비르코프의 공리

Birkhoff's axioms

1932년 G. D. Birkhoff는 비행기에 유클리드 기하학의 네 가지 체조 세트를 만들었는데, 때로는 Birkhoff의 공리라고도 한다.[1] 이 견본들은 모두 저울과 연장으로 실험적으로 확인할 수 있는 기본 기하학에 기초하고 있다. 가설은 실제 숫자에 기초하므로 접근방식은 유클리드 기하학에 대한 모델 기반 도입과 유사하다.

버크호프의 공리 체계는 버크호프와 비틀리가 중등 교과서에 활용했다.[2] 이 공리들은 또한 SMSG 공리라고 알려진 고등학교 기하학을 가르치는 새로운 표준을 제공하기 위해 학교 수학 연구 그룹에 의해 수정되었다. 기하학의 기초에 있는 몇몇 다른 교과서들은 비르코프의 공리 변형을 사용한다.[3]

가정체

두 점 A와 B 사이의 거리는 d(A, B), 세 점 A, B, C로 형성된 각도는 ∠ ABC로 나타낸다.

Postulate I: 선 측정값의 postulate. 어느 라인의 {A, B, ...} 포인트 세트는 실제 숫자 {a, b, ...와 1:1로 일치할 수 있다.}: 모든 점 A와 B에 대해 b - a = d(A, B)가 되도록 한다.

Postulate II: 점선 추정. 주어진 두 개의 구별되는 점 P와 Q를 포함하는 하나뿐인 하나의 선 ℓ이 있다.

Postulate III: 각도 측정의 postulate. 광선 세트 {ℓ, m, n, ...}}은(는) 임의의 점 O를 통해 실수 a(모드 2π)와 1:1로 대응하여 A와 B가 각각 ℓ과 m의 점(O와 같지 않음)인 경우 ℓ과 m과 관련된 숫자의 a - aℓ(모드 2π)는m π AOB이다. 더욱이, m의 B 점이 정점 O를 포함하지 않는 선 r에서 연속적으로 변화한다면, 숫자 a도m 연속적으로 변화한다.

Postulate IV: 유사성의 추정. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and ∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±103 CBA, ∠ A'C'B' = ±103 ACB.

참고 항목

참조

  1. ^ Birkhoff, George David (1932), "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)", Annals of Mathematics, 33 (2): 329–345, doi:10.2307/1968336, hdl:10338.dmlcz/147209, JSTOR 1968336
  2. ^ Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940], Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
  3. ^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9