크기 및 거리(Hipparchus)

On Sizes and Distances (of the Sun and Moon) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon) is a text by the ancient Greek astronomer Hipparchus (c. 190 – c. 120 BC) in which approximations are made for the radii of the Sun and the Moon as well as their distances from the Earth. 현존하는 것은 아니지만, 일부 내용은 프톨레마이오스와 알렉산드리아의 그의 해설가 파푸스의 작품에 보존되어 있다. 몇몇 현대 역사학자들은 히파르쿠스의 방법을 이용 가능한 본문을 이용하여 재구성하려고 시도했다.

원천

히파르쿠스의 본문에 대해 알려진 대부분의 것은 두 가지 고대 출처에서 나온 것이다. 프톨레마이오스와 파푸스. 이 작품은 스미르나의 테온 등이 언급하기도 하지만 히파르쿠스의 절차를 재구성하는 데 그들의 계정이 덜 유용하다는 것이 증명되었다.

프톨레마이오스

알마게스트 V, 11에서 프톨레마이오스는 다음과 같이 쓰고 있다.

이제 히파르쿠스는 주로 태양으로부터 그러한 검사를 했다. 태양과 달의 다른 특성(아래에 연구가 이루어질 것)에서 두 개의 조명기 중 한 개의 거리가 주어지면 다른 한 개의 거리도 주어지면, 그는 달의 거리를 보여주기 위해 태양의 거리를 추측하여 시도한다. 첫째로, 그는 태양이 거리를 찾기 위해 가장 지각할 수 없는 시차(paralax)를 보일 것이라고 가정한다. 그 후, 그는 마치 태양이 감지할 수 있는 시차(paralax)를 보이지 않는 것처럼, 먼저 자신이 추정한 일식을 이용하며, 정확히 그 이유 때문에 그가 제시한 가설 각각에 따라 달의 거리 비율이 그에게 다르게 나타났다. 그러나 태양에 관해서는 시차량의 양뿐만 아니라 시차량을 조금이라도 보여주는 것인지도 전혀 의심스럽다.

이 구절은 히파르쿠스가 한 일을 개괄적으로 설명하지만, 자세한 내용은 밝히지 않는다. 프톨레마이오스는 분명히 히파르쿠스가 채용한 방법에 동의하지 않았고, 따라서 어떤 세부사항에도 들어가지 않았다.

알렉산드리아 파푸스

히파르쿠스의 작품은 파푸스가 4세기에 알마게스트에 대한 해설을 쓸 때 여전히 남아 있었다. 그는 프톨레마이오스가 생략한 몇 가지 세부사항을 기입한다.

이제 히파르쿠스는 주로 태양으로부터 그런 검사를 했는데, 정확하지는 않았다. 왜냐하면 시지스(syzygies)와 가장 큰 거리에 있는 달은 태양과 동등하게 나타나며, 태양과 달의 지름의 크기가 주어지기 때문에(그 중 아래에서 연구가 이루어지므로), 두 개의 조명기 중 한 개의 거리가 주어지면 정리 12와 같이 다른 한 개의 거리도 주어지기 때문이다. 태양과 달의 직경이 주어지고 태양의 거리가 주어진다. 히파르쿠스는 시차(paralax)와 태양의 거리를 추측하여 달의 거리를 증명하려고 노력하지만, 태양에 관해서는 시차(paralax)의 양뿐만 아니라 시차(paralax)를 조금이라도 보여주는지도 전혀 의심스럽다. 이렇게 해서 히파르쿠스는 태양에 대해 시차적인 양뿐만 아니라 시차적인 것을 전혀 보이지 않는지에 대해서도 의심하고 있었기 때문이다. 첫 번째 책 "크기 및 거리"에서 지구가 태양에 대한 점 및 중심 비율을 가지고 있다고 가정한다. 그리고 그에 의해 부여된 일식을 통해...

그리고 나중엔

"On Sizes and Distance" 제1권에서 그는 다음과 같은 관찰을 한다: 헬레스폰트 주변 지역에서는 태양 일식이 전체 태양 원반을 정확히 일식하는 것으로서, 그 일부가 보이지 않았지만, 알렉산드리아에서는 이집트에 의해 대략 4/5가 생략되었다. 이를 통해 그는 제1권에 지구의 반경이 1인 단위에서 달의 최소 거리는 71, 최대 거리는 83이라는 것을 보여준다. 평균은 77... 한편, "크기 및 거리"의 제2권에서는 그 자신이 여러 가지 고려를 통해 지구 반경이 1인 단위에서 달의 최소 거리는 62, 평균 거리는 67이라는 것을 보여준다.½3, 그리고 태양의 거리 490. 달의 가장 큰 거리는 722⁄3이다.

이 구절은 재건을 실현하기에 충분한 세부사항을 제공한다. 특히 두 가지 절차가 따로 있었다는 점을 분명히 하고, 각각에 대한 정확한 결과를 제시한다. 그것은 일식을 확인할 수 있는 단서를 제공하고, 히파르쿠스가 현존하는 프톨레마이오스의 정리인 "정리 12"에서와 같은 공식을 사용했다고 말한다.

현대 재구성

몇몇 과학 역사학자들은 On Size and Distance에 관련된 계산을 재구성하려고 시도했다. 첫 번째 시도는 1900년 프리드리히 훌츠에 의해 이루어졌으나, 이후 1969년 노엘 스워들로에 의해 거절당했다. G. J. 투머는 1974년에 그의 노력을 확장했다.

훌치

프리드리히 훌츠흐는 1900년 논문에서 파푸스 선원이 잘못 복사되었고, 히파르쿠스가 계산한 태양까지의 실제 거리는 지구 반지름 2490(490이 아니라)이었다고 판단했다. 영어와 마찬가지로 그리스어에서는 이 두 결과 사이에 단 하나의 문자 차이만 있을 뿐이다.

그의 분석은 히파르쿠스가 태양을 지구 크기의 1880배, 지구는 달의 27배 크기로 발견했다는 Smyrna의 테온의 글에 근거한 것이다. 이것이 볼륨을 가리킨다고 가정하면 다음과 같다.

${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{3}}}}}}{{3}}\약 12+1/3}$

그리고

${\displaystyle \ell ={\sqrt[{3}]{1/27}=1/3}$

태양과 달이 하늘에 있는 겉보기 크기가 같다고 가정하고, 달이 지구 반지름 671⁄3 지구 반지름 거리라고 가정하면, 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle S={\frac {s}{\ell }{\l\ 약 {\frac {12+1/3}{1/3}{1/3}}}}}{1/3}}=2491+1/3\ 약 2490}$

이 결과는 노엘 스워들로우가 사건을 재조사하기 전까지 70년 동안 일반적으로 받아들여졌다.

2권 재구성(Swerdlow)

Swerdlow는 히파르쿠스가 프톨레마이오스에서 발견된 구조물을 이용해 태양과 달과의 거리를 연관시킨다고 판단했다. 이 계산이 원래 히파르쿠스가 알마게스트의 일차적인 출처였기 때문에 스스로 개발한 것이라면 놀랄 일도 아닐 것이다.

스워들로우는 이 계산을 통해 히파르쿠스(달의 경우 671⁄3, 태양의 경우 490)의 두 결과를 연관시킬 수 있었다. 이 관계를 정확히 얻기 위해서는 매우 정확한 근사치를 따라야 한다.

단순한 삼각적 정체성을 사용하면

$L\displaystyle \ell =L\tan \theta \cHBFFFL\sin \theta }$

그리고

${\displaystyle h={\frac {\tan \varphi }{\tan \tan \theta}}\ell \frac {\barphi }{\theta }}}\l\sin \theta }}$

평행선과 t = 1을 취하면

${\displaystyle \ell +x=t+(t-h)=2t-h\Rightarrow x\약 2-\좌측({\frac {\varphi }{\ta }+1\우측)L\sin \theta }$

삼각형의 유사성에 의해

${\displaystyle {\frac {t}{x}}={\frac {S}{S-L}\오른쪽 화살표 S={\frac {L}{1-x}}}}}$

이 방정식을 조합하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle S\ 약 {\frac {L}{\좌({\frac {\varphi }{\theta }}+1\우)L\sin \theta -1}=1\좌/\좌(\왼쪽({\frace {\barphi }{\theta }}}{\theta }+1\우)\sin \theta -{\frac {1}{L}\우)\우).}$

히파르쿠스가 이러한 변수에 대해 취한 값은 프톨레마이오스의 알마게스트 4세, 9에서 찾을 수 있다. 그는 히파르쿠스가 달이 자체 원을 650배 가까이 쟀고, 지구 그림자의 각도 지름이 달의 2.5배라는 것을 알아냈다고 말한다. 파푸스는 히파르쿠스가 달까지의 평균 거리를 671⁄3으로 잡았다고 한다. 이를 통해 얻을 수 있는 이점:

수량	가치
$2\displaystyle 2\theta }$	${\displaystyle 360^{\property }/properties=0.554^{\property }}}$
$\displaystyle \varphi }$	$[\displaystyle 2.5\theta =1.385^{\cHB }}}}$
$L}$	671⁄3

Swerdlow에 따르면, 히파르쿠스는 이제 다음과 같은 라운딩으로 이 표현을 평가하였다(값은 성역수(sexagesimal:

$L\sin \theta \ 약 0;19,30}$

그리고

${\displaystyle h\cH\cHBFFI }{\theta }\ell \\l\\\l\\\l\cHBFFFFF}약 0.48,45}$

그러면 왜냐하면

${\displaystyle \ell +h\ 약 {\frac {\barphi }{\\fracta }{\barphi }}{\fracta }}}{\barphi }\right)L\sin \theta }$

그 뒤를 잇다

$(\displaystyle S\ about L/(\ell +h-1)\ 약 67;20/0;8,15\ 약 489.70\ 약 490}$

스워들로우는 490이 파푸스 본문의 정확한 읽기라고 주장하기 위해 이 결과를 이용했고, 따라서 훌슈의 해석은 무효화되었다. 이 결과는 사용된 특정 근사치 및 라운딩에 크게 의존하지만, 일반적으로 받아들여졌다. 그러나 그것은 달거리 671⁄3가 어디에서 왔는지에 대한 의문을 열어두고 있다.

파푸스, 프톨레마이오스에 이어 스베르들로는 히파르쿠스가 지구 반지름 490을 태양까지의 최소 가능한 거리로 추정했다고 제안했다. 이 거리는 7'의 태양 시차에 해당하는데, 이것은 그가 무심코 지나갔을 것이라고 생각되는 최대치였을지도 모른다(인간 눈의 전형적인 해상도는 2'이다). 태양과의 거리에 대해 위에서 구한 공식을 반전시켜 달까지의 거리를 결정할 수 있다.

${\displaystyle L\ 약 {\frac {S}{\\좌({\frac {\varphi }{\theta }}+1\우)S\sin \theta -1}=1\좌/\좌(\왼쪽({\frace {\barphi }{\theta }}}{\theta }+1\우)\sin \theta -{\frac {1}{S}\우)\우).}$

각 각도에 대해 위와 같은 값을 사용하고, 최소 태양 거리로 490의 지구 반지름을 사용하면, 최대 평균 달 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle L\약 1\좌/\좌((2.5+1)\sin 0.277^{\circle }-{\frac {1}{490}\우)\우측).\ 약 67.107\ 약 67{\tfrac {1}{3}}}$

투머는 이를 통해 태양과의 거리가 제한 없이 증가함에 따라 공식이 최소 평균 달 거리에 근접하는 것을 관찰함으로써 이를 확장했다.

$(\displaystyle L\ 약 1\좌/\좌((2.5+1))\sin 0.277^{\circle }\우)\우측).\ 약 59.10}$

이것은 나중에 프톨레마이오스가 주장한 가치에 가깝다.

1권 재구성(토머)

토오머는 히파르쿠스가 달성한 최소 달 거리 설명 외에도 일식을 채용한 첫 번째 책의 방법을 설명할 수 있었다. 파푸스는 이 일식이 헬레스폰트 지역에서 총체적이었지만 알렉산드리아에서는 총 일식의 4/5로 관측되었다고 말한다.

만일 히파르쿠스가 태양이 무한히 멀리 떨어져 있다고 가정한다면(즉, 지구는 태양에 대한 점과 중심 비율을 가지고 있다), 일식의 규모 차이는 전적으로 달의 시차 때문일 것이다. 관측 데이터를 이용하여 그는 이 시차, 즉 달의 거리를 결정할 수 있을 것이다.

히파르쿠스는 알렉산드리아와 헬레스폰틴 지역의 위도인$$, ${\displaystyle A_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {and}_{}}$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 각각 알았을 것이다. 그는 또한 ${\displaystyle \delta }$과$($와) 두 지역 사이의 월식의 총합성 차이와 관련이 있는 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을 알았을 것이다$.$

${\displaystyle AH=t\operatorname {Crd} \angle AOH=t\operatorname {Crd}(\varphi _{H}-\varphi _{A})$

여기서 crd는 화음 함수를 말하며, 각도를 단위 직경의 원의 화음의 해당 길이에 도 단위로 매핑한다. 달은 매우 멀기 때문에 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \{}$ { $\$ {\$displaystyle$ \$zeta '\ \reason \zeta }.$이 근사치를 사용하면 알 수 있다.

$\displaystyle \zeta =\varphi _{H}-\delta }$

${\displaystyle \angle JA=180^{\circle }-\angle OHA}$

${\displaystyle \angle OHA={\frac {180^{\circle AOH}{2}}={\frac {180^{\circle }-(\varphi _{H}-\varphi _{A}}}}:{2}}:}$

그러므로,

$[\디스플레이 스타일 \angle Z] \angle ZHA=90^{\circle }+{\frac {1}{1}:{2}}(\varphi _{H}-\varphi _{A}})$

${\displaystyle \angle MHA=\theta =\angle JA-\zeta '\prock JA-\zeta =90^{}-{\circl }-{{{{{H}+\varphi _{A}}+\delta }}}}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle AH}$과 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$을$($를) 사용하면 $D{\displaystyle {}^{}}$$\mu {\displaystyle }$ ${\$ $\mu }$만 얻을$$ 수 있다$.$ 일식은 H에서 총계였고, A에서는 총계 4/5가 되었기 때문에$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystymu }$은 $태양$의 겉보기 직경의 1/5가 된다$$. 이 양은 히파르쿠스에 의해 잘 알려져 있었다. 그는 그것을 전체 원의 1/650로 받아들였다. 이후 지구의 중심에서 달까지의 거리는 $D{\displaystyle }$≈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ D\$around D'+t}$에서 이어진다$.$

토머는 히파르쿠스가 어떻게 작은 각도에 대한 화음을 결정했는지를 결정했다(화음(지오메트리) 참조). 헬레스폰트(41도)와 알렉산드리아(31도)의 위도에 대한 그의 가치관은 스트라보의 지리학 작품에서 알 수 있다. 이 열화를 결정하려면 히파르쿠스가 어떤 월식을 사용했는지 알 필요가 있다.

히파르쿠스가 결국 달까지의 거리(71지구 반지름)와 일식의 험한 지역을 위해 준 가치를 알고 있었기 때문에 토머는 히파르쿠스가 기원전 3월 14일 월식을 사용했다는 것을 알 수 있었다. 이 일식은 모든 수학적인 변수들에 매우 잘 들어맞고, 또한 역사적 관점에서 이치에 맞다. 이 일식은 히파르쿠스의 출생지인 니케아에서 총체적으로 일어났기 때문에, 그는 그에 대한 이야기를 들어봤을지도 모른다. 스트라보의 아브 우르베 콘디타 8세에도 그것에 대한 설명이 있다. 이때 달의 공칭은 $\Delta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}${\$displaystyle \delta$=-$3^{\circle$ $\}\}\}\}$그러므로 화음 삼각법을 사용하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

$\displaystyle \theta =54^{\buffer }+\buffer }$

${\displaystyle AH=t\operatorname {Crd} 10^{\circ }\가까이 t\ {\frac {600}{3438}}}}}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {360\cdot 60}{5\cdot 650}}}$

${\displaystyle D'={\frac {\operatorname {Crd} 2\theta \cdot AH}{\operatorname {Crd} \mu \cdot 2R}}={\frac {\operatorname {Crd} (108^{\circ }+2\delta )\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}}t}$

이제 히파르쿠스의 화음표를 사용해서

${\displaystyle \operatorname {Crd}(108^{\circle }+2(-3^{\circle })=\operatorname {Crd} 102^{\circle }\약 2\cdot 3438\sin 56^{\circle }약 5340}$

그래서

${\displaystyle D'={\frac {5340\cdot 600\cdot 5\cdot 650}{21600\cdot 2\cdot 3438}t\약 70.1t\Rightarrow D\약 D'+t\ 약 71.1t}$

이것은 파푸스가 보고하는 71 지구 반지름의 가치와 잘 일치한다.

이 분석은 해와 달이 자오선에 있는 가운데 한낮에 일식이 일어났다고 추정했다. 그러나 2월 28일 새벽 일어난 기원전 190년의 일식은 그렇지 않았다. ^[1]

결론

이러한 재건 작업이 히파르쿠스가 On Sizes and Distance에 쓴 내용을 정확하게 반영한다고 가정하면, 이 작품은 주목할 만한 업적이었다. 미지의 물리적 양에 한계를 설정하는 이 접근법은 히파르쿠스에게는 새로운 것이 아니었다(사모스의 아리스타르쿠스 참조). 아르키메데스도 파이와 같은 행동을 했지만, 그러한 경우 경계는 물리적 관측치의 불확실성이 아닌 임의의 정밀도로 수학적 상수를 결정할 수 없음을 반영했다.

히파르쿠스는 결국 자신의 두 결과 사이의 모순을 해결한 것으로 보인다. 달까지의 거리를 계산하는 그의 목적은 달의 시차 값을 정확하게 구해서 일식을 좀더 정밀하게 예측하는 것이었다. 이를 위해 그는 값의 범위가 아닌 거리/시차 특정 값에 안주해야 했다.

그가 이렇게 했다는 증거가 있다. 제2권 계산과 스미르나의 테온 설명을 합치면 달 거리 60.5 지구 반지름이 나온다. 클레오메데스의 계정으로 같은 일을 하면 지구 반지름의 거리는 61이다. 이것들은 프톨레마이오스의 가치와 현대적인 가치에 현저히 가깝다.

토머에 따르면

이 절차는, 만약 내가 제대로 만들었다면, 매우 주목할 만 하다... 놀라운 것은 전혀 다른 두 가지 방법으로 문제에 접근하는 정교함과 더불어 히파르쿠스가 자신의 불명확한 결과를 드러내는 완전한 정직함이다... 같은 규모와 (천문학사상 처음으로) 적절한 지역에 있는 같은 규모의 것이다.

참고 항목

• 지구에서 태양까지의 거리를 계산한 그리스의 수학자인 사모스의 아리스타르코스(기원전 310년 – 기원전 230년)이다.
• 축전행
• 에라토스테네스(Eratosthenes, 기원전 276년 – 기원전 194/195년)는 지구의 둘레와 지구에서 태양까지의 거리를 계산한 그리스의 수학자였다.
• 그리스 수학
• 히파르쿠스 (c. 190 – c. 120 BC)
• 지구의 둘레를 계산한 그리스의 천문학자 겸 수학자인 포세이돈니우스(C. 135 – C. 51 BC)이다.

참조

1. F Hultsch, "...""라이프치히, 필.-역사. 52호(1900), 169-200.
2. N. M. Swerdlow, "태양 거리의 히파르쿠스," 센타우루스 14 (1969), 287–305.
3. G. J. Toomer, "태양과 달의 거리에 있는 히파르쿠스," 정확한 과학의 역사를 위한 기록 보관소 14 (1974년), 126–142.
4. 혼, 지오라. "그리스 천문학에 실험오차의 개념이 있는가?영국 과학 저널 22.02 (1992년) : 129–150. (https://www.researchgate.net/profile/Giora_Hon/publication/231844424_Is_There_a_Concept_of_Experimental_Error_in_Greek_Astronomy/links/564fa57b08ae4988a7a858bd.pdf)에서 온라인으로 이용 가능.