타동 관계

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타동 관계

유형	이항 관계
들판	초등 대수
진술	$X$의 $모든{\displaystyle }$ $요소$에서 $X의$모든 $요소$에서 $R$의 \$displaystyle{\displaystyle }$ a$,$ $b\backslash$$displaystyle$ b$,$c$\displaystyle$c가$$ R의$$$\$$displaystyle$$A$와 b$\displaystyle$ B$$$및$ bdi의 $관계인{\displaystyle }$ 경우$X$의 관계 R$(\$$displaystyle$R$)$는 추이적입니다.$splaystyle$b에서$$c {\$displaystyle$ c$\},$ $다음$으로$R{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ R$}$에서도$$c$${\$displaystyle$a}와 c {\$displaystyle$ c$\}$가 $관련지어집니다{\displaystyle }$.
기호문	$\displaystyle a, b, c\in X:\displaystyle\forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\오른쪽 화살표 aRc}$

수학에서 집합 X상의 관계 R은 X의 모든 요소 a, b, c에 대해 R이 a와 b, b와 c에 관련지어질 때마다 추이적이다.각 동등성 관계뿐만 아니라 각 부분 순서도 추이적이어야 합니다.

정의.

집합 X 위의 균질 관계 R은 다음과 같은 경우,^[1] 전이 관계이다.

모든 a, b, c µ X에 대해 R b 및 b R c의 경우 R c의 경우.

또는 1차 논리로 보자면:

$、$$\오른쪽$ 화살표 $aRc$

여기서 R b는 (a, b) r R의 infix 표기법입니다.

예

비수학적 예로서, "의 조상"이라는 관계는 추이적이다.예를 들어 에이미가 베키의 조상이고 베키가 캐리의 조상이라면 에이미도 캐리의 조상이다.

반면에, 만약 앨리스가 브렌다의 생부모이고 브렌다가 클레어의 생부모라면, 앨리스는 클레어의 생부모가 아니기 때문에, "생부모"는 일시적인 관계가 아닙니다.게다가, 이것은 역추적입니다.앨리스는 절대 클레어의 생부모가 될 수 없다.

"보다 크다", "적어도 보다 크다", "같다"(동등)는 다양한 집합, 예를 들어 실수의 집합이나 자연수의 집합에서 추이적인 관계입니다.

x > y 및 y > z일 때 x > z도 마찬가지입니다.

x ≥ y 및 y ≥ z일 때마다 x ≥ z도 마찬가지입니다.

x = y 및 y = z일 때마다 x = z이기도 합니다.

추이적 관계의 다른 예:

• " is a subset of" (세트 포함, 세트상의 관계)
• "분할" (나눗셈, 자연수에 대한 관계)
• "명제" (명제 관계인 "명제"로 상징되는 표현)

비과도적 관계의 예:

• 의 계승자(자연수의 관계
• "세트의 멤버" ("set"^[2]으로 표기)
• "수직이다"(유클리드 기하학의 선상의 관계)

${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 $집합{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$의 빈 관계는 R$$(\$displaystyle aRb}$ $및$ ${\displaystyle B}$c(\$displaystyle BRc$와 같은 $요소{\displaystyle }$a,${\displaystyle b,}$ c$(\displaystyle$ a$, b$, $c\in$ X$)$가 없기 때문에 과도적입니다^[3][4].순서쌍을 하나만 포함하는 관계 R도 추이적입니다. 순서쌍이$$($x$ ${\displaystyle ,x}$) $displaystyle (x$, x ) ${\$displaystyle (x , x , x )} 의$$$$ $경우{\displaystyle }$, 그러한 $요소{\displaystyle }$a ,${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle cx}$X { $displaystyle$a , ${\displaystyle b}$ ,$c$ \ $in$ $X$$$} 는$$ $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ c $= xstyledisplaystyle = a$ 입니다.$isplaystyle aRc$ 단, 주문된${\displaystyle }$쌍이 형식${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle x}$){$displaystyle ($x$,x)}$이 아닌 경우 이러한 $요소{\displaystyle }$a, ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle †}$({$displaystyle$ a$,b,c\in$X})는$$ 존재하지 $않으므로{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle$ R$}$은 공허하게 전이적입니다.

특성.

닫힘 속성

• 추이 관계의 역(역)은 항상 추이적이다.예를 들어, "의 부분 집합"이 추이적이고 "의 상위 집합"이 그 반대라는 것을 알면, 후자 역시 추이적이라는 결론을 내릴 수 있다.
• 두 과도 관계의 교차점은 항상 과도적이다.예를 들어, "born before"와 "first name"이 transitive라는 것을 아는 것은 "forn before before to"와 같은 first name을 가지고 있다는 결론을 내릴 수 있다.
• 두 과도관계의 결합은 과도적일 필요는 없다.예를 들어, "born before or has the name with"는 다음과 같은 추이 관계가 아닙니다.허버트 후버는 프랭클린 D와 친척이다. 루즈벨트는 프랭클린 피어스와 관련이 있는 반면 후버는 프랭클린 피어스와 관련이 없다.
• 추이 관계의 보완은 추이적일 필요는 없다.예를 들어 "equal to"는 추이적인 반면 "not equal to"는 최대 1개의 요소가 있는 집합에서만 추이적입니다.

기타 속성

전이관계는 ^[5]비반복적인 경우에만 비대칭이다.

과도적 관계는 반사적일 필요는 없다.그것이 되면, 그것은 예약판매라고 불린다.예를 들어, 집합 X = {1,2,3}에서:

• R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) }은 쌍(1,2)이 존재하지 않으므로 반사적이지만 전이적이지는 않다.
• R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) }은(는) 반사적이고 전이적이므로 사전 순서이다.
• R = { (1,1), (2,2), (3,3) }은(는) 반사적일 뿐만 아니라 추이적이며 또 다른 사전 순서이다.

전이적 확장 및 전이적 폐쇄

R을 집합 X의 이진 관계라고 합니다.R을 나타내는₁ R의 전이적 확장은 R이 포함되도록 X에서₁ 가장 작은 이항 관계이며, (a, b) ) R과 (b, c) ) R이면₁ (a, c) a ^[6]R이다. 예를 들어 X가 도로로 연결된 일련의 타운이라고 가정하자.A 타운과 B 타운을 직접 연결하는 도로가 있는 경우, R이 (A, B) where R인 타운의 관계를 R로 하자.이 관계는 과도적일 필요는 없습니다.이 관계의 추이적 연장은 최대 2개의 도로를 사용하여 A와 C를 이동할 수 있는 경우 (A, C) r₁ R로 정의할 수 있다.

관계가 추이적이라면, 그 추이적 확장은 그 자체이다. 즉, R이 추이적 관계라면 R = R이다₁.

R의₁ 추이적 확장은 R로₂ 표시되며, 일반적으로 이러한 방식으로 R의_i 추이적 확장은 R이_{i + 1} 될 것이다.R* 또는^∞ R로 나타나는 R의 전이적 폐쇄는 R, R₁, R₂, ...^[7]의 집합 결합이다.

관계의 추이적 폐쇄는 추이적 ^[7]관계이다.

사람들 집합에서 "생부모"라는 관계는 추이적인 관계가 아니다.하지만 생물학에서, 종종 임의의 수의 세대에 걸쳐서 출생 부모임을 고려할 필요성이 발생한다: "생존 조상"이라는 관계는 과도적 관계이고, 그것은 "생존 부모"라는 관계의 과도적 폐쇄이다.

위의 도시 및 도로의 예에서는 임의의 수의 도로를 사용하여 A와 C를 이동할 수 있는 경우 (A, C) * R*입니다.

이동성이 필요한 관계 속성

• 사전 주문 – 반사적 및 전이적 관계
• 부분 순서 – 반대칭 사전 순서
• 총 예약 판매량 – 연결된 예약 판매량(이전에는 총 판매량)
• 동등성 관계 – 대칭 사전 순서
• 엄밀하게 약한 순서– 비교 불가능성이 동등한 관계인 엄밀한 부분 순서
• 토탈 오더– 연결(토탈), 반대칭 및 전이 관계

추이적 관계

유한 집합(OEIS의 시퀀스 A006905)에서 전이 관계의 수를 계산하는 일반적인 공식은 알려져 ^[8]있지 않습니다.그러나 동시에 반사적이고 대칭적이며 전이적인 관계(즉, 동등성 관계)의 수를 구하는 공식(OEIS의 시퀀스 A000110), 대칭적이고 전이적이며 반대칭적인 관계, 대칭적이고 전이적이며 반대칭적인 관계, 그리고 전체적이고 전이적이며 반대칭인 관계들의 수를 구하는 공식이 있다.RIC^[9]. Feiffer는 이러한 성질의 조합에 대해 서로에 대한 관계를 표현하면서 이 방향에서 어느 정도 진전을 이뤘지만, 여전히 어느 하나를 계산하는 것은 어렵습니다.Brinkmann 및 McKay(2005)^[10]도 참조해 주세요.Mala는 정수 계수를 갖는 어떤 다항식도 ^[11]집합의 전이 관계 수에 대한 공식을 나타낼 수 없다는 것을 보여주었고, 그 숫자에 하한을 제공하는 특정 재귀 관계를 발견했습니다.그는 또한 집합이^[clarify] 정확히 두 ^[12]개의 순서쌍을 포함할 경우 그 숫자는 2차 다항식이라는 것을 보여주었다.

서로 다른 유형의 n-원소 이항 관계 수

요소	조금도	추이적	재귀적	대칭	예약판매	부분순서	예약주문합계	총주문량	등가관계
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2개n2		2개n2−n	2개n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	$\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

S(n, k)는 두 번째 종류의 스털링 수를 의미한다.

관련 속성

관계 R은 전이적이지 않은 경우, 즉 xRy와 yRz가 아닌 경우, 일부 x, y, z에 대해 자동이라고 불립니다.반대로 xRy와 yRz가 항상 xRz가 유지되지 않음을 의미할 경우 R 관계는 반전이라고 불립니다.예를 들어 xy가 짝수인 경우 xRy에 의해 정의된 관계는 ^[13]자동적이지만 ^[14]반전이 아닙니다.x가 짝수이고 y가 홀수인 경우 xRy에 의해 정의되는 관계는 추이적이면서 ^[15]반추이적입니다.x가 y의 후속 번호인 경우 xRy에 의해 정의되는 관계는^[16] 자동적이고 ^[17]반전이적입니다.정치적 질문이나 그룹 ^[18]선호와 같은 상황에서 예상치 못한 비타협성의 예가 발생합니다.

확률적 버전(stochastic transitivity)으로 일반화된 이동성 연구는 의사결정 이론, 심리 측정학 및 실용 ^[19]모델에서 의 적용을 찾습니다.

준이행관계는 또 다른 일반화입니다.비대칭적인 부분에서만 전이적이어야 합니다.그러한 관계는 사회선택론이나 ^[20]미시경제학에서 사용된다.

제안:R이 일가이면 R;R은^T 전이적이다.

증명: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle R;}$ ${\displaystyle R^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle y}$ R${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $.\$ $displaystyle xR;$$R^{T}yR;R^{T}z.$$}$ 다음으로 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ a R ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle Y}$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$ T$$ .\ $display style$ x RaR$^{$$T}yRbR^{T}$$z$} R은$$ 일가이므로 yRb와^T aRy는 a=b를 의미한다$.$따라서^T xRaRz는 xR;Rz와^T R;R이^T 추이적이 되도록 합니다.

결과: R이 일가일 경우, R^T;R은 R의 영역에서의 등가 관계입니다.

증명: R;R은^T 그 영역에서 대칭적이고 반사적이다.R의 단가성으로 동등성에 대한 과도적 요건을 충족한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 경과적 감소
• 자동 주사위
• 합리적 선택 이론
• 가설 삼단논법 - 재료 조건의 이동성

메모들

레퍼런스

• Grimaldi, Ralph P. (1994), Discrete and Combinatorial Mathematics (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-19912-2
• Liu, C.L. (1985), Elements of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-038133-X
• 군터 슈미트, 2010년관계형 수학케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St.Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (6th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-39900-9

외부 링크

• "Transitivity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 즉석에서 실행 중인 이동성