순서형 기하학

Ordered geometry

순서형 기하학은 중간(또는 "간격")의 개념을 특징으로 하는 기하학의 한 형태지만 투영형 기하학과 마찬가지로 측정의 기본 개념을 생략한다. 순서형 기하학은 아핀, 유클리드, 절대, 쌍곡 기하학의 공통 프레임워크를 형성하는 기본 기하학이다(프로젝티브 기하학은 그렇지 않다).

역사

모리츠 파슈는 1882년에 처음으로 측정에 대한 언급 없이 기하학을 정의했다. 그의 공리는 페아노(1889년), 힐버트(1899년), 베블렌(1904년)에 의해 향상되었다.[1]: 176 유클리드는 '원소'의 정의 4에서 파슈의 접근법을 예측했다: "직선은 그 자체에 있는 점들과 고르게 놓여 있는 선이다."[2]

원시 개념

순서형 기하학의 유일한 원초적 개념은 점 A, B, C, ...와 "B는 A와 C 사이에 있다"로 읽을 수 있는 중간성[ABC]의 3차 관계뿐이다.

정의들

세그먼트 AB는 [APB]와 같은 P 지점의 집합이다.

구간 AB는 세그먼트 AB와 그 끝점 A와 B이다.

Ray A/B("B에서 멀리 떨어진 A에서 오는 광선"으로 읽음)는 [PAB]와 같은 P 지점의 집합이다.

선 AB는 구간 AB와 두 선 A/B 및 B/A이다. 선 AB의 점들은 일직선이라고 한다.

각도는 점 O(정점)와 O(측면)에서 나오는 두 개의 비협착 광선으로 구성된다.

삼각형은 세 개의 비협착점(정점이라고 함)과 그 세 개의 세그먼트 AB, BC, CA에 의해 주어진다.

만약 세 점 A, B, C가 결합되지 않은 경우, 평면 ABC는 모든 점의 집합이며, 삼각형 ABC의 한 면 또는 두 면의 점 쌍과 결합한다.

A, B, C, D 지점 4개가 비복사선인 경우 공간(3-공간) ABCD는 사면 ABCD의 4면(평면 영역) 중 하나에서 선택한 지점 쌍과 모든 지점의 집합이다.

순서형 기하학의 공리

  1. 적어도 두 가지 점이 있다.
  2. A와 B가 구별되는 점이라면 [ABC]와 같은 C가 존재한다.
  3. [ABC]인 경우 A와 C가 구별된다(A ≠ C).
  4. [ABC]인 경우 [CBA]를 사용하되 [CAB]는 사용하지 마십시오.
  5. C와 D가 선 AB에서 구별되는 점이라면 A는 선 CD에 있다.
  6. AB가 선인 경우 AB 선에 없는 C 점이 있다.
  7. (Axiom of Pasch) ABC가 삼각형이고 [BCD]와 [CEA]인 경우, DE 라인에는 [AFB]가 있는 점 F가 있다.
  8. 치수 공리:
    1. 평면 정렬 지오메트리의 경우 모든 점이 한 평면에 있다. 아니면
    2. 만약 ABC가 평면이라면, ABC 평면에 D점이 존재하지 않는다.
  9. 모든 지점은 동일한 평면, 공간 등에 있다(그 안에서 작업하기로 선택한 차원에 따라 다름).
  10. (Dedekind's Axiom) 한 줄에 있는 모든 포인트의 모든 파티션에서 두 포인트의 포인트가 다른 포인트의 포인트 사이에 있지 않도록 두 세트가 비어 있지 않은 세트의 포인트에 대해, 한 세트의 포인트는 해당 세트의 다른 포인트와 다른 세트의 포인트 사이에 위치한다.

이 공리들은 힐버트의 질서의 공리와 밀접한 관련이 있다. 순서형 지오메트리의 공리화에 대한 종합적인 조사는 을 참조하십시오.[3]

결과.

실베스터의 콜린어 포인트 문제

실베스터-갈라이 정리는 순서가 정해진 기하학 안에서 증명될 수 있다.[4][1]: 181, 2

병렬주의

가우스, 볼랴이, 로바체프스키는 순서형 기하학으로 표현할 수 있는 평행주의 개념을 개발했다.[1]: 189, 90

정리(평행주의 존재): 점 A와 선 r이 A를 통과하지 않고 주어진 경우, A로부터 정확히 두 개의 제한 광선이 r을 충족하지 않는 평면에 존재한다. 그래서 r을 충족하지 못하는 A를 통과하는 평행선이 있다.

정리(병렬주의의 투명성): 광선과 선의 평행성은 광선의 시작부터 한 구획을 더하거나 빼서 보존한다.

평행주의의 전이성은 질서 있는 기하학에서 증명될 수 없다.[5] 따라서 "순서화된" 병렬 개념은 선에서 동등성 관계를 형성하지 않는다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b c Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101.
  2. ^ Heath, Thomas (1956) [1925]. The Thirteen Books of Euclid's Elements (Vol 1). New York: Dover Publications. pp. 165. ISBN 0-486-60088-2.
  3. ^ Pambuccian, Victor (2011). "The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces". Expositiones Mathematicae. 29: 24–66. doi:10.1016/j.exmath.2010.09.004.
  4. ^ Pambuccian, Victor (2009). "A Reverse Analysis of the Sylvester–Gallai Theorem". Notre Dame Journal of Formal Logic. 50 (3): 245–260. doi:10.1215/00294527-2009-010. Zbl 1202.03023.
  5. ^ Busemann, Herbert (1955). Geometry of Geodesics. Pure and Applied Mathematics. Vol. 6. New York: Academic Press. p. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002.