실제 폐쇄 필드

수학에서, 실제 닫힌 필드는 실수의 장과 같은 1차 특성을 가진 필드 F입니다.몇 가지 예로는 실수의 장, 실수의 장, 초실수의 장이 있다.

정의들

실제 닫힌 필드는 다음 중 하나의 조건이 해당하는 필드 F입니다.

F는 기본적으로 실수와 같다.즉, 1차 속성은 Reals와 동일합니다.필드의 1차 언어의 모든 문장은 Reals에서 참일 경우에만 F에서 참입니다.
이 순서에서 F의 모든 양의 원소는 F에 제곱근을 가지며 F에 계수가 있는 홀수 차수의 다항식은 F에 적어도 하나 이상의 루트를 가지도록 F에 대한 전체 순서가 있다.
F는 F에 계수를 갖는 홀수도의 모든 다항식이 F에 적어도 하나의 근을 가지며, F의 모든 요소 a에 대해 f에 b가 있으므로² a = b 또는² a = -b가 된다.
F는 대수적으로 닫히지 않지만, 그 대수적 닫힘은 유한한 확장이다.
F는 대수적으로 닫히지 않지만 필드 $F({\sqrt {-1}}\,)$ F $)$ { $displaystyle$ F $({\sqrt$ {- $1}}})$ 는 $F({\sqrt {-1}}\,)$ 대수적으로 닫힙니다.
F에 대한 순서는 F의 적절한 대수적 확장에 대한 순서까지 확장되지 않는다.
F는 형식적으로 실재하는 필드이므로 F의 적절한 대수적 확장은 형식적으로 실재하는 것이 아니다(즉, 그 필드는 형식적으로 실재하는 특성에 관해 대수적 닫힘에서 최대이다).
F에는 순서가 매겨져 있으며, 이 순서에서는 중간값 정리가 θ 0인 F 이상의 모든 다항식에 대해 유지된다.
F는 약하게 o-minimum 순서로 정렬된 ^[1]필드입니다.

만약 F된 순서 있는 현장 Artin–Schreier 정리 F대수 확대라고 불리는이라고 말한다 F의 지정된 F일 주문의 순서는 신전이고 독특하다 그렇다고 K는 실제 폐쇄된 필드는 실제 폐쇄 K, F[2]에 들판과 똑같은 독특한 동형 이성(노트 실제 폐쇄된 절개는 모든 반지 불완전 변태까지.가 어떻게 되x if y if 및 zz : y = x + z²)인 경우에만, automatically는 순서를 보존합니다.예를 들어, 유리수의 순서 필드의 실제 닫힘은 실수의 필드 $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ a $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ \ $displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg}}$ 이다 ${\mathbb {R}}_{{\mathrm {alg}}}$ .이 정리는 1926년에 그것을 증명한 에밀 아르틴과 오토 슈라이어의 이름을 따서 명명되었다.

(F, P)가 순서 필드이고 E가 F의 갈로아 확장자일 경우, Zorn의 Lema에 의해 M이 F를 포함한 E의 서브 필드 및 M 확장자 P의 순서가 있는 최대 순서 필드 확장자(M, Q)가 있습니다.이 M은 그 순서 Q와 함께 E에서 (F, P)의 상대 실폐쇄라고 불립니다.M이 단지 F일 경우 E에 대해 (F, P)를 real closed라고 부릅니다.E가 F의 대수적 폐색일 때,^[3] E에서 F의 상대적인 실제 폐색은 앞에서 설명한 F의 실제 폐색이다.

F가 필드인 경우(필드 조작과 호환되는 순서는 가정되지 않으며 F가 주문 가능하다고 가정되지 않음) F는 더 이상 필드가 아닌 실제 닫힌 링을 가질 수 있습니다.예를 들어 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ Q ( $){$ $displaystyle \mathbb {Q}(\sqrt$ {2 $}})$ 의 실제 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 닫힘은 링 $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ g $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ × $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ l {\ $display$ style $\mathbb {R} _{\mathb {alg}$ $}$ \!\times \ $mathb {R})$ 의 두 복사본에 대응합니다. $rt {2}}}}$ 입니다. $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 한편 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ Q ( $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ) ( \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { Q } ( \ $sqrt {$ } )이 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ R { $\mathbb {R}$ \ $displaystyle$ $\ mathbb$ ${ R$ $\mathbb {R}$ 의 순서부필드로 간주되는 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ , 그 실제 닫힘은 다시 $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ R a $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ \ $displaystyle$ \ mathbbb { $R$ _ { R } _ {\ $mathrm {g$ }입니다 $.$

결정성 및 정량화 제거

실제 닫힌 ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ L $(\$ 언어에는 덧셈 및 곱셈 연산 기호, 상수 0 및 1 및 순서 관계θ(논리 기호로 간주되지 않는 경우 등)가 포함됩니다.이 언어에서 실제 닫힌 필드의 (1차) ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 인 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ ${$ 는 다음과 같이 구성됩니다.

순서 필드의 공리
모든 양수가 제곱근을 갖는다는 공리
$모든$ 홀수 $d$ $\$ $displaystyle$ d $d$ $displaystyle$ d의 $d$ 모든 다항식이 하나 이상의 루트를 갖는다는 공리입니다.

위의 모든 공리는 1차 로직으로 표현할 수 있습니다(즉, 필드의 요소에 대해서만 정량화 범위).

Tarski는 1931년 $TRCF가$ 완전하다는 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 을 c.증명했다.즉, ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ { $displaystyle {L}_$ ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ 에 ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ 대해 위의 공리로부터 참인지 거짓인지를 증명할 수 있다.또한 $($ style $\display\mathcal {T$ }_ ${\$ text ${rcf$ }})는 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 판정할 수 있으며, 이는 이러한 ^{[citation needed]}문장의 진위를 판별하는 알고리즘이 있음을 의미한다.

타르스키-세이덴버그 정리는 이 결과를 결정 가능한 정량자 제거로 확장한다.즉, 자유변수를 포함할 수 있는 ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ 의 LRCF $(\$ 공식에 ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ 대해 동일한 자유변수에서 동일한 양의 양자가 없는 공식을 생성하는 알고리즘이 있습니다. 여기서 등가란 두 공식은 변수의 동일한 값에 대해 참임을 의미합니다.타르스키-세이덴버그 정리는 자유 변수가 없는 무양자 공식이 참인지 거짓인지 쉽게 확인할 수 있기 때문에 소멸 가능성 정리의 연장선이다.

이 정리는 다음 투영 정리로 확장될 수 있다.R이 실제 닫힌 필드인 $경우$ n개의 자유 변수가 $있는$ 공식은 공식을 충족하는 점 집합인 R의 $하위 n$ 집합을 정의합니다.이러한 부분 집합을 반대칭 집합이라고 합니다.k개의 $변수$ 의 부분 집합이 주어졌을 때, $R$ 에서ⁿ $R$ 로의^k 투영법은 모든 n개의 태플을 변수의 부분 집합에 해당하는 성분의 k개의 태플에 매핑하는 함수이다.투영정리는 반대격 집합의 투영이 반대격 집합이며 반대격 집합을 정의하는 무양자 공식이 주어진다면 그 투영을 위한 무양자 공식을 생성하는 알고리즘이 있다고 주장한다.

사실, 투영 정리는 양자화 제거와 동등하다. 공식 $p (x,$ $y)$ 에 의해 정의된 반대칭 집합의 투영법은 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle(\exists x)P(x,y),}

$여기$ 서 $x$ 와 y는 각각 제거된 변수 집합과 보관된 변수 집합을 나타냅니다.

실수의 1차 이론의 결정 가능성은 고려되는 원시 연산과 함수에 의해 극적으로 좌우된다(여기서 덧셈과 곱셈).사인함수나 지수함수와 같은 다른 함수기호를 더하는 것은 결정 불가능한 이론을 제공할 수 있다. 리처드슨의 정리와 실수의 1차 이론의 결정 가능성 참조.

${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 의 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 복잡성( $style {mathcal {T}}_{\text{rcf}})$

정량자 제거를 위한 타르스키의 원래 알고리즘은 보조적인 계산 복잡성이 없으며, 이는 타워가 없다는 것을 의미한다.

(\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}})

는 n이 입력식의 $크기$ 일 경우 알고리즘 실행 시간을 제한할 수 있습니다.조지 E. 콜린스에 의해 도입된 원통형 대수 분해는 훨씬 더 실용적인 복잡성 알고리즘을 제공한다.

d^{2^{O(n)}}

$여기$ 서 n은 변수(자유 및 한계)의 총수이고, d는 공식에서 발생하는 다항식 차수의 $곱$ 이며 $,$ O $($ n)는 큰 O 표기법입니다.

대븐포트, Heintz(1988년)가 어떤quantifier-free 공식 Φn에 해당하는 정도의 다항식 22Ω(n){\d이 수반되어야 한다 이 최악의 경우 복잡성 거의 정량자가 영향을 제거를 위해, nquantifiers과, 끊임 없는 정도의 다항식과 관련한 길이 O(n)공식의 가족은 Φn를 생산하여 최적의 것을 입증했다.는 $playstyle$ 2 $^{2$ Omega( $n)}}$ 및 $2^{2^{\Omega (n)}}$ $){$ 2 $^{2^{\$ Omega $(n$ 여기서 $n)\$ displaystyle $\Omega(n)}$ 는 $\Omega (n)$ 큰 δ 표기법입니다.이것은 양자화 제거의 시간 복잡도와 공간 복잡도 모두 본질적으로 이중 지수라는 것을 보여준다.

결정 문제에 대해, Ben-Or, Kozen 및 Reif(1986)는 실제 닫힌 장 이론이 지수 공간에서 결정 가능하고 따라서 이중 지수 시간 내에 결정 가능하다는 것을 증명했다고 주장했지만, 일반적으로 그들의 주장(여러 변수의 경우)은 결함이 있는 것으로 간주된다. 논의는 르네가(1992)를 참조하라.

순수하게 존재하는 공식의 경우, 그것은 형식의 공식에 대한 것이다.

x 1, ..., x k 1 P 1 (x k, ..., x) 0 0 ... ... ... P s 1 (x k, ..., x) 0 0,

여기서 $⋈$ 는 $<,$ > 또는 $=$ 를 나타냅니다. 복잡도는 더 낮습니다.Basu와 Roy(1996)는 sd 산술 연산과 다항식 공간의 $복잡성$ 과^{k +1}^O(k) 함께 그러한 실존 공식의 진위를 결정하기 위한 잘 동작된 알고리즘을 제공했다.

주문 속성

실수의 결정적으로 중요한 속성은 그것이 아르키메데스 장이라는 것이고, 그것은 어떤 실수에 대해서도 절대값보다 큰 정수가 있다는 아르키메데스 장이라는 것을 의미합니다.모든 실수에 대해 더 큰 정수와 더 작은 정수가 있다는 것과 동등한 진술입니다.아르키메데스가 아닌 실제 닫힌 필드는 아르키메데스가 아닌 순서 필드입니다.예를 들어, 초실수의 모든 필드는 실제 닫힘이며 비아르키메데스어입니다.

아르키메데스의 특성은 공결성의 개념과 관련이 있다.순서 집합 F에 포함되는 집합 X는, F의 각 y에 대해서, X의 x가 y<x가 되는 경우, F의 무한 계열이다.F의 공결성은 가장 작은 공결 집합의 카디널리티, 즉 무한 시퀀스를 제공하는 가장 작은 카디널리티의 크기입니다.예를 들어, 자연수는 실수의 cofinality이므로 실수의 cofinality는 0 $(\$ _ ${0$ 입니다.

따라서 실제 닫힌 필드 F의 성질을 정의하는 다음과 같은 불변량이 있습니다.

F의 카디널리티
F의 공동성.

여기에 추가할 수 있습니다.

F의 무게. F의 밀도 서브셋의 최소 크기입니다.

이 세 가지 기수는 실제 닫힌 필드의 순서 특성에 대해 많은 것을 알려준다. 비록 그것이 무엇인지 발견하는 것은 어려울 수 있지만, 특히 우리가 일반화 연속체 가설을 제기하고 싶지 않다면 말이다.또한 다음 속성을 보유할 수도 있고 보유하지 않을 수도 있습니다.

F가 K에 밀집하도록 F를 적절히 포함하는 순서 필드 K가 없으면 필드 F가 완성된다.F의 공결성이 θ이면 θ에 의해 지수화된 코시 시퀀스가 F에서 수렴한다고 하는 것과 같다.
만약 어떤 두개의 하위 집합을 L및 UF의 카디널리티의ℵ α{\displaystyle \aleph_{\alpha}보다}덜 한 순서체 F라는 번호 순서 α, 에타 집합 속성 ηα고 있어 그런 모든 요소의 L은 모든 요소의 U, 요소 xF과 x더 큰 이상은 요소의 L과 이상 모든 요소의 미국 T.h는 포화 모델이라는 모델 이론 속성과 밀접하게 관련되어 있습니다.두 개의 실제 닫힌 필드는 $\aleph _{\alpha }$ \ $alph$ _{\alph $\aleph _{\alpha }$ }})인 경우에만 α(\displaystyle \ $alph$ _{\alph $\aleph _{\alpha }$ }})이고, 나아가 두 개의 실제_α 닫힌 필드 모두 카디널리티 $(\$ _ ${\alph$ }})인 $\aleph _{\alpha }$ $\aleph _{\alpha }$ 경우 모두 순서입니다.

일반화 연속체 가설

만약 우리가 일반화 연속체 가설을 기꺼이 가정한다면, 실제 닫힌 필드의 특성은 훨씬 더 간단해진다.연속체 가설이 성립하면 연속체의 카디널리티를 가지며 θ₁ 특성을 갖는 모든 실제 닫힌 필드는 순서 동형이다. $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ 고유한 필드 δ는 R $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ / M $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ \ $style \mathbb {R}$ ^{\ $mathbb {N}/\mathbf {M}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ 로 정의될 수 있습니다. 여기서 M은 R $\$ style \ $mathbb {R$ 에 동형 필드 순서가 되지 않는 최대 이상입니다. 가장 일반적인 값은 다음과 같습니다 $.$ 고유성은 연속체 가설과 동등하다.(연속체 가설이 없어도 연속체의 카디널리티가 $(\$ _ ${\beta$ }})일 $\aleph _{\beta }$ 경우 고유한 크기의_β β_β 필드가 있다.)

게다가, 우리는Ϝ를 건설하기 위해 우리는 더 건설적으로 시리즈의 R[[G]분야의 조금의 합성 가산과 함께로서로 그렇게 많이 할 수 있는]{\displaystyle \mathbb{R}[[G]해결}는 완전히 명령을 받abelian하게 나눌 그룹 G카디널리티 ℵ 1{\di의η1 그룹에 대한 공식 멱급수의 ultrapowers 필요로 하지 않습니다.s $playstyle \alph$ _ ${1$ } $\aleph _{1}$ (Alling 1962).

그러나 is는 완전한 필드가 아닙니다.이 필드를 완료하면 더 큰 카디널리티의 필드 κ가 됩니다.ϝ는 연속체의 카디널리티를 가지며 가설상 $\aleph _{1}$ 1}), κ는 $\aleph _{2}$ 2})로 치밀 서브필드로서 ϝ를 포함한다.초소형 전력은 아니지만 초실제 필드이므로 비표준 분석의 용도에 적합한 필드입니다.이는 실수의 고차원적 아날로그로 볼 수 $\aleph _{1}$ . 카디널리티 $({$ 1 $\aleph _{1}$ 이 $\aleph _{2}$ 아닌 $2(\$ displaystyle\ $alph_{$ 2}), 코피널리티 $\aleph _{1}$ $(\$ $displaystyle\$ $alph_{1$ })이 $\aleph _{1}$ 아닌 1 $(\$ $displaystyle$ $\$ alph_0 $\aleph _{0}$ 이 됩니다. $(\$ _ ${0$ 대신 _ ${1$ }) 속성을 $\aleph _{1}$ "" 속성₀ 대신 "" 속성을₁ 사용합니다(즉, 단순히 두 개의 실수 사이에 다른 숫자를 찾을 수 있습니다).

실제 닫힌 필드의 예

실수
계산 가능한 수
정의 가능한 수
실수
초실수
초실수
실계수를 갖는 푸이서 급수
초현실적인 숫자

메모들

^ D. 맥퍼슨 외 연구진(1998)
^ 라지와드(1993) 페이지 222~223
^ Efrat (2006) 페이지 177

레퍼런스

Alling, Norman L. (1962), "On the existence of real-closed fields that are η_α-sets of power ℵ_α.", Trans. Amer. Math. Soc., 103: 341–352, doi:10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X, MR 0146089
Basu, Saugata, Richard Pollock, Marie-Franczoise Roy(2003) 수학 알고리즘과 계산.스프링거.ISBN 3-540-33098-4(온라인 버전)
Michael Ben-Or, Dexter Kozen 및 John Reif, 초등 대수학과 기하학의 복잡성, Journal of Computer and Systems Sciences 32(1986), 제2호, 페이지 251–264.
Caviness, B F 및 Jeremy R. Johnson, ed. (1998) 정량화 제거 및 원통형 대수 분해.스프링거.ISBN 3-211-82794-3
천중창과 하워드 제롬 케이슬러(1989) 모델론.노스홀랜드.
데일스, H.G., W. 휴 우딘(1996) 슈퍼 리얼 필드.옥스퍼드 대학교누르다.
Davenport, James H.; Heintz, Joos (1988). "Real quantifier elimination is doubly exponential". J. Symb. Comput. 5 (1–2): 29–35. doi:10.1016/s0747-7171(88)80004-x. Zbl 0663.03015.
Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
맥퍼슨, D., 마커, D. 및 스타인혼, C., 약소 O-미니멀 구조와 실제 닫힌 필드, 미국 수학의 트랜스.1998년 제352권 제12호
이산 및 계산 기하학 핸드북의 Mishra, Bhubaneswar(1997) "계산 실수 대수 기하학"CRC 프레스2004년판, 페이지 743ISBN 1-58488-301-4
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Renegar, James (1992). "On the computational complexity and geometry of the first-order theory of the reals. Part I: Introduction. Preliminaries. The geometry of semi-algebraic sets. The decision problem for the existential theory of the reals". Journal of Symbolic Computation. 13 (3): 255–299. doi:10.1016/S0747-7171(10)80003-3.
Passmore, Grant (2011). Combined Decision Procedures for Nonlinear Arithmetics, Real and Complex (PDF) (PhD). University of Edinburgh.
Alfred Tarski(1951) 초등대수와 기하학의 결정방법.캘리포니아 대학 출판부
Erdös, P.; Gillman, L.; Henriksen, M. (1955), "An isomorphism theorem for real-closed fields", Ann. of Math., 2, 61 (3): 542–554, doi:10.2307/1969812, JSTOR 1969812, MR 0069161

외부 링크

[1] D. 맥퍼슨 외 연구진(1998)

[2] 라지와드(1993) 페이지 222~223

[Efr177-3] Efrat (2006) 페이지 177

[1]

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목차

정의들

결정성 및 정량화 제거

${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 의 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 복잡성( $style {mathcal {T}}_{\text{rcf}})$

주문 속성

일반화 연속체 가설

실제 닫힌 필드의 예

메모들

레퍼런스

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${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 의 ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ 복잡성( $style {mathcal {T}}_{\text{rcf}})$