논리적 등가성

논리학과 수학에서 문장 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 모든 모델에서 동일한 진리 값을 갖는 경우 논리적으로 동등하다고 한다$$.^[1] $p{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle p$$}$과($)$$$$q$ {\$displaystyle$p$\equiv$$q{\displaystyle \},}$ p : :${\displaystyle }$$q$ {\$displaystyle$ p$:$$q{\displaystyle }$$},$ E : ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\textsf{E}pq$$},$ $또는{\displaystyle }$ p$q {\displaystystyleasestyp$ q}로 표현되기도 한다$.$ 그러나 이러한 기호는 재료 동등성에도 사용되므로 적절한 해석은 문맥에 따라 달라질 수 있다. 논리적 등가성은 물질적 등가성과는 다르지만, 두 개념은 본질적으로 관련이 있다.

논리적 동등성

논리학에서는 많은 일반적인 논리 동등성이 존재하며 종종 법이나 속성으로 나열된다. 다음 표는 이것들 중 일부를 보여준다.

일반 논리 동등성

등가성	이름
$\displaystyle p\display \top \equiv p}$ $\displaystyle p\ve \bot \equiv p}$	신원법
$\displaystyle p\ve \top \equiv \top }$ $\displaystyle p\bot \bot \equiv \bot }$	지배법칙
$디스플레이 스타일 p\vee p\equiv p}$ $p\displaystyle p\disp p\equiv p}$	idempotent 또는 tautology 법칙
$\displaystyle \neg(\neg p)\equiv p}$	이중부정법
$(\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ $(\displaystyle p\bequiv q\equiv q\beght p}$	상보법
$(p\displaystyle (p\ve q)\ve r\equiv p\ve (q\ve r)}$ $(p\displaystyle)(p\p\put q)\requiv p\requiv p\required (q\put r)}$	연합법
$(p\displaystyle p\ve (q\ve r)\equiv (p\ve q)\requiv (p\ve r)}$ $(p\displaystyle p\be r)\equiv (p\bee q)\ve (p\be r)}$	분배법
$\displaystyle \neg (p\put q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ $\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\resid \neg q}$	드 모건의 법칙
$(p\displaystyle p\vee)(p\p\put q)\equiv p}$ $(p\displaystyle p\p\ve q)\equiv p}$	흡수법칙
$\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ $\displaystyle p\boat \neg p\equiv \bot }$	부정법

조건문을 포함하는 논리적 동등성

1. $\displaystyle p\bequiv \neg p\vee q}$
2. $\displaystyle p\bequiv \neght \neght \neg p}$
3. $\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\beght q}$
4. $(p\displaystyle p\buff q\equiv \neg \neg q)}$
5. $\displaystyle \neg(p\put q)\equiv p\required \neg q}$
6. $(p\displaystyle)(p\p\put q)\pair(p\pair r)\equiv p\pair(q\pair r)}$
7. $(p\displaystyle (p\be q)\ve (p\bee r)\equiv p\be (q\ve r)}$
8. $(p\displaystyle (p\p\put r)\put (q\put r)\equiv (p\vee q)\put r}$
9. $[\displaystyle (p\put r)\vee (q\put r)\equiv (p\put q)\put r}$

양수화를 포함하는 논리적 동등성

1. $[\displaystyle p\iff q\equiv (p\put q)\inquiv (p\put q\p)}$
2. $\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. $(\displaystyle p\iff q\equiv (p\p\put q)\vee (\neg p\resid \neg q)}$
4. $\displaystyle \neg(p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

예

논리적으로

다음 문장은 논리적으로 동일하다.

1. 만약 리사가 덴마크에 있다면, 그녀는 유럽에 있을 것이다(d${\displaystyle }d{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle d\implies e}$ 형식의 성명).$$
2. 만약 리사가 유럽에 없다면, 그녀는 덴마크에 있지 않다. ( $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ⟹\mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \neg$ e$\implies \neg d}$ 형식의 문구).$$

구문론적으로 (1)과 (2)는 대립과 이중 부정의 규칙을 통해 서로로부터 파생될 수 있다. 의미론적으로 (1)과 (2)는 정확히 동일한 모델(해석, 평가)에서 참이다. 즉, 리사가 덴마크에 있거나 리사가 유럽에 있는 모델은 참이다.

(이 예에서는 고전적 논리가 가정된다는 점에 유의하십시오. 일부 비클래식 로직은 (1)과 (2)가 논리적으로 동등하다고 생각하지 않는다.)

물질적 등가성과의 관계

논리적 등가성은 물질적 등가성과 다르다. 공식 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 재료 동등성의 문장이 tautology인 경우에만 논리적으로 동등하다$$(^[2]${\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟺}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\iff q$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}($흔히 $p파운드{\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\왼쪽$ 오른쪽 $화살표$ q$}$로 표기됨$)$의 물질적 동등성 그 $자체$는 p$$${\$$displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }${\$displaystystyle q$$}$과 동일한 객체 언어로 "${\displaystyle }$ if and onl$"$라는 생각을 표현한다$.$y if $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}'"$인 경우 $특히$ ${\displaystyle \mathrm{p파운드}}$의${\displaystyle }$진가가격은$한$ 모델에서 다른 $모델$로 바뀔 수 있다$$$.$

반면 두 공식은 논리적으로 동등하다는 주장은 금속어로 된 진술로, 두 $문장$의 p$[\displaystyle p}$와 q$[\displaystyle q}$ 사이의 관계를 표현하고 있다$.$ 문장은 모든 모델에서 동일한 진리 값을 갖는다면 논리적으로 동일하다.

참고 항목

• 가입
• 등만족도
• 만약 그리고 만약
• 논리 쌍변성
• 논리평등
• ≡ iff 기호(U+2261 동일 TO)
• ∷ a to b c는 d 기호(U+2237 REMPERATION)에 대한 a to b를 c로 표시한다.
• ⇔ 더블 히트 바이콘드레이드(U+21D4 좌측 우측 더블 화살표)
• £ 양방향 화살표 (U+2194 왼쪽 화살표)

참조