힐베르트의 공리

Hilbert's axioms

힐베르트의 공리는 1899년 데이비드 힐베르트가 그의 저서 그룬들라겐 데어 지오메트리에서[1][2][3][4] 제안한 20가지 가정의 집합입니다. 기하학의 기초)는 유클리드 기하학을 현대적으로 치료하기 위한 기초입니다. 유클리드 기하학의 다른 잘 알려진 현대 공리화는 알프레드 타르스키와 조지 버크호프의 공리화입니다.

공리계

힐베르트의 공리계는 여섯 개의 원시적 개념으로 구성되어 있습니다: 세 개의 원시적 용어:[5]

그리고 세 개의 원시적인 관계:[6]

  • 연결점 사이, 3원 관계
  • (격납) 위에 놓입니다. 3개의 이항 관계, 1개의 연결점과 직선, 1개의 연결점과 평면, 1개의 연결점과 평면, 1개의 연결점과 평면.
  • 합동, 두 개의 이항 관계, 하나의 연결 선분 및 하나의 연결 각도, 각각 이항 ≅로 표시됩니다.

선분, 각도 및 삼각형은 각각 점과 직선으로 정의될 수 있으며, 매개와 내포의 관계를 사용합니다. 다음 공리에서 모든 점, 직선, 평면은 특별한 언급이 없는 한 서로 다릅니다.

I. 발생률

  1. 모든 두 점 A와 B에는 두 점을 모두 포함하는 선 a가 존재합니다. 우리는 AB = a 또는 BA = a 라고 씁니다. "contains" 대신 다른 형태의 표현을 사용할 수도 있습니다. 예를 들어 "A는 a 위에 놓여 있다", "A는 a의 한 점이다", "A는 A를 거쳐 B를 지나간다", "A는 A에서 B로 합류한다" 등과 같은 말을 할 수 있습니다. A가 a 위에 놓여 있고 동시에 다른 b 위에 놓여 있다면, 우리는 "선 a와 b는 점 A를 공유한다" 등의 표현도 사용합니다.
  2. 모든 두 점에 대해 두 점을 모두 포함하는 선이 하나 이상 존재하지 않습니다. 결과적으로 AB = a 및 AC = a, 여기서 B ≠ C, BC = a입니다.
  3. 한 선에 최소 두 개의 점이 있습니다. 같은 선 위에 놓이지 않는 점이 최소 세 개 존재합니다.
  4. 동일한 선 위에 위치하지 않는 모든 세 점 A, B, C에 대하여 이들을 모두 포함하는 평면 α가 존재합니다. 모든 평면에는 그 위에 놓여 있는 점이 있습니다. 우리는 ABC = α라고 적습니다. 우리는 또한 "A, B, C는 α의 점", "A, B, C는 α의 점" 등의 표현을 사용합니다.
  5. 동일한 선에 놓이지 않는 모든 세 점 A, B, C에 대하여 모든 점을 포함하는 평면은 하나 이상 존재하지 않습니다.
  6. 만약 직선의 두 점 A, B가 평면 α에 놓여 있다면, a의 모든 점은 α에 놓여 있습니다. 이 경우 우리는 "선 a가 평면 α에 놓여 있다" 등을 말합니다.
  7. 만약 두 평면 α, β가 한 점 A를 가지고 있다면, 그들은 적어도 두 번째 점 B를 가지고 있습니다.
  8. 평면에 놓여 있지 않은 점이 적어도 네 개 존재합니다.

II. 순서

  1. 점 B가 점 A와 C 사이에 있다면, B도 C와 A 사이에 있고, 구별되는 점 A, B, C를 포함하는 선이 존재합니다.
  2. A와 C가 두 점이라면, C가 A와 B 사이에 놓이도록 선 AC 위에 적어도 하나의 점 B가 존재합니다.[7]
  3. 선 위에 위치한 모든 세 점 중에서 다른 두 점 사이에 있는 점은 하나 이상이 없습니다.[8]
  4. Passch의 공리: A, B, C를 같은 선 위에 놓이지 않고 A, B, C를 통과하지 않는 선을 ABC 평면 위에 놓았다고 하자. 그런 다음 선 a가 세그먼트 AB의 한 점을 통과하면 세그먼트 BC의 한 점이나 세그먼트 AC의 한 점도 통과합니다.

III. 일치

  1. A, B가 a선 위의 두 점이고 A'가 같은 선 위의 한 점 또는 다른 선 위의 한 점이라면, 직선 a' 위의 A'의 주어진 변 위에서, 우리는 항상 A'B'를 찾을 수 있습니다. 그래서 우리는 A'B'가 A'B' 세그먼트와 일치하도록. 우리는 AB ≅ A'B'를 써서 이 관계를 나타냅니다. 모든 세그먼트는 자신과 합동입니다. 즉, 우리는 항상 AB ≅ AB를 가집니다.
    우리는 위의 공리를 적어도 한 가지 방법으로 주어진 직선의 주어진 점 위에 모든 세그먼트를 배치할 수 있다고 간단히 말할 수 있습니다.
  2. 세그먼트 AB가 세그먼트 A'B'와 일치하고 또한 세그먼트 A ″B ″과 일치하는 경우 세그먼트 A'B'는 세그먼트 A ″B ″과 일치합니다. 즉, AB가 A'B'를 ≅하고 AB가 A ″B ″을 ≅하면 A'B'가 A ″B ″을 ≅합니다.
  3. AB와 BC를 점 B를 제외하고 공통점이 없는 선 a의 두 세그먼트라고 하고, 나아가 A'B'와 B'C'를 B' 이외의 다른 점이 없는 동일하거나 다른 선 a'의 두 세그먼트라고 합니다. Then, if AB ≅ A′B′ and BC ≅ B′C′, we have AC ≅ A′C′.
  4. 평면 α에 각 ∠ (h,k)를 주고, 평면 α'에 선 a'를 주어라. 또한 평면 α'에서 직선 a'의 정변이 할당된다고 가정합니다. 이 선의 점 O'에서 나오는 직선 a'의 광선을 h'로 표시합니다. 그런 다음 평면 α'에는 각도 ∠(h, k) 또는 ∠(k, h)가 각도 ∠(h', k')와 일치하고 동시에 각도 ∠(h', k')의 모든 내부 점이 a'의 주어진 변 위에 놓이도록 하는 하나의 광선 k'가 있습니다. 우리는 이 관계를 표기 ∠ (h, k) ≅ ∠ (h', k')로 표현합니다.
  5. 각도 ∠(h, k)가 각도 ∠(h', k')와 일치하고 각도 ″(h ″, k ∠)와 일치하면 각도 ″(h', k')은 각도 ″(h ∠, k ″)와 일치합니다. 즉, ∠(h, k)가 ≅ ∠(h', k')와 ∠(h, k')가 ≅ ∠하면 ∠(h', k') ≅ ∠(h', k') ″(h ″, k')가 됩니다.
  6. 두 삼각형 ABC와 A'B'C'에서 합동 AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C'가 유지되면, 합동 ∠ ABC ≅ ∠A'B'C'가 유지됩니다(그리고, 표기법의 변경에 의해, ∠ ACB ≅ ∠A'C'도 유지됩니다).

IV. 평행선

  1. 유클리드의 공리:[9] 임의의 선이 되고 A는 그 위에 없는 점이 되게 하라. 그러면 평면에는 A를 통과하고 A와 교차하지 않는 a와 A에 의해 결정되는 선이 많아야 하나 있습니다.

V. 연속성

  1. 아르키메데스의 공리: 만약 AB와 CD가 어떤 세그먼트라면, A에서 B까지의 광선을 따라 연속적으로 A에서 구성된 n개의 세그먼트 CD가 B 지점을 통과하도록 숫자 n이 존재합니다.
  2. 선 완전성의 공리: 내선(이미 존재하는 선에서 확장된 선, 일반적으로 기하학에서 사용되는 점들의 집합은 원래 요소들 사이에 존재하는 관계뿐만 아니라 Axioms I-III 및 V-1로부터 이어지는 선 순서 및 일치의 기본 속성을 보존하는 선 위의 점들의 집합은 불가능합니다.

힐베르트의 폐기된 공리

힐베르트(Hilbert, 1899)는 다음과 같은 21번째 공리를 포함했습니다.

II.4. 선의 임의의 네 점 A, B, C, D는 항상 B가 A와 C 사이에 위치하고 또한 A와 D 사이에 위치해야 하며, 나아가 C가 A와 D 사이에 위치해야 합니다.

이 문장은 패시의 정리라고도 합니다.

E.H. 무어와 R.L. 무어는 독립적으로 이 공리가 중복된다는 것을 증명했고, 전자는 이 결과를 1902년 미국 수학 학회의 거래(Transactions of the American Mathematical Society)에 실린 기사에서 발표했습니다.[10]

이 이전에는 현재 II.4로 나열된 패스크의 공리에 II.5라는 번호가 붙었습니다.

기하학의 판본과 번역본

그 자신의 강의를 바탕으로 한 모노그래프 원본은 1899년에 행해진 추모 연설을 위해 힐베르트에 의해 조직되고 쓰여졌습니다. 그 뒤에 힐베르트가 V.2, 완전성 공리를 추가한 프랑스어 번역이 빠르게 이어졌습니다. 힐버트에 의해 인가된 영어 번역본은 E.J.에 의해 만들어졌습니다. 타운센드는 1902년에 저작권을 갖게 되었습니다. 이 번역은 프랑스어 번역에서 변경된 내용을 포함하고 있어 2판 번역으로 간주됩니다. 힐베르트는 본문에 계속해서 변화를 주었고 몇몇 판본들이 독일어로 나타났습니다. 7판은 힐베르트의 생애에서 마지막으로 등장한 것입니다. 힐베르트는 이 판의 서문에서 다음과 같이 썼습니다.

"제 책인 기하학의 기초 제7판은 이전 판에 상당한 개선과 추가를 가져오는데, 부분적으로는 이 주제에 대한 제 후속 강의와 그 동안 다른 작가들에 의해 이루어진 개선에서 비롯됩니다. 그에 따라 책의 본문이 수정되었습니다."

7일 이후 새로운 판본이 나왔지만, 본문은 본질적으로 수정되지 않았습니다. 이 에디션의 수정 사항은 부록과 부록에서 확인할 수 있습니다. 원문과 비교했을 때 본문의 변화는 컸고 타운센드 번역본을 출판한 오픈코트 출판사에 의해 새로운 영어 번역본이 의뢰되었습니다. 그래서 1971년 10번째 독일어판에서 2번째 영어판이 레오 웅거에 의해 번역되었습니다. 이 번역본은 폴 베르네이의 후기 독일어판의 수정과 확장을 포함하고 있습니다.

웅거 번역은 다음과 같은 점에서 공리와 관련하여 타운센드 번역과 다릅니다.

  • 오래된 공리 II.4는 정리 5로 이름을 바꾸고 이동합니다.
  • 오래된 공리 II.5(Pasch's Axiom)는 II.4로 번호가 변경됩니다.
  • V.2, 라인 완전성의 공리는 다음과 같이 대체되었습니다.
완전성의 공리. 점, 직선, 평면으로 이루어진 계에 다른 요소를 추가하는 것은 불가능하며, 따라서 일반화된 계는 다섯 가지 공리 그룹 모두에 따라 새로운 기하학을 형성해야 합니다. 다시 말해서, 만약 우리가 다섯 개의 공리 그룹을 유효하다고 생각한다면, 기하학의 요소들은 확장하기 쉬운 시스템을 형성합니다.
  • 오래된 공리 V.2는 이제 정리 32입니다.

마지막 두 가지 수정 사항은 P 때문입니다. 버네이스.

기타 참고사항 변경사항은 다음과 같습니다.

  • 타운센드에서 사용하는 직선이라는 용어는 전체적으로 선으로 대체되었습니다.
  • Townsend는 사건의 공리를 연결의 공리라고 불렀습니다.

어플

이 공리들은 유클리드 고체 기하학을 공리화합니다. 필수적인 방법으로 "평면"을 언급하는 5개의 공리, 즉 I.4-8을 제거하고 III.4와 IV.1을 수정하여 평면에 대한 언급을 생략하면 유클리드 평면 기하학의 공리화를 얻을 수 있습니다.

힐베르트의 공리는 타르스키의 공리와 달리 1차 논리로 V.1~2의 공리를 표현할 수 없기 때문에 1차 이론을 구성하지 않습니다.

힐베르트의 그룬들라겐의 가치는 실질적이거나 교육학적이라기보다는 방법론적이었습니다. 기하학 공리학에 다른 주요한 공헌은 모리츠 패쉬, 마리오 피에리, 오스왈드 베블렌, 에드워드 버밀리 헌팅턴, 길버트 로빈슨, 헨리 조지 포더의 업적이었습니다. Grundlagen의 가치는 공리 독립적임을 증명하기 위한 모델의 사용을 포함하여 메타수학적 질문에 대한 선구적인 접근법과 공리 시스템의 일관성과 완전성을 증명할 필요성입니다.

20세기의 수학은 공리적 형식 체계의 네트워크로 발전했습니다. 이것은 힐베르트가 그룬들라겐에서 설정한 예에서 상당 부분 영향을 받았습니다. 그러나 2003년 컴퓨터로 그룬들라겐을 공식화하려는 노력(Meikle and Fleuriot)은 힐베르트의 증명 중 일부가 도표와 기하학적 직관에 의존하는 것으로 보이며, 따라서 그의 정의에 잠재적인 모호성과 누락이 있음을 밝혀냈습니다.[11]

참고 항목

메모들

  1. ^ Sommer, Julius (1900). "Review: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 6 (7): 287–299. doi:10.1090/s0002-9904-1900-00719-1.
  2. ^ Poincaré, Henri (1903). "Poincaré's review of Hilbert's "Foundations of Geometry", translated by E. V. Huntington" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 10: 1–23. doi:10.1090/S0002-9904-1903-01061-1.
  3. ^ Schweitzer, Arthur Richard (1909). "Review: Grundlagen der Geometrie, Third edition, Teubner, 1909" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 15 (10): 510–511. doi:10.1090/s0002-9904-1909-01814-2.
  4. ^ Gronwall, T. H. (1919). "Review: Grundlagen der Geometrie, Fourth edition, Teubner, 1913" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 20 (6): 325–326. doi:10.1090/S0002-9904-1914-02492-9.
  5. ^ 이 공리와 그 번호는 Grundlagen der Gometry 10판의 Unger 번역에서 따온 것입니다.
  6. ^ 이것을 아래에 명시된 6개의 관계로 셀 수 있었지만, 힐베르트는 그렇게 하지 않았습니다.
  7. ^ 타운센드 판에서 이 문장은 이후 판에서 정리가 된 A와 D 사이에 C를 갖는 점 D가 적어도 하나 존재한다는 점에서도 차이가 있습니다.
  8. ^ 존재 부분("적어도 하나는 있다")은 정리입니다.
  9. ^ 이것은 힐버트의 용어입니다. 이 진술은 플레이페어의 공리로 더 잘 알려져 있습니다.
  10. ^ Moore, E.H. (1902), "On the projective axioms of geometry" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3 (1): 142–158, doi:10.2307/1986321, JSTOR 1986321
  11. ^ 334페이지: "이사벨/이사르의 그룬들라겐을 공식화함으로써 우리는 힐베르트의 연구가 미묘한 추론 지점을 얼버무리고, 어떤 경우에는 암묵적인 가정이 이루어질 수 있도록 하는 도표에 크게 의존한다는 것을 보여주었습니다. 이러한 이유로 힐베르트는 자신의 많은 정리들을 증명하기 위해 기하학적 직관과 함께 자신의 공리를 해석했다고 주장할 수 있습니다."

참고문헌

외부 링크