cos \cos \cos \}}.}$

이것은 두 변과 포함된 각도가 주어졌을 때 두 번째 각도의 직접적인 계산에 유용하다.

프톨레마이오스의 정리 사용

도표를 참조하여, AB = c, BC = a, AC = b가 있는 삼각형 ABC는 그림과 같이 원형 안에 그려진다. Triangle ABD는 AD = BC, BD = AC로 삼각형 ABC에 맞추어 생성된다. D와 C의 직각은 각각 E와 F에서 베이스 AB를 만난다. 다음:

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&BF=AE=BC\cos {\b}=a\cos {\hat {B}\\\Rightarrow \&DC=EF-2BF=c-2a\cos {\hat {B}.\end{정렬}}}$

이제 코사인 법칙은 프톨레마이오스의 정리를 반복적인 4각형 ABCD에 직접 적용함으로써 제시된다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&AD\time BC+AB\time DC=AC\time BD\\\Rightarrow \&a^{2}+c(c-2a\cos{\b})=b^{2}\\\Rightarrow \\&a^{2}+C^{2}-2accos{\B}}}.\end{정렬}}}$

분명히 B 각도가 맞다면 ABCD는 직사각형이고 프톨레마이오스 정리의 적용은 피타고라스 정리를 산출한다.

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.\cHB }$

영역 비교

영역을 계산해 코사인의 법칙을 증명할 수도 있다. γ 각도가 둔해지면서 기호의 변화는 사례 구분을 필요로 한다.

그것을 상기하다.

• a², b² 및 c는² 각각 면 a, b 및 c가 있는 정사각형의 영역이다.
• γ이 급성인 경우, ab cos γ은 측면 a와 b가 γ′ = π/2 - γ의 각도를 형성하는 평행그램의 영역이다.
• γ이 둔탁하여, 따라서 cos γ이 음수인 경우, -ab cos γ은 측면 a와 b가 γ - = 2 - π/2의 각도를 형성하는 평행사변형의 영역이다.

급성 환자. 그림 7a는 코사인 법칙의 증거를 산출하기 위해 작은 조각으로 자른 헵타곤을 보여준다. 여러 가지 작품들은.

• 분홍색은 a, b는²² 왼쪽, 2ab cos는 오른쪽이다².
• 파란색, 왼쪽과 오른쪽의 ABC 삼각형,
• 회색, 보조 삼각형, 모두 ABC와 일치하며, 왼쪽과 오른쪽 모두 등수(이름 2)가 된다.

왼쪽과 오른쪽의 면적 평등이 주는 것이다.

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}}}=c^{2}+2ab\cos \cHB \,}$

둔탁한 경우. 그림 7b는 각 γ이 둔감한 경우에 코사인 법칙의 증거를 제시하면서 두 가지 다른 방법으로 육각형을 작은 조각으로 자른다. 우리는 가지고 있다.

• 분홍색 영역은 왼쪽에² a², b, 그리고 -2ab 영역이고 오른쪽에 c².
• 파란색으로, 왼쪽은 물론 오른쪽도 두 번 ABC 삼각형이다.

왼쪽과 오른쪽의 면적 평등이 주는 것이다.

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\csule )=c^{2}.}$

엄격한 증거에는 다양한 모양이 일치하고 따라서 동일한 면적을 가지고 있다는 증거가 포함되어야 할 것이다. 이것은 일치 삼각형 이론을 사용할 것이다.

원의 지오메트리 사용

원의 기하학을 이용하면 피타고라스 정리만을 사용하는 것보다 더 기하학적인 증거를 제시할 수 있다. 대수학적 조작(특히 이항정리)은 피한다.

급성 각도 γ의 경우, 여기서 a > 2b cos γ. A에서 a = BC로 수직선을 떨어뜨려 길이 b cos의 선 세그먼트를 만든다. 오른쪽 삼각형을 복제하여 등각 삼각형 ACP를 형성하십시오. 중심 A와 반지름 b, 접선 h = BH ~ B로 원을 생성한다. 접선 h는 반지름 b와 직각을 형성한다(유클리드 원소: 제3권, 발의안 제18호, 또는 여기서 보라) 따라서 그림 8의 노란색 삼각형이 옳다. 피타고라스의 정리를 적용하여 얻음

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$

그런 다음 접선 세컨트 정리(유클리드 원소: 제3권, 발의안 제36호)는 원 바깥의 B 지점을 통과하는 접선의 사각형은 원의 어떤 이등분자가 B를 통해 생성되는 (B로부터) 두 선 세그먼트의 산물과 동일하다고 말한다. 현재의 경우: BH² = BC·BP 또는

${\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \cos \cos \cos \cos )}$

이전 방정식으로 대체하면 코사인 법칙을 얻을 수 있다.

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \cos \cos \cos \cos \coses \}$

h는² 원에 대한 점 B의 힘이라는 점에 유의한다. 피타고라스 정리와 접선 세컨트 정리의 사용은 포인트 정리의 힘을 단 한 번의 적용으로 대체할 수 있다.

급성 각도 γ의 경우, 여기서 < 2b cos γ. A에서 a = BC로 수직선을 떨어뜨려 길이 b cos의 선 세그먼트를 만든다. 오른쪽 삼각형을 복제하여 등각 삼각형 ACP를 형성하십시오. 중심 A와 반지름 b, 그리고 C = AB에 수직인 B를 통과하는 현으로 원을 구성하며, 그 중 절반은 h = BH이다. 피타고라스의 정리를 적용하여 얻음

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$

이제 화음 정리(유클리드 원소: 제3권, 발의안 제35호)는 두 개의 화음이 교차할 경우, 한 화음에 얻은 두 선 부분의 산물은 다른 화음에 얻은 두 개의 선 부분의 산물과 동일하다고 말한다. 현재의 경우: BH² = BC·BP 또는

${\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \cos \cos -a).}$

이전 방정식으로 대체하면 코사인 법칙을 얻을 수 있다.

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \cos \cos -a)\,}$

원에 대한 점 B의 검정력은 음의 값 -h를² 가지고 있다는 점에 유의한다.

둔각의 경우 γ. 이 증명은 접선이나 화음을 구성하여 얻은 보조 삼각형 없이 직접 점 정리의 힘을 사용한다. 중심 B와 반지름 a를 가진 원을 생성한다(그림 9 참조). 이 원은 C와 K에서 A와 C를 통해 두 번째를 교차한다. 원에 대한 점 A의 힘은 AB² - BC와² AC/AK 둘 다와 같다. 그러므로

${\displaystyle {\board{aigned}c^{2}-a^{2}&}=b(b+2a\cos(\pi -\cos )\\&}=b(b-2a\cos \cos \cos \cos \cos \ined},\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

코사인 법칙이지

선 세그먼트에 대수적 측정을 사용하여(분절 길이로 음수를 허용) 둔각(CK > 0)과 급성각(CK < 0)의 경우를 동시에 처리할 수 있다.

씨네들의 법칙을 이용하여

시네스의 법칙을 사용하고 삼각형의 각도가 180도에 합해져야 한다는 것을 알음으로써, 우리는 다음과 같은 방정식 체계를 갖추게 된다(미지의 세 가지가 각이다).

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \sin \}}}={\frac {b}{\sin \sin \},}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \sin \}}}={\frac {a}{\sin \sin \},}$

$\displaystyle \cHB +\pi +\pi =\pi.}$

그런 다음 세 번째 방정식을 사용하여 다음과 같은 두 가지 변수에서 두 가지 방정식의 시스템을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \sin }}}={\frac {b}{\sin(\sin(\frac +\sin )}},}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \sin \}}}={\frac {a}{\sin \sin \},}$

여기서 우리는 보조 각도의 사인(sign)이 각도의 사인(sign)과 같다는 삼각계 특성을 사용했다.

ID 사용(각도 합계 및 차이 ID 참조)

$\displaystyle \sin(\cHB +\cHB )=\sin \cos \coses \cos \cos \cos \cos \cos \cos$

로 이어지다.

${\displaystyle c(\sin \cosin \coses \coses +\sin \cos \cos \coses )=b\sin \csin \$

$\displaystyle c\sin \cHB =a\sin \cHB.}$

전체 시스템을 cos γ으로 나누면 다음과 같다.

${\displaystyle c(\sin \cHB +\tan \cHB \cHB \cHB )=b\tan \cHB ,}$

${\displaystyle {\frac {c\sin \c\sin \}{\cos \}}}=a\tan \cHB,}$

${\displaystyle {\frac {c^{2}\sin ^{2}\csin }{\coses ^{2}\cs }}}}}}=a^{2}\tan ^{2}\caps.}$

따라서, 시스템의 첫 번째 방정식으로부터 우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {c\sin \c\sin \}{b-c\coses \}}}}}}{b-c\c\cos \}}}}}}}$

이 식을 두 번째 방정식으로 대체하고 다음을 사용하여

${\displaystyle1+\tan ^{2}\gamma ={\frac{1}{\cos ^{2}\gamma}}}.$

우리는 하나의 변수로:한 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle c^{2}\sin ^{2}\alpha \left[1+{\frac{c^{2}\sin^{2}\alpha}{(b-c\cos \alpha)^{2}}}\right]=a^{2}\cdot{\frac{{2c^}\sin ^{2}\alpha}{(b-c\cos \alpha)^{2}}}}.$

(b− ccos α)2에 의해 곱함으로써, 우리는:아래 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle(b-c\cos \alpha)^{2}+c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}.}$

이 의미를 내포하고

${\displaystyle b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}^{2}\alpha +c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}\cos.}$

는 피타 고라스 정체성을 되새기면서, 우리가:코사인의 법칙을 배운다.

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha.}$

벡터 사용

Denote

${\displaystyle{\overrightarrow{CB}}={\vec{}},\{\overrightarrow{CA}}={\vec{b}},\{\overrightarrow{AB형입니다}}={\vec{c}}}.$

그러므로

${\displaystyle{\vec{c}}={\vec{}}-{\vec{b}}}.$

그 자체로:각 면의 점 제품을 다니고 있엉.

${\displaystyle{\vec{c}}\cdot{\vec{c}}=({\vec{}}-{\vec{b}})\cdot({\vec{}}-{\vec{b}})}.$

${\displaystyle \Vert{\vec{c}}\Vert ^{2}=\Vert{\vec{}}\Vert ^{2}+\Vert{\vec{b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec{}}\cdot{\vec{b}}}.$

정체(스칼라곱 보)이 사용됩니다.

${\displaystyle{\vec{너}}\cdot{\vec{v}}=\Vert{\vec{너}}\Vert\,\Vert{\vec{v}}\Vert\cos \angle({\vec{너}},\{\vec{v}})}.$

로 이어지다.

${\displaystyle \Vert{\vec{c}}\Vert ^{2}=\Vert{\vec{}}\Vert ^{2}+{\Vert{\vec{b}}\Vert}^{2}-2\,\Vert{\vec{}}\Vert\!\;\Vert{\vec{b}}\Vert\cos \angle({\vec{}},\{\vec{b}})}.$

그 결과 따른다.

이소셀레스 케이스

그 양측과 삼각 지대는 2등변의 a=b, 즉 각도 γ 동일한 incident, 코사인의 법칙 간단하게 크게. 즉, 때문에 a2+b2=2a2=2ab, 코사인의 법칙이 된다.

${\displaystyle\cos \gamma =1-{\frac{{c^ 2}}{2a^{2}}}}.$

또는

${\displaystyle c^{2}(1-\cos \gamma).}$

테트라헤드라의 아날로그

유사한 진술은 α, β, β, Δ를 사면체의 네 면의 영역으로 취함으로써 시작된다. $\beta {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\gamma }}$ ^ $^$ {\$displaystyle {\widehat {\\beta \gamma}}$ 등으로$$ 디헤드 각도를 나타낸다. 그러면^[6]

${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left[\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right].}$

작은 각도에 적합한 버전

각도인 γ이 작고 인접한 면인 a와 b가 길이가 비슷할 때 코사인 법칙의 표준형식의 오른손은 유의성의 수치적 상실에 대한 정확도가 많이 떨어질 수 있다. 이것이 중요한 관심사인 상황에서, 해버신 공식과 유사한 코사인 법칙의 수학적으로 동등한 버전이 유용하다는 것을 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\bulight}c^{2}+4ab\=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\frac\{2}}\\}\&=(a-b)^{2}+4ab\liamentname {haversin}(\capsin}).\end{정렬}}}$

최소각의 한계에서 코사인 법칙은 원형 호 길이 공식인 c = a γ으로 변질된다.

구형 및 쌍곡 기하학에서

유클리드 평면에 대한 코사인 법칙과 유사한 버전도 단위 구와 쌍곡면에 고정되어 있다. 구면 기하학에서 삼각형은 단위 구체에 있는 u, v, w의 세 점, 그리고 그 점들을 연결하는 원호의 호로 정의된다. 만약 이러한 원들이 반대편인 a, b, c로 A, B, C 각도를 만든다면, 코사인의 구형 법칙은 다음 두 가지 관계가 모두 유지된다고 주장한다.

$Cos a&=\cos a&=\cos b+\sin b\cosa A\\cosa A&=-\cosa B+\sin B\sin C\cosa a.\end{정렬}}}$

쌍곡선 기하학에서 한 쌍의 방정식은 코사인 쌍곡선 법칙으로 통칭된다. 첫째는

$\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cosa A}$

여기서 sinh와 cosh는 쌍곡 사인 및 코사인이고, 두 번째는

$\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}$

유클리드 기하학에서와 같이 코사인의 법칙을 이용하여 면 a, b, c의 지식으로부터 각 A, B, C를 결정할 수 있다. 유클리드 기하학과 대조적으로, 역방향은 A, B, C 각도가 면 a, b, c를 결정한다는 두 비유클리드 모델 모두에서 가능하다.

일정한 곡률의 표면에 대한 통일 공식

${\displaystyle {Cos}_{}}$ R ${\$${R}$ 및 ${\displaystyle {sin}_{}}$ R$${\$displaystyle \sin _${R$}$ 두 함수를 다음으로 정의$$

${\displaystyle \cos _{R}(x)=\cos(x/R)\quad }$ and ${\displaystyle \quad \sin _{R}(x)=R\cdot \sin(x/R)}$

평면, 구체 및 유사권에 대한 공식을 다음과 같이 통일할 수 있다.

${\displaystyle \cos _{R}(BC)=\cos _{R}(AB)\cdot \cos_{R}(AC)+{1}{R^{2}}}\sin_{R}(AB)\cdot \cos({\hat {BAC}).}$

이 $표기법$에서 R ${\displaystyle R}$은 복잡한 숫자로 표면의 곡률 반경을 나타낸다.

• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$의 경우 표면은$$ $반경{\displaystyle \mathrm{}}$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 구이며$,$ 그 일정한 곡률은 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle R{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1/R^{2};}$이다.

• for ${\displaystyle R=iR'\colon R'\in \mathbb {R} }$ the surface is a pseudosphere of (imaginary) radius ${\displaystyle R,}$ with constant curvature equal to ${\displaystyle 1/R^{2}=-1/R'^{2};}$

• $R{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle R\to \inflt$}:$$ 표면은 일정한 0 곡률을 갖는 유클리드 평면을 형성한다.

비유클리드 기하학 공식 확인

처음 두 경우에서 ${\displaystyle {Cos}_{}}$ R ${\$과 ${\displaystyle {\sin }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$은(는) 모든 $R{\displaystyle }$≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R\neq 0$에 대해 전체 복잡한 평면에 걸쳐 잘 정의되며$$ 이전 결과를 검색하는 것은 간단하다.

따라서 반경 $1$의 구에 대해 ${\displaystyle 1}$

$displaystyle \cos(BC)$$=\cos(AB)\cdot \cos(AC)+\sin().$$AB)\cdot \sin(AC)\cdot \cos({\widehat{$BAC$}}}}}$.

마찬가지로 반경 $i$의 유사권에 $대해서$도 {\$displaystyle$ i$}$

${\displaystyle \cosh(BC)=\cosh(AB)\cdot \cosh(AC)-\sinh(AB)\cdot \cos({\widehat{BAC}}).}$

${\displaystyle \mathrm{실제로}}$ ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$/ i${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cosh(x)=\cos(x/$${\displaystyle i}$$)}$과 ${\displaystyle \sinh }$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= i${\displaystyle i}$ sin ${\displaystyle \sin (}$ ${\displaystyle x}$/ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \sinh(x)=i\cdot \sin(x/i)$$}$

유클리드 기하학의 한계에서 공식 확인

유클리드 평면에서 위의 방정식에 대한 적절한 한계를 계산해야 한다.

${\displaystyle \cos \cos(x/R)=1-{{{{1}{1}{1}{1}{1}{1}}\cdot {\frac{x^{2}}}}+{R^{1}}}}왼쪽({\frac {1}{4}}}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle {\sin }_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$/ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle o}$( 1 ${\displaystyle \frac{{R\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\$

이를 유한 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 일반 공식에 적용하면 다음과 같은 결과가$$ 나온다.

${\displaystyle {\begin{aigned}1-{\frac {BC^{2}}{2}R^{2}}:}+\왼쪽[{\frac {1}{R^{4}}\오른쪽]={}&\왼쪽[1-{\frac{AB^{2}}:{2}}R^{2}}:}+\왼쪽({\frac {1}{R^{4}}\오른쪽)\cdot \left[1-{\frac{AC^{2}}:{2}R^{2}}:}+\왼쪽({\frac {1}{R^{4}}\오른쪽)\오른쪽]+\\[5pt]&{}+{\frac {1}{R^{2}}\왼쪽[]AB+o\left({\frac {1}{R^{3}}\오른쪽)\오른쪽]\cdot \left[왼쪽]AC+o\왼쪽({\frac {1}{R^{3}}\오른쪽)\오른쪽]\cdot \cos({\widehat{BAC}}}\end{arged}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{항}}$을 ${\displaystyle {수집}^{}}$하여${\displaystyle {}^{}}$2 R 2, {\$displaystyle$ -2R$^{2$}}과(와) 곱하고 $R$ →$【\displaystyle R\to \infty }}$을(를) 취하면 다음과 같은 공식이 예상된다$$.

${\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos({\widehat{BAC}}).}$

참고 항목

• 반쪽 공식
• 시인의 법칙
• 접선의 법칙
• 코탄젠트의 법칙
• 삼각형 정체성 목록
• 몰웨이드의 공식
• 삼각형 해법
• 삼각측량

참조

외부 링크

• "Cosine theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 코사인 법칙의 여러 파생어로, 유클리드(유클리드)가 바로 그 자리에 있었다.
• 코사인법 인터랙티브 애플릿