불변성(수학)

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벽지는 그룹의 멤버인 무제한의 번역 아래 불변하며, 그 중 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$이(가) 나타내는 작업은 함수 구성이다.

수학에서 불변성은 수학적 물체(또는 수학적 물체의 한 종류)의 속성으로, 특정 유형의 연산이나 변환이 물체에 적용된 후에도 변하지 않는다.^[1][2] 개체의 특정 종류와 변환 유형은 일반적으로 용어가 사용되는 문맥으로 표시된다. 예를 들어, 삼각형의 면적은 유클리드 평면의 등각도에 관한 불변성이다. "아래에 불변"과 "아래에 불변"이라는 문구가 모두 사용된다. 보다 일반적으로 동등성 관계에 대한 불변성은 각 동등성 등급에 대해 일정한 속성이다.^[3]

불변성은 기하, 위상, 대수학, 이산수학과 같은 수학의 다양한 영역에서 사용된다. 어떤 중요한 변형의 종류는 변하지 않은 불변성 물질에 의해 정의된다. 예를 들어, 등각 지도는 각도를 보존하는 평면의 변환으로 정의된다. 불변성의 발견은 수학적 사물을 분류하는 과정에서 중요한 단계다.^[2][3]

예

불변의 간단한 예는 우리의 셈 능력에 표현되어 있다. 어떤 종류의 물체의 유한 집합에 대해서는, 집합의 물체를 세는 순서에 관계없이, 우리가 항상 도착하는 숫자가 있다. 수량(기수)은 집합과 연관되며, 계산 과정에서도 불변이다.

정체성은 변수의 모든 값에 대해 참으로 남아 있는 방정식이다. 변수의 가치가 바뀌어도 참으로 남는 불평등도 있다.

숫자 라인에서 두 점 사이의 거리는 두 숫자에 동일한 수량을 더해도 변경되지 않는다. 반면에 곱셈은 곱셈에서 거리가 불변하기 때문에 이와 같은 성질을 가지지 않는다.

거리의 각도와 비율은 메스, 회전, 번역 및 반사에 따라 불변한다. 이러한 변형은 삼각법의 기초가 되는 유사한 형상을 만들어 낸다. 대조적으로, 균일하지 않은 스케일링(예: 스트레칭)에서는 각도와 비율이 불변하지 않다. 삼각형 내부 각도의 합계(180°) 위와 같은 모든 작전에서는 불변한다. 또 다른 예로, 모든 원은 유사하다: 서로 변형될 수 있고 지름에 대한 원주의 비율은 불변이다(그리스 문자 ( (pi)로 표시됨).

더 복잡한 몇 가지 예:

• 복잡한 숫자의 실제 부분과 절대값은 복잡한 결합 하에서 불변한다.
• 다항식의 정도는 변수의 선형 변화에서 불변하다.
• 위상학적 대상의 차원 및 동종학 그룹은 동형상에서는 불변한다.^[4]
• 동적 시스템의 고정점 수는 많은 수학 연산 하에서 불변한다.
• 유클리드 거리는 직교 변환 시 불변한다.
• 유클리드 영역은 결정인자 ±1이 있는 선형 지도에서 불변한다(등각 지도 § 선형 변환 참조).
• 투사적 변환의 일부 불변성에는 3개 이상의 점의 공선성, 3개 이상의 선, 원뿔 부분, 교차 비율이 포함된다.^[5]
• 제곱 행렬의 결정인자, 추적자 및 고유 벡터와 고유값은 기초의 변경에 따라 불변한다. 즉, 행렬의 스펙트럼은 근거의 변화에 불변한다.
• 텐터의 주요 불변제는 좌표계의 회전에 따라 변하지 않는다(텐더의 불변제 참조).
• 행렬의 단수 값은 직교 변환에서 불변한다.
• 레베그 측정은 번역에 있어서 불변이다.
• 확률 분포의 분산은 실제 선의 변환에서 불변하므로, 상수를 추가한 후에는 변량 변수의 분산이 변경되지 않는다.
• 변환의 고정 지점은 변환 아래에 불변하는 도메인의 요소들이다. 응용 프로그램에 따라 이러한 변환을 대칭이라고 부를 수 있다. 예를 들어, 번역 대칭이 있는 물체는 특정 번역에서는 불변한다.
• 2차원 리만 다지관$($, g${\displaystyle }$)의$$ 가우스 곡률 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$$}$의 적분인${}_{}$ $K$ {\$textstyle \int _{M}K\,d$$\mu$ $}$은 리만 메트릭 g ${\displaystytle g}$의 변경에 따라 불변한다$.$ 이것이 가우스-보넷 정리다.
• 미분방정식의^[6] 미분불변량

MU 퍼즐

MU 퍼즐은^[7] 불변성을 결정하는 것이 불가능하다는 증거를 위해 사용되는 논리적인 문제의 좋은 예다. 퍼즐은 다음 변환 규칙의 각 단계에서 사용하면서 MI라는 단어로 시작하여 MU라는 단어로 변환할 것을 요구한다.

1. 문자열이 I로 끝나는 경우 U가 추가될 수 있다(xI → xIU).
2. M 이후의 문자열은 완전히 중복될 수 있다(Mx → Mxx)
3. 3회 연속 I(III)는 단일 U(xIII → xUY)로 교체할 수 있다.
4. 2개의 연속 U를 제거할 수 있음(xUY → xy)

예시(적용된 규칙을 나타내는 위첨자 포함)는 다음과 같다.

MI ²→ MIII ²→ MIIII ³→ MUIUI ²¹→ MUIUI ²→ MUIUIUIUIUI → MUIUIUIUIUI → ...⁴

이에 비추어 볼 때, 이 네 가지 변환 규칙만을 사용하여 MI를 MU로 변환하는 것이 가능한지 궁금할 것이다. 이러한 변환 규칙을 문자열에 적용하는 데 많은 시간을 할애할 수 있다. 그러나, 모든 규칙에 불변하고 MU에 도달하는 것이 불가능하다는 것을 증명하는 재산을 찾는 것이 더 빠를 수 있다. 논리적인 관점에서 퍼즐을 바라봄으로써, 사람들은 내가 가진 것을 없앨 수 있는 유일한 방법은 내가 연속적으로 3개의 끈에 있는 것이라는 것을 깨달을 수 있을 것이다. 따라서 다음과 같은 사항을 고려하는 것이 흥미가 있다.

현에 있는 I의 숫자는 3의 배수가 아니다.

이것은 문제에 대한 불변으로, 각 변환 규칙에 대해 다음과 같은 조건이 붙는 경우, 규칙을 적용하기 전에 보유하는 불변제 역시 이를 적용한 후 보유하게 된다. I와 U의 숫자에 규칙을 적용하는 순효과를 보면, 실제로 모든 규칙의 경우를 알 수 있다.

규칙	#아이즈	#U's	불변성에 미치는 영향
1	+0	+1	I의 숫자는 변하지 않는다. 불변제가 붙들려도 여전히 붙는다.
2	×2	×2	n이 3의 배수가 아니면 2×n도 아니다. 불변은 여전히 버티고 있다.
3	−3	+1	n이 3의 배수가 아니라면 n-3도 아니다. 불변은 여전히 버티고 있다.
4	+0	−2	I의 숫자는 변하지 않는다. 불변제가 붙들려도 여전히 붙는다.

위의 표는 불변성이 가능한 변환 규칙 각각을 보유한다는 것을 분명히 보여주는데, 즉 어떤 규칙을 선택하든, 어떤 상태에서 선택하든, 규칙을 적용하기 전에 I의 숫자가 3의 배수가 아니었다면, 그 후에는 또한 그렇게 되지 않을 것이다.

출발 문자열 MI에 단 하나의 I가 있고, 3의 배수가 아닌 I가 있다는 점을 감안하면 MI에서 MU로 가는 것은 불가능하다는 결론을 내릴 수 있다(I의 숫자는 결코 3의 배수가 되지 않을 것이기 때문이다).

불변 집합

비록 그 집합 S미국의 힘 세트에 고정되어 있는 도메인의 하위 집합 S은 매핑 T:)U→ U는 고정이 지도 밑에 위치하고 S∈ ⟹ T())∈ S.{\displaystyle x\in S\implies T())\in S.}은 S의 요소 고정되지 않습니다,(어떤 저자들 setwise invariant,[8]pointwise invariant,[9]vs에 용어를 사용합니다.disti이 사건들 사이에서 응우하다.) 예를 들어 원은 원의 중심을 중심으로 회전하는 평면의 불변 부분집합이다. 또한 원뿔형 표면은 우주의 균질성 아래 세트로서 불변한다.

수술 T의 불변 집합도 T 하에서는 안정적이라고 한다. 예를 들어, 집단 이론에서 매우 중요한 정상 부분군은 주변 집단의 내부 자동화 하에서 안정된 부분군이다.^[10][11][12] 선형대수학에서, 선형 변환 T에 고유벡터 v가 있는 경우, 0과 v까지의 선은 T에 따라 설정된 불변성 물질이며, 이 경우 고유벡터는 T에 따라 안정성이 있는 불변성 하위 공간에 걸쳐 있다.

T가 스크류 변위일 때 스크류 축은 불변성 선이지만 피치가 0이 아닌 경우에는 T가 고정된 점이 없다.

형식명세서

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불변성의 개념은 수학에서 집단 행동, 표현, 변형의 세 가지 다른 방법으로 공식화된다.

그룹 작업에서 변경되지 않음

첫째로, 만약 어떤 사람이 수학적인 물체 (또는 물체의 집합) X에 작용하는 그룹 G를 가지고 있다면, 어떤 점이 변하지 않는지, 그룹 작용 하의 "불변한"지, 그룹의 요소 g 하의 "불변한"지 물어볼 수 있다.

종종 사람들은 집합 X에 작용하는 그룹을 가질 것이다. 집합 X는 연관된 집합 F(X)의 어떤 물체가 불변인지를 결정하는 그룹을 남긴다. 예를 들어, 한 점을 중심으로 평면에서 회전하면 그것이 불변으로 회전하는 지점이 남는 반면, 평면의 번역은 어떤 점도 불변으로 남기지 않고 모든 선은 선으로 번역의 방향에 평행하게 남는다. 공식적으로, 평면 P의 라인 집합을 L(P)로 정의한 다음, 평면의 경직된 모션이 라인에 라인(경직된 움직임의 그룹은 라인 집합에 작용함)을 취하며, 어떤 라인이 작용에 의해 변경되지 않는지 물어볼 수 있다.

더 중요한 것은, 집합에 「평면에 있는 원의 반지름」과 같은 함수를 정의한 다음, 이 함수가 경직된 동작과 같은 집단 작용에 따라 불변하는지를 물을 수도 있다.

불변성의 개념에 이중적인 것은 궤도로도 알려져 있는 동전변량인데, 이것은 일치의 개념을 공식화하는데, 이것은 집단행동에 의해 서로에게 가져갈 수 있는 사물이다. 예를 들어, 평면의 경직된 움직임의 그룹에서 삼각형의 둘레는 불변인 반면, 주어진 삼각형에 합치되는 삼각형의 집합은 동전변수다.

이러한 것들은 다음과 같이 연결되어 있다: 불변량은 동전 변수에 일정하다(예를 들어, 합치 삼각형은 동일한 둘레를 가지고 있다), 반면 하나의 불변량 값에 동의하는 두 개체는 합치될 수도 있고 아닐 수도 있다(예를 들어, 같은 둘레의 삼각형은 합치할 필요가 없다). 분류 문제에서 두 개체가 이 불변성 집합에 대해 동일한 값을 갖는 경우 두 개체가 일치하도록 전체 불변성 집합의 찾기를 시도할 수 있다.

예를 들어, 삼면이 모두 동일한 삼각형은 SSS 합치를 통해 경직된 움직임 하에서 결합되며, 따라서 삼면의 길이가 삼각형에 대한 완전한 불변수 집합을 형성한다. 삼각형의 세 가지 각도 측정도 경직된 움직임에서는 불변하지만, 부조화 삼각형이 동일한 각도 측정치를 공유할 수 있기 때문에 완전한 집합을 형성하지는 않는다. 그러나 어떤 것이 경직된 움직임 외에 스케일링을 허용한다면, AAA 유사성 기준은 이것이 완전한 불변성의 집합임을 보여준다.

프리젠테이션과 무관함

둘째로, 함수는 수학적 객체의 어떤 표현이나 분해의 관점에서 정의될 수 있다. 예를 들어, 세포 복합체의 오일러 특성은 각 차원에 있는 세포 수의 교대 합으로 정의된다. 셀 복합체 구조를 잊어버리고 기저 위상학적 공간(다지관)만 볼 수 있다. 서로 다른 셀 복합체가 동일한 기저 다지관을 제공하므로, 기능은 표시 선택과 독립적이며, 이 경우 본질적으로 정의된 불변성인지 여부를 물을 수 있다. 오일러 특성의 경우가 그러하며, 불변성을 정의하고 계산하는 일반적인 방법은 주어진 프레젠테이션을 위해 그것들을 정의한 다음 프리젠테이션 선택과 무관함을 보여주는 것이다. 이러한 의미에서 그룹 액션에 대한 개념은 존재하지 않는다는 점에 유의한다.

가장 일반적인 예는 다음과 같다.

• 좌표 차트-불변수 측면에서 다지관의 표시는 좌표 변경 시 변경되지 않아야 한다.
• 오일러 특성에 대해 논의된 다양한 다양성 분해.
• 그룹 프레젠테이션의 불변성.

섭동 시 변경되지 않음

셋째, 대수기하학이나 미분기하학에서 흔히 볼 수 있듯이 가족에 따라 달라지는 사물을 연구하고 있다면, 섭동하에서도 그 성질이 변하지 않는지를 물을 수 있다(예를 들어, 물체가 계량변화에 따라 패밀리에 일정하거나 불변하는 것이다.

컴퓨터 과학의 불변제

컴퓨터 과학에서, 프로그램 실행 중 또는 프로그램의 일부 동안 진실이라고 믿을 수 있는 불변성을 만날 수 있다. 그것은 실행의 특정 단계 동안 항상 진실이라고 주장되는 논리적인 주장이다. 예를 들어, 루프 불변제는 루프의 모든 실행의 시작과 끝에서 참인 조건이다.

불변제는 특히 컴퓨터 프로그램이 올바른지 추론할 때 유용하다. 컴파일러 최적화 이론, 계약에 의한 설계 방법론, 프로그램 정확성을 결정하는 형식적 방법 등은 모두 불변성에 크게 의존한다.

프로그래머들은 불변성을 명백하게 만들기 위해 종종 그들의 코드에 있는 주장을 사용한다. 일부 객체 지향 프로그래밍 언어는 클래스 불변수를 지정하기 위한 특별한 구문을 가지고 있다.

필수 프로그램의 자동 불변 감지

추상적 해석 도구는 주어진 명령적 컴퓨터 프로그램의 단순한 불변수를 계산할 수 있다. 찾을 수 있는 속성의 종류는 사용된 추상적인 도메인에 따라 달라진다. 일반적인 예시 속성은 다음과 같은 단일 정수 변수 범위입니다. 0<=x<1024, 다음과 같은 여러 변수 사이의 관계 0<=i-j<2*n-1, 그리고 다음과 같은 계량 정보. y%4==0. 학술연구 프로토타입도 포인터 구조의 단순한 성질을 고려한다.^[13]

보다 정교한 불변기는 일반적으로 수동으로 제공해야 한다. 특히, Hoare 미적분학을 사용하여 필수 프로그램을 검증할 때,^[14] 프로그램의 각 루프에 대해 루프 불변제를 수동으로 제공해야 하는데, 이는 이 접근법이 대부분의 프로그램에 일반적으로 비실용적인 이유 중 하나이다.

위의 MU 퍼즐 예제의 맥락에서, MI에서 MU로의 파생이 규칙 1-4만을 사용하여 불가능하다는 것을 감지할 수 있는 일반적인 자동화 도구는 현재 없다. 그러나 일단 문자열에서 그 "I"의 숫자로 추상화가 수작업으로 이루어지면, 예를 들면, 다음의 C 프로그램으로 유도되어, 추상적 해석 도구는 그 사실을 감지할 수 있을 것이다. ICount%3 0일 수 없으며, 따라서 "그동안"은 결코 종료되지 않는다.

공허하게 하다 뮤퍼즐(공허하게 하다) {     휘발성이 있는 인트로 랜덤 룰;     인트로 아이쿤트 = 1, UCount = 0;     하는 동안에 (아이쿤트 % 3 != 0)                         // 비파괴 루프         바꾸다(랜덤 룰) {         케이스 1:                  UCount += 1;   부숴뜨리다;         케이스 2:   아이쿤트 *= 2;   UCount *= 2;   부숴뜨리다;         케이스 3:   아이쿤트 -= 3;   UCount += 1;   부숴뜨리다;         케이스 4:                  UCount -= 2;   부숴뜨리다;         }                                          // 계산 불변량: ICount % 3 == 1 ICount % 3 == 2 } 

참고 항목

메모들

참조

외부 링크

• "어플릿: 1997년 윌리엄 브레이넨의 "알고리즘 정렬에 있어서의 시각적 불변성"