아폴로니우스의 서클

아폴로니우스의 원은 그리스의 저명한 지오미터인 페르가의 아폴로니우스와 연관된 몇 세트의 원 중 하나이다. 이 원들의 대부분은 평면 유클리드 기하학에서 발견되지만, 아날로그는 다른 표면에서 정의되었다. 예를 들어, 구의 표면에 있는 원들은 입체 투영을 통해 정의될 수 있다.

이 용어의 주요 용어는 다음과 같은 5가지다.

1. 아폴로니우스는 원을 두 개의 고정점(foci)에 대한 거리 비율이 특정한 평면에서 점 집합으로 정의할 수 있음을 보여주었다. 이 아폴로니아 원은 아폴로니우스 추격 문제의 근간이다. #2에 기술된 첫 번째 가족의 특별한 경우다.
2. 아폴로니아 서클은 상호 직교 서클의 두 가문이다. 첫 번째 패밀리는 두 개의 고정 초점(#1과 동일한 원)에 대한 가능한 거리 비율을 모두 가진 원으로 구성되는 반면, 두 번째 패밀리는 양쪽 초점을 통과하는 모든 가능한 원으로 구성된다. 이 원들은 양극 좌표의 기초를 이룬다.
3. 삼각형의 아폴로니오스의 원은 세 개의 원이며, 각 원은 삼각형의 한 꼭지점을 통과하며 다른 두 개의 원과 일정한 거리의 비율을 유지하고 있다. 삼각형의 등역학적 점과 레모인 선은 이러한 아폴로니우스의 원을 이용하여 해결할 수 있다.
4. 아폴로니우스의 문제는 세 개의 특정 원과 동시에 접하는 원을 만드는 것이다. 이 문제에 대한 해결책을 아폴로니우스의 원이라고 부르기도 한다.
5. 아폴로니우스 개스킷(Apolonian Gasket)은, 지금까지 설명한 최초의 프랙탈 중 하나로서, 아폴로니우스의 문제를 반복적으로 해결함으로써 형성된, 상호 접선 원들의 집합이다.

아폴로니우스의 원 정의

원은 일반적으로 주어진 점(원 중심)에서 주어진 거리 r(원 반지름)에서 P 점의 집합으로 정의된다. 그러나 원의 다른 등가 정의도 있다. 아폴로니우스는 원을 일정한 거리 k =의 비율을 갖는 점 P의 집합으로 정의할 수 있다는 것을 발견했다. d₁/d₂ ~ 두 개의 주어진 점(그림 1에 A와 B로 표시됨) 이 두 점을 포커라고 부르기도 한다.

유클리드 공간에서 벡터를 이용한 증명

d₁, 동등하지 않은 양의 실수여야 한다₂. 비율 d₁ : d와₂ D에서 C는 AB의 내부 구분점이 되고, 동일한 비율인₁ d₂ : d에서 AB의 외부 구분점은 된다.

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC}}}}}}={\frac {d_{2}{\reverrightarrow {\mathrm {PA}}}}}}}+d_{1}}{{\overrightarrow {\mathrm {PB}}}{d_{2}+d_{1}}}}}\{\overrightarrow {\mathram{PD}}}}}}={\frac {d_{2}}{\overrightarrow {\mathrm {PA}}{1}{\overrightarrow {\d_{PB}}}}}}}{{d_d_d_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}.}$

그러면.

${\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow d_{2} {\overrightarrow {\mathrm {PA}}}}}} =d_{1}{1} {\overrightarrow {\mathrm {PB}}}}}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}^{2} {\overrightarrow {\mathram {PA}}}}}}}}{2} ^{2} {2}=d_{1}^}{\overrightarrow {\matrm {PB}}}}} ^{2}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm{PA}}}}}}}}+d_{1}}{{\overrightarrow {\mathrm {PB}}}}\cdot (d_{2}{\overrightarrow {pa}{}}}{\overrightarrow {\mathrm {PB}}}}}}=0.}$

${\displaystyle \왼쪽 화살표 {\frac {d_{2}{\overwrightarrow {\mathrm {PA}}}}}}+d_{1}{{\overrightarrow {\mathrm {PB}}}{d_{2}+d_{1}}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA}{1}{}{\overrightarrow {\mathrm {PB}}}{d_{2}-d_{1}}=0.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\mathrm {PC}}}}}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD}}}=0.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \mathram {P} =\mathrm {P} =\mathrm {D} \ve \angle {\\mathrm {CPD}}}=90^{\circircle }}}}}$

따라서 P점은 지름 CD가 있는 원 위에 있다.

각도 이등분자 정리를 이용한 증명

먼저 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와$)$ $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$ 사이의 선 세그먼트에서 비율을$$ $만족$하는 C {\$displaystyle$ C$}$ 점을 고려하십시오$.$ 정의에 따라

그리고 각도 이등분자 정리로부터 각도 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha =\angle APC}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle C}$ P ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \beta =\angle CPB}$은 동일하다.

다음으로 비율을 충족하는 확장$$ 라인 A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$의 $다른$ 점 D ${\displaystyle$ D}을$($를) 선택하십시오. 그렇게

Also take some other point ${\displaystyle Q}$ anywhere on the extended line ${\displaystyle AP}$. Also by the Angle bisector theorem the line ${\displaystyle PD}$ bisects the exterior angle ${\displaystyle \angle QPB}$. Hence, ${\displaystyle \gamma =\angle BPD}$ and ${\$$displaystyle \delta$ =\angle $QPD}$이(가) 같고${\displaystyle }\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \gamma }$ = ${\displaystyle {90}^{\circ }}$ ${\$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}따레스의 $$으로는 ${\displaystyle C}$ D$$${\$$d$(디스플레이stylean$)$가 있는 원 위에 놓여$$ 있다.

아폴로니우스 추격 문제

아폴로니우스 추격 문제는 속도 v에서_A 한 지점 A에서 출발하는 배가 속도_B v에서 다른 지점 B를 남겨두고 다른 배를 가로채는 곳을 찾는 것 중 하나이다. 두 선박의 민시선 가로채기는 직선적인 경로에 의한 것이다. 선박의 속도가 일정하게 유지되면 속도비는 μ로 정의된다. 두 선박이 충돌하거나 미래 지점에서 만난다면, I, 즉 각 선박의 거리는 다음 방정식에 의해 연관된다.^[1]

$a=\mu b}$

양쪽을 모두 제곱하여 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle a^{2}=b^{2}\mu ^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=x^{2}+y^{2}}}$

${\displaystyle b^{2}=(d-x)^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=[(d-x)^{2}+y^{2}]\mu ^{2}}$

확장 중:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=[d^{2}+x^{2}-2dx+y^{2}]\mu ^{2}}$

추가 확장:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=x^{2}\mu ^{2}+y^{2}}\mu ^{2}+d^{2}}}\mu ^{2}-2dx\mu ^{2}}$

좌측으로 이동:

${\displaystyle x^{2}-x^{2}\mu ^{2}+y^{2}-y^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

인수:

${\displaystyle x^{2}(1-\mu ^{2})+y^{2}(1-\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $$:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}-{1}{1-\mu ^{2}}+{\frac {2dx\mu ^{2}}-{1}{1}-\mu ^}=0}$

정사각형 완료:

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+y^{2}=0}$

제곱되지 않은 항을 오른쪽에 가져오십시오.

${\displaystyle {\fraged}\왼쪽(x+{\frac {d\mu ^{2}}:{1-\mu ^{2}}:}\오른쪽)^{2}+y^{2}}&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {(1-\mu ^{2})}{(1-\mu ^{2})}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}+d^{2}}\mu ^{2}-d^{2}}\mu ^{4}}{{4}}{{1}:{2}}:\\\={\frac {d^{2}\mu ^{2}}:{(1-\mu ^{2}}}}}}}}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음:

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}-\mu ^{2}}:}\{2}}: 오른쪽)^{2}+y^{2}=\left\frac }{d\mu ^{1-\mu ^}}{2}}:{2}}:$

그러므로 그 점은 아폴로니오스가 정의한 대로 원 위에 놓여 있어야 하며, 출발점은 초점으로 삼아야 한다.

원들이 급진적인 축을 공유한다.

같은 두 점 A와 B에 대해 아폴로니안 추격 문제에 의해 정의되는 원은 서로 분리되어 있고 두 속도의 비율이 서로 다른 연속적인 패밀리를 형성하여 전체 평면을 덮는 쌍곡선 연필로 알려져 있다. 또 다른 원 계열인 원은 A와 B를 모두 통과하는 원을 연필이라고도 하며, 더 구체적으로 말하면 타원형 연필이라고도 한다. 아폴로니아 원형의 이 두 연필은 직각으로 교차하며 양극 좌표계의 기초를 이룬다. 각각의 연필 안에서, 두 개의 원은 같은 급진적인 축을 가지고 있다; 두 개의 연필의 두 개의 급진적인 축은 수직이고, 한 연필에서 원의 중심은 다른 연필의 급진적인 축에 놓여 있다.

아폴로니우스의 문제에 대한 해결책

유클리드 평면 기하학에서 아폴로니우스의 문제는 한 평면에 주어진 원 세 개에 접하는 원을 만드는 것이다.

일반적으로 3개의 원은 8개의 서로 접하는 원과 각 원은 다른 방식으로 3개의 원들을 감싸거나 제외한다. 각 원은 각 원마다 다른 세 개의 원 중 다른 부분집합을 포함한다.

아폴로니안 개스킷

아폴로니우스의 문제를 반복적으로 해결하여 새겨진 원을 찾음으로써 상호 접선원 사이의 틈새를 임의로 미세하게 채울 수 있어 라이프니즈 패킹 또는 아폴로니즈 패킹이라고도 하는 아폴로니우스 개스킷을 형성할 수 있다.^[2] 이 개스킷은 프랙탈로서, 정확히 알 수 없지만 대략 1.3의 치수 d를 가지고 있는데,^[3] 이는 일반(또는 정류 가능) 곡선(d = 1)보다 높지만 평면(d = 2)보다 작다. 아폴로니안 개스킷은 17세기 고트프리드 라이프니즈가 처음 설명한 것으로, 20세기 시에르피에스키 삼각형의 곡선 전구체다.^[4] 아폴로니안 개스킷은 다른 수학 분야와도 깊은 연관성을 가지고 있다. 예를 들어, 그것은 클라인 그룹의 한계 집합이다.^[5] 서클 패킹 정리도 참조한다.

삼각형의 등역학적 점

아폴로니우스의 원은 또한 임의의 $삼각형{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${$}, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{C}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$mathcal {\$mathcal${C$}_${1$},{\mathcal {C}}{3}},$ 임의의 삼각형으로 정의된$$ 세 개의 특수 원 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}}$C 2, $C_{1}$을 나타낼 수도 있다$.$$A_{3}} }$. The circle ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ is defined as the unique circle passing through the triangle vertex ${\displaystyle \mathrm {A_{1}} }$ that maintains a constant ratio of distances to the other two vertices ${\displaystyle \mathrm {A_{2}} }$ and ${\displays$$tyle \mathrm{A_{3}} }($cf). 아폴로니우스의 위의 원에 대한 정의). 마찬가지로 C ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$}} 원은 다른 두 꼭지점 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}}$및$$A$$ 3 ${\$}에 대한 $거리$의 일정한 비율을 유지하는$$ 삼각형 꼭지점 $A{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$를 통과하는 고유한 원으로 정의된다$$.${\displaystyle {tyle}_{\mathrm{}}}$ $\mathrm{A_{3}}}$ 원 C 3 {\$displaystyle {\mathcal{C}_{3}$ 등$.$

세 개의 원은 모두 직교적으로 삼각형의 원을 교차한다. 세 원 모두 두 지점을 통과하는데, 이 두 점은 삼각형의$$ 등역학적 $점{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$과 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{\prime }$로 알려져 있다. 이러한 공통 교차점을 연결하는 선은 세 원 모두에 대한 급진적인 축이다. 이등역학적 두 점은 삼각형의 원주에 상대적인 서로 교차한다.

이 세 개의 원의 중심은 하나의 선(레모인 선)에 떨어진다. 이 선은 등역학적 점들에 의해 결정되는 선인 급진적 축에 수직이다.

참고 항목

위키미디어 커먼즈에는 아폴로니우스 서클과 관련된 미디어가 있다.

• 아폴로니우스 포인트

참조

참고 문헌 목록

• 오길비, C.S. (1990) 도버의 기하학 여행. ISBN 0-486-26530-7
• 존슨, R.A. (1960) 도버 고급 유클리드 기하학