무한소수

초실수 직선의 무한소수(영역) 및 무한소수(영역)(영역 = 1/영역)

수학에서, 극소수 또는 극소수는 어떤 표준 실수보다 0에 가까운 양이지만, 그것은 0이 아니다.인피니티미어는 17세기 라틴어 동전인 인피니티시무스에서 유래했는데, 인피니티시무스는 인피니티-th 아이템을 순서대로 지칭했다.

무한소수는 표준 실수계에는 존재하지 않지만, 초현실적인 수 체계와 초현실적인 수 체계와 같은 다른 수 체계에는 존재하며, 초현실적인 수 체계와 초현실적인 수 체계에는 극소량과 무한량의 양으로 증가된 실수로 생각할 수 있다. 즉, 증분은 서로의 상호 작용이다.

미적분학의 발달에서 미적분이 도입되었는데, 미적분학에서는 미적분이 두 개의 미미한 양의 비율로 처음 고안되었다.이 정의는 엄격하게 공식화되지 않았다.미적분이 더욱 발전함에 따라, 무한소수는 표준 실수를 사용하여 계산할 수 있는 한계로 대체되었다.

20세기에 아브라함 로빈슨의 비표준 분석과 초실수의 개발과 함께 무한소수는 다시 인기를 얻었는데, 수세기 동안의 논란 끝에 무한소 미적분의 공식적인 치료가 가능하다는 것을 보여주었다.이에 따라, 수학자들은 초현실적인 숫자와 가장 큰 순서인 서수 모두를 포함하는 무한하고 극소수의 관련 공식화인 초현실적인 숫자를 개발했다.

블라디미르 아놀드는 1990년에 다음과 같이 썼다.

요즘에는 분석을 가르칠 때 아주 적은 양에 대해 이야기하는 것이 그다지 인기가 없다.결과적으로, 오늘날의 학생들은 이 언어를 완전히 구사할 수 없다.그럼에도 불구하고,^[1] 여전히 그것을 통제할 필요가 있다.

무한소수를 실현 가능한 수학적 실체로 만드는 결정적인^[whose?] 통찰력은 비록 무한히 ^[2]작더라도 각도나 기울기와 같은 특정 특성을 유지할 수 있다는 것이었다.

무한소수는 라이프니츠가 개발한 미적분의 기본 성분으로 연속성의 법칙과 동질성의 초월 법칙을 포함한다.일반적으로, 무한소 객체는 실현 가능한 측정치보다 작지만 크기가 0이 아닌 객체입니다. 또는 사용 가능한 수단으로는 0과 구별할 수 없을 정도로 작습니다.따라서, 수학에서 형용사로 사용될 때, 무한소수는 무한히 작은, 어떤 표준 실수보다 작은 것을 의미한다.무한소수는 함수의 도함수를 조사하는 것과 같이 비슷한 크기의 다른 무한소수와 종종 비교된다.무한수의 무한소수가 적분을 계산하기 위해 합산됩니다.

무한소수의 개념은 니콜라우스 메르카토르나 고트프리드 빌헬름 라이프니츠에 ^[3]의해 1670년경에 처음 도입되었다.아르키메데스는 그의 작품 기계 이론의 방법에서 결국 불가분의 방법으로 알려지게 된 것을 지역과 ^[4]고체의 부피를 찾기 위해 사용했습니다.공식 출판된 그의 논문에서, 아르키메데스는 지치는 방법을 사용하여 같은 문제를 해결했다.15세기는 17세기에 요하네스 케플러에 의해 더욱 발전된 쿠사의 니콜라스의 작품으로, 특히 원의 면적을 무한변 다각형으로 표현함으로써 계산하였다.16세기에 모든 숫자의 십진수 표현에 대한 사이먼 스테빈의 연구는 실제 연속체를 위한 기반을 마련했습니다.보나벤투라 카발리에리의 불가분의 방법은 고전 작가들의 결과를 확장시켰다.코디멘션 ^{[clarification needed]}1의 실체로 구성되는 기하학적 도형에 관련된 불가분의 방법.존 월리스의 무한소수는 기하학적 도형을 그림과 같은 차원의 무한히 얇은 구성 블록으로 분해하여 적분법의 일반적인 방법을 위한 기초를 마련한다는 점에서 불가분의 것과 달랐다.그는 면적 계산에서 1/5로 표시된 극소수를 이용했다.

라이프니츠에 의한 무한소수의 사용은 연속성의 법칙과 같은 휴리스틱 원리에 의존하였습니다: 유한수에 대한 성공 또한 무한수에 대하여 성공합니다; 그리고 그 반대; 그리고 지정 불가능한 양을 포함하는 표현들을 대체하는 절차를 명시하는 동질성의 초월 법칙.할당 가능한 것.18세기에는 레온하르트 오일러와 조셉 루이 라그랑주와 같은 수학자들이 무한소수를 일상적으로 사용했다.Augustin-Louis Cauchy는 그의 Cours d'Analyse에서 연속성을 정의하는 것과 Dirac 델타 함수의 초기 형태를 정의하는 것 모두에서 무한소수를 이용했습니다.Cantor와 Dedekind가 Stevin 연속체의 보다 추상적인 버전을 개발하고 있을 때, Paul du Bois-Reymond는 함수의 성장률을 바탕으로 극소 농후 연속체에 대한 일련의 논문을 썼다.Du Bois-Remond의 작품은 에밀 보렐과 토랄프 스콜렘 모두에게 영감을 주었다.보렐은 뒤 보이시-레이몽의 연구와 코시의 무한소수 성장률을 분명히 연관시켰다.스콜렘은 1934년에 최초의 비표준 산술 모델을 개발했다.연속성의 법칙과 무한소수의 수학적 구현은 아브라함 로빈슨이 1948년 에드윈 휴이트와 1955년 저지 우에의 초기 연구에 기초해 비표준 분석을 개발한 1961년에 달성하였다.하이퍼리얼은 극소 농후 연속체를 구현하고 전달 원리는 라이프니츠의 연속성의 법칙을 구현합니다.표준 부품 함수는 페르마의 적합성을 구현합니다.

극소수의 역사

무한히 적은 양의 개념은 Eleatic 학파에 의해 논의되었다.그리스 수학자 아르키메데스 (기원전 287년경–기원전 212년경)는 기계 이론의 방법에서 무한소수에 ^[5]대한 논리적으로 엄격한 정의를 제안한 최초의 사람이다.그의 아르키메데스의 특성은 숫자 x가 조건 x > 1, x > 1+1, x > 1+1+1, ...을 만족하면 무한하다고 정의하고 x 00과 유사한 조건 집합이 x와 양의 정수의 역수를 유지하면 무한하다고 정의한다.무한 또는 극소수의 구성원을 포함하지 않는 수 체계를 아르키메데스라고 한다.

영국의 수학자 존 월리스는 1655년 저서 '원뿔형 단면에 관한 논문'에서 1/1의 식을 도입했다.,의 역수, 즉 역수를 나타내는 기호는 극소수의 수학적 개념을 상징적으로 표현한 것이다.월리스는 원추형 단면에 관한 그의 논문에서 그가 도입한 극소수 1/θ의 상징적 표현과 그가 기호 θ를 도입한 무한대의 개념 사이의 관계에 대한 개념도 논한다.이 개념은 유한한 영역을 형성하기 위해 무한히 작은 폭의 평행사변형을 더하는 사고실험을 제안한다.이 개념은 적분학에서 사용되는 현대 적분법의 전신이다.극소 1/θ 개념의 개념적 기원은 그리스 철학자 엘레아의 제노까지 거슬러 올라갈 수 있는데, 그의 이분법은 유한 구간과 극소 크기의 간격에 접근하는 간격 사이의 관계를 고려한 최초의 수학적 개념이었다.

1632년 ^[6]로마의 성직자들에 의해 발행된 무한소수에 대한 금지를 포함하여, 17세기 유럽에서 무한소수는 정치적, 종교적 논쟁의 주제였다.

미적분이 발명되기 전에 수학자들은 피에르 드 페르마의 적정성 방법과 르네 데카르트의 정규성 방법을 사용하여 탄젠트 선을 계산할 수 있었다.그 방법이 본질적으로 미미한 것인지 대수적인 것인지에 대해서는 학자들 사이에 논쟁이 있다.뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명했을 때, 그들은 무한소수, 뉴턴의 플럭스, 라이프니츠의 미분을 사용했다.Bishop Berkeley는 그의 작품 ^[7]The Analyst에서 무한소수의 사용이 올바르지 않다고 공격했다.수학자, 과학자, 기술자들은 정확한 결과를 내기 위해 무한소수를 계속 사용했다.19세기 후반, 오귀스틴-루이 코시 , 베르나르 볼자노, 칼 바이어스트라스, 칸토르 , 데데킨드 등에 의해 한계와 집합론의 정의를 사용하여 미적분이 재구성되었다.칸토르, 데데킨트, 바이어슈트라스의 추종자들은 무한소 분석을 없애려 했고, 베르트랑 러셀과 루돌프 카나프 같은 그들의 철학적 동맹자들은 무한소설을 의사 개념이라고 선언한 반면, 헤르만 코헨과 그의 신 칸티아니즘 학파는 무한소론의 ^[8]작동 논리를 개발하려 했다.무한소수를 포함하는 체계에 대한 수학적 연구는 필립 에를리히(2006)에 의해 문서화된 바와 같이 19세기 후반과 20세기 내내 Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Remond 및 다른 사람들의 연구를 통해 계속되었다.20세기에, 무한소수가 미적분과 분석의 기초가 될 수 있다는 것이 발견되었다.

1차 속성

무한 및 극소량을 포함하도록 실수를 확장할 때, 일반적으로 기본 특성을 변경하지 않음으로써 가능한 한 보수적이기를 바란다.이것에 의해, 가능한 한 많은 익숙한 결과를 이용할 수 있게 됩니다.일반적으로 기본은 집합에 대한 계량화가 없고 요소 위에만 수량화가 없음을 의미합니다.이 제한으로 인해 "임의의 숫자 x..." 형식의 문장이 허용됩니다. 예를 들어, "임의의 숫자 x, x + 0 = x"를 나타내는 공리가 계속 적용됩니다.예를 들어, "xy와 y에 대해 xy = yx"와 같은 여러 숫자에 대한 정량화에 대해서도 마찬가지입니다.단, "숫자 집합 S에 대해..." 형식의 문장은 이월되지 않을 수 있습니다.정량화에 제한이 있는 로직을 1차 로직이라고 합니다.

그 결과 확장수 체계는 비아르키메데스 체계를 구축하는 것이 목표이며, 아르키메데스 원리는 집합에 대한 정량화에 의해 표현될 수 있기 때문에 집합에 대한 정량화에 의해 표현될 수 있는 모든 속성의 실수에 동의할 수 없다.단지 숫자가 1/2, 1/3, 1/4보다 작다고 주장하는 무한대 공리의 목록을 추가하는 것만으로 집합론을 포함한 실수를 포함한 모든 이론을 보수적으로 확장할 수 있다.마찬가지로, 실수는 동형사상까지의 유일한 완전 순서 필드이기 때문에 완전성 속성은 이월될 것으로 기대할 수 없습니다.

우리는 Archimedean 이외의 번호 시스템이 실제 번호와 호환되는 1차 속성을 가질 수 있는 세 가지 수준을 구별할 수 있습니다.

순서 필드는 1차 논리로 기술할 수 있는 실수 시스템의 모든 통상적인 공리에 따른다.예를 들어, 교환성 공리 x + y = y + x 홀드는 다음과 같습니다.
실폐필드는 기본순서장 관계 +, × 및 θ에 관한 문장에 대해 통상 자명한 것으로 간주되는지 여부에 관계없이 실수계의 모든 1차 특성을 가진다.이것은 순서장 공리에 따르는 것보다 더 강한 조건입니다.보다 구체적으로 말하면, 1차 특성은 홀수차 다항식에 대한 루트의 존재와 같은 추가 1차 특성을 포함한다.예를 들어, 모든 숫자에는 큐브 루트가 있어야 합니다.
시스템은 (이러한 관계가 +, ×, ≤를 사용하여 표현될 수 있는지 여부에 관계없이) 관계를 포함하는 문장에 대해 실수 시스템의 모든 1차 속성을 가질 수 있다.예를 들어 무한 입력에 대해 잘 정의된 사인 함수가 있어야 합니다. 모든 실제 함수에 대해서도 마찬가지입니다.

스펙트럼의 약점인 범주 1의 시스템은 비교적 쉽게 구성할 수 있지만 뉴턴과 라이프니츠의 정신에 따라 무한소수를 사용한 고전적 분석의 완전한 처리를 허용하지 않는다.예를 들어 초월함수는 무한제한 프로세스의 관점에서 정의되므로 일반적으로 1차 논리에서는 정의할 수 없습니다.카테고리 2와 카테고리 3으로 넘어감으로써 시스템의 분석 강도를 높이면 처리의 풍미가 덜 건설적이 되는 경향이 있으며, 무한대와 무한대의 계층 구조에 대해 구체적으로 말하기 어려워진다.

무한소수를 포함하는 숫자 시스템

포멀 시리즈

로랑 급수

위의 범주 1의 예는 음의 거듭제곱 항이 유한한 로랑 급수의 장이다.예를 들어 상수항 1만으로 이루어진 로랑 급수를 실수 1로 동정하고, 직선항 x만을 갖는 급수를 가장 단순한 극소수로 간주하여 다른 극소수를 구성한다.사전 순서가 사용됩니다.이것은 x의 높은 파워를 낮은 파워에 비해 무시할 수 있는 것으로 간주하는 것과 같습니다.데이비드 O. Tall은^[9] 이 체계를 Dales와 Woodin의 초실수 체계와 혼동하지 말고 초실수 체계라고 부른다.로랑 급수로 평가된 테일러 급수는 여전히 로랑 급수이기 때문에, 해석적이면 초월 함수에 대한 미적분을 할 수 있다.예를 들어, 기본 무한소수 x에는 제곱근이 없기 때문에 이러한 무한소수는 실수와 다른 1차 특성을 가집니다.

Levi-Civita 필드

Levi-Civita 필드는 Laurent 급수와 비슷하지만 대수적으로 닫혀 있습니다.예를 들어 기본 극소수 x는 제곱근을 가집니다.이 필드는 상당한 양의 분석을 수행할 수 있을 만큼 풍부하지만, 그 요소는 부동소수점으로 ^[10]실수를 나타낼 수 있는 것과 같은 의미로 여전히 컴퓨터 상에서 표현될 수 있습니다.

트랜스 시리즈

트랜스열 필드는 Levi-Civita ^[11]필드보다 큽니다.트랜지스터의 예는 다음과 같습니다.

e^{\ln x}+\ln x+\sum _{j=0}^{\infty}e^{x}x^{-j}

여기서 x의 순서는 무한대로 간주됩니다.

초현실적 수

콘웨이의 초현실 숫자는 집합이 ^[12]아닌 적절한 클래스를 형성하는 것을 제외하고, 그것들은 다양한 크기의 숫자를 가능한 한 풍부하게 하도록 설계된 시스템이지만, 모든 순서가 있는 필드가 초현실 ^[13]숫자의 하위 필드라는 점에서 분석을 할 때 편리함을 위해 반드시 필요한 것은 아니다.초현실적인 숫자에 대한 ^[14]^{: ch. 10}지수함수의 자연스러운 확장이 있다.

하이퍼리얼

무한소수를 다루는 가장 널리 퍼진 기술은 1960년대에 에이브러햄 로빈슨에 의해 개발된 하이퍼리얼이다.위의 범주 3에 속하며, 모든 고전적 분석을 실제에서 이월할 수 있도록 설계되어 있습니다.모든 관계를 자연스러운 방법으로 이어갈 수 있는 이러한 특성은 1955년 Jerzy ł Wo in에 의해 증명된 전달 원리라고 알려져 있다.예를 들어 초월함수 sin은 하이퍼리얼 입력을 받아 하이퍼리얼 출력을 제공하는 자연대립부 *sin을 가지며, 마찬가지로 $\mathbb {N}$ 집합 $\mathbb {N}$ N(\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {N $})$ 은 $\mathbb {N}$ 유한 및 무한정수를 모두 포함하는 자연대립부 $^{*}\mathbb {N}$ (\ $displaystyle ^{*}\mathbb {N$ 을 가진다. $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ {\ $displaystyle \forall$ n $\in \mathbb {N}$ ,\ $sin$ n\pi $=0$ $}$ 등의 $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ 명제는 $\forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0$ {\ $displaystyle \forall$ n $\in$ {mathbbb} {mathbbb $}$ {n}으로 하이퍼리얼에 계승됩니다. $\!\sin$ n $\pi =0}$ 입니다.

슈퍼리얼

데일스와 우딘의 초실수 체계는 초실수의 일반화이다.데이비드 톨이 정의한 초현실 시스템과 다르다.

이중 번호

선형 대수학에서, 이중 숫자는 θ² = 0의 성질을 가진 새로운 요소 θ를 인접한 하나의 극소수로 실수를 확장한다. (즉, 즉, θ는 0이다.모든 이중 숫자는 z = a + bθ 형식으로 a와 b가 유일하게 결정됩니다.

이중 번호의 적용 중 하나는 자동 미분이다.이 애플리케이션은 n차원 벡터 공간의 외부 대수를 사용하여 n개의 변수에서 다항식으로 일반화할 수 있다.

부드러운 극소량 분석

합성 미분 기하학 또는 부드러운 무한소 해석은 범주 이론에 뿌리를 두고 있습니다.이 접근법은 배제된 중간 법칙의 일반적인 적용 가능성을 부정함으로써 기존 수학에서 사용되는 고전적 논리에서 출발한다. 즉, (a µ b)가 a = b를 의미할 필요는 없다. 그러면 nilsquare 또는 nilspotent 무한소수를 정의할 수 있다.이 값은 숫자 x입니다. 여기서² x = 0은 참이지만 x = 0은 동시에 참일 필요는 없습니다.배경 논리는 직관적인 논리이기 때문에 클래스 1, 2, 3에 대해 이 시스템을 어떻게 분류해야 하는지는 즉시 명확하지 않다.이러한 클래스의 직관적 유추는 우선 개발되어야 할 것이다.

극소 델타 함수

Cauchy는 단위 임펄스 α(\ $displaystyle \$ $alpha$ $）$ $\delta _{\alpha }$ F $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ ( $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ ) $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ F ( $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ x ) $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ F $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ ( $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ ) = 0 ( \ $displaystyle$ \ $delta _$ 0 \ alpha $= F$ ( x ) $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ （ \ $displaystyle$ $）$ $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ 9. 코치는 1821년(Cours d'Analyse)에 0이 되는 수열의 관점에서 극소수를 정의했다.즉, 코치와 라자르 카르노의 용어로는 그러한 영순서는 극소수가 된다.

현대의 집합이론적인 접근방식은 초단파 구조를 통해 무한소수를 정의할 수 있게 해주며, 여기서 null 시퀀스는 적절한 초필터에 의해 정의된 관계인 등가 클래스 모듈로 무한소수가 된다.야마시타(2007)의 기사는 하이퍼리얼에 의해 제공되는 극소 농후 연속체의 맥락에서 현대 디락 델타 함수에 대한 참고 문헌을 포함하고 있다.

논리 속성

비표준 분석에 사용되는 종류의 무한소수를 구성하는 방법은 모델과 사용되는 공리의 집합에 따라 달라집니다.여기서는 무한소수가 존재한다고 보여질 수 있는 시스템을 고려합니다.

1936년에 몰트세프는 콤팩트성 정리를 증명했다.이 정리는 극소수를 공식화하는 것이 가능하다는 것을 증명하기 때문에 극소수의 존재에 기초적이다.이 정리의 결과는 어떤 양의 정수 n에 대해 0 < x < 1/n과 같은 양의 정수 x가 존재한다는 것이 사실인 수계가 존재한다면, 어떤 양의 정수 n에 대해 0 < x < 1/n을 갖는 것이 사실인 수계의 확장이 존재한다는 것이다."모든 것"과 "존재하는 것"을 바꿀 수 있는 가능성은 매우 중요합니다.첫 번째 문장은 ZFC 집합 이론에서 주어진 실수에 해당된다: 임의의 양의 정수 n에 대해 1/n과 0 사이의 실수를 찾을 수 있지만, 이 실수는 n에 따라 달라진다.여기서 먼저 n을 선택한 다음 대응하는 x를 찾습니다.두 번째 식에서는 먼저 선택된 x(적어도1개)가 있음을 나타냅니다.이것은 임의의 n에 대해 0에서 1/n 사이입니다.이 경우 x는 극소수입니다.이는 ZFC가 제공하는 실수(R)에서는 해당되지 않습니다.그럼에도 불구하고, 이 정리는 이것이 참인 모형(숫자 체계)이 있다는 것을 증명한다.문제는 이 모델은 무엇입니까?그 성질은 무엇입니까?그런 모델은 하나뿐인가요?

실제로 이러한 1차원 선형 순서 숫자 집합을 구성하는 방법은 여러 가지가 있지만, 기본적으로 두 가지 다른 방법이 있습니다.

1) 실수보다 많은 숫자가 포함되도록 번호 체계를 확장한다.

2) 공리를 확장(또는 언어를 확장)하여 무한수와 비불확실수의 구분이 실수 자체에서 이루어지도록 한다.

1960년, 에이브러햄 로빈슨은 첫 번째 접근법에 따른 답을 제공하였다.확장 집합은 하이퍼리얼이라고 불리며 양의 실수보다 절대값이 작은 숫자를 포함합니다.이 방법은 비교적 복잡하다고 생각될 수 있지만, ZFC 집합론의 우주에 무한소수가 존재한다는 것을 증명합니다.실수는 표준수, 새로운 비실수의 하이퍼리얼은 비표준수라고 불립니다.

1977년 에드워드 넬슨은 두 번째 접근법에 따른 답을 내놓았다.확장된 공리는 IST로 내부 집합 이론 또는 세 가지 추가 공리의 머리글자를 나타냅니다.이상화, 표준화, 전송.이 시스템에서는 언어가 무한수에 대한 사실을 표현할 수 있도록 확장되어 있다고 생각합니다.실수는 표준 또는 비표준입니다.무한소수는 양의 표준 실수보다 절대값이 작은 비표준 실수입니다.

2006년 카렐 흐르바섹은 넬슨 접근법의 확장을 개발했다. 넬슨 접근법은 실수들을 (무한히) 여러 단계로 계층화한다. 즉, 가장 거친 수준에는 무한소수나 무한수가 없다.무한소수는 더 미세한 수준이고 이 새로운 수준과 관련된 무한소수도 있습니다.

가르치는 데 있어서 무한소수

미적분학 교과서는 실바누스 P가 쓴 고전 미적분학을 포함한다. 톰슨('바보 하나가 다른 일을 할 수 있다'^[15]는 모토를 내걸고 있음)과 R.의 독일어 텍스트 Mathitre Technische Fachschulen der Maschinenindustrie.뉴엔도르프.^[16]에이브러햄 로빈슨의 극소수에 기초한 선구적인 작품에는 스트로얀과 하워드 제롬 케이슬러(초급 미적분: 무한소수 접근법).0.999...는 실수 1의 표준적인 의미와 다르며,^[17]^[18] 엄밀하게는 1보다 작은 무한종단확장소수로 재해석되는 극소수 1-"0.999..."의 직관적인 개념에 쉽게 공감할 수 있다.

로빈슨이 개발한 무한소수 이론을 이용한 또 다른 기초 미적분 교재는 헨리와 클라인버그가 ^[19]1979년에 출판한 무한소수 미적분이다.저자들은 1차 논리의 언어를 소개하고 초실수의 1차 모델 구성을 보여준다.본문에서는 순서와 일련의 함수를 포함한 1차원의 적분 및 미분 미적분의 기본을 소개합니다.부록에서는 모델을 하이퍼리얼로 확장하고 확장 모델에 대한 몇 가지 응용 프로그램을 시연합니다.

부드러운 무한소 분석에 기초한 기초 미적분 텍스트는 Bell, John L.(2008)이다.무한소수 분석의 입문서, 제2판.케임브리지 대학 출판부ISBN 9780521887182.

0이 되는 함수

"infinitesimal"의 최초 정의에서 무한히 적은 양으로 진화한 관련성이 있지만 다소 다른 의미에서 이 용어는 0으로 향하는 함수를 가리키는 데 사용되기도 한다.보다 정확하게는 Loomis와 Sternberg의 고급 미적분학에서 무한소수 함수 클래스 $(\$ 를 함수 $f:V\to W$ $f:V\to W$ $f:V\to W$ (\ $displaystyle$ f $:$ $표준$ 벡터 공간 사이의 V $\to$ W}:

${\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}$ $V\to$ W $\\f(0)=0,$ (\ $forall \epsilon$ > $0)(\epsilon \\$ epsilon $\\$ epsilon \\ $xi) <\epsilon$

또한 두 개의 관련 ${\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}$ O ${\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}$ {\ $display\mathfrak {O},$ {\ $mathfrak {o}}($ Big-O 표기 참조)

$}$ $V\to W\\f$ (0 $)=0,\(\sublic$ r> $0,c>0)\\sublickepsilon \xi <r\sublic$ f $(\xi)\leq$ c \ $xi$ 및

$}$ $V\to W\\f(0)=0,\lim _{\xi \to$ 0} $f(\xi )$ / \ $xi$ = $0$ ^[20]

세트 ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ o ( ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ , ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ ) ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ O ( ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ , ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ ( V ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ , ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ $){$ $display$ style \ $mathfrak$ { $o$ } ( $V$ , ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ )\ $subsetneq$ \ $mathfrak { O$ } ( $V$ , $W$ )\ $subsetneq$ \ $mathfrak$ { $I$ } ( $V$ , W )는 ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$ 일반적으로 유지됩니다 $.$ 포함이 적절한지 여부는 실제 $f:x\mapsto |x|^{1/2}$ f : $f:x\mapsto |x|^{1/2}$ x $f:x\mapsto |x|^{1/2}$ / $f:x\mapsto |x|^{1/2}$ ( { $display style$ f : $x$ \ $mapsto$ x ^ { $1$ $/ 2$ } , $g:x\mapsto x$ : $g:x\mapsto x$ x $g:x\mapsto x$ \ $displaystyle$ g : $x$ \ $mapsto$ x $g:x\mapsto x$ $h:x\mapsto x^{2}$ h : $h:x\mapsto x^{2}$ 2 ( \ $displaystyle$ h : $x$ \ $mapstyle$ x \ $mapsto$ x { 2 $}$ )의 실값 함수로 확인할 수 있습니다.

$f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ I ( $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ) , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ O ( $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ) , $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ( $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ( $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ R ) $f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ \ $display style$ f , $g$ , $h$ \ $in$ { $mathbb { I$ } , \ $mathbb$ { $R }$ , \ mathbb { R } , \ $g ,$ \ $in$ \ $mathfrak {$ R $}$ 、 \ $mathbbb$ } $mathbb {R},\mathbb {R}}$ 및 $f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ O ( $f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ , $f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ $){$ $display style$ f $\notin {mathfrak {O}}(\mathbb {R},\mathbb {R$

이러한 정의의 적용으로서 $F:V\to W$ F $F:V\to W$ $F:V\to W$ $F:V\to W$ ${\displaystyle$ F: $노름$ 벡터 공간 간의 V $\to$ W는 $F:V\to W$ T $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ $V\to W$ $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ m ( $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ , $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ W $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ ) \ $displaystyle$ T $\in \mathrm {Hom}(V$ , $W$ )가 있는 경우 $α$ $e$ V $\ displaystyle$ \alpha \ $in$ $\alpha \in V$ V에서 $\alpha \in V$ 미분 가능한 $\alpha \in V$ 으로 정의된다 $V\to W$

$\displaystyle [F(\alpha +\xi)-F(\alpha)]-T(\xi)\in {o}(V,W)}$

$(논리적$ 으로는 결함이 있지만)의 "부분"으로서 미분 개념에 대한 전통적인 표기법과 일치하며, 그러한 맵이 존재한다면, 그것은 유일하다. 이 $dF_{\alpha }$ 은 $dF_{\alpha }$ 미분이라고 불리며 d F $α$ $(\$ $displaystyle$ dF_{\alpha $dF_{\alpha }$ ^[21]로 나타난다.이 정의는 (오픈 서브셋의) 유클리드 공간의 벡터 값 함수에 대한 미분성의 일반적인 정의의 일반화를 나타낸다.

랜덤 변수 배열

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $)(\displaystyle (\Omega,$ {\ $mathcal {F},\mathbb {P$ $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ 을 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 확률공간으로 $n\in \mathbb {N}$ n $(\$ n $\in \mathbb {N$ 으로 $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ , K $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ R $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ } $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ $}$ $n\in \mathbb {N}$ $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ \ $Omega \to \mathbb {R}$ \ $mid$ 1 $\leq$ k $\leq k_{n}\}$ 랜덤 $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ 변수는 ^[22] $\epsilon >0$ > $\epsilon >0$ 0 $\epsilon >0$ 마다 다음과 같은 경우 무한소라고 불립니다 $.$

\displaystyle \max _{1\leq k_{n}}\mathbb {P}\{\Omega \mid \vert X_{n,k}(\obe)\vert \geq \epsilon \}\text{as }n\to \infty }\mathbbbbbb {P}\{\in}}\{\}}\\\\\\\\mosty}

무한소 배열의 개념은 일부 중심 한계 이론에서 필수적이며, 기대 연산자의 단조로움으로 쉽게 알 수 있습니다. 린데버그의 조건을 만족시키는 배열은 무한소이며, 따라서 린데버그의 중심 한계 정리(중심 한계 정리의 일반화)에서 중요한 역할을 합니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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^ 이 표기법은 미적분학에서의 d의 다른 많은 구별된 용법과 혼동해서는 안 된다.이것들은 모두 "무엇의 무한 작은 조각을 취한다"는 고전적인 개념과 느슨하게 관련되어 있다: (1) $\int f(x)\,d\alpha (x)$ 식 related f ( x $\int f(x)\,d\alpha (x)$ ) $\int f(x)\,d\alpha (x)$ $d\alpha (x)$ ( $\int f(x)\,d\alpha (x)$ ) \ $displaystyle \int$ f ( $x$ ) , $\int f(x)\,d\alpha (x)$ $d\alpha (x)$ \ dalpha ( x $d\alpha (x)$ ) $style$ dx ( \ display $style$ $dx$ ) \ alpha . $)}$ 은 $d\alpha (x)$ $\alpha$ 에 $대한$ 리만-스틸테스의 적분을 나타내고, (2) f ${$ f $,d\mu$ 는 $\alpha$ μ $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ $displaystyle d$ $\mu}$ 의 적분을 나타내고, $dμ$ 는 $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ ${$ $displaystyle$ d\mu}( $\mu$ 3)의 적분을 나타낸다 $d\mu$ . $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ f $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ { $displaystyle \int$ _ { \ $mathbf$ { $R$ } ^ { $n$ } $f$ \ ; $dV$ } 、 dV d 、 ( 4 ) $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ d x $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ i $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ { $displaystyle$ dx^ { $i$ _ { $1}\ wedge$ \ $cdots$ \ $wedge$ dx { i } { i } { i $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ } { n }} $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ } } { n } 、 dV n d d d d d d d d d d d d 、 d 、 d
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[21] 이 표기법은 미적분학에서의 d의 다른 많은 구별된 용법과 혼동해서는 안 된다.이것들은 모두 "무엇의 무한 작은 조각을 취한다"는 고전적인 개념과 느슨하게 관련되어 있다: (1) $\int f(x)\,d\alpha (x)$ 식 related f ( x $\int f(x)\,d\alpha (x)$ ) $\int f(x)\,d\alpha (x)$ $d\alpha (x)$ ( $\int f(x)\,d\alpha (x)$ ) \ $displaystyle \int$ f ( $x$ ) , $\int f(x)\,d\alpha (x)$ $d\alpha (x)$ \ dalpha ( x $d\alpha (x)$ ) $style$ dx ( \ display $style$ $dx$ ) \ alpha . $)}$ 은 $d\alpha (x)$ $\alpha$ 에 $대한$ 리만-스틸테스의 적분을 나타내고, (2) f ${$ f $,d\mu$ 는 $\alpha$ μ $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ $displaystyle d$ $\mu}$ 의 적분을 나타내고, $dμ$ 는 $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ ${$ $displaystyle$ d\mu}( $\mu$ 3)의 적분을 나타낸다 $d\mu$ . $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ f $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f\;dV$ { $displaystyle \int$ _ { \ $mathbf$ { $R$ } ^ { $n$ } $f$ \ ; $dV$ } 、 dV d 、 ( 4 ) $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ d x $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ i $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ { $displaystyle$ dx^ { $i$ _ { $1}\ wedge$ \ $cdots$ \ $wedge$ dx { i } { i } { i $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ } { n }} $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}$ } } { n } 、 dV n d d d d d d d d d d d d 、 d 、 d

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