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유클리드 거리

Euclidean distance
피타고라스 정리를 사용하여 2차원 유클리드 거리를 계산합니다.

수학에서, 유클리드 공간에서 두 점 사이의 유클리드 거리는 그들 사이의 선분의 길이입니다.피타고라스 정리를 이용하여 점들의 직각좌표로부터 계산할 수 있기 때문에 피타고라스 거리라고 불리기도 합니다.

이 이름들은 고대 그리스 수학자 유클리드와 피타고라스에서 유래되었습니다.Euclid's Elements에 의해 예시된 그리스 연역 기하학에서 거리는 숫자로 표시되지 않았지만 길이가 같은 선분은 "동일한" 것으로 간주되었습니다.원을 그릴 때 사용되는 나침반 도구는 거리의 개념을 가지고 있는데, 그들의 점들은 모두 공통의 중심점으로부터 같은 거리를 가지고 있습니다.피타고라스 정리에서 거리 계산으로의 연결은 18세기에 이르러서야 이루어졌습니다.

점이 아닌 두 물체 사이의 거리는 일반적으로 두 물체의 점 쌍 중 가장 작은 거리로 정의됩니다.공식은 점에서 선까지의 거리와 같은 다양한 유형의 객체 사이의 거리를 계산하는 것으로 알려져 있습니다.고급 수학에서 거리의 개념은 추상적인 미터법 공간으로 일반화되었고 유클리드가 아닌 다른 거리들이 연구되었습니다.통계학 및 최적화의 일부 응용 분야에서는 거리 자체 대신 유클리드 거리의 제곱을 사용합니다.

거리 공식

일차원

실수선 위의 임의의 두 점 사이의 거리는 좌표의 수치차의 절대값, 즉 절대값입니다. p 와 가 실수선의 두 점일 경우, 이들 사이의 거리는 다음과 같이 주어집니다.[1]

동일한 값을 제공하면서도 더 높은 차원으로 더 쉽게 일반화하는 더 복잡한 공식은 다음과 같습니다.[1]

이 공식에서 제곱한 다음 제곱근을 취하면 양수는 변하지 않지만 음수는 절대값으로 대체됩니다.[1]

이차원

In the Euclidean plane, let point have Cartesian coordinates and let point have coordinates . 다음 p p과 사이의 거리는 다음과 같습니다.[2]

는 피타고라스 정리를 수평 변과 수직 변이 있는 직각 삼각형에 적용하여 p 에서 까지의 선분을 빗변으로 사용함으로써 알 수 있습니다.제곱근 내부의 두 제곱 공식은 가로변과 세로변의 제곱 면적을 주고, 바깥쪽 제곱근은 빗변의 제곱 면적을 빗변의 길이로 변환합니다.[3]

극좌표로 주어진 점에 대한 거리를 계산할 수도 있습니다. 의 극좌표가(θ) theta )}이고 qq}의가s ψ)(s,\psi )}인 경우 거리는 코사인의 법칙에 의해 제공됩니다.

복소 평면에서 및 를 복소 숫자로 표현하는 경우 실수로 표현되는 1차원 점에 대해 동일한 공식을 사용할 수 있지만 여기서 절대값 부호는 복소 규범을 나타냅니다.[4]

고차원

정리를 반복 적용하여 n 차원 유클리드 거리 공식 도출

3차원에서 직각좌표에 의해 주어진 점의 경우, 거리는

일반적으로 차원 유클리드 공간에서 데카르트 좌표로 주어진 점의 경우, 거리는[5]

또한 유클리드 거리는 유클리드 벡터 차이의 유클리드 노름으로 더 압축적으로 표현될 수 있습니다.

점 이외의 객체

두 점이 아닌 객체 쌍의 경우 하우스도르프 거리와 같은 점에서 집합으로 더 복잡한 일반화도 일반적으로 사용되지만 거리는 두 객체에서 두 점 사이의 가장 작은 거리로 정의할 수 있습니다.[6]서로 다른 유형의 개체 간의 거리를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

점에서 곡선까지의 거리는 평행 곡선을 정의하는 데 사용할 수 있으며, 다른 곡선은 모든 점에서 주어진 곡선까지의 거리가 동일합니다.[9]

특성.

유클리드 거리는 계량 공간에서의 거리의 원형적인 [10]예이며, 계량 공간의 모든 정의된 특성을 준수합니다.[11]

  • 대칭이므로 모든 p 및 에 대해 = d q) {\displaystyle d(p, q) = d(q,p)}입니다. 즉, 두 점 사이의 거리는 두 점 중 어느 것이 시작이고 어느 것이 목적인지에 따라 달라지지 않습니다.
  • 양수라는 것은 서로 다른 모든 두 점 사이의 거리가 양수인 반면, 임의의 점에서 자신까지의 거리는 0이라는 것을 의미합니다.[11]
  • 이것은 삼각형 부등식을 따릅니다: 모든 세 p p q}및 rd ( )+d ( )≥ d (, r ) + d qd(p,r)}. 직관적으로, q}을를) 통해 p에서 r으)로 이동하는 것은 p p)에서 r r으)로 직접 이동하는 것보다 짧을 수 없습니다[11]

다른 성질인 Ptolemy의 부등식은 네 점 p r 및 s s 사이의 유클리드 거리에 관한 것입니다

평면상의 점들에 대하여, 이것은 모든 사변형에 대하여, 사변형의 양변의 곱은 적어도 그 대각선의 곱만큼 큰 수가 된다는 것을 나타내는 것으로 다시 표현될 수 있습니다.그러나 프톨레마이오스의 부등식은 어떤 차원의 유클리드 공간에 있는 점들이 어떻게 배열되든 더 일반적으로 적용됩니다.[12]유클리드 공간이 아닌 메트릭 공간의 점의 경우 이 부등식이 참이 아닐 수 있습니다.유클리드 거리 기하학은 프톨레마이오스의 부등식과 같은 유클리드 거리의 특성과 주어진 거리 집합이 유클리드 공간의 점에서 왔는지 여부를 테스트하는 데 적용되는 것을 연구합니다.[13]

Beckman-Quarles 정리에 따르면 단위 거리를 보존하는 유클리드 평면 또는 고차원 유클리드 공간의 모든 변환은 등각이어야 하며 모든 거리를 보존해야 합니다.[14]

유클리드 거리 제곱

원뿔, 평면상 원점으로부터 유클리드 거리의 그래프
원점으로부터 유클리드 거리를 제곱한 그래프인 포물선

많은 응용 분야에서, 특히 거리를 비교할 때, 제곱근은 순서를 변경하지 않으므로 유클리드 거리 계산에서 최종 제곱근을 생략하는 것이 더 편리할 수 있습니다( > d }}인 경우에만 d 1 > 이 누락으로 인한 값은 유클리드 거리의 제곱으로, 유클리드 거리의 제곱이라고 합니다.[15]예를 들어, 유클리드 최소 신장 트리는 숫자 값이 아닌 거리 사이의 순서만 사용하여 결정할 수 있습니다.제곱 거리를 비교하면 동일한 결과가 나오지만 불필요한 제곱근 계산을 피하고 수치 정밀도의 문제를 방지할 수 있습니다.[16]방정식으로서, 제곱 거리는 제곱의 합으로 표현될 수 있습니다.

유클리드 거리 제곱은 거리 비교에 적용되는 것을 넘어 통계학에서 중심적으로 중요하며, 관측값과 추정값 사이의 거리 제곱의 평균을 최소화하여 통계적 추정치를 데이터에 맞추는 표준 방법인 최소 제곱의 방법에서 사용됩니다.[17]확률 분포를 비교하는 가장 간단한 형태의 발산입니다.[18]최소 제곱 맞춤에서 수행되는 것처럼 서로 제곱 거리를 더하는 것은 피타고라스 덧셈이라고 하는 (무제곱) 거리에 대한 연산에 해당합니다.[19]군집 분석에서는 거리 제곱을 사용하여 더 긴 거리의 효과를 강화할 수 있습니다.[15]

유클리드 거리의 제곱은 삼각형 부등식을 만족시키지 않기 때문에 미터법 공간을 형성하지 않습니다.[20]그러나 매끄럽지 않은(같은 점의 쌍에 가까운) 볼록하지만 엄격하게 볼록하지 않은 거리와 달리 두 점의 매끄럽고 엄격하게 볼록한 함수입니다.따라서 거리 제곱은 볼록 분석을 사용할 수 있기 때문에 최적화 이론에서 선호됩니다.제곱은 음이 아닌 값의 단조 함수이므로 거리 제곱을 최소화하는 것은 유클리드 거리를 최소화하는 것과 동일하므로 최적화 문제는 둘 중 하나의 측면에서 동등하지만 거리 제곱을 사용하여 해결하는 것이 더 쉽습니다.[21]

유한 집합에서 점 쌍 사이의 모든 제곱 거리의 집합은 유클리드 거리 행렬에 저장될 수 있으며, 거리 기하학에서 이러한 형태로 사용됩니다.[22]

일반화

수학의 더 발전된 영역에서, 유클리드 공간을 벡터 공간으로 볼 때, 그것의 거리는 원점에서 각 벡터의 거리로 정의되는 유클리드 노름이라고 불리는 규범과 연관되어 있습니다.다른 규범에 비해 이 규범의 중요한 속성 중 하나는 원점을 중심으로 공간을 임의로 회전할 때 변하지 않는다는 것입니다.[23]드보레츠키의 정리에 따르면, 모든 유한 차원 노름 벡터 공간에는 노름이 대략 유클리드인 고차원 부분 공간이 있습니다. 유클리드 노름은 이 특성을 가진 유일한 노름입니다.[24]무한2 차원 벡터 공간까지 L 놈 또는 L2 거리로 확장할 수 있습니다.[25]유클리드 거리는 유클리드 공간에 열린 공(특정 지점에서 주어진 거리보다 작은 거리에 있는 점들의 집합)을 이웃으로 하는 위상 공간인 유클리드 위상의 구조를 제공합니다.[26]

체스판에서 3-4-5 삼각형의 빗변에 대한 체비셰프, 유클리드 및 택시카브 거리의 비교

실제 좌표 공간 및 함수 공간에서의 기타 공통 거리:[27]

  • 체비셰프 거리(L∞ distance), 거리를 각 좌표의 거리 중 최대로 측정합니다.
  • 거리를 각 좌표의 거리의 합으로 측정하는 맨해튼 거리(L1 거리).
  • 민코프스키 거리(Lp distance), 유클리드 거리, 맨해튼 거리, 체비셰프 거리를 통합하는 일반화.

3차원 표면의 점의 경우, 유클리드 거리는 표면에 속하는 최단 곡선의 길이인 측지 거리와 구별되어야 합니다.특히 지구 또는 구면 또는 구면에 가까운 다른 표면에서 대원거리를 측정하기 위해 사용된 거리에는 경도와 위도에서 구면의 두 점 사이에 대원거리를 제공하는 하버사인 거리가 포함됩니다.그리고 빈센트의 공식은 회전 타원체 위의 거리를 뜻하는 "빈센트 거리"로도 알려져 있습니다.[28]

역사

유클리드 거리는 유클리드 공간에서의 거리입니다.두 개념 모두 고대 그리스 수학자 유클리드의 이름을 따서 지었는데, 유클리드의 원소는 수세기 동안 기하학의 표준 교과서가 되었습니다.[29]길이와 거리에 대한 개념은 문화 전반에 걸쳐 널리 퍼져 있으며, 기원전 4천년(유클리드 이전)에 수메르에서 현존하는 가장 초기의 원시적인 관료 문서로 연대가 추정될 수 있으며,[30] 속도와 시간에 대한 관련 개념보다 어린이에게서 더 일찍 발달한다고 가정되었습니다.[31]그러나 유클리드의 원소에는 두 점에서 정의된 수로서 거리의 개념이 실제로 나타나지 않습니다.대신 유클리드는 선분의 일치, 선분의 길이 비교, 비례성 개념을 통해 이 개념에 함축적으로 접근합니다.[32]

피타고라스 정리도 고대의 것이지만 1637년 르네 데카르트가 데카르트의 데카르트 좌표를 발명한 이후에야 거리 측정에 중심적인 역할을 할 수 있었습니다.거리 공식 자체는 알렉시스 클라로가 1731년에 처음으로 발표했습니다.[33]이 공식 때문에 유클리드 거리는 때때로 피타고라스 거리라고도 불립니다.[34]유클리드가 아닌 지구 표면의 먼 거리에 대한 정확한 측정은 고대부터 많은 문화권에서 다시 연구되어 왔지만(측지학의 역사 참조), 유클리드 거리가 수학적 공간의 점 사이의 거리를 측정하는 유일한 방법이 아닐 수 있다는 생각은 더 나중에 생겨났습니다.19세기 비유클리드 기하학의 공식화와 함께.[35]3차원 이상의 기하학에 대한 유클리드적 표준과 유클리드적 거리의 정의도 19세기에 오귀스트랭-루이 코시의 연구에서 처음 나타났습니다.[36]

참고문헌

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