교차 화음 정리

$[\displaystyle AS \cdot SC = BS \cdot SD }$

${\displaystyle {\begin{aigned}&AS \cdot SC = BS \cdot SD \\\=&(r+d)\cdot(r-d)=r^{2}-d^{2}\ended}}}}}}$

$\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}$

교차 화음 정리 또는 단지 화음 정리는 원 안에 있는 두 개의 교차 화음에 의해 생성된 네 개의 선 부분의 관계를 설명하는 초등 기하학의 문장이다. 그것은 각 화음의 선분절 길이 산물이 동일하다고 명시한다. 유클리드 원소 제3권 발의안 제35호다.

보다 정확하게는 점 S에서 교차하는 두 개의 현악 AC와 BD에 대해 다음 방정식은 다음을 포함한다.

$[\displaystyle AS \cdot SC = BS \cdot SD }$

반대도 역시 참이다. 즉, 위의 방정식이 S에서 교차하는 두 선 세그먼트 AC와 BD가 참인 경우, 이들의 네 끝점 A, B, C 및 D가 공통 원에 놓여 있다. 또는 다시 말하면, 4각형 ABCD의 대각선이 S에서 교차하여 위의 방정식을 충족한다면 그것은 순환형 4각형이다.

화음 정리에서 두 제품의 값은 원의 중심에서 교차점 S의 거리에 따라서만 달라지며, S의 힘의 절대값이라고 불리며, 보다 정밀하게 다음과 같이 말할 수 있다.

${\displaystyle AS \cdot SC = BS \cdot SD =r^{2}-d^{2}}$

여기서 r은 원의 반지름이고 d는 원의 중심과 교차점 S 사이의 거리다. 이 특성은 S와 원의 중심 M을 통과하는 제3의 화음에 화음 정리를 적용하는 것부터 직접적으로 따른다(그림 참조).

정리는 (내각 정리를 통해) 유사한 삼각형을 사용하여 증명할 수 있다. 다음과 같은 삼각형 ASD 및 BSC의 각도를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{inscribed angles over AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{inscribed angles over CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{opposing angles}})\end{aligned}}}$

즉, 삼각형 ASD와 BSC가 유사하므로

${\displaystyle {\frac {AS}{SD}={\frac {BS}{SC}\좌우 이동 AS \cdot SC = BS \cdot SD }}$

접선-정점 정리 및 교차 세컨트 정리 옆에 교차 화음 정리는 두 교차선과 원에 대한 보다 일반적인 정리의 세 가지 기본 사례 중 하나를 나타낸다. - 포인트 정리의 힘.

참조

• 폴 글레이스터: 교차 화음 정리: 30년 계속. 학교수학, 제36권, 제1권(2007년 1월), 페이지 22(JSTOR)
• 브루스 쇼이어: 기하학의 탐험. 2010년 세계 과학, ISBN9789813100947, 페이지 14
• 한스 슈프: 엘리먼트 아르게오메트리. 숄닝, 1977년 파더본, ISBN 3-506-99189-2, 페이지 149(독일어)
• Schulerduden - Mathik I. Bibliographisches Institut & F.A. 브록하우스, 8세 아우플라주, 만하임 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, 페이지 415-417(독일)

외부 링크

• cut-the-knot.org의 교차 코드 정리
• proofwiki.org의 교차 코드 정리
• Weisstein, Eric W. "Chord". MathWorld.
• 두 개의 대화형 그림: [1] 및 [2]