절편정리

절편 정리는 탈레스의 정리, 기본 비례 정리 또는 측면 분할 정리로도 알려져 있으며, 동일한 출발점을 가진 두 광선이 평행선 쌍에 의해 절편될 경우 생성되는 다양한 선분의 비율에 대한 기초 기하학의 중요한 정리입니다.이는 유사한 삼각형의 비율에 대한 정리와 같습니다.이것은 전통적으로 그리스 수학자 탈레스의 것으로 여겨집니다.고대 바빌로니아인들과 이집트인들에게 알려져 있었지만, 최초로 알려진 증거는 유클리드의 《유클리드의 기하학》에 등장합니다.

정리의 공식화

S를 두 광선의 공통된 시작점으로 하고 A, B를 두 평행선과 첫 번째 광선의 교차점으로 하면 B는 A보다 S로부터 더 멀리 떨어져 있고 C, D는 두 평행선과 두 번째 광선의 교차점으로 하면 D는 C보다 S로부터 더 멀리 떨어져 있습니다.이 구성에서는 다음 문장을 사용합니다.^[1][2]

1. 첫 번째 광선에서 두 세그먼트의 비율은 두 번째 광선에서 해당 세그먼트의 비율과 같습니다.
   ${\displaystyle \frac{\mathrm{SA}}{}}$ A ${\displaystyle \frac{B}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{SC}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{}}$ ${\frac${ $A}{ AB$ }} = {\$frac${ $SC }{$ $\}\},$ ${\displaystyle \frac{S}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SD}}{}}$ ${\displaystyle \frac{CD}{}}$ ${\frac${ $S$${\displaystyle \frac{B}{}}$$$}}}, ${\displaystyle \frac{S}{}}$ B = {\$frac${ $SD }{$${\displaystyle \frac{C}{}}$$D }},$ S A $=$ ${\displaystyle \frac{SC}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SD}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\{\backslash }{}}$display $style {\frac${ $S$${\displaystyle \frac{A}{}}$$}{ SB$ }} = {\$frac${ $SC }}$
2. S에서 시작하는 동일한 광선에서 두 세그먼트의 비율은 평행선에서 세그먼트의 비율과 같습니다.
   ${\displaystyle {\frac {SA}{SB}}={\frac {SC}{SD}}={\frac {AC}{BD}}}$
3. 두 광선이 두 개의 임의의 선으로 절편되고 ${\displaystyle \frac{\mathrm{SA}}{}}$ A ${\displaystyle \frac{B}{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{SC}}{}}$ CD${\displaystyle \frac{}{}}${\$displaystyle${\$frac {SA}{ AB$ }} = {\$frac$ {SC$}{CD$}}이(가) 유지되는 경우 두 절편 선은 평행합니다.그러나 두 번째 문장의 반대는 참이 아닙니다(반례는 그림 참조).

확장 및 결론

두 $광선$이$$S {\$displaystyle$S}에서 교차하는 두 선으로 대체된 경우에도 처음 두 문장은 참으로$$유지됩니다. 이 $경우{\displaystyle }$S {\$displaystyle S}$에 대해 두 개의 평행선 사이에 놓이거나 그렇지 않거나(X 그림)(V 그림) 시나리오가 있습니다$.$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$가 두 평행선 사이에 위치하지 않으면 원래$$ 정리가 직접 적용됩니다.S ${\displaystyle S}$이(가) 두 개의 병렬 사이에$$ $있으면{\displaystyle }$ S$$${\$$displaystyle$ $A$$}$ 및$C{\displaystyle }$ {\$displaystyle C}$을(를) 반영하면 원래 정리가 적용되는 측도가 동일한 V 도형이 됩니다$$.^[2]그러나 세 번째 문장(역)은 선에 대해 참으로 유지되지 않습니다.^[3][4][5]

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 시작하는 광선이 두 개 이상이거나$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 두 개 이상의 선이 교차하는 경우$$각 병렬에는 두 개 이상의 선 세그먼트가 포함되며 한 병렬에서 두 선 세그먼트의 비율은 다른 병렬에서 해당 선 세그먼트의 비율과 동일합니다.예를 들어 $S{\displaystyle }$${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 시작하여$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 및 F ${\displaystyle F}$의 유사점과$$교차하는 세 번째 광선이 있을 경우 F$${\$displaystyle F}$이$($가) E {\$displaystyle$ E$}$보다 S {\$displaystyle$ S}에서$$ 더 멀리 떨어져 있으면 다음과 같은 균등성이 성립합니다$.$^[4]

${\displaystyle \frac{A}{}}$ E ${\displaystyle \frac{B}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{}}$ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ ${\frac${ $A$ $BF$ }}}={\$frac${ $EC }{ FD }$ ${\displaystyle \frac{A}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ C = B ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ ${\frac${ ${\displaystyle \frac{A}{}}$$E }{ EC$ }}={\$frac${ $BF }}$

두 번째 방정식의 경우에도 반대로 성립합니다. 즉, 3개의 선이 2개의 선으로 절편되고 각 선에서 그에 따른 선분의 비율이 같으면 그 2개의 선은 평행해야 합니다.^[4]

관련개념

유사 삼각형과 유사 삼각형

절편 정리는 유사성과 밀접한 관련이 있습니다.이는 유사 삼각형의 개념과 동등하며, 즉 유사 삼각형의 성질을 증명하는 데 사용될 수 있고 유사 삼각형은 절편 정리를 증명하는 데 사용될 수 있습니다.동일한 각도를 일치시키면 항상 두 개의 유사한 삼각형을 서로 배치하여 절편 정리가 적용되는 구성을 얻을 수 있으며, 반대로 절편 정리 구성에는 항상 두 개의 유사한 삼각형이 포함됩니다.

벡터공간에서의 스칼라 곱셈

노름 벡터 공간에서스칼라 곱셈에 관한 공리 (특히 λ ⋅ ${\displaystyle (a}$ →${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ → )${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$ → +${\displaystyle }$λ ⋅ ${\displaystyle b}$ → ${\displaystyle \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})$ =$\cdot${\$vec {a}+\cdot {\vec {b}}$를 ‖ λ하고 ${\displaystyle a}$ → ‖ = ${\displaystyle a}$ λ ⋅ ‖ →$${\$displaystyle \$lambda$\$‖ \$vec {a}\$ = $\cdot \{\vec {a}}\$} \lambda \cdot \{\vec {a}\ $\}$ ) 절편 정리가 성립하는지 확인합니다.‖ λ ⋅ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ →$$‖ ‖ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ →${\displaystyle \frac{}{}}$‖ $a$ =${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}}$‖ λ ⋅ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ →${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}}$‖ ‖ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ →${\displaystyle \frac{}{}}$‖ =${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}}$‖ λ ⋅ (${\displaystyle \frac{a}{}}$→ + ${\displaystyle \frac{b}{}}$→ )${\displaystyle \frac{}{}}$‖ ‖ $a$ → + ${\displaystyle \frac{b}{}}$→${\displaystyle \frac{}{}}$‖ = λ $displaystyle {\frac {\cdot {\vec$ {$a}},$= {\$vec$ {a$}},$ = {\$frac {\cdot {\vec$ {b$}},$= {\$vec$ {b$}},$= {\$frac {\$vec {b$}},$ lambda ${\$vec \$cdot ({\vec$ {$a}}+${\$vec${b$}},$ { {\$vec${$a}}+${\$vec$ {b}}}, = \vec {b}}

적용들

나침반과 자 구조의 대수적 공식화

초등 기하학에서는 그리스인들이 나침반과 직선형 구조의 측면에서 제기한 세 가지 유명한 문제가 있습니다.^[6][7]

1. 각도를 3등분하는 중
2. 큐브를 두 배로 늘리기
3. 원의 사각형

이 세 가지 모두가 마침내 불가능하다는 것이 밝혀질 때까지 2000년 이상이 걸렸습니다.이것은 19세기에 대수적 방법의 도움으로 이루어졌고, 그때까지 사용할 수 있게 되었습니다.필드 확장을 사용하여 대수적 용어로 세 가지 문제를 재구성하려면 필드 연산을 나침반 및 직선형 구성과 일치시켜야 합니다(구성 가능한 숫자 참조).특히 주어진 두 개의 선분에 대해 그 길이가 다른 두 개의 선분의 길이의 곱과 같도록 새로운 선분을 구성할 수 있도록 하는 것이 중요합니다.마찬가지로 $길이{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$의 선분에 대해 길이$$a ${\displaystyle {-1}^{}}$ ${\$의 새 선분을 구성할 수 있어야 합니다$.$절편 정리는 두 경우 모두에 대해 그러한 구성이 가능함을 보여주는 데 사용될 수 있습니다.

상품구성

역설계

주어진 비율로 선분 나누기

임의 선분 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{AB}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AB}}$을(를) $\displaystyle m:n}$ 비율로 분할하려면 $A$ ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AB}}$을(를) 한 다리로 하여 A에 임의 각도를 그립니다.반대쪽 다리에서 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ m + $n}$개의 등거리$$ 점을 구성한 다음 마지막 점을 통과하는 선을 그리고 m번째 점을 통과하는 B 및 평행선을 그립니다.이 평행선은 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{AB}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AB}}$을(를) 원하는 비율로 나눕니다.오른쪽 그래픽에는 선 세그먼트 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{AB}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AB}}$의 파티션이 $5{\displaystyle :3}$ ${\displaystyle 5:3}$ 비율로 표시되어 있습니다.

측정조사

처프스 피라미드의 높이

일부 역사적 자료에 따르면 그리스 수학자 탈레스는 절편 정리를 적용하여 첵스 피라미드의 높이를 구했다고 합니다.다음 설명은 피라미드의 높이를 계산하기 위해 절편 정리를 사용하는 방법을 보여줍니다.그러나 그것은 잃어버린 탈레스의 원작에 대해서는 언급하지 않습니다.^[9][10]

탈레스는 피라미드의 밑부분의 길이와 기둥의 높이를 측정했습니다.그리고는 그 날과 동시에 피라미드의 그림자의 길이와 막대의 그림자의 길이를 측정했습니다.이를 통해 다음과 같은 데이터를 얻을 수 있었습니다.

• 장대높이(A): 1.63m
• 극의 그림자 (B) : 2m
• 피라미드 베이스 길이 : 230m
• 피라미드 그림자: 65 m

이를 통해 그는

${\displaystyle C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}{2}}=180~{\text{m}}$

A,B,C를 알고 그는 이제 절편정리를 계산에 적용할 수 있었습니다.

${\displaystyle D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}{2~{\text{m}}}= 146.7~{\text{m}}$

강의 너비 측정

절편 정리는 강이나 호수의 폭, 고층 건물의 높이 등 직접적으로 측정할 수 없는 거리를 결정하는 데 사용될 수 있습니다.오른쪽 그림은 강의 너비를 측정하는 것을 보여줍니다.세그먼트 ${\displaystyle \mathrm{CF}}$ $displaystyle CF$ ${\displaystyle \mathrm{CA}}$ $displaystyle CA$ ${\displaystyle \mathrm{FE}}$ $displaystyle$ FE$}$을(를) 측정하여 원하는 ${\displaystyle \mathrm{거리}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{}}$ = $FE$ {\$displaystyle$ AB =${\frac$ { AC $FE}$ { FC$}}$을(를) 계산하는 데 사용합니다$.$

삼각형과 사다리꼴의 평행선

절편 정리는 특정 구성이 평행선(세그먼트)을 산출한다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

두 삼각형 변의 중간점이 연결된 경우 결과 선분은 세 번째 삼각형 변(삼각형의 중간점 정리)과 평행합니다.

사다리꼴의 평행하지 않은 두 변의 중간점이 연결된 경우 결과 선분은 사다리꼴의 다른 두 변과 평행합니다.

역사적 양상

이 정리는 전통적으로 그리스의 수학자인 밀레토스의 탈레스가 이집트의 피라미드의 높이를 측정하고 해안에서 배까지의 거리를 계산하기 위해 어떤 형태의 정리를 사용했을 것이라고 추정됩니다.^{[11][12][13][14]}

증명

정리의 기본적인 증명은 동일한 면적의 삼각형을 사용하여 비율에 대한 기본 진술을 도출합니다(청구항 1).다른 주장들은 첫 번째 주장과 모순을 적용함으로써 뒤따릅니다.^[1]

클레임 1

표기법:삼각형의 경우 수직 막대${\displaystyle (\dots }$ $displaystyle \ldots$는 해당 영역을 나타내고 선분의 경우 해당 길이를 나타냅니다. 증명: ${\displaystyle \mathrm{CA}}$는 ${\displaystyle \mathrm{BD}}$ ${\displaystyle CA\paralle BD}$를 ∥하므로$$△ ${\displaystyle \mathrm{CDA}}$ ${\displaystyle$\triangle $CDA}$와 △ ${\displaystyle \mathrm{CBA}}$ ${\displaystyle$\triangle $CBA}$의 고도는 동일한 길이입니다.이 삼각형들은 동일한 기준선을 공유하기 때문에 면적이 동일합니다.따라서 △ ${\displaystyle \mathrm{CDA}}$ = △ ${\displaystyle \mathrm{CBA}}$ $displaystyle$\triangle $CDA$ = $\$triangle $CBA}$가 있으므로 △ ${\displaystyle \mathrm{SCB}}$ = △ ${\displaystyle \mathrm{SDA}}$ $displaystyle$\triangle $SCB$ = \triangle $SDA}$도 있습니다.이것은 산출합니다. ${\displaystyle \frac{\mathrm{△}}{}}{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}S\mathrm{C}A}}$ ${\displaystyle \frac{△}{}}$ ${\displaystyle \frac{C}{\mathrm{D}}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{△}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SCA}}{}}$ △ ${\displaystyle \frac{\mathrm{CBA}}{}\frac{\mathrm{\{\backslash frac}}{}}${ $\$$triang$${$ \$trian$${\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{}}$$le$ CDA $}}}${$\triang${ \$triangl$ CBA$$}}, ${\displaystyle \frac{△}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$${\displaystyle \frac{S}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{}}$${\displaystyle \frac{A}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{S}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{}}$${\displaystyle \frac{A}{}}$ ${\displaystyle \frac{△}{}}$ △ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SCA}}{}}$△${\displaystyle \frac{\mathrm{\{\backslash frac}}{}}${ \triang${\displaystyle \frac{\mathrm{le\; SCA\; \}}}{}}$${$ \${\displaystyle \frac{\mathrm{trian}}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{le}}{}}$ $SDA }}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{=\{\backslash frac}}{}}$${$ $\tria$${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$$gle$ SCA }}${\displaystyle \frac{\mathrm{=\{\backslash frac}}{}}${ \triangle $SCA }}$ 삼각형 영역 공식${\displaystyle \frac{(}{}}$기준 ⋅ ${\displaystyle \frac{\text{고도}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\text{baseline}}\cdot {\text{$aitude$}}{2$을 꽂으면 다음과 같이 변환됩니다. ${\displaystyle \frac{SCA}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{FAF}}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SAE}}{}}$ ${\displaystyle \frac{CA}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{BEC}}{}}$ $displaystyle {\frac {SCA$}}}={\$frac {SAEC}}$ ${\displaystyle \frac{SCA}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{FAF}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{SCA}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SC}}{}}$ $displaystyle {\frac {S$${\displaystyle \frac{C}{}}$$AF}{SDAF$}}={\$frac {SAEC}}}$ 공통 요인을 취소하면 다음과 같은 결과가 나타납니다. (a) ${\displaystyle \frac{\mathrm{SC}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{SA}}{}}$ B $displaystyle \,{\frac${ $SC }{ CD$ }} = {\${\displaystyle \frac{frac}{}}$$${ $SA }{ AB$ $}},$ (b) ${\displaystyle \frac{SC}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SD}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{SA}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ $displaystyle \,{\frac${ $SC }{ SD$ }} = {\$frac${ $SA }{ SB }}$ 이제 (b)를 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{SA}}$ {\$displaystyle SA }$ 및 ${\displaystyle \mathrm{SC}}${\$displaystyle$ SC $}$를(를) (a)에서 교체합니다. ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{SA}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{DS}{}}{}}$ B ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{SBS}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{SC}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{DA}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ $displaystyle {\frac {\frac${ $SAD$} { $SB$ } { $CD$ }} = {\$frac {\frac${ $SB SC$} { $SD }}$ { $AB }}}$ (b)를 다시 사용하면 다음과 같이 간단해집니다: (c) ${\displaystyle SD}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{SBA}}{}}$ $displaystyle \,{\frac {SD}$ { $CD$ }} = {\$frac {SB}$ ${AB$ } ◻ ${\displaystyle \,\square }$

클레임2

A을$$(를$)$ 통해 $SD$ {\displaystyle $SD}$에 대한 병렬을 추가로 그립니다.이 평행선은 G에서$$ ${\displaystyle \mathrm{BD}}$ ${\displaystyleBD}$과(와) 교차합니다.${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ AC = ${\displaystyle \mathrm{DG}}$ $displaystyle AC$ = $DG }$이고 클레임 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{SAS}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ 때문에 = ${\displaystyle \frac{\mathrm{DB}}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ $displaystyle {\frac${ $SA }{ SB$ }} = {\$frac${ ${\displaystyle \frac{\mathrm{DG}}{}}$ $}{ BD$ }}$$= ${\displaystyle \frac{AC}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ $displaystyle {\frac${ $SA }{ SB$ }}$$= {\$frac${ $AC }}$ ${\displaystyle \square}$

클레임3

${\displaystyle \mathrm{AC}}$ ${\displaystyle AC}$ 및 $BD$ ${\displaystyle$ BD}이($)$ 병렬이 아니라고 가정합니다$$.$그러면$ ${\displaystyle \mathrm{AC}}$ ${\displaystyle AC}$에서 D ${\displaystyle D}$까지의 평행선이 $B$ 0 ≠ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle$ $SA$$}$에서 ${\displaystyle \mathrm{SA}}$ ${\displaystyle$ SA}와 교차합니다$.$ S${\displaystyle B}$ : ${\displaystyle S}$A =$SD$ : SC {\$displaystyle$: $SA$ = $SD$:$SC}$가 참이므로 ${\displaystyle SB = {\frac {SDSA}{SC}}$ 한편 클레임 1로부터 우리는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SSD}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{AS}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{SC}}{}}$ $displaystyle$ = {\$frac {SDSA$ 따라서 $B$ ${\displaystyle B}$와 ${\displaystyle B_{}}$ $0$ ${\displaystyle B_{0}$는 $S$ ${\displaystyle S}$와 같은 면에 있고 $B$ = B ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$B=$B_{0}$를 $의미하는$S ${\displaystyle S}$와 같은 거리를 갖습니다$.$이는 모순이므로 가정이 참일 수 없습니다. 즉 ${\displaystyle \mathrm{AC}}$ ${\displaystyle AC}$과 ${\displaystyle \mathrm{BD}}$ ${\displaystyle BD}$이(가) 실제로 병렬 ◻ ${\displaystyle \square}$

메모들

참고문헌

• French, Doug (2004). Teaching and Learning Geometry. BLoomsbury. pp. 84–87. ISBN 9780826473622. (온라인 복사, 페이지 84, Google Books)
• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. pp. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8. (온라인 복사, 10페이지, Google Books)
• Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. p. 34. ISBN 978-0-387-25530-9. (온라인 복사, 34페이지, Google Books)
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. pp. 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0. (온라인 사본, 페이지 3, Google Books)
• 로렌츠 할베이젠, 노르베르트 헝거뷸러, 후안 레우클리: 미트 하모니셴 베르흘트니센 주 케겔슈니텐: 펠렌더 클라셴 기하학Springer 2016, ISBN 9783662530344, 페이지 191-208 (독일)

외부 링크

• 행성수학에서의 절편정리
• 알렉산더 보고몰니:탈레스의 정리와 특히 절단된 매듭에서 탈레스의 정리
• 절편 정리 대화식