삼각 중심

기하학에서 삼각형 중심(또는 삼각형 중심)은 어떤 의미에서는 사각형과 원의 중심과 유사한 삼각형의 중심, 즉 어떤 측도로 그림의 가운데에 있는 점이다. 예를 들어, 중심, 할례, 장려자, 직교자는 고대 그리스인들에게 친숙했고, 간단한 구조로 얻을 수 있다.

이러한 고전적 중심은 각각 유사성 변환에 따라 불변(더 정밀하게 등가변)하다는 특성을 가지고 있다. 즉, 어떤 삼각형과 어떤 유사성 변환(회전, 반사, 팽창 또는 번역 등)의 경우, 변환된 삼각형의 중심은 원래 삼각형의 변환 중심과 같은 지점이다. 이 불변성은 삼각형의 중심에서 정의하는 속성이다. 그것은 브로카드 포인트와 같이 잘 알려진 다른 점들을 배제한다. 브로카드 포인트는 반영되지 않고 따라서 삼각형 중심으로서의 자격을 갖추지 못한다.

정삼각형의 경우, 모든 삼각형의 중심은 중심에서 일치한다. 그러나 삼각형 중심은 일반적으로 다른 모든 삼각형에서 서로 다른 위치를 취한다. 수천 개의 삼각형 센터의 정의와 성질은 삼각형 센터 백과사전에서 수집되었다.

역사

고대 그리스인들은 삼각형의 고전적인 중심부를 발견했음에도 불구하고 삼각형의 중심부에 대한 어떤 정의도 공식화하지 않았다. 고대 그리스 이후, 페르마 포인트, 9 포인트 중심, 레모인 포인트, 게르곤 포인트, 페우어바흐 포인트와 같은 삼각형과 관련된 몇 개의 특별한 포인트가 발견되었다. 1980년대에 삼각형 기하학에 대한 관심이 부활하는 동안, 이러한 특별한 점들이 삼각형 중심부의 공식적인 정의의 기초를 형성하는 몇몇 일반적인 특성을 공유한다는 것이 주목되었다.^[1]^[2] 2020년^[update] 9월 1일 현재 클라크 킴벌링의 '삼각형 센터 백과사전'에는 주석을 단 39,474개의 삼각형 센터 목록이 수록되어 있다.^[3]

형식 정의

세 개의 실제 변수 a, b, c의 실제 값 함수 f는 다음과 같은 속성을 가질 수 있다.

동질성: f(ta,tb,tc) = 어떤 상수 n과 모든 t > 0에 대한ⁿ t f(a,b,c)
두 번째 변수와 세 번째 변수의 이칭: f(a,b,c) = f(a,c,b)

0이 아닌 f가 이러한 특성을 모두 갖는 경우 삼각 중심 함수라고 한다. f가 삼각형 중심 함수이고 a, b, c가 기준 삼각형의 측면 길이인 경우, 3행 좌표가 f(a,b,c)인 점을 f(b,c,a) : f(c,a,b)라고 한다.

이 정의는 유사한 삼각형의 삼각형 중심이 위에 지정된 비침윤성 기준을 충족하도록 보장한다. 관례에 따라 다른 두 개 좌표는 a, b, c의 주기적 순열화를 통해 얻으므로 삼각형의 중심에서 세 개의 삼선 좌표 중 첫 번째 좌표만 인용된다. 이 과정은 순환성으로 알려져 있다.^[4]^[5]

모든 삼각형 중심 함수는 고유한 삼각형 중심과 일치한다. 이 서신은 비열한 것이 아니다. 다른 함수는 동일한 삼각형 중심을 정의할 수 있다. 예를 들어 f₁(a,b,c) = 1/a 및 f₂(a,b,c) = bc 함수 모두 중심과 일치한다. 두 삼각형 중심 함수는 그들의 비율이 a, b, c에서 대칭인 경우에만 동일한 삼각형 중심을 정의한다.

삼각형 중심 함수가 어디에나 잘 정의되어 있다고 하더라도 연관된 삼각형 중심에는 항상 같은 것을 말할 수는 없다. 예를 들어 a/b와 a/c가 모두 합리적이라면 f(a, b, c)를 0으로 하고 그렇지 않으면 1로 한다. 그런 다음 정수 면이 있는 삼각형의 경우 관련 삼각형 중심이 정의되지 않은 0:0:0으로 평가한다.

기본 도메인

어떤 경우에는 이러한 기능이 functions 전체에서³ 정의되지 않는다. 예를 들어 X의₃₆₅ 3행은 a^1/2 : b^1/2 : c이므로^1/2 a, b, c는 음수가 될 수 없다. 게다가 삼각형의 측면을 나타내기 위해서는 삼각형의 불평등을 만족시켜야 한다. 그래서³ 실제로 모든 기능의 영역은 ≤ b + c, b ≤ c + a, c ≤ a + b의 영역으로 제한된다. 이 영역 T는 모든 삼각형의 도메인이며, 모든 삼각형 기반 함수의 기본 도메인이다.

기타 유용한 도메인

분석을 T보다 작은 영역으로 제한하는 것이 바람직할 수 있는 예는 다양하다. 예를 들면 다음과 같다.

중심₄₀ X₃, X₄, X₂₂, X₂₄, X는 급성 삼각형을 특별히 참조한다.
즉², ≤ b² + c², b² ≤ c² + a², c² ≤ a² + b가² 있는 T의 영역이다.
Fermat 지점과₁₃ X를 구별할 때 각도가 2㎛/3을 초과하는 삼각형의 영역이 중요하다.
즉, a² > b² + b + b + c² 또는²² b > c + c + a² 또는 c² > a + ab² + b의² 삼각형.
T에 조밀하지만 모든 사소한 삼각형(즉, 점)과 퇴행된 삼각형을 제외하기 때문에 실질적인 가치가 매우 높은 도메인
(즉, 선)은 모든 스칼린 삼각형의 집합이다. 평면 b = c, c = a, a = b를 T에서 제거하여 얻는다.

도메인 대칭

모든 부분집합 D t T가 실행 가능한 영역은 아니다. 이대칭 시험 D를 지지하려면 평면 b = c, c = a, a = b에 대칭이어야 한다. 주기성을 지지하려면 선 a = b = c에 대한 2/3 회전 이하에서도 불변성이어야 한다. 가장 단순한 영역은 모든 정삼각형의 집합에 해당하는 선(t,t,t)이다.

예

중심(G), 인센티브(I), 할로우센터(O), 직교점(H) 및 9점 중심(N)이 있는 삼각형(ΔABC)

할로우센터

삼각형 ABC 면의 수직 이등분선의 동시점은 원곡선이다. 원곡선의 삼선 좌표는

a(b² + c² - a²) : b(c² + a² - b²) : c(a²² + b - c²)

f(a,b,c) = a(b²² + c - a²)로 한다. 그러면

f(ta,tb,tc) = (tb)² + (tc)² - (tc)² = t(a²(b³ + c - a²²) ) = t³(a,b,c) (동질성)

f(a,c,b) = a(c² + b² - a²) = a(b²² + c - a²) = f(a,b,c) (비대칭)

그래서 f는 삼각 중심 함수다. 해당 삼각형 중심은 원곡선과 동일한 삼행선을 가지기 때문에 원곡선이 삼각형 중심이라는 것을 따른다.

제1 이소곤 중심

A'BC는 BC의 부정적인 면에 기초 BC와 정점 A'가 있는 등변 삼각형이 되도록 하고 ABC와 ABC'는 유사한 방식으로 삼각형 ABC의 다른 두 면을 기초로 한 등변 삼각형이 되도록 한다. 그 다음 AA, BB, CC' 라인이 동시이며, 동시점은 제1차 이등분 중심이다. 그것의 삼선 좌표는

csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)

이러한 좌표를 a, b, c 단위로 표현하면 삼각형 중심 좌표의 정의 특성을 실제로 만족하는지 확인할 수 있다. 따라서 제1 이소곤 중심도 삼각 중심이다.

페르마 포인트

내버려두다

f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&({\text{equivalently }}A>2\pi /3),\\0&\quad {\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}&({\text{equivalently }}B>2\pi /3{\text{ or }}C>2\pi /3),\\\csc(A+\pi /3)&\quad {\text{otherwise }}&({\text{equivalently no vertex angle exceeds }}2\pi /3).\end{case}}

그 다음 f는 이대칭이고 동질적이므로 삼각 중심함수다. 더욱이 해당 삼각형 중심은 정점 각도가 2㎛/3을 초과할 때마다 둔각 정점과 일치하며, 그렇지 않으면 제1 이소곤 중심과 일치한다. 따라서 이 삼각형 중심은 다름아닌 페르마 지점이다.

비예시

브로카드 포인트

첫 번째 브로카드 포인트의 3행 좌표는 c/b : a/c : b/a이다. 이 좌표들은 균질성과 순환성의 성질을 만족시키되 이칭은 만족시키지 못한다. 그래서 첫 번째 브로카드 포인트는 (일반적으로) 삼각형 중심이 아니다. 두 번째 브로카드 포인트는 좌표 b/c : c/a : a/b가 3행으로 표시되며 유사한 발언이 적용된다.

첫 번째와 두 번째 브로카드 점들은 많은 이등분점 쌍들 중 하나로,^[6] 쌍이 삼각형의 유사성 하에서 보존되는 특성(각 개별 점들은 아님)과 삼각형에서 정의된다. 중간점과 3차원 제품과 같은 여러 이항 연산은 다른 이항 쌍뿐만 아니라 두 개의 브로카드 포인트에 적용될 때 삼각형 중심을 생성한다.

위치 벡터

삼각형 중심은 다음과 같이 쓸 수 있다.

P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}},

where $P,A,B,C$ are position vectors of the center ( $P$ ) and vertices ( $ABC$ ), and $w_{A},w_{B},w_{C}$ are scalars that produce the desired center. $일부$ 중심 인스턴스(instance)는 다음 표에서 볼 수 있는데, 여기서 $a$ , b, c $a,b,c$ 는 $a,b,c$ $해당$ 정점 반대편의 길이, S $S$ 는 $S$ 헤론의 공식으로 계산한 삼각형의 영역이다.

	$w_{\displaystyle w_{A}$	$w_{B}$	$w_{C}$	$w_{\displaystyle w_{A}+w_{B}+w_{C}}}$
장려자	$(\displaystyle a}$	$(\displaystyle b)$	$(\displaystyle c})$	$a+b+c$
엑센터	$(\displaystyle -a})$	$(\displaystyle b)$	$(\displaystyle c})$	$b+c-a}$
	$(\displaystyle a}$	$[\displaystyle -b}$	$(\displaystyle c})$	$(\displaystaystyle c+a-b}$
	$(\displaystyle a}$	$(\displaystyle b)$	${\displaystyle$	$(\displaystyle a+b-c}$
중심	$1$	$1$	$1$	$(\displaystyle 3}$
할로우센터	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$	$b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})$	$c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$	$16S^{2}$
직교점	$a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}$	$b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}$	$c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}$	$16S^{2}$

a\equiv{\BC}={\sqrt{{\vec},{\vec}}},

b\equiv{\cA}={\sqrt{{\vec},{\vec}}},

c\equiv {\overline {AB}={\sqrt{{\vec},{\vec}}},

16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+b^{4}+c^{4}).

몇몇 잘 알려진 삼각형 중심지들

고전 삼각형 중심

의 백과사전 삼각형 중심 참조	이름	표준 기호	삼선 좌표	설명
X₁	장려자	I	1 : 1 : 1	각도 이등분선의 교차점. 삼각형의 새겨진 원의 중심.
X₂	중심	G	BC : ca : ab	중위수의 교차점. 균일한 삼각형 라미나의 질량 중심.
X₃	할로우센터	O	cos A : cos B : cos C	측면의 수직 이등분선의 교차점. 삼각형의 한정된 원의 중심.
X₄	직교점	H	태닝 A: 태닝 B: 태닝 C	고도 교차점.
X₅	9점 중심	N	cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)	각 면의 중간점, 각 고도의 발, 직교점과 각 정점 사이의 중간점을 통과하는 원의 중심.
X₆	시메디안 포인트	K	a : b : c	symmedians의 교차점 – 각 중위수가 해당 각도 이등분선을 중심으로 반사됨.
X₇	게르고네 포인트	G_e	BC/(b + c - a) : ca/(c + a - b) : ab/(a + b - c)	각 꼭지점을 근골이 반대편에 닿는 지점과 연결하는 선의 교차점.
X₈	나겔 포인트	N_a	(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c	각 꼭지점을 반대쪽과 접촉하는 점으로 연결하는 선의 교차점.
X₉	미텐펑크트	M	b + c − a : c + a − b : a + b − c	중심 바깥 삼각형의 시메디안 점(및 다양한 등가 정의)
X₁₀	스피커 센터	S_p	BC(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)	삼각형의 유도자. 균일한 삼각 와이어프레임의 질량 중심.
X₁₁	푸에르바흐 포인트	F	1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B)	9점 원이 근방에 접하는 지점.
X₁₃	페르마 포인트	X	csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3) *	정점으로부터 가능한 가장 작은 거리의 합이다.
X₁₅ X₁₆	등역학적 포인트	S S′	죄(A + π/3) : 죄(B + +/3) : 죄(C + c/3) sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)	삼각형을 정삼각형으로 변형시키는 역전의 중심.
X₁₇ X₁₈	나폴레옹은 지적한다.	N N′	초(A - π/3) : 초(B - π/3) : 초(C - π/3) 초(A + π/3) : 초(B + π/3) : 초(C + π/3)	각 꼭지점을 정삼각형의 중심에 연결하는 선의 교차점은 바깥쪽(첫 번째 나폴레옹 포인트) 또는 안쪽(두 번째 나폴레옹 포인트)으로, 반대쪽에 장착되어 있다.
X₉₉	스타이너 포인트	S	BC/(b² - c²) : ca/(c² - a²) : ab/(a² - b²)	다양한 등가 정의.

(*) : 실제로 제1 이소곤 중심부, A,B,C ≤ 2π/3 때마다 페르마 지점

최근 삼각형 중심

보다 최근의 삼각형 중심들의 다음 표에서는, 다양한 점들에 대한 구체적인 언급이 언급되지 않는다. 또한 각 중심에는 첫 번째 삼선 좌표 f(a,b,c)만 지정된다. 다른 좌표는 삼림 좌표의 주기적 특성을 이용하여 쉽게 도출할 수 있다.

의 백과사전 삼각형 중심 참조	이름	중심함수 f(a,b,c)	기술된 연도
X₂₁	쉬플러 포인트	1/(코스 B + 코스 C)	1985
X₂₂	엑서터 포인트	a(b⁴ + c⁴ − a⁴)	1986
X₁₁₁	패리 포인트	a/(2a² − b² − c²)	1990년대 초
X₁₇₃	응축 이소셀라이저 포인트	황갈색(A/2) + 초(A/2)	1989
X₁₇₄	이프 응집합	초(A/2)	1987
X₁₇₅	등측점	- 1초 + A/2) cos(B/2) cos(C/2)	1985
X₁₇₉	첫 번째 아지마-말파티 포인트	초⁴(A/4)
X₁₈₁	아폴로니우스 포인트	a(b + c)²/(b + c − a)	1987
X₁₉₂	등비 평행도 점	bc(ca + ab − bc)	1961
X₃₅₆	몰리 센터	cos(A/3) + 2 cos(B/3) cos(C/3)
X₃₆₀	호프스타터 영점	A/a	1992

삼각형 중심 일반 클래스

킴벌링 센터

3만2000개가 넘는 삼각지대의 온라인 백과사전을 만든 클라크 킴벌링을 기리기 위해 백과사전에 등재된 삼각지대를 킴벌링센터로 통칭한다.^[7]

다항 삼각 중심

P의 삼선 좌표를 a, b, c에서 다항식으로 표현할 수 있다면 삼각 중심 P를 다항 삼각 중심이라고 한다.

정삼각형 중심

삼각형 중심 P는 P의 3행 좌표를 Δ, a, b, c에서 다항식으로 표현할 수 있다면 정규 삼각형 점이라고 하며, 여기서 Δ는 삼각형의 영역이다.

주 삼각형 중심

f(A) : f(B) : f(X)의 함수로서 다른 각도나 옆 길이에 의존하지 않는 f(X)의 3행 좌표를 f(A)형태로 표현할 수 있다면 삼각형 중심 P는 주요 삼각형 중심이라고 한다.^[8]

초월 삼각 중심

a, b, c의 대수적 함수만을 사용하여 P가 삼선형 표현을 하지 않으면 삼각형 중심 P를 초월 삼각형 중심이라고 한다.

잡다한

등각 삼각형 및 등변 삼각형

f를 삼각 중심 함수로 하자. 삼각형의 두 변이 같으면(a = b)

$f(a,b,c)=f(b,a,c)$ (a = b 이후)

$\displaystyle \property \put \put \f(b,c,a)}$ (이대칭에 의한)

따라서 관련 삼각형 중심부의 두 구성요소는 항상 동일하다. 그러므로 이등변 삼각형의 모든 삼각형 중심은 그것의 대칭선 위에 놓여져야 한다. 정삼각형의 경우 세 성분이 모두 같으므로 모든 중심은 중심과 일치한다. 그래서, 원처럼, 정삼각형은 독특한 중심을 가지고 있다.

엑센터스

내버려두다

f(a,b,c)={\displaysty}-1&\cHB{\text}\\text{{}a\geq b{\text{} 및 }a\geq c,\\\\;\;1&gt;nt;{\text}}.\end{case}}

이것은 삼각형 중심 함수로 쉽게 보여지며 (삼각형이 스칼린이라면) 해당 삼각형 중심은 가장 큰 정점 각도와 반대되는 외측 중심이다. 다른 두 개의 엑센서는 유사한 기능에 의해 선택될 수 있다. 그러나 위에 표시된 것처럼 이등변 삼각형의 외향자 중 하나와 등변 삼각형의 외향자 중 어떤 것도 삼각형의 중심이 될 수 없다.

쌍대칭 함수

함수 f는 모든 a,b,c에 대해 f(a,b,c) = -f(a,c,b)이면 쌍대칭이다. 그러한 함수도 0이 아니고 동질인 경우, 매핑(a,b,c) → f(a,b,c)²f(b,c,a)f(c,a,b)가 삼각 중심 함수임을 쉽게 알 수 있다. 해당 삼각형 중심은 f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)이다. 이 점을 고려하여 삼각 중심 함수의 정의는 때때로 0이 아닌 균일한 생체대칭 함수를 포함하도록 취해진다.

이전부터 새로운 센터

임의의 삼각 중심 함수 f는 a,b,c의 대칭함수로 곱하여 n = 0이 되도록 할 수 있다. 정규화된 삼각 중심 함수는 원본과 동일한 삼각 중심점을 가지며, 또한 f(ta,tb,tc) = f(a,b,c)가 모든 t > 0과 모든(a,b,c)에 대해 더 강한 속성을 가진다. 0 함수와 함께 정규화된 삼각 중심 함수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 아래에서 대수학을 형성한다. 이것은 새로운 삼각형 중심을 만들 수 있는 쉬운 방법을 제공한다. 그러나 구별되는 정규화된 삼각형 중심 함수는 예를 들어 f와 (abc)(⁻¹a+b+c)³f와 같은 삼각형 중심을 정의하는 경우가 많다.

흥미 없는 센터

a,b,c를 실제 변수라고 가정하고 α,β,γ을 세 개의 실제 상수가 되게 한다. 내버려두다

f(a,b,c)={\begin{경우}\alpha&\quad{\text{만약}}a<, b{\text{과}}a<, c\quad{\text{(동등하게 첫번째 변수는 작은 것)}},\\\gamma&\quad{\text{만약}}a>, b{\text{과}}a>, c\quad{\text{(동등하게 첫번째 변수는 가장 크다)}},\\\beta&\quad.{\text{ 그렇지 않으면}}\quad.\quad \quad \,\quad. {\text{(동등하게 그 첫 번째 변수는 가운데)}}}.\end{case}}

그 다음 f는 삼각 중심 함수로서, α : β : γ은 기준 삼각형의 옆면이 < b < c>로 라벨을 붙일 때마다 대응하는 삼각 중심이다. 따라서 모든 점은 잠재적으로 삼각형 중심이다. 그러나 대부분의 연속적인 기능이 별 관심이 없듯이, 삼각형의 중심은 거의 관심이 없다.

편심 좌표

f가 삼각형 중심 함수인 경우 af도 되고 해당 삼각형 중심은 af(a,b,c) : bf(b,c,a) : cf(c,a,b)이다. 이것들은 정확히 f에 해당하는 삼각형의 중심부의 이심 좌표들이기 때문에, 삼각형의 중심들은 똑같이 삼림선이 아닌 이심원리의 관점에서 잘 정의될 수 있었다. 실제로 한 좌표계에서 다른 좌표계로 전환하는 것은 어렵지 않다.

이진법

페르마 포인트와 제1 이소곤 센터 외에 다른 센터 페어가 있다. 또 다른 시스템은₃ X와 접선 삼각형의 장려자에 의해 형성된다. 다음과 같은 방법으로 주어진 삼각 중심 함수를 고려하십시오.

f(a,b,c)={\begin{cases}\cos(A)\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\,\,{\text{if the triangle is acute}},\\\cos(A)+\sec(B)\sec(C)\quad {\text{if the vertex angle at }}A{\text{ is obtuse}},\\\cos(A)-\sec(A)\quad \;\quad \;\quad \;\,{\text{if either of the angles at }}B{\text{ or }}C{\text{ is obtuse}}.\end{case}}

해당 삼각형 중심에는 네 가지 뚜렷한 가능성이 있다.

cos(A) : cos(B) : cos(C) 기준 삼각형이 급성인 경우 cos(C) (이 또한 곡선이 된다).
[cos(A) + sec(C)] : [cos(B) - sec(B)] : [cos(C) - sec(C)] A의 각도가 둔감한 경우
[cos(A) - sec(A)] : [cos(B) + sec(A)] : [cos(C) - sec(C)] B의 각도가 둔감한 경우
[cos(A) - sec(A)] : [cos(B) - sec(B)] : [cos(C) + sec(A)sec(B)] C의 각도가 둔감한 경우

일상적인 계산은 모든 경우에 이러한 삼행렬이 접선 삼각형의 장려자를 나타낸다는 것을 보여준다. 그래서 이 지점은 할례의 가까운 동반자인 삼각 중심이다.

이대칭과 불변성

삼각형을 반사하는 것은 그 옆면의 순서를 뒤집는다. In the image the coordinates refer to the (c,b,a) triangle and (using " " as the separator) the reflection of an arbitrary point α : β : γ is γ β α. If f is a triangle center function the reflection of its triangle center is f(c,a,b) f(b,c,a) f(a,b,c) which, by bisymmetry, is the same as f(c,b,a) f(b,a,c) f(a,c,b). 또한 이것은 (c,b,a) 삼각형에 상대적인 f에 해당하는 삼각 중심이기 때문에, 이칭은 모든 삼각 중심들이 반사되는 동안 불변성을 보장한다. 회전과 번역은 이중반사로 간주될 수 있기 때문에 삼각형 중심도 보존해야 한다. 이러한 침입 속성은 정의에 대한 정당성을 제공한다.

대체 용어

확장의 다른 이름으로는 균일한 스케일링, 등방성 스케일링, 균질성, 균질성이 있다.

비유클리드 및 기타 기하학

삼각 중심 연구는 전통적으로 유클리드 기하학과 관련이 있지만, 삼각 중심은 비유클리드 기하학에서도 연구될 수 있다.^[9] 구면 삼각형 중심은 구면 삼각법을 사용하여 정의할 수 있다.^[10] 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학 모두에 대해 동일한 형태를 갖는 삼각형 중심은 자이로트리거노메트리를 사용하여 표현할 수 있다.^[11]^[12]^[13] 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내부 각도가 180도에 합친다는 가정은 버려야 한다.

2차원 삼각형과 유사하게 4차원 또는 고차원 단순화의 중심도 정의할 수 있다.^[13]

일부 중심은 3면 이상의 다각형으로 확장할 수 있다. 예를 들어, 중심은 모든 다각형에 대해 찾을 수 있다. 삼면이 넘는 다각형의 중심부에 대한 연구가 일부 이루어졌다.^[14]^[15]

참고 항목

메모들

^ Kimberling, Clark. "Triangle centers". Retrieved 2009-05-23. Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center
^ Kimberling, Clark (11 Apr 2018) [1994]. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle". Mathematics Magazine. 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608. JSTOR 2690608.
^ Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.
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^ Bicentric Pairs of Points, Driangle Centers 2012-05-02 액세스
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외부 링크

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