기하학의 기초

기하학의 기초는 공리학적 체계로서 기하학을 연구하는 것이다. 유클리드 기하학 또는 비유클리드 기하학을 발생시키는 몇 가지 공리가 있다. 이것들은 연구의 기본이고 역사적 중요성이지만, 유클리드인이 아닌 현대 기하학들이 이 관점에서 연구될 수 있는 매우 많다. 자명 기하학이라는 용어는 공리 체계에서 발전된 어떤 기하학에도 적용될 수 있지만, 이런 관점에서 연구된 유클리드 기하학을 의미하는 데 자주 사용된다. 일반적인 자명체계의 완전성과 독립성은 중요한 수학적인 고려사항이지만, 또한 작용하게 되는 기하학의 가르침과 관련된 문제도 있다.

자명계

고대 그리스 방법을 바탕으로 한 자명체계는 고정된 일련의 가정으로부터 흐르는 수학적인 진리를 확립하는 방법에 대한 공식적인 설명이다. 수학의 어떤 영역에도 적용 가능하지만, 기하학은 이 방법이 가장 광범위하게 적용되었던 초등 수학의 한 분야다.^[1]

자명한 시스템에는 몇 가지 요소가 있다.^[2]

1. 원시적(정의되지 않은 용어)은 가장 기본적인 생각이다. 전형적으로 그것들은 물건과 관계를 포함한다. 기하학에서 물체는 점, 선, 평면과 같은 것이고, 근본적인 관계는 한 물체가 다른 물체와 만나거나 결합하는 것이다. 용어 자체는 정의되지 않았다. 힐버트는 포인트, 라인, 비행기 대신 테이블, 의자, 맥주 머그잔에 대해 말하는 것이 나을지도 모른다고 말한 적이 있다.^[3] 그의 요점은 원시적인 용어는 빈 껍데기에 불과하고, 원한다면 홀더(place holder)이며, 본질적인 성질은 없다는 것이다.
2. 공리(또는 가정체)는 이러한 원시성에 대한 진술이다. 예를 들어, 어떤 두 지점도 하나의 선(즉, 어떤 두 지점의 경우 그 두 점을 통과하는 선만 하나)으로 함께 사건한다. 공리는 사실로 가정되며, 입증되지 않는다. 그것들은 원형이 가지고 있는 성질을 명시하기 때문에 기하학적 개념의 구성 요소들이다.
3. 논리의 법칙.
4. 이론은^[4] 공리의 논리적 결과, 즉 연역논리의 법칙을 이용하여 공리에서 얻을 수 있는 진술이다.

자명체계의 해석은 그 체계의 원시성에 구체적인 의미를 부여하는 어떤 특정한 방법이다. 이 의미들의 연관성이 시스템의 공리를 참된 진술로 만든다면, 그 해석을 시스템의 모델이라고 부른다.^[5] 모델에서, 시스템의 모든 이론들은 자동적으로 참된 진술이다.

자명체계의 속성

자명 시스템을 논할 때 몇 가지 속성은 종종 다음과 같은 것에 초점을 맞춘다.^[6]

• 어떤 논리적인 모순도 그것들로부터 도출될 수 없다면, 자명체계의 공리는 일치한다고 한다. 가장 단순한 시스템을 제외하면 일관성은 자명적인 시스템에서 확립하기 어려운 속성이다. 한편, 공리계에 대한 모델이 존재한다면, 시스템에서 파생될 수 있는 어떤 모순도 모델에서 파생될 수 있으며, 공리계는 모델이 속한 어떤 시스템처럼 일관된다. 이 속성(모델을 갖는 것)을 상대적 일관성 또는 모델 일관성이라고 한다.
• 공리는 공리체계의 다른 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없다면 독립이라고 불린다. 공리체계는 각각의 공리가 독립적이면 독립적이라고 한다. 만약 참된 진술이 자명적인 시스템의 논리적 결과라면, 그것은 그 시스템의 모든 모델에서 참된 진술이 될 것이다. 공리가 시스템의 나머지 공리와 독립적이라는 것을 증명하기 위해서는 나머지 공리의 두 모델을 찾기에 충분하며, 공리는 한 가지에서 참된 진술이고 다른 하나는 거짓 진술이다. 교육학적 관점에서 독립이 항상 바람직한 재산은 아니다.
• 시스템 측면에서 표현 가능한 모든 진술이 입증가능하거나 입증 가능한 부정이 있는 경우 자명제를 완전체라고 한다. 이것을 진술하는 또 다른 방법은 그 시스템의 공리와 일치하는 완전한 자명체제에 어떠한 독립적 진술도 첨가될 수 없다는 것이다.
• 공리 시스템은 시스템의 두 가지 모델이 이형인 경우 범주형이다(본질적으로 시스템에 하나의 모델만 있다). 범주형 시스템은 반드시 완전하지만 완전성이 범주성을 의미하지는 않는다. 어떤 상황에서는 범주형 자명 시스템을 일반화할 수 없으므로 범주형 자명성이 바람직한 속성이 아니다. 예를 들어 집단 이론에 대한 자명체계의 가치는 그것이 범주적이지 않다는 것이므로 집단 이론에서 결과를 증명한다는 것은 그 결과가 집단 이론에 대한 모든 다른 모델에서 유효하다는 것을 의미하며, 그 결과는 각 비이형적 모델에서 비난할 필요가 없다.

유클리드 기하학

유클리드 기하학은 알렉산드리아 그리스 수학자 유클리드에게 기인된 수학 체계로, 그가 기하학: 원소 교과서에서 (현대 표준에 의해 비강력적으로) 기술했다. 유클리드의 방법은 직관적으로 호소력 있는 공리의 작은 집합을 가정하고, 이것들로부터 많은 다른 명제(이론)를 추론하는 데 있다. 비록 유클리드 결과의 많은 부분이 초기 수학자들에 의해 진술되었지만,^[7] 유클리드 는 이러한 명제가 어떻게 포괄적인 연역적이고 논리적인 시스템에 들어맞을 수 있는지를 처음으로 보여주었다.^[8] 원소들은 평면 기하학에서 시작되는데, 여전히 중학교에서 첫 번째 자명 체계와 공식적인 증명의 첫 번째 예로서 가르친다. 3차원의 견고한 기하학으로 이어진다. 대부분의 원소들은 기하학적 언어로 설명되는, 현재 대수 이론과 숫자 이론이라고 불리는 것의 결과를 명시하고 있다.^[7]

2천년 이상 동안 형용사 "유클리드"는 다른 종류의 기하학이 구상되지 않았기 때문에 불필요했다. 유클리드의 공리는 너무나 직관적으로 명백해 보였기 때문에(병행적 가설의 가능한 예외를 제외하고는) 그것들로부터 증명된 어떤 정리는 절대적이고 종종 형이상학적인 의미에서 진실된 것으로 여겨졌다. 그러나 오늘날에는 유클리드인이 아닌 다른 많은 기하학들이 알려져 있는데, 19세기 초에 처음으로 발견된 기하학이다.

유클리드 원소

유클리드 원소는 고대 그리스 수학자 유클리드(Eucleid's Elements)가 기원전 300년 알렉산드리아 c. 300년에 쓴 13권의 책으로 구성된 수학적이고 기하학적인 논문이다. 그것은 그 명제에 대한 정의, 추정(축소), 명제(이론 및 구성), 수학적 증거의 집합이다. 13권의 책은 유클리드 기하학과 고대 그리스판 초등수 이론을 다루고 있다. 오토리쿠스의 '움직이는 구면 위에서'를 제외하면, 원소는 현존하는 현존하는 그리스 수학적 논문 중 가장 오래된 것으로 수학에 대한 현존하는 가장 오래된 자명적 연역적 치료법이다.^[9] 그것은 논리와 현대 과학의 발전에 중요한 역할을 한다는 것이 입증되었다.

유클리드 원소는 지금까지 쓰여진 교과서 중 가장 성공적이고^[10][11] 영향력^[12] 있는 교과서로 언급되어 왔다. 1482년 베니스에서 처음 활자로 설정된 이 작품은 인쇄기의 발명 이후 인쇄된 가장 초기의 수학 작품 중 하나이며,^[12] 칼 벤자민 보이어에 의해 출판된 판본 수에서 성경에 버금가는 것으로 추정되었으며, 그 수는 1,000을 훨씬 넘었다.^[13] 모든 대학생들의 교육과정에 쿼드리비움이 포함되었던 수 세기 동안, 유클리드 원소의 최소한 일부에 대한 지식은 모든 학생들에게 요구되었다. 20세기가 되어서야 그 내용이 보편적으로 다른 학교 교과서를 통해 가르쳐지게 되었고, 그 무렵에야 교육받은 모든 사람들이 읽은 것으로 간주되었다.^[14]

원소들은 주로 기하학의 초기 지식을 체계화한 것이다. 초기 치료법에 대한 우월성이 인정된 것으로 추정되며, 그 결과 이전 치료법을 보존하는 데 관심이 거의 없었고, 현재는 거의 모두 상실되었다.

책 I-IV와 VI는 평면 기하학에 대해 논의한다. 예를 들어, 삼각형이 두 개의 동일한 각도를 갖는 경우 각도에 의해 소계된 면이 동일하다는 등 평면 형상에 대한 많은 결과가 입증된다. 피타고라스의 정리가 증명되었다.^[15]

책 V와 VII-X는 숫자 이론을 다루는데, 숫자들은 길이가 다양한 선분절로 표현되는 것을 통해 기하학적으로 취급된다. 소수, 합리적이고 비합리적인 숫자와 같은 개념이 도입된다. 소수정예의 부정이 증명되었다.

북스 XI-XIII는 솔리드 형상과 관련이 있다. 일반적인 결과는 원뿔의 부피와 높이와 받침대가 같은 실린더의 부피 사이의 1:3 비율이다.

원소의 첫 번째 책의 시작 부분 근처에, 유클리드에서는 평면 기하학에 대해 다음과 같이 (토머스 히스가 번역한 바와 같이) 건설 측면에서 언급된 다섯 개의 체형(축소)을 제공한다.^[16]

"다음 사항을 가정해 보십시오."

1. "어느 지점에서나 직선을 그린다."
2. "한정직선을 직선으로 연속적으로 [확장]하는 것이다."
3. "중앙과 거리[반경]가 있는 원을 묘사한다."
4. "그 모든 직각은 서로 평등하다."
5. 평행 가설: "즉, 두 직선에 떨어지는 직선이 같은 쪽의 내부 각도를 두 직각 이하로 만들면, 두 직선은 두 직각보다 적은 각도를 가진 그 쪽에서 만난다."

유클리드 목사의 설문은 이 건축물의 존재를 명시적으로 주장할 뿐이지만, 그들 역시 독특한 물체를 만들어내는 것으로 추측된다.

원소들의 성공은 주로 유클리드에게 이용 가능한 대부분의 수학적 지식을 논리적으로 제시했기 때문이다. 비록 많은 증거들이 아마도 그의 것이겠지만, 대부분의 자료들은 그에게 독창적이지 않다. 유클리드는 작은 공리 집합에서 깊은 결과에 이르기까지 주제에 대한 체계적인 전개와 원소 전반에 걸친 접근의 일관성은 약 2,000년 동안 교과서로써의 사용을 장려했다. 원소들은 여전히 현대 기하학 서적에 영향을 미친다. 게다가, 그것의 논리적인 자명한 접근법과 엄격한 증거는 수학의 초석으로 남아 있다.

유클리드 비평

수학적 엄격함의 기준은 유클리드(유클리드)가 원소를 쓴 이후 달라졌다.^[17] 자명적인 시스템에 대한 현대의 태도와 관점은 유클리드가 그 주제에 대한 접근에 있어서 어떤 식으로든 엉성하거나 부주의한 것으로 보이게 할 수 있지만, 이것은 아히스테리컬한 착각이다. 비유클리드 기하학의 도입에 대응하여 기초가 세심하게 검토되고 난 뒤에야 지금 우리가 결점이라고 여기는 것이 나타나기 시작했다. 수학자 겸 역사학자 W. W. Rouse Ball은 "2천년 동안 [원소]가 이 주제에 관한 통상적인 교과서였다는 사실은 그것이 그 목적에 적합하지 않다는 강한 추정을 불러일으킨다"^[18]고 말하면서 이러한 비판들을 관점으로 내세웠다.

유클리드 프리젠테이션의 주요 쟁점은 다음과 같다.

• 원초적 용어, 사물, 관념의 개념에 대한 인식의 부족은 공리적인 시스템의 개발에서 정의되지 않은 채로 남겨져야 한다.^[19]
• 이 방법에 대한 자명적인 정당성이 없는 일부 증명에서 중첩의 사용.^[20]
• 유클리드(유클리드)가 구성하는 일부 포인트와 라인의 존재를 입증하는 데 필요한 연속성 개념의 결여.^[20]
• 두 번째 가정에서는 직선이 무한인지 경계 없는지에 대한 명확성 결여.^[21]
• 중간 개념의 결여는, 무엇보다도 다양한 인물의 내외부를 구별하기 위해 사용된다.^[22]

유클리드가 <원소>에 수록된 공리 목록에는 전부가 아니라 가장 중요해 보이는 원리들을 대변하고 있었다. 그의 증거는 종종 그의 공리 목록에 원래 제시되지 않았던 공리적인 관념을 불러일으킨다.^[23] 그는 자신의 증거에 수반되는 도표에 의해 타당성이 정당화될 것으로 보이는 암묵적 가정을 이용하고 있기 때문에, 이것 때문에 그릇된 일을 저지르지 않고 잘못된 것을 하지 않는다. 후기 수학자들은 유클리드(유클리드)의 암묵적 자명적 가정을 형식적 공리 목록에 포함시켜 그 목록을 크게 확장시켰다.^[24]

예를 들어, 제1권 첫 번째 구성에서 유클리드는 가정하지도 증명하지도 않은 전제를 사용했는데, 그것은 반지름의 거리에 중심을 둔 두 개의 원이 두 점에서 교차한다는 것이다.^[25] 나중에, 네 번째 구조에서, 그는 만약 양면과 삼각형의 각도가 같다면, 그것들은 합치된다는 것을 증명하기 위해 중첩을 사용하였다. 이러한 고려 동안에 그는 중첩의 일부 특성을 사용하지만, 이러한 특성들은 논문에서 명시적으로 설명되지 않았다. 만약 중첩이 유효한 기하학적 증명 방법으로 간주된다면, 모든 기하학은 그러한 증명들로 가득 찰 것이다. 예를 들어, I.1에서 I.3까지의 명제는 중첩을 사용함으로써 사소한 것으로 증명될 수 있다.^[26]

유클리드 작품의 이러한 문제들을 다루기 위해, 후기 작가들은 유클리드 프리젠테이션에 있는 구멍들을 채우려고 시도했다. 이러한 시도들 중 가장 주목할 만한 것은 D 때문이다. Hilbert – 또는 G.D. Birkhoff가 했던 것처럼 다른 개념들을 중심으로 공리 체계를 구성하기 위함입니다.

파슈와 피아노

독일의 수학자 모리츠 파슈(1843~1930)는 유클리드 기하학을 확고한 자명적 토대 위에 올려놓는 임무를 가장 먼저 완수했다.^[27] 1882년에 출판된 그의 저서, Vorlesungen über neuere Geometrie에서 파슈는 현대 자명법의 기초를 닦았다. 그는 원시 개념의 개념을 창안하고 공리(Kernsetriffe)와 함께 어떠한 직관적인 영향으로부터 자유로운 형식적인 시스템을 구축한다. 파슈에 따르면 직관이 역할을 해야 하는 유일한 장소는 원시적 관념과 공리가 무엇이어야 하는가를 결정하는 데 있다고 한다. 따라서 파슈에게 포인트는 원시적인 개념이지만 선(직선)은 그렇지 않다. 왜냐하면 우리는 포인트에 대한 직관은 좋지만 아무도 무한한 선을 보거나 경험해 본 적이 없기 때문이다. 파슈가 그 자리에 사용하는 원초적인 개념은 선분할이다.

파쉬는 선상의 점 순서(또는 선 세그먼트의 균등하게 격납된 특성)가 유클리드 공리에 의해 적절하게 해결되지 않는다고 관찰하였다. 따라서, 두 선 세그먼트 격납 관계가 유지된다면 세 번째 것도 보유한다고 명시한 파쉬의 정리는 유클리드 공리에서 증명할 수 없다. 관련 파슈의 공리는 선과 삼각형의 교차특성에 관한 것이다.

기초에 대한 파슈의 연구는 기하학뿐만 아니라 수학의 넓은 맥락에서도 엄격함의 기준을 세웠다. 그의 획기적인 아이디어는 이제 하나의 기원자를 가졌다는 것을 기억하기 어려울 정도로 흔하다. 파슈의 연구는 많은 다른 수학자들, 특히 D에게 직접적인 영향을 주었다. 힐베르트와 이탈리아의 수학자 주세페 페아노 (1858–1932)이다. 피아노의 기하학에 관한 1889년 작품, 대체로 파슈의 논문들을 상징논리의 표기법(페아노가 발명한 것)으로 번역한 작품으로, 원초적인 개념의 점(point)과 중간(betess)을 사용한다.^[28] 페아노는 파슈가 요구한 원시적 관념과 공리의 선택에서 경험적 결속을 깨뜨린다. 페아노에게 있어서 전체 시스템은 어떤 경험적 입력으로부터도 분리되어 순수하게 형식적이다.^[29]

피에리와 이탈리아의 기하학파

이탈리아의 수학자 마리오 피에리(1860–1913)는 다른 접근법을 취했고, 점의 개념과 움직임의 개념, 두 가지 원초적 개념만이 존재하는 시스템을 고려했다.^[30] 파슈는 4개의 원시성을 사용했고 페아노는 이것을 3개로 줄였지만, 이 두 가지 접근법 모두 피에리가 자신의 움직임의 공식으로 대체한 어떤 중간 개념에 의존했다. 1905년 피에리는 실제 투영 기하학을 건설하는 것으로 시작하지 않은 복잡한 투영 기하학에 대한 최초의 자명적인 처리를 했다.

피에리는 페아노가 토리노에 모여 있던 이탈리아 기하학자와 논리학자 집단의 일원이었다. 이 조수들, 후배 동료들 등은 피아노의 논리적 상징성에 기초하여 기하학의 기초를 확고한 자명적 토대 위에 올려놓는 피아노의 논리-지오메트릭 프로그램을 수행하는데 전념하였다. 피에리 외에도 부랄리-포르티, 파도아와 파노가 이 그룹에 속해 있었다. 1900년 파리에서 두 차례의 국제회의가 연속적으로 열렸는데, 국제철학회의와 제2차 국제수학회의였다. 이 이탈리아 수학자들 집단은 그들의 자명한 의제를 밀고 나가면서 이들 의회에서 증거에 아주 많이 관여했다.^[31] 파도아는 데이비드 힐버트의 미해결 문제들에 대한 유명한 연설이 있은 후 질문 기간 동안, 피아노는 동료들이 힐버트의 두 번째 문제를 이미 해결했다고 말했다.

힐베르트의 공리

괴팅겐 대학에서는 1898~1899년 겨울 학기 동안 독일의 저명한 수학자 데이비드 힐버트(1862~1943)가 기하학의 기초에 대한 강의를 했다. 펠릭스 클라인의 요청에 따라 힐버트 교수는 1899년 여름 C.F. 기념비 헌납식에 맞춰 이 강좌에 대한 강의 노트를 작성해 달라는 요청을 받았다. 가우스와 빌헬름 베버는 대학에서 열릴 예정이다. 재배열된 강의는 1899년 6월에 Grundlagen der Geometrie(지오메트리 창립)라는 제목으로 출판되었다. 그 책의 영향은 즉각적이었다. Eves(1963, 페이지 384–5)에 따르면:

힐베르트는 유클리드 자신의 정신에서 너무 크게 벗어나지 않는 유클리드 기하학을 위한 가설 세트를 개발하고, 최소한의 상징성을 사용함으로써, 순수하게 저촉매적인 기하학의 유혹적 성질의 파슈와 페아노를 가진 것보다 훨씬 더 큰 범위에서 수학자들을 설득하는 데 성공했다. 그러나 힐베르트의 작품의 영향은 이것을 훨씬 뛰어넘어, 저자의 위대한 수학적인 권위를 뒷받침하여, 기하학 분야뿐만 아니라 본질적으로 수학의 다른 모든 분야에도 포스트ulation 방법을 확고히 이식했기 때문이다. 힐버트의 작은 책이 제공하는 수학의 기초발달에 대한 자극은 과대평가하기 어렵다. 파슈와 피아노의 작품들에 대한 이상한 상징성이 결여되어 있는 힐베르트의 작품은 고등학교 기하학의 지적 학생이라면 누구나 상당 부분 읽을 수 있다.

힐베르트가 여러 차례 변경·수정했기 때문에 그룬들라겐의 출판 이력을 참조하지 않고 힐베르트가 사용한 공리를 특정하기는 어렵다. 원작의 모노그래프는 순식간에 프랑스어 번역이 뒤따랐는데, 힐버트는 이 번역에서 V.2, 즉 완전성 악시옴을 추가했다. 힐버트가 승인한 영어 번역은 E.J.에 의해 만들어졌다. 타운젠드(Townsend)와 1902년 저작권이 인정되었다.^[32] 이 번역은 프랑스어 번역의 변경 사항을 통합하여 제2판을 번역한 것으로 여겨진다. 힐버트는 계속해서 본문을 변경했고 독일어로 여러 판본이 등장했다. 제7판은 힐버트의 생전에 마지막으로 등장한 것이었다. 7일에 이어 신판이 나왔지만 본문은 본질적으로 수정되지 않았다. 이 판의 수정은 부록과 부록에서 발생한다. 본문의 변화는 원본과 비교했을 때 크며, 새로운 영어 번역은 타운센드 번역을 출판한 오픈 코트 출판사에 의해 의뢰되었다. 그래서 제2회 영문판은 1971년 제10회 독일판에서 레오 웅거가 번역한 것이다.^[33] 이 번역본은 폴 버네이즈에 의한 후기 독일 판본의 몇 가지 수정과 확대를 포함하고 있다. 두 영어 번역의 차이점은 힐버트뿐 아니라 두 번역가의 다른 선택에도 기인한다. 다음 내용은 웅거 번역에 근거할 것이다.

힐베르트의 공리계는 점, 선, 평면, 중간, 눕는 (용기), 합치라는 6가지 원초적 개념으로 구성된다.

다음 공리의 모든 점, 선 및 평면은 달리 명시되지 않는 한 구별된다.

I. 발생

1. 두 점 A와 B에 대해 두 점 모두를 포함하는 선 a가 존재한다. 우리는 AB = a 또는 BA = a라고 쓴다. "포함" 대신 "A는 a에 있다", "A는 a의 포인트다", "A는 A를 거쳐 B를 통과한다", "A는 A에서 B에 합류한다" 등의 다른 표현을 사용할 수도 있다. 만약 A가 a에 놓여 있는 것과 동시에 다른 b행에 놓여 있다면, 우리는 "a와 b 선은 공통적으로 A를 가지고 있다" 등의 표현도 사용한다.
2. 두 점마다 두 점을 모두 포함하는 선이 하나 이상 존재하지 않는다. 따라서 AB = a 및 AC = a, 여기서 B c C, BC = a.
3. 한 줄에 최소한 두 개의 점이 있다. 한 줄에 놓여 있지 않은 점이 적어도 세 가지 있다.
4. 동일한 선에 위치하지 않는 세 점마다 모든 점을 포함하는 평면 α가 존재한다. 모든 평면에는 그 위에 놓여 있는 지점이 있다. 우리는 ABC = α를 쓴다. 우리는 또한 "A, B, C, α에 놓여있다"; "A, B, C는 α의 점들이다" 등의 표현을 사용한다.
5. 같은 선에 놓여 있지 않은 A, B, C 지점 3개마다, 이들 모두를 포함하는 평면이 하나 이상 존재하지 않는다.
6. 만약 두 점이 A, B 라인이 평면 α에 놓여 있다면, 한 선의 모든 점은 α에 놓여 있다. 이 경우 우리는 다음과 같이 말한다: "선 a는 평면 α에 있다" 등.
7. 두 평면이 α, β에 점 A의 공통점이 있다면, 두 번째 점 B의 공통점이 최소한 있다.
8. 평면에 눕지 않는 지점이 적어도 4개가 있다.

II. 순서

1. 점 B가 점 A와 C 사이에 있는 경우, B 역시 C와 A 사이에 있고, 구별되는 점 A,B,C를 포함하는 선이 존재한다.
2. A와 C가 선의 두 점인 경우, A와 C 사이에 적어도 하나의 B 점이 놓여 있다.
3. 한 줄로 배치된 세 점 중, 다른 두 점 사이에 놓여 있는 점들은 하나 이상 없다.
4. 파슈의 악시오름: A, B, C는 같은 선에 놓여 있지 않은 3점이며 ABC 평면에 선이 놓여 있고 A, B, C 지점 중 어느 것도 통과하지 못하게 하라. 그런 다음, 선 a가 세그먼트 AB의 한 점을 통과하면 세그먼트 BC의 한 지점 또는 세그먼트 AC의 한 지점을 통과하게 된다.

III. 응집력

1. 만약 A, B가 한 선 a에 2점이고, A가 동일하거나 다른 선 a′에 점이라면, 직선 a′에 있는 A given의 주어진 면에, 우리는 항상 점 B find을 찾을 수 있다. 그래서 AB가 AbB′과 일치하도록. 우리는 AB ≅ A′B′을 써서 이러한 관계를 나타낸다. 모든 부분은 그 자체로 일치한다; 즉, 우리는 항상 AB ≅ AB를 가지고 있다.
   우리는 적어도 한 가지 방법으로 주어진 직선의 주어진 점의 주어진 면에 모든 부분을 정리해고할 수 있다고 말함으로써 위의 공리를 간단히 말할 수 있다.
2. 세그먼트 AB가 세그먼트 A′B′ 및 세그먼트 A″B″에 합치되는 경우, 세그먼트 A′B′는 세그먼트 A″B″에 합치된다. 즉, AB ≅ A′B′ 및 AB ≅ A″B″, A′B″ then A″B″, A conB″ then A″B″과 합치한다.
3. AB와 BC는 점 B를 제외하고 공통점이 없는 선 a의 두 부분이고, 더욱이 A′B′와 B′C′는 동일하거나 마찬가지로 B′ 이외의 점을 가지고 있지 않은 다른 선 a의 두 부분이라고 한다. 그렇다면 AB ≅ A′B′과 BC ≅ B′C′이면 AC ≅ A′C′이 있다.
4. 평면 α에 각도 k(h,k)을 부여하고 평면 α in에 선 a given을 부여한다. 또한 평면 α′에서 직선 a′의 확실한 면이 할당된다고 가정한다. 이 선의 O′ 지점에서 뿜어져 나오는 직선의 한 광선을 가리킨다. 그 다음 α′ 평면에는 ∠(h, k), ∠(k, h) 각도가 ∠(h, k′) 각도에 합치되는 것과 동시에 h(h k, k angle)의 모든 내부 지점이 a given의 주어진 면에 놓여 있는 것과 같은 하나의 레이 k이 있다. 우리는 이 관계를 표기법 ∠ (h, k) ≅ (h, k) ≅ (h, k′)으로 표현한다.
5. If the angle ∠ (h, k) is congruent to the angle ∠ (h′, k′) and to the angle ∠ (h″, k″), then the angle ∠ (h′, k′) is congruent to the angle ∠ (h″, k″); that is to say, if ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′) and ∠ (h, k) ≅ ∠ (h″, k″), then ∠ (h′, k′) ≅ ∠ (h″, k″).

IV. 파랄렐스

1. (유클리드 악시오:^[34] 어떤 선이든 A가 그 선에 있지 않도록 하라. 그런 다음 평면에는 A와 A에 의해 결정되며 A를 통과하고 a를 교차하지 않는 선이 하나 이상 있다.

V. 연속성

1. 아르키메데스의 공리. AB와 CD가 어떤 세그먼트인 경우, A에서 B까지의 레이를 따라 A에서 연속적으로 생성된 CD의 n 세그먼트가 B 지점을 지나갈 수 있는 n이 존재한다.
2. 선 완전성의 공리. 원소들 사이에 존재하는 관계뿐만 아니라 악시움 I-에서 오는 선순서와 일치성의 근본적 특성도 보존할 수 있는 순서와 일치 관계를 선상에 배치하는 일련의 점의 확장.III와 V-1은 불가능하다.

힐베르트 공리의 변화

1899년의 모노그래프가 프랑스어로 번역되었을 때 힐베르트는 다음과 같이 덧붙였다.

V.2 완전성의 공리. 점, 직선 및 평면의 시스템에, 이렇게 일반화된 시스템이 공리의 5개 그룹 모두를 준수하는 새로운 지오메트리를 형성해야 하는 방식으로 다른 요소를 추가하는 것은 불가능하다. 즉, 기하학의 원소들은 우리가 공리의 다섯 집단을 유효하다고 간주한다면 연장에 취약하지 않은 체계를 형성한다.

이 공리는 유클리드 기하학의 발전을 위해 필요한 것이 아니라 실제 숫자와 선상의 점 사이에 편차를 설정하기 위해 필요하다.^[35] 이것은 힐베르트가 그의 공리체계의 일관성을 입증하는 데 필수적인 요소였다.

그룬들라겐 7판에 이르러 이 공리는 위에서 주어진 선 완전성의 공리로 대체되어 옛 공리 V.2가 정리 32가 되었다.

또한 1899년 단문(및 Townsend 번역본에 수록)에서 확인할 수 있는 내용은 다음과 같다.

II.4. 선의 4개 지점 A, B, C, D는 항상 라벨을 붙일 수 있으므로 B는 A와 C 사이에, A와 D 사이에도, 나아가 C는 A와 D 사이에, B와 D 사이에 있어야 한다.

그러나, E.H. 무어와 R.L. 무어는 이 공리가 중복됨을 독자적으로 증명했고, 전자는 1902년 미국수학회의 거래에 기사가 실리면서 이 결과를 발표했다.^[36] 힐베르트는 공리를 정리 5로 옮기고 그에 따라 공리의 번호를 다시 매겼다(옛 공리 II-5(파쉬의 공리)는 이제 II-4가 되었다).

이러한 변화만큼 극적인 것은 아니지만, 나머지 공리의 대부분은 처음 7판의 과정에서 형식이나 기능에서도 수정되었다.

일관성 및 독립성

힐베르트는 만족스러운 공리 집합의 확립을 넘어, 실수로부터 자신의 공리 계통의 모델을 구성함으로써 실수 이론에 상대적인 자기 계통의 일관성을 증명하기도 했다. 그는 고려 중인 하나의 공리를 제외한 모든 것을 만족시키는 기하학적 모델을 구축함으로써 일부 공리의 독립성을 증명했다. 따라서 아르키메데스 공리 V.1(비 아르키메데스 기하학)을 제외한 모든 것을 만족하는 기하학의 예가 있으며, 평행 공리 IV.1(비유클리드 기하학) 등을 제외한다. 같은 기법을 사용하여 그는 또한 어떤 중요한 이론들이 어떻게 특정한 공리에 의존하고 다른 것들로부터 독립되어 있는지를 보여주었다. 그의 모델들 중 몇몇은 매우 복잡했고 다른 수학자들은 그것들을 단순화하려고 노력했다. 예를 들어, 특정 공리로부터 데스구르스 정리의 독립성을 보여주는 힐베르트의 모델은 결국 레이 몰튼이 데스구리아인이 아닌 물톤 비행기를 발견하게 했다. 힐버트의 이러한 연구는 20세기 추상 기하학에 대한 현대적 연구를 사실상 시작했다.^[37]

비르코프의 공리

1932년 G. D. Birkhoff는 때때로 Birkhoff의 공리라고 불리는 유클리드 기하학의 네 가지 기형을 만들었다.^[38] 이 기판들은 모두 저울과 연장으로 실험적으로 검증할 수 있는 기본 기하학을 기반으로 한다. 힐베르트의 합성적 접근법에서 급진적으로 벗어나 버크호프는 처음으로 실수 체계에서 기하학의 기초를 다졌다.^[39] 이 시스템에서 소수의 공리를 허용하는 것은 바로 이 강력한 가정이다.

가정체

버크호프는 정의되지 않은 4개의 용어, 즉 점, 선, 거리, 각도를 사용한다. 그의 가정은 다음과 같다.^[40]

Postulate I: Line Measure의 Postulate. 모든 선의 점 A, B, ...는 실수 x와 1:1 일치하여 모든 점 A와 B에 대해_B x -x _A = d(A, B)가 되도록 할 수 있다.

Postulate II: Point-Line Postulate. 주어진 두 개의 구별되는 점 P와 Q를 포함하는 하나의 직선인 ℓ이 있다.

Postulate III: 각도 측정의 Postulate. 광선 {ℓ, m, n, ...}}은(는) 임의의 점 O를 통해 실제 숫자 a(모드 2π)와 1:1 일치로 입력하여 A와 B가 각각 ℓ과 m의 점(O와 같지 않음)인 경우, ℓ과 m 선과 관련된 숫자의 a - a_ℓ(모드 2π)는_m $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \angle }$AOB이다. 더욱이, m의 B 점이 정점 O를 포함하지 않는 선 r에서 연속적으로 변화한다면, 숫자 a도_m 연속적으로 변화한다.

Postulate IV: 유사성의 Postulate. If in two triangles ABC and A'B'C' and for some constant k > 0, d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and ${\displaystyle \angle }$B'A'C' = ±${\displaystyle \angle }$BAC, then d(B', C' ) = kd(B, C), ${\displaystyle \angle }$ C'B'A' = ± ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \angle }$ CBA$$, $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \angle }$'C'B' = ± ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \angle }$ ACB$$.

학교 기하학

유클리드 기하학을 고등학교 수준에서 자명한 시각으로 가르치는 것이 현명한지 아닌지는 논쟁의 대상이 되어 왔다. 그렇게 하려는 시도가 많았지만 모두 성공한 것은 아니다. 1904년 조지 브루스 할스테드는 힐버트의 공리 세트를 바탕으로 고등학교 기하학 교재를 출판했다.^[41] 이 글에 대한 논리적인 비판은 2판을 고도로 개정하는 결과를 가져왔다.^[42] 러시아 위성 스푸트니크 발사와 관련해 학교 수학 교육과정을 개정하라는 요구가 나왔다. 이러한 노력으로 1960년대의 새로운 수학 프로그램이 생겨났다. 이것을 배경으로, 많은 개인과 그룹들이 자명한 접근법에 근거한 기하학 수업에 대한 텍스트 자료를 제공하기 시작했다.

맥 레인의 공리

수학자인 손더스 맥 레인(1909~2005)은 1959년, 실제 숫자를 선분할과 연관시키는 거리 함수를 이용한 비르코프 치료의 정신으로 유클리드 기하학의 공리 세트를 제안하는 논문을 썼다.^[43][44] 이것이 버크호프의 시스템에 학교급 대우를 기초하려는 첫 번째 시도는 아니었지만, 사실 버크호프와 랄프 비틀리는 5개의 공리로부터 유클리드 기하학을 개발하고 선 부분과 각도를 측정할 수 있는 능력을 개발한^[45] 고등학교 교재를 1940년에 썼다. 그러나, 고등학교 청중을 대상으로 치료를 실시하기 위해, 일부 수학적이고 논리적인 논쟁은 무시되거나 무시되었다.^[42]

맥 레인의 시스템에는 점, 거리, 선 및 각도 측정의 네 가지 원시 개념(정의되지 않은 용어)이 있다. 또한 14개의 공리, 거리 함수의 속성을 주는 4개의 공리, 선의 속성을 기술하는 4개의 공리, 4개의 토론 각도(이 처리에서 지시된 각도), 유사도 공리(본질적으로 버크호프와 동일함) 및 크로스바 정리와 그 반전을 도출하는 데 사용할 수 있는 연속성 공리 등이 있다.^[46] 공리의 수가 증가하면 개발의 초기 증거를 더 쉽게 따를 수 있다는 교육학적 이점이 있고, 익숙한 측정 기준을 사용하면 기본 자료를 통한 신속한 진보가 가능하여 주제의 "흥미로운" 측면이 더 빨리 이루어질 수 있다.

SMSG(학교 수학 스터디 그룹) 공리

1960년대에 고등학교 기하학 과정에 적합한 유클리드 기하학에 대한 새로운 공리들이 학교 수학 스터디 그룹(SMSG)에 의해 새로운 수학 커리큘럼의 일부로 도입되었다. 이 공리 집합은 기하학적 기초에 빠르게 진입하기 위해 실제 숫자를 사용하는 Birkhoff 모델을 따른다. 그러나, Birkhoff는 사용되는 공리의 수를 최소화하려고 노력했고, 대부분의 저자들은 그들의 치료법에서 공리의 독립성을 염려하는 반면, SMSG 공리목록은 교육학상의 이유로 의도적으로 크고 중복되게 만들어졌다.^[47] SMSG는 이러한 공리를 사용하여 문자 그대로 표기된 텍스트만 만들었을 뿐 에드윈 E.[48] SMSG의 멤버인 모이스는 이 시스템을 바탕으로 고등학교 본문과 대학 수준의 본문인 모이스(1974)를 작성했는데,[49] 이중화 일부가 제거되고 보다 정교한 청중들을 위해 공리가 수정되었다.^[50]

정의되지 않은 8개의 항이 있다: 점, 선, 평면, 누운 자세, 각도 측정, 거리, 면적, 부피. 이 제도의 22개 공리에는 참고가 용이하도록 개별 명칭이 부여되어 있다. 이러한 것들 중에서 발견되어야 한다: 눈금자 자세, 눈금자 배치 자세, 평면 분리 자세, 각도 추가 자세 자세 자세, 측면 각도 (SAS) 자세, 평행 자세 (Playfair 형태), 카발리에리의 원리.^[51]

UCSMP(University of Chicago School Math Project) 공리

뉴수학 교과과정의 상당 부분이 대폭 수정되거나 폐기됐지만 기하학적 부분은 비교적 안정적으로 유지되고 있다. 현대 고등학교 교과서는 SMSG와 매우 유사한 공리계를 사용한다. 예를 들어, 시카고 대학교 수학 프로젝트(UCSMP)에서 제작한 본문은 언어의 일부 업데이트 외에도 SMSG 시스템과는 주로 다른 시스템을 사용하고 있는데, 이 시스템은 "반성"에 따라 일부 변형 개념을 포함하고 있다는 점에서 SMSG 시스템과는 다르다. 가정하라."^[47]

정의되지 않은 항은 점, 선, 평면의 세 가지뿐이다. 8개의 "기재"가 있지만, 이들 대부분은 몇 개의 부분(일반적으로 이 시스템에서는 가정이라고 한다)을 가지고 있다. 이 부분들을 세어보면 이 시스템에는 32개의 공리가 있다. 견본 중에서 점선-평면 추정, 삼각형 불평등 추정, 거리, 각도 측정, 해당 각도, 면적 및 체적, 반사 추정 등을 확인할 수 있다. 반사 postulate는 SMSG 시스템의 SAS postulate를 대체하기 위해 사용된다.^[52]

기타 시스템

오스왈드 베블렌(1880년 – 1960년)은 1904년 힐베르트와 파슈가 사용하던 '간계' 개념을 새로운 원시적 질서로 대체하면서 새로운 공리 체계를 제공했다. 이로써 힐베르트가 사용한 몇 가지 원시적인 용어는 정의된 실체가 되어 원시적인 개념의 수를 점, 질서의 두 가지로 줄일 수 있었다.^[37]

유클리드 기하학을 위한 많은 다른 자명적인 시스템들이 수년간 제안되어 왔다. 이것들 중 많은 것의 비교는 헨리 조지 포더가 1927년에 쓴 모노그래프에서 찾을 수 있다.^[53] 포더는 또한 서로 다른 계통의 공리들을 결합시킴으로써, 점이나 질서의 두 원시적 개념에 근거한 자신의 치료법을 제시한다. 그는 또한 피에리의 시스템 중 하나(1909년부터)에 대해 원시적인 점과 일치성을 바탕으로 보다 추상적인 처리를 제공한다.^[42]

페아노를 시작으로 유클리드 기하학의 자명적 기초에 관한 논리학자들 사이에 평행한 관심의 실이 존재해 왔다. 이는 부분적으로 공리를 기술하는 데 사용된 표기법에서 볼 수 있다. 피에리는 전통적인 기하학 언어로 글을 썼음에도 불구하고 항상 페이노가 도입한 논리 표기법 관점에서 생각하고 있었으며, 그 형식주의를 이용하여 사물을 증명하는 방법을 확인했다고 주장했다. 이러한 유형의 표기법의 대표적인 예는 E. V.의 저작에서 찾을 수 있다. 1913년 구체와 포용의 원초적 개념에 근거하여 3차원 유클리드 기하학의 자명적인 처리(1874년 – 1952년)^[54]를 만든 헌팅턴(1874년 – 1952년).^[42] 표기법을 넘어 기하학의 논리적 구조에도 관심이 있다. 알프레드 타르스키는 그가 초등 기하학이라고 부르는 기하학의 일부가 제1차 논리학(타르스키의 공리학 참조)임을 증명했다.

유클리드 기하학의 자명적 기초에 대한 현대적인 텍스트 처리는 H.G.포더와 길버트 드 B의 패턴을 따른다. 서로 다른 시스템의 공리를 혼합하고 일치시켜 다른 엠피스를 만드는 로빈슨^[55]. Venema(2006)는 이러한 접근법의 현대적인 예다.

비유클리드 기하학

수학이 과학에서 하는 역할과 우리의 모든 신념에 대한 과학적 지식의 함의에 비추어 볼 때, 인간의 수학 본성에 대한 이해의 혁명적 변화는 과학에 대한 이해, 철학의 교리, 종교적이고 윤리적인 신념, 그리고 사실 모든 인텔리스크의 혁명적 변화를 의미하지 않을 수 없었다.연차 ^[56]교육

19세기 전반에는 천문학의 코페르니쿠스 혁명만큼 과학적으로 중요하고, 다윈의 진화론이 우리가 생각하는 방식에 미치는 영향만큼이나 철학적으로 심오한 기하학 분야에서 혁명이 일어났다. 이것은 비유클리드 기하학의 발견의 결과였다.^[57] 유클리드 시대에 시작된 2천년 이상 동안, 기하학을 근거로 삼은 견본들은 물리적 공간에 대한 자명한 진리로 여겨졌다. 기하학자들은 자신들로부터 다른, 더 불명확한 진리를 착오 가능성 없이 추론하고 있다고 생각했다. 이 견해는 쌍곡 기하학의 발달과 함께 사용할 수 없게 되었다. 이제 자기 일관성이 있고 관측 가능한 물리적 세계와 양립할 수 있는 두 가지 기하학적 시스템(그리고 더 많은 것이 나중에 왔다)이 있었다. "이 시점부터 기하학과 물리적 공간의 관계에 대한 전체적인 논의는 상당히 다른 용어로 진행되었다."(Moise 1974, 페이지 388)

비유클리드 기하학을 얻으려면 평행 가설(또는 그에 상당하는 것)을 부정으로 대체해야 한다. 플레이페어의 공리 형식을 부정하는 것은 복합문(...)이기 때문이다. 오직 하나만이 존재한다...)는 두 가지 방법으로 행해질 수 있다. 주어진 선과 평행한 점을 통해 둘 이상의 선이 존재하거나, 주어진 선과 평행한 점을 통해 어떤 선도 존재하지 않는다. 첫 번째 경우, 평행 가설(또는 그에 상당하는 것)을 "평면에서는 P점을 통과하지 않는 점 P와 선 ℓ을 통해 두 개의 선이 존재하며, ℓ을 충족하지 않는다"는 문장으로 대체하고 다른 모든 공리를 유지하면 쌍곡 기하학이 발생한다.^[58] 두 번째 사건은 그렇게 쉽게 처리되지 않는다. "평행좌표계를 "평면에서 점 P와 점 P를 통과하지 않는 선 ℓ이 주어진 경우 P를 통과하는 모든 선은 ℓ을 만난다"는 문구로 대체하는 것만으로 일관된 공리 집합은 제공되지 않는다. 이것은 평행선이 절대 기하학에서 존재하기 때문에 따르지만,^[59] 이 진술은 평행선이 없다고 말할 것이다. 이 문제는 하이야암, 사체리, 램버트에게 (다른 모습으로) 알려졌고, 그들이 '관용 앵글 케이스'로 알려진 것을 거부하는 근거가 되었다. 평행선이 없다는 이 공리를 포함하는 일관된 공리 집합을 얻으려면 다른 공리 중 일부를 수정해야 한다. 조정은 사용 중인 공리계에 따라 달라진다. 그 중에서도 이러한 트윗은 유클리드(유클리드)의 두 번째 가설에서 라인 세그먼트를 무한정 연장할 수 있다는 문장에서 라인이 무한정 연장된다는 문장으로 수정하는 효과가 있을 것이다. 리만의 타원형 기하학은 이 공리를 만족시키는 가장 자연스러운 기하학으로 등장한다.

"비유클리드 기하학"이라는 용어를 만든 사람은 가우스였다.^[60] 그는 자신의 출판되지 않은 작품을 언급하고 있었는데, 오늘날 우리는 이것을 쌍곡 기하학이라고 부른다. 몇몇 저자들은 여전히 "비유클리드 기하학"과 "하이퍼볼릭 기하학"을 동의어로 간주한다. 1871년 펠릭스 클라인은 1852년 아서 케일리에 의해 논의된 계량법을 채택함으로써 계량 특성을 투영적 설정으로 가져올 수 있었고 따라서 투영적 기하학의 우산 아래 쌍곡선, 유클리드, 타원형 기하학의 처리를 통일할 수 있었다.^[61] 클라인은 '하이퍼볼릭(hyperbolic)'과 '엘리프틱(elliptic)'이라는 용어를 책임지고 있다(그의 시스템에서 그는 유클리드 기하학을 '파라볼릭(parabolic)'이라고 불렀는데, 이 용어는 시간의 시험에서 살아남지 못하고 오늘날 몇 개의 학문에서만 사용되고 있다). 그의 영향력은 "비유클리드 기하학"이라는 용어가 "하이퍼볼릭" 또는 "엘리틱" 기하학을 의미하는 공통적인 용어로 이어졌다.

다양한 방법으로 "비유클리드"라고 불려야 할 기하학의 목록을 확장하는 수학자들이 있다. 클라인의 영향력이 그리 강하지 않았던 다른 학문들, 가장 두드러진 수학 물리학에서, "비유클리드"라는 용어는 종종 유클리드어가 아니라는 뜻으로 받아들여진다.

유클리드 평행 가설

2천년 동안 유클리드 최초의 네 개의 체관을 사용하여 평행 체형을 증명하려는 많은 시도가 있었다. 그러한 증거가 그렇게 많이 요구된 이유는 처음 네 명의 견습공들과는 달리 평행한 견습공이 자명하지 않기 때문이다. 만약 유클리드 목사가 원소에 열거된 순서가 유의하다면, 유클리드(Eucleid)^[62]가 증명할 수 없다는 것을 깨달았을 때에만 이 표본을 포함시켰다는 것을 나타낸다. 나머지 네 명으로부터 다섯 번째 추정을 입증하기 위해 많은 시도가 있었으며, 그 중 많은 수가 실수가 발견될 때까지 오랜 기간 동안 증거로 받아들여졌다. 변함없이 그 실수는 다섯 번째 가정과 동등한 것으로 판명된 어떤 '불확실한' 재산을 가정하는 것이었다. 결국 이 가정은 다른 네 가지로부터 증명할 수 없을지도 모른다는 것이 실현되었다. Trudeau(1987, 페이지 154)에 따르면 평행 자세 (Postulate 5)에 대한 이 의견은 인쇄에 다음과 같이 나타난다.

Apparently the first to do so was G. S. Klügel (1739–1812), a doctoral student at the University of Gottingen, with the support of his teacher A. G. Kästner, in the former's 1763 dissertation Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Review of the Most Celebrated Attempts at Demonstrating the Theory of Parallels). 이 작품에서 클뤼겔은 포스탈 5 (Saccheri's 포함)를 증명하기 위한 28번의 시도를 검토했고, 모두 부족함을 발견했으며, 포스탈 5는 증명할 수 없고 오직 우리의 감각의 판단만으로 지지된다는 의견을 제시했다.

19세기의 시작은 마침내 비유클리드 기하학의 창조에 결정적인 단계를 보게 될 것이다. 1813년경, 칼 프리드리히 가우스와 1818년경 독자적으로 독일의 법학 교수인 페르디난드 슈바이카트는^[63] 유클리드 이외의 기하학에 대한 발아적 사상이 작용하였지만, 두 가지 모두 결과를 발표하지 않았다. 그러다가 1830년경 헝가리의 수학자 야노스 볼랴이와 러시아의 수학자 니콜라이 이바노비치 로바체프스키가 오늘날 우리가 쌍곡 기하학이라고 부르는 논문을 별도로 발표하였다. 따라서 쌍곡 기하학은 서로 독립된 두 수학자가 모두 비유클리드 기하학의 기본 저자인 만큼 볼라이-로바체프스키안 기하학이라고 불려왔다. 가우스는 젊은 볼라이의 작품을 보여주었을 때, 비록 출판하지는 않았지만 ^[64]몇 년 전에 그런 기하학을 발전시켰다고 볼라이의 아버지에게 언급했다. 로바체프스키는 평행한 상상을 부정하여 비유클리드 기하학을 창조한 반면, 볼야이는 파라미터 k에 따라 유클리드 기하와 쌍곡 기하학 둘 다 가능한 기하학을 고안해 냈다. 볼라이는 물리적인 우주의 기하학이 유클리드인지 비유클리드인지 수학적인 추리만으로 결정할 수 없다고 언급함으로써 그의 연구를 끝낸다. 이것은 물리과학을 위한 과제다. 유클리드의 다른 공리로부터 평행의 독립은 마침내 1868년 유제니오 벨트라미에 의해 증명되었다.^[65]

병렬 가설의 다양한 시도된 증거는 병렬 가설과 동등한 많은 이론 목록을 작성했다. 여기서 동등성은 기하학의 다른 공리가 있는 곳에서 이들 각각의 이론은 참이라고 가정할 수 있고 평행한 가설은 이 변경된 공리 집합으로부터 증명될 수 있다는 것을 의미한다. 이것은 논리적 등가성과 같지 않다.^[66] 유클리드 기하학에 대한 다른 공리 집합에서, 이들 중 어떤 것도 유클리드 평행 가설(parallel pasculate)을 대체할 수 있다.^[67] 다음의 부분목록은 이러한 이론들 중 역사적 관심사가 되는 몇 가지를 나타낸다.^[68]

1. 평행직선은 등거리이다.(포세이도니오스, 기원전 1세기)
2. 주어진 직선으로부터 등거리인 모든 점들은 주어진 면에 일직선을 이룬다.(크리스토프 클라비우스, 1574년)
3. 플레이페어의 공리. 평면에는 외부 지점을 통해 주어진 선과 평행하게 그려질 수 있는 선이 하나 있다.(논문 5세기, 그러나 존 플레이페어, 18세기 후반)
4. 모든 삼각형에서 각도의 합은 180° (제롤라모 사케리, 1733년; 아드리아-마리 레전드르, 19세기 초)
5. 각도가 180°에 이르는 삼각형이 존재한다. (제롤라모 사체리, 1733년; 아드리아-마리 레전드레, 19세기 초)
6. 유사하지만 일치하지는 않는 삼각형 한 쌍이 존재한다. (제롤라모 사체리, 1733년)
7. 모든 삼각형은 할례를 받을 수 있다. (아드리엔 마리 레전드레, 파르카스 볼랴이, 19세기 초)
8. 사각형의 세 각도가 직각이라면 네 번째 각도 직각이다.(알렉시스-클로드 클라이라우트, 1741년; 요한 하인리히 램버트, 1766년)
9. 모든 각도가 직각인 사면이 존재한다.(제랄라모 사체리, 1733년)
10. 월리스의 가정. 주어진 유한 직선에서는 항상 주어진 삼각형과 유사한 삼각형을 구성할 수 있다. (John Wallis, 1663년; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803년; Adrien-Marie Legendre, 1824년)
11. 삼각형의 면적에 상한은 없다.(칼 프리드리히 가우스, 1799년)
12. 사케리 사면의 정상 각도는 90°이다. (제랄라모 사체리, 1733년)
13. 프로클로스 공리. 선이 두 개의 평행선 중 하나를 교차하는 경우, 두 선이 모두 원래 선과 동일 평면인 경우, 다른 선도 교차한다.(논문, 5세기)

중립(또는 절대) 기하학

절대 기하학은 유클리드에게 기하학을 부여하는 모든 공리로 구성된 공리계에 기초한 기하학이며, 평행 가설 또는 그 대안들 중 하나를 제외한다.^[69] 이 용어는 1832년 야노스 볼야이에 의해 도입되었다.^[70] 병렬 측정에 대해 중립적이기 때문에 중립 기하학이라고 부르기도 ^[71]한다.

다른 기하학적 구조와의 관계

유클리드 원소(Eucleid's Elements)에서, 처음 28개의 명제와 발의안 I.31은 평행 가설의 사용을 피하며, 따라서 절대 기하학에서 유효한 이론이다.^[72] 발의안 I.31은 (건설에 의해) 평행선의 존재를 증명한다. 또한 삼각형의 각도의 합이 최대 180°라고 명기한 사케리-레젠드르 정리도 증명할 수 있다.

절대 기하학의 이론은 유클리드 기하학뿐만 아니라 쌍곡 기하학에도 있다.^[73]

절대 기하학은 타원 기하학과 일치하지 않는다: 타원 기하학에는 평행선이 전혀 없지만 절대 기하학 평행선은 존재한다. 또한 타원형 기하학에서는 어떤 삼각형에서든 각도의 합이 180°보다 크다.

불완전성

논리적으로 공리계는 공리계를 일관적이지 않게 만들지 않고 추가적인 독립 공리를 추가할 수 있기 때문에 완전한 이론을 형성하지 않는다. 병렬에 관한 서로 다른 공리를 추가함으로써 절대 기하학을 확장할 수 있고 양립불가능하지만 일관된 공리계를 갖게 되어 유클리드나 쌍곡 기하학이 생겨난다. 그러므로 절대 기하학의 모든 정리는 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학의 정리다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다. 또한 절대 기하학은 이형성이 아닌 모델을 가지고 있기 때문에 범주형 이론이 아니다.^{[citation needed]}

쌍곡 기하학

쌍곡 기하학(Lobachevskiian 기하학 또는 볼랴-Lobachevskiian 기하학이라고도 함)에 대한 공리학적 접근방식에서 절대 기하학을 제공하는 공리학에는 하나의 공리가 추가된다. 새로운 공리는 Lobachevsky의 평행 자세(일명 쌍곡 기하학의 특징적 자세라고도 함)^[74]이다.

주어진 선에 있지 않은 점을 통해 (이 점 및 선에 의해 결정된 평면에는) 주어진 선을 충족하지 않는 최소한 두 개의 선이 존재한다.

이 추가와 함께 이제 공리계는 완성되었다.

새로운 공리는 두 개의 선의 존재만을 주장하지만, 주어진 선을 충족시키지 못하는 주어진 지점을 통해 무한한 수의 선이 존재한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이러한 평행을 고려할 때, 평행선이라는 용어는 더 이상 유클리드 기하학에서 갖는 고유한 의미를 갖지 않기 때문에 이 설정에서 용어를 주의해야 한다. 구체적으로 P는 주어진 선 $line{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$에 있지 않은 점이 되게 하고$,$ PA는 P에서 $\ell {\displaystyle }${\$displaystyle \ell$}($$점 A에서의 만남)로 수직이 되게 한다. P를 통과하는 라인은 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$을(를) 만나는 라인과$$ 그렇지 않은 라인의 두 클래스로 나뉜다. 쌍곡 기하학의 특징적인 가정은 후자의 유형에는 적어도 두 개의 선이 있다고 말한다. $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$을$($를) 충족하지 않는 선 중에서 PA와 가장 작은 각도를 이루는 선이 (PA의 양쪽에) 있을 것이다. 때로는 이러한 선을 P를 통과하는 첫 번째 선으로 지칭하기도 하는데, 이 선은 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$ }을$($를) 충족하지 못하며$$, 여러 가지로 한계선, 점증선 또는 평행선(이 마지막 용어를 사용할 때는 이것들만이 유일한 평행선)이라고 한다. $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$을(를) 충족하지 않는 P를 통과하는 다른 모든 라인을 비간격선 또는 초간격선이라고 한다$$.

쌍곡 기하학과 유클리드 기하학은 둘 다 절대 기하학의 공리 위에 세워지기 때문에 많은 성질과 명제를 공유한다. 그러나 유클리드 기하학의 평행 가설과 쌍곡 기하학의 특성 가설로 교체하는 결과는 극적일 수 있다. 다음 중 몇 가지를 언급하면:

• 램버트 4각형은 3개의 직각을 가진 4각형이다. 램버트 사각형의 네 번째 각도는 기하학이 쌍곡이라면 급하고, 기하학이 유클리드라면 직각이다. 또한 직사각형은 유클리드 기하학에서만 존재할 수 있다(평행 가설과 동등한 문장).
• 사체리 사면(四面)은 길이가 같은 두 변을 가진 사면체로서, 둘 다 베이스라고 불리는 변에 수직이다. 사케리 4각형의 다른 두 각도는 정상 각도라고 불리며 동일한 척도를 가지고 있다. 사케리 4각형의 정상 각도는 기하학이 쌍곡이면 급하고, 기하학이 유클리드라면 직각이다.
• 어떤 삼각형의 각도의 측정의 합은 기하학이 쌍곡이라면 180도 이하, 기하학이 유클리드라면 180도와 같다. 삼각형의 결함은 숫자 값(180° – 삼각형 각도의 측도의 합계)이다. 이 결과는 또한 다음과 같이 말할 수 있다: 쌍곡 기하학에서 삼각형의 결함은 양이고, 유클리드 기하학에서 삼각형의 결함은 0이다.
• 쌍곡 기하학에서 삼각형의 영역은 경계가 있는 반면 유클리드 기하학에서는 삼각형이 임의로 큰 영역으로 존재한다.
• 주어진 직선으로부터 똑같이 멀리 떨어진 같은 면의 점 집합 자체가 유클리드 기하학에서는 선을 형성하지만 쌍곡 기하학에서는 그렇지 않다(이들은 하이퍼사이클을 형성한다).

유클리드 기하학이 유일하고 유일한 '진정한' 기하학이라는 입장을 옹호하는 사람들은 1868년 출간된 회고록에서 유제니오 벨트라미는 어떤 차원에 대해서도 쌍곡선과 유클리드 기하학의 동일성에 대한 추상적인 증거를 제시했을 때 좌절을 받았다.^[75] 그는 현재 Beltami-Klein 모델, Poincaré 디스크 모델, Poincaré 하프 평면 모델로 알려진 비유클리드 기하학의 여러 모델과 그것들과 관련된 변환을 함께 소개함으로써 이것을 성취했다. 반평면 모델의 경우, 벨트라미는 미분 기하학에 관한 몽에 대한 논문에서 리우빌의 노트를 인용했다. 벨트라미는 또한 (n + 1)차원 쌍곡선 공간의 호스피어 위에서 n차원 유클리드 기하학이 실현된다는 것을 보여주었기 때문에 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 일관성 사이의 논리적 관계는 대칭이다.

타원 기하학

유클리드 평행추정을 수정하는 또 다른 방법은 평면에 평행선이 없다고 가정하는 것이다. 우리가 단지 하나의 새로운 공리만을 덧붙이는 쌍곡 기하학의 상황과 달리, 절대 기하학의 공리들에 이 문구를 새로운 공리로서 덧붙여서 일관된 시스템을 얻을 수는 없다. 이것은 평행선이 절대 기하학에서 존재할 가능성이 있기 때문에 뒤따른다. 다른 공리는 바꿔야 한다.

힐버트의 공리로부터 출발하여 필요한 변화는 힐버트의 4개의 질서 공리를 제거하고 새로운 정의되지 않은 관계와 관련된 이 7개의 분리 공리로 대체하는 것을 포함한다.^[76]

(A, C B, D)가 나타내는 A, B, C, D의 네 점 사이에 정의되지 않은(원시적) 관계가 있으며, "A와 C는 B와 D를 구분한다"^[77]로 읽혀 다음과 같은 공리를 만족한다.

1. (A,B C, D)인 경우, A, B, C, D 점들은 일직선이고 구별된다.
2. (A,B C,D), (C,D A,B) 및 (B,A,D,C)
3. 만약 (A,B C,D)이면 (A,C B,D)가 아니다.
4. 점 A, B, C, D가 시준되고 구별되는 경우(A,B C,D), (A,C B,D) 또는 (A,D B,C)이다.
5. 점 A, B, C가 시준되고 구별되는 경우, 다음과 같은 점 D가 존재한다(A,B C,D
6. (A,B D,E) 또는 (A,B,C,D,E)의 구별되는 5개의 콜리네어 점의 경우, (A,B,C,E) 또는 (A,B C,E) 중 하나를 선택한다.
7. 관점은 분리를 유지한다.

힐베르트 개념의 "중간성"이 제거되었기 때문에, 그 개념을 사용하여 정의되었던 용어들은 다시 정의될 필요가 있다.^[78] 따라서 절대 기하학에서 A와 B 점 및 A와 B 사이의 모든 점으로 정의된 선 세그먼트 AB는 재조정될 필요가 있다. 이 새로운 기하학에서 선 세그먼트는 세 개의 콜린어 점 A, B, C에 의해 결정되며, 이 세 점과 A와 C에 의해 B에서 분리되지 않은 모든 점으로 구성된다. 더 많은 결과가 있다. 두 점이 선 세그먼트를 고유하게 결정하지 않기 때문에 세 개의 비협착 점이 고유한 삼각형을 결정하지 않으며, 삼각형의 정의를 재구성해야 한다.

일단 이러한 관념이 다시 정의되면 절대 기하학(증거, 일치, 연속성)의 다른 공리는 모두 이치에 맞고 그대로 남게 된다. 평행선의 비일관성에 대한 새로운 공리와 함께 우리는 새로운 기하학을 제공하는 일관된 공리 체계를 가지고 있다. 결과가 나오는 지오메트리를 (평면) 타원형 지오메트리라고 한다.

타원형 기하학이 절대 기하학의 연장이 아님에도 불구하고(유클리드, 쌍곡 기하학이 그렇듯이), 펠릭스 클라인이 관찰한 더 깊은 연결을 반영하는 세 기하학의 명제에는 일정한 '대칭성'이 있다. 이러한 속성을 보여주는 제안 중 일부는 다음과 같다.

• 램버트 사각형의 네 번째 각도는 타원형 기하학에서 둔각이다.
• Saccheri 4각형의 정상 각도는 타원형 기하학에서 둔각이다.
• 지오메트리가 타원형일 경우 어떤 삼각형 각도의 측정값의 합은 180°보다 크다. 즉, 삼각형의 결함은 음이다.^[79]
• 주어진 선에 수직인 모든 선들은 선의 극이라고 불리는 타원 기하학의 공통점에서 만난다. 쌍곡 기하학에서 이 선들은 상호 교차되지 않는 반면, 유클리드 기하학에서는 상호 평행이다.

외각 정리 등의 다른 결과는 타원형과 절대 기하학의 확장인 기하학의 차이를 분명히 강조한다.

구형 기하학

기타 기하학

투영 기하학

아핀 기하학

순서형 기하학

절대 기하학은 순서가 정해진 기하학의 확장이며, 따라서 순서가 정해진 기하학의 모든 이론은 절대 기하학에 있다. 그 반대는 사실이 아니다. 절대 기하학은 유클리드 공리(또는 그 등가물)의 첫 번째 4개를 어핀 기하학과 대조되는 것으로 가정하며, 유클리드 공리의 세 번째와 네 번째 공리를 가정하지 않는다. 순서 기하학은 절대 기하학과 부속 기하학의 공통 기반이다.^[80]

유한 기하학

참고 항목

• 좌표가 없는
• 합성 기하학

메모들

참조

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외부 링크

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• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Mario Pieri", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Hubert Kennedy. "Pieri, Mario". Complete Dictionary of Scientific Biography. Retrieved 26 August 2013.
• SMSG 공리