탈레스의 정리

기하학에서 탈레스의 정리는 선 AC가 직경인 원 위에서 A, B, C가 구별되는 점이라면 각 ABC는 직각이라고 명시하고 있다. 탈레스의 정리는 새긴 각도 정리의 특수한 경우로서 유클리드 원소 제3권에서 31번째 명제의 일부로 언급되고 증명된다.^[1] 일반적으로 탈레스 오브 밀레투스 탓으로 돌렸지만, 피타고라스 탓으로 돌리기도 한다.

역사

탈레스의 글에는 없는 것이 없다. 고대 그리스에서 행해진 일은 어떤 특정한 지적 구조에 관계된 모든 개인들을 존중하지 않고 지혜로운 사람들에게 기인하는 경향이 있었다; 이것은 특히 피타고라스의 사실이다. 귀속은 나중에 발생하는 경향이 있었다.^[2] 탈레스에 대한 언급은 프롤레스가 했고, 탈레스가^[3] "직각 삼각형을 원 안에 가장 먼저 새긴 것"이라는 팜필라의 진술을 문서화하는 디오게네스 라에르티우스가 했다.

인도와 바빌로니아의 수학자들은 탈레스가 증명하기 전에 특별한 경우를 위해 이것을 알고 있었다.^[4] 탈레스는 바빌론을 여행하는 동안 반원형으로 새겨진 각도가 직각이라는 것을 알게 되었다고 여겨진다.^[5] 이 정리는 고대 출처에서 이소체 삼각형의 기본 각도가 같고, 삼각형의 각도의 합이 180°와 같다는 자신의 결과를 이용하여 가장 먼저 정리를 증명했다고 하여 탈레스(Tales)의 이름을 따서 명명되었다.

단테의 파라디소(칸토 13, 선 101–102)는 연설 과정에서 탈레스의 정리를 가리킨다.

증명

첫 번째 증거

다음과 같은 사실이 사용된다: 삼각형의 각도의 합은 180°와 같고 이등변 삼각형의 기본 각도는 같다.

OA = OB = OC, ∆OBA와 ∆OBC는 등각 삼각형이기 때문에, 이등각 삼각형의 기저각의 동일성에 의해 ∠OBC = ∠OCB, obOBA = ∠OAB이다.

α = ∠Bao, β = ∠OBC를 두어라. ∆ABC 삼각형의 세 내부 각도는 α, (α + β), β이다. 삼각형의 각도의 합이 180°와 같기 때문에 우리는

${\displaystyle \put(\reft(\reft(\reft(\reft) +\put \right)+\put=180^{\$

${\displaystyle 2\buffer +2\buffer =180^{\buffer }}}$

${\displaystyle 2(\displaystyle +\pair )=180^{\pair }}$

$\displaystyle \cHB +\cHB =90^{\cHB }}$

Q.E.D.

두 번째 교정쇄

정리도 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다: $O{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle O=$ ($0,0$ $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle A=(-1,0),$C${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( $1{\displaystyle }$, 0 )$displaystyle$ C$=(1,0$ 그러면 B는 단위 원$({\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$)의 한 지점이다$($cos $\theta,\sin \theta ){\displaystyle,$ \$cos$ \theta ). 우리는 ABC와 BC가 수직이라는 것을 증명함으로써 ∆ABC가 직각을 형성한다는 것을 보여줄 것이다. AB와 BC의 기울기를 계산한다.

${\displaystyle m_{{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{{A}}}{x_{B}-x_{{}}}}}}}{{}}}}}A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}$

그리고

${\displaystyle m_{{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}{x_{B}-x_{C}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}$

그리고 그들의 제품이 -1과 같다는 것을 보여준다.

${\displaystyle {\buffered}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end{aligned}}}$

피타고라스 삼각측량 ID ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\theta }$ + ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta$=1$}$의 사용에 유의하십시오$.$

세 번째 교정쇄

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$을(를) 원 안의 삼각형으로 하고$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$은(는) 원 안의 지름이다. ${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 A $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle AB}$ 선 위에$$ 삼각형 A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$을(를) 미러링한 다음$$ 원의 중심을 통과하는$$ ${\displaystyle A}$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle AB}$에 수직인 선 위에 다시 미러링하여$$ 새 삼각형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystystyle AB}$을(를)하십시오. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle AC}$ 라인과$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle BD}$ 라인은 A ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle AD}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{CB}}$ ${\displaystyle CB}$와 마찬가지로 평행하므로$,$ 4각 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ACBD}$은 평행사변형이다. 평행사변형의 $대각선$인$$A$$ ${\displaystyle B}${\$displaystyle AB}$ 및 ${\displaystyle C}$D {\$displaystyle CD}$ 선은 둘 다 원의 직경이므로 길이가 같으므로 평행사변형은 직사각형이어야 한다. 직사각형의 모든 각도는 직각이다.

컨버스

어떤 삼각형, 특히 어떤 직각 삼각형의 경우, 정확히 하나의 원이 삼각형의 정점 세 개를 모두 포함하고 있다. (증거의 척도) 주어진 두 점으로부터 등거리점들의 위치는 점을 연결하는 선 세그먼트의 수직 이등분선이라고 불리는 직선이다. 삼각형의 어떤 두 변의 수직 이등분자는 정확히 한 점에서 교차한다. 이 점은 삼각형의 정점으로부터 등거리여야 한다.) 이 원을 삼각형의 원주라고 한다.

탈레스의 정리를 형성하는 한 가지 방법은, 삼각형의 원곡선의 중심이 삼각형에 놓여 있다면 삼각형의 중심은 옳고, 그 원곡선의 중심은 그 저선상에 놓여 있다는 것이다.

탈레스의 정리의 반대는 다음과 같다: 직삼각형의 원형의 중심은 그 원형의 저선형 위에 있다.(동등하게 직삼각형의 저선형은 그 원형의 직경이다.

지오메트리를 이용한 역류 증명

이 증명서는 직사각형을 형성하기 위해 오른쪽 삼각형을 '완료'하는 것으로 구성되며, 그 직사각형의 중심이 정점으로부터 등거리임을 알게 되며, 원래의 삼각형의 원곡선 중심도 그렇다는 것을 알게 된다. 그것은 두 가지 사실을 이용한다.

• 평행사변형의 인접각은 보충각이다(180°에 추가) 그리고
• 직사각형의 대각선이 같고 중앙점에서 서로 교차한다.

직각 bcABC, r A를 통과하는 BC에 평행한 선, C를 통과하는 AB에 평행한 선이 있도록 한다. D를 선 r과 s의 교차점(D가 원 위에 있다는 것이 증명되지 않았다는 점에 유의)

4각형 ABCD는 시공에 의해 평행도를 형성한다(상대방이 평행하기 때문에). 평행사변형에서 인접각은 보충각이기 때문에 (180°에 추가) 그리고 ∠ABC는 직각(90°)이고, ∠BAD, ∠BCD, ∠ADC도 직각(90°)이다. 따라서 ABCD는 직사각형이다.

O를 대각선 AC와 BD의 교차점이 되게 하라. 그러면 위의 두 번째 사실에 의해 O 지점은 A, B, C로부터 등거리인 것이다. 그래서 O는 원곡선의 중심이며, 삼각형(AC)의 저선형은 원의 지름이다.

지오메트리를 사용하여 반향에 대한 대체 증거

하이포텐use AC와 함께 오른쪽 삼각형 ABC를 지정하면 직경이 AC인 원 Ω을 생성한다. O를 Ω의 중심이 되게 한다. D를 Ω과 레이 OB의 교차점이 되게 한다. 탈레스의 정리로는 ∠ADC가 옳다. 그러나 그 다음 D는 B와 같아야 한다. (D가 ∆ABC 안에 있으면 ∠ADC가 둔해지고, D가 ∆ABC 외부에 있으면 ∠ADC가 급성일 것이다.)

선형대수를 사용한 역의 증명

이 증거는 다음 두 가지 사실을 이용한다.

• 두 선은 방향 벡터의 점 산물이 0인 경우에만 직각을 형성한다.
• 벡터 길이의 제곱은 벡터 자체의 도트 곱에 의해 주어진다.

직각 ∠ABC가 있고 직경으로 AC가 있는 원 M이 있다. 쉽게 계산할 수 있도록 M의 중심을 원점에 놓아라. 그러면 우리는 안다.

• A = - C, 원점 중심의 원은 직경으로 AC를 가지기 때문에
• (A - B) · (B - C) = 0, 왜냐하면 ∠ABC는 직각이기 때문이다.

그 뒤를 잇다.

0 = (A - B) · (B - C) = (A - B) · (B + A) = A - B.

따라서 다음과 같다.

A = B.

이것은 A와 B가 기원, 즉 M의 중심으로부터 등거리라는 것을 의미한다. A가 M에 놓여있기 때문에 B도 있고, 따라서 원 M도 삼각형의 원곡선이다.

사실 위의 계산은 탈레스 정리의 양쪽 방향이 어떤 내부 제품 공간에서나 유효하다는 것을 입증한다.

일반화 및 관련 결과

탈레스의 정리는 다음과 같은 정리의 특별한 경우다.

중심 O가 있는 원 위에 A, B, C가 3점 주어졌을 때, 각도 ocAOC는 각도 cABC보다 2배 크다.

새겨진 각도를 보아라, 이 정리의 증거는 위에서 주어진 탈레스의 정리의 증명과 상당히 유사하다.

탈레스의 정리와 관련된 결과는 다음과 같다.

• AC가 원의 지름인 경우:

• B가 원 안에 있으면 ∠ABC > 90°
• B가 원 위에 있으면 abABC = 90°
• B가 원 밖에 있으면 ∠ABC < 90°

적용

탈레스의 정리는 주어진 점을 통과하는 원과 접선을 형성하는 데 사용될 수 있다. 오른쪽 그림에서 중심 O와 외부 k 지점 P가 있는 원 k에서 OP를 이등분하고 중심 H. OP로 반경 OH의 원을 그리기 때문에 원들이 교차하는 지점 T와 T′에 OP를 연결하는 삼각형이 모두 우측 삼각형이다.

탈레스의 정리는 또한 원보다 큰 정사각형이나 직사각형의 종이와 같이 직각을 가진 물체를 이용하여 원의 중심을 찾는 데 사용될 수 있다.^[6] 각도는 원주의 어느 곳에나 위치한다(그림 1). 원주가 있는 두 변의 교차점은 직경을 정의한다(그림 2). 다른 교차로 세트를 사용하여 이 과정을 반복하면 다른 직경이 나온다(그림 3). 중심은 지름의 교차점에 있다.

참고 항목

• 합성 기하학
• 역피타고라스 정리

메모들

참조

• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. p. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5. (Google Books에서 온라인 사본 제한, 페이지 50)
• Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. I. Oxford. pp. 131ff.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Thales' Theorem". MathWorld.
• 새긴 각도에서 뭉칭
• 탈레스의 정리, 인터랙티브 애니메이션으로 설명했다.
• 마이클 슈라이버에 의한 탈레스의 정리 데모, 울프램 데모 프로젝트.