기하 평균 정리

직삼각형 고도 정리 또는 기하 평균 정리는 직삼각형에서 하이포텐use의 고도와 그것이 하이포텐use에 생성하는 두 선 세그먼트 사이의 관계를 설명하는 초등 기하학의 결과물이다. 그것은 두 세그먼트의 기하학적 평균이 고도와 동일하다고 명시한다.

정리 및 응용

h가 직각 삼각형의 고도와 p와 q를 나타내는 경우, 그 정리는 다음과 같이 명시될 수 있다.^[1]

${\displaystyle h={\sqrt{pq}}$

또는 영역 단위로 볼 때:

${\displaystyle h^{2}=pq.}$

후자 버전은 사각형을 자와 나침반으로 정사각형 모양으로 만드는 방법을 제시하는데, 그것은 주어진 직사각형에 동일한 영역의 정사각형을 구성하는 것이다. 면 p와 q가 있는 그러한 직사각형의 경우, 우리는 D로 그것의 왼쪽 상단 정점을 나타낸다. 이제 세그먼트 q를 p로 왼쪽으로 확장하고(D를 중심으로 한 호 AE 사용) 새로운 세그먼트 p+q를 직경으로 하여 끝점 A와 B를 사용하여 반원을 그린다. 그리고 나서 우리는 D의 지름에 수직선을 세우고 C의 반원을 교차한다. 탈레스의 정리 C로 인해 직경은 직사각형의 면적을 가진 직사각형의 직사각형 부분 DC를 고도로 하여 직사각형의 면으로 DC는 직사각형의 면적이 있는 직사각형의 면이다. 또한 이 방법은 넓이가 1인 직사각형에서 시작하여 생성된 직사각형은 직사각형 길이의 제곱근과 같은 측면 길이를 가지기 때문에 사각형 뿌리(구축 가능한 숫자 참조)를 구성할 수 있다.^[1]

의 또 다른 적용은 두 숫자의 경우 AM-GM 불평등의 기하학적 증거를 제공한다. 숫자 p와 q의 경우 지름 p+q로 반원을 구성한다. 이제 고도는 두 숫자의 산술 평균과 반지름을 나타낸다. 고도는 항상 반지름과 같거나 작기 때문에 불평등이 발생한다.^[2]

탈레스의 정리의 역학은 오른쪽 각진 삼각형의 저선화가 원형의 지름임을 보증하기 때문에 그 정리는 원을 위한 교차 화음 정리의 특별한 경우로도 생각할 수 있다.^[1]

역성명 또한 사실이다. 고도가 그것에 의해 만들어진 두 선 세그먼트의 기하학적 평균과 같은 모든 삼각형은 직각 삼각형이다.

역사

이 정리는 대개 유클리드(ca. 360–280 BC)가 자신의 원소 6권에서 명제 8에 대한 귀결로 기술한 데서 기인한다. 제2권 제14호에서 유클리드(Eucleid)는 직사각형을 제곱하는 방법을 제시하는데, 이것은 여기에서 주어진 방법과 본질적으로 일치한다. 그러나 유클리드는 기하학적 평균 정리에 의존하기보다는 구조의 정확성에 대해 조금 더 복잡한 증거를 제공한다.^[1][3]

증명

유사성에 근거하여

정리 증명:

삼각형$={\displaystyle \mathrm{}A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ADC}$과$({\displaystyle \mathrm{}와}$) B$$C D {\$displaystyle \triangle BCD}$은(와) 유사하다.

• consider triangles ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle ACD}$, here we have ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }}$ and ${\displaystyle \angle BAC=\angle CAD}$, therefore by the AA postulate ${\displaystyle \triangle ABC\sim \tri$$ACD} 각도$
• further, consider triangles ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle BCD}$, here we have ${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }}$ and ${\displaystyle \angle ABC=\angle CBD}$, therefore by the AA postulate ${\displaystyle \triangle ABC$$\sim \triangle BCD}$

Therefore, both triangles ${\displaystyle \triangle ACD}$ and ${\displaystyle \triangle BCD}$ are similar to ${\displaystyle \triangle ABC}$ and themselves, i.e. ${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD}$.

유사성 때문에 우리는 다음과 같은 비율의 동일성을 얻으며 그 대수적 재배열은 정리를 산출한다.^[1]

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

대화 증명:

${\displaystyle {반대}^{}}$로, $우리$는 h 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle p}$ {\$displaystyle h^{2$$}=$$pq}$이(가) 고정되고 C에서의 각도가 직각임을 보여줘야 하는 삼각형을 $가지고$ 있다$.$ Now because of ${\displaystyle h^{2}=pq}$ we also have ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}$. Together with ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$ the triangles ${\displaystyle \triangle ADC}$ and ${\displaystyle \triangle BDC}$ have an 동일한 크기의 각도와 동일한 비율의 해당 다리 쌍을 가지고 있다. 이것은 삼각형이 유사하다는 것을 의미하며, 이것은 다음과 같은 결과를 낳는다.

${\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circle }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circircle }-\angle ACD)=90^{\circ}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

피타고라스 정리 기준

기하학적 평균 정리의 설정에는 3개의 오른쪽 삼각형이 있는데$,$ 여기서 피타고라스 정리가 산출한다: A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\$$displaystyle \triangle ABC},$${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle DBC}.$

${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -$q$ 2 ${\$ h$^{2}=a^{2}-q^{2$ ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$= b ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$ c$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ b ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ c$^{2}=a^{2$}=a}+b^{$2$$+b^{$2}$}}$

처음 2개의 방정식을 추가한 다음 세 번째 방정식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}$.

2로 나누면 마침내 기하학적 평균 정리의 공식이 나온다.^[4]

해부 및 재배열 기준

고도 h를 따라 직각 삼각형을 해부하면 두 개의 유사한 삼각형이 생성되는데, 이를 증축하여 길이 p+h와 q+h의 수직면을 가진 더 큰 직각 삼각형으로 배열할 수 있다. 하나의 그러한 배열은 그것을 완성하기 위해 면적 h의² 정사각형을 필요로 하고, 다른 하나는 면적 pq의 직사각형을 필요로 한다. 두 배열 모두 동일한 삼각형을 생성하기 때문에 사각형과 사각형의 영역은 동일해야 한다.

전단 매핑 기준

고도의 사각형은 세 개의 전단 매핑의 도움을 받아 측면 p와 q와 동일한 면적의 직사각형으로 변환할 수 있다(슬래어 매핑은 면적을 보존한다).

참조

외부 링크

• Knot에서의 기하학적 평균

위키미디어 커먼즈에는 기하학적 평균 정리 관련 미디어가 있다.