수학적 귀납

수학적 귀납은 낙하 ^[1]^[2]도미노의 순차적 효과에 의해 비공식적으로 설명될 수 있다.

수학적 귀납은 수학적 증명 기술이다.이는 기본적으로 문장 P(n)가 모든 자연수 n = 0, 1, 2, 3, ...에 대해 유지된다는 것을 증명하기 위해 사용된다. 즉, 전체 문장은 무한히 많은 경우 P(0), P(1), P(2), P(3)의 연속이다. 낙하 도미노 또는 사다리 오르기와 같은 비공식 은유법은 이 기술을 설명하는 데 도움이 된다.

수학적 귀납은 우리가 사다리를 타고 원하는 만큼 올라갈 수 있다는 것을 증명하고, 우리가 맨 아래 층에 오를 수 있다는 것을 증명하며, 각 층에서 다음 층으로 올라갈 수 있다는 것을 증명한다.
--

귀납에 의한 증명은 두 가지 경우로 구성됩니다.첫 번째 기본 케이스는 다른 케이스에 대한 어떠한 지식도 가정하지 않고 n = 0에 대한 진술을 증명한다.두 번째 경우, 유도 단계는 주어진 경우 n = k에 대해 문장이 유지되면 다음 경우 n = k + 1에도 해당 문장이 유지되어야 함을 증명한다.이 두 단계는 문이 모든 자연수 n에 대해 유지됨을 나타냅니다.기본 케이스는 반드시 n = 0으로 시작하는 것이 아니라, 종종 n = 1로 시작하며, 모든 자연수 n n N에 대해 진술의 참이 성립할 수 있다.

이 방법은 나무와 같은 보다 일반적인 기초가 있는 구조에 대한 진술을 증명하기 위해 확장될 수 있습니다; 구조 귀납으로 알려진 이 일반화는 수리 논리학과 컴퓨터 과학에서 사용됩니다.이 확장된 의미의 수학적 귀납은 재귀와 밀접한 관련이 있다.수학적 귀납은 공식 증명에 사용되는 추론 규칙이며 컴퓨터 프로그램에 ^[3]대한 대부분의 정확성 증명의 기초입니다.

그 이름이 다르게 시사할 수 있지만, 수학적 귀납은 철학에서 사용되는 귀납적 추론과 혼동해서는 안 된다.수학적 방법은 일반적인 진술을 증명하기 위해 무한히 많은 경우를 조사하지만, 변수 n을 포함하는 연역적 추론의 유한한 사슬에 의해 그렇게 한다. 변수 n은 무한히 많은 ^[4]값을 취할 수 있다.

역사

기원전 370년에 플라톤의 파르메니데스는 암묵적인 귀납적 ^[5]증거의 초기 예를 포함했을지도 모른다.100만 개의 모래 알갱이가 더미를 형성하고, 한 개의 알갱이를 제거하면 모래 알갱이가 ^[6]더미를 형성한다는 설이 있는 소라이트 패러독스에서는 거꾸로 카운트다운하는 기법이 발견된다.

인도에서는 수학 귀납법에 의한 초기 암묵적 증명들이 바스카라의 "순환법"^[7]과 서기 1000년경에 알-카라지가 쓴 알-파흐리에 나타나 파스칼 ^[8]^[9]삼각형의 이항 정리 및 특성을 증명하기 위해 산술적 수열에 적용하였다.

그러나 이들 고대 수학자들 중 누구도 유도 가설을 명시적으로 언급하지 않았다.(프로이덴탈이 조심스럽게 ^[10]보여줬듯이) 또 다른 유사한 사례는 그의 산술적 리브리 듀오(1575)에서 프란체스코 마우를리코의 경우로, 그는 처음 n개의 홀수 정수의 합이 n이라는² 것을 증명하기 위해 기술을 사용했다.

가장 초기의 엄격한 유도 사용은 게르소니데스(1288–1344년)^[11]^[12]에 의해 이루어졌다.유도 원리에 대한 최초의 명시적 공식은 파스칼에 의해 그의 삼각 산술 (1665)에서 제시되었다.또 다른 프랑스인 페르마는 관련된 원리를 충분히 이용했다: 무한 강하에 의한 간접 증거.

유도 가설은 스위스인 야콥 베르누이에도 적용되었고, 그때부터 잘 알려지게 되었다.이 원칙의 현대적인 공식적 처리는 조지 불,^[13] 아우구스투스 드 모건, 찰스 샌더스 피어스,^[14]^[15] 주세페 페아노, 리처드 데데킨드와 ^[7]함께 19세기에야 이루어졌다.

묘사

수학 귀납법의 가장 단순하고 일반적인 형태는 $자연수$ n( $즉$ , 정수 n $or$ 0 또는 1)을 포함하는 $문장$ 이 n의 모든 값에 대해 갖는 것으로 추론한다.실증은 다음 두 단계로 구성됩니다.

베이스 케이스(또는 첫 번째 케이스):스테이트먼트가 0 또는1을 유지함을 증명합니다.
유도 단계(또는 유도 단계 또는 단계 케이스): 문이 $n$ 에 대해 n에 $대해$ 유지되면 n + $1$ 에 대해 유지됨을 증명합니다.즉, 임의의 $자연수$ n에 대해 스테이트먼트가 유지된다고 가정하고 스테이트먼트가 n + $1$ 에 $대해$ 유지됨을 증명합니다.

유도 단계에서 문장이 $특정$ n에 대해 유지되는 가설을 유도 가설 또는 유도 가설이라고 합니다.유도 단계를 증명하기 위해 n에 대한 $유도$ 가설을 가정한 다음 이 가정을 사용하여 진술이 n + $1$ 에 $대해$ 유지된다는 것을 증명합니다.

자연수를 0에서 시작하는 것을 선호하는 저자는 기본 케이스에서 이 값을 사용하고, 자연수를 1에서 시작하는 것을 정의하는 저자는 이 값을 사용한다.

예

연속 자연수의 합계

수학 귀납법은 모든 자연수 n에 대해 다음 문장 P(n)를 증명하기 위해 사용될 수 있다.

\displaystyle P(n)\:\ \ 0 + 1 + 2 + \ cdots + n = scdfrac {n (n+1)}{2} } 。}

이는 주어진 수보다 작거나 같은 자연수의 합에 대한 일반적인 공식입니다. 사실 무한 연속 문장은 $=$ ( $0={\tfrac {(0)(0+1)}{2}}$ ) $0={\tfrac {(0)(0+1)}{2}}$ {\ $display tfrac$ {( $0)$ ( $0+$ 1)}{ $2$ $0={\tfrac {(0)(0+1)}{2}}$ $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ + 1 $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ ( $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ ) $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ ( $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ + $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ ) $0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}}$ ({ $displaystyle 0$ + 1 = $tfrac {$ $($ 1 $)$ ( $1$ + 1) } { $2$ $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ + $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ + $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ ( $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ ) ( $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ + 1) $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ ( \ $displaystyle 0$ + 1 + 2 = $tfrac { ($ 2 $)$ ( $2$ + 1) } { $2$ $0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}$ 등

제안입니다. $n\in \mathbb {N}$ ${\$ N {\ $displaystyle n\in \mathbb$ { $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ $n\in \mathbb {N}$ $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ 0 + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + 2 $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ ( $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $1$ ) 2 $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ . { \ $displaystyle$ 0 + $1$ + 2 + \ $cdots$ + n $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ = n ( $n$ + 1 ) { n ( n ( n + 1) $}$ } 。 $}$

증명. P(n)를 0 $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ ( $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ + $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ )2 $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ { $displaystyle 0$ + 1 + 2 + \ $cdots$ + n = $cdots { n$ ( $n$ + 1 $)$ } {2 $}$ 。} n에 $0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}.$ 인덕션으로 증명합니다 $.$

베이스 케이스:이 문장이 가장 작은 자연수 n = 0에 대해 유지됨을 나타냅니다.

$0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ (0)는 명백히 참입니다. 0 $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ ( $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ + $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ ) $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ 2 $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ . { { $displaystyle$ 0 = $snfrac { 0$ ( $0$ + 1 $)$ } {2} , $0={\tfrac {0(0+1)}{2}}\,.$ }

유도 단계:모든 k ≤ 0에 대해 P(k)가 유지되면 P(k + 1)도 유지됨을 나타냅니다.

특정 k에 대해 단일 사례 n = k가 유지된다는 유도 가설을 가정합니다. 즉, P(k)는 참입니다.

$0+1+\cdots +k=sublicfrac {k(k+1)}{2}}.$

다음과 같습니다.

(0+1+2+\cdots +k)+(k+1)=param frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)입니다.

대수적으로 오른쪽은 다음과 같이 단순화됩니다.

{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&=flac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&=param frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&=param frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.\end {aligned}

극좌측과 우우측을 동일하게 하여 다음과 같이 추리합니다.

$0+1+2+\cdots +k+(k+1)=param frac {(k+1)+1)}{2}}.$

즉, 문장 P(k + 1)도 참이므로 유도 단계가 확립됩니다.

결론:베이스 케이스와 유도 스텝이 모두 참인 것으로 증명되었기 때문에 수학적 귀납에 의해 문장 P(n)는 모든 자연수 n에 대해 유지된다. »

삼각 부등식

유도는 종종 불평등을 증명하기 위해 사용된다.예를 들어, 임의의 $실수$ x(\ $displaystyle$ x) 및 $x$ $자연수$ n(\ $displaystyle$ nx $\leq$ n, $\!\sin$ x $}$ 에 $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ 대해 sin $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ $displaystyle$ x $n$ $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ 을 증명합니다.

언뜻 보기엔 더 일반적인 $n,x$ 인 sin $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ n $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ n sin $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ x x nx $\leq$ n, $x$ {\ $displaystyle$ $nx$ \leq n, $\!\$ $sin x$ $n,x$ $}$ 이 $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ $($ 가) 유도 없이 증명될 수 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 대/ $소문자$ n $=$ ${\textstyle n={\frac {1}{2}},\,x=\pi }$ , ${\textstyle n={\frac {1}{2}},\,x=\pi }$ ${\textstyle n={\frac {1}{2}},\,x=\pi }$ ${\textstyle n={\frac {1}{2}},\,x=\pi }$ , $frac =$ 1 , $2$ }또는 n $\displaystyle$ 비표준 값입니다.이는 특히 n ${displaystyle$ n $n$ 의 자연값에 대해 문구를 검토하는 것을 의미하며, 인덕션은 가장 유용한 도구입니다.

제안입니다. $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ 의 x $x\in \mathbb {R}$ R {\ $displaystyle x\in$ \ $mathbb$ {R $x\in \mathbb {R}$ $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ 및 $n$ N {\ $displaystyle$ $\$ $in$ \ $mathbb {N$ 에 $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ sin x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ \ $leq$ n $, \!\sin$ x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$

증명. 임의의 $실수$ x $(\displaystyle$ x $x$ 를 수정하고 P $)$ { $displaystyle$ P $(n)}$ 를 $P(n)$ sin $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ n x x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x \ $display$ style n $!\sin$ x $|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$ 로 $P(n)$ . n $\displaystyle$ $n$ 에 $n$ 인덕트 $합니다$ .

베이스 케이스: $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ sin $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ 0 $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ 0 $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ 0 $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ 0 sin $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ x $displaystyle \!\sin$ 0x $= 0, \!\sin$ x $}$ 은 $|\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x|$ (는) $P(0)$ P ( $)$ { $displaystyle$ P(0 $P(0)$ 를 $검증$ 합니다.

유도 단계:임의의 $자연수$ k({ $displaystyle$ k $k$ 에 대해 $P(k)\implies P(k+1)$ P $P(k)\implies P(k+1)$ ) $P(k)\implies P(k+1)$ + 1) $P(k)\implies P(k+1)$ { $displaystyle P(k+1$ )}의 $P(k)\implies P(k+1)$ $P(k)\implies P(k+1)$ 를 보여준다.유도 가설을 가정하자: 주어진 값 $n=k\geq 0$ $n=k\geq 0$ $n=k\geq 0$ $P(k)$ ≤ $n=k\geq 0$ { $displaystyle$ n $=k\geq$ 0 $n=k\geq 0$ 에 $P(k)$ 대해 단일 $P(k)$ P $(k)$ 는 true이다.각도 덧셈 공식과 삼각 부등식을 사용하여 다음과 같이 추론합니다.

{\displaystyle {array} {rcll} \!\sin(k+1) x &= \!\sin kx,\cos x+\sin x,\cos kx,\text{(각도 덧셈)}}\&\leq & \!\sin kx,\cos x + \!\sin x,\cos kx & {\text{(부등식)}\&= \!\sin kx \!\cos x + \!\sin x \!\sin x \!\leq & \!\sin kx + \!\cos t \leq & ( \!\cos t \leq 1) \\leq & k, \!\sin x + \!\sin x {\{\text}, \!\cos text}, \cos kx\leq & \!\leq&{\\\\cos x\\\\\\\\\\\cisco\\\\\\\\\

극좌수량과 우우수량의 부등식은 $P(k+1)$ P $(k$ + 1)({ $displaystyle$ P $(k+1)})$ 가 $P(k+1)$ 참임을 나타내며, 이는 유도 단계를 완료합니다.

결론: $P(n)$ ( n ) $P(n)$ { $displaystyle P$ ( n ) }는 $P(n)$ 모든 $자연수$ n {\ $displaystyle$ n $n$ 에 적용됩니다.

변종

실제로 유도에 의한 증명은 입증될 성질의 정확한 성격에 따라 종종 다르게 구조화된다.모든 변형 유도는 초한 유도의 특수한 경우입니다. 아래를 참조하십시오.

0 또는 1 이외의 베이스 케이스

만약 모든 자연수가 아니라 특정 $숫자$ b보다 크거나 같은 $모든$ 숫자 n에 대해서만 진술을 증명하고자 한다면, 귀납에 의한 증명은 다음과 같이 구성된다.

n = $b일$ 때 스테이트먼트가 유지됨을 나타냅니다.
스테이트먼트가 임의의 $번호n µ$ b에 대해 유지되는 경우, 같은 스테이트먼트가 n + $1$ 에도 유지됨을 나타냅니다.

예를 들어 n $33$ 의 $경우$ 2 $nn$ + $5$ 를ⁿ 나타낼 수 있습니다.

이렇게 하면 어떤 문 $P (n)$ 가 $모든$ n $µ$ 1 또는 $모든$ n µ $-5$ 에 대해 유지됨을 증명할 수 있습니다.이 수학적 귀납법은 실제로 이전 형식의 특수한 경우이다. 왜냐하면 만약 증명될 진술이 $P(n$ ) $라면$ , 이 두 가지 규칙으로 증명하는 것은 유도 기저 $케이스$ ^[16]0을 가진 모든 $자연수$ n에 대해 $P (n$ + b $)$ 를 증명하는 것과 같기 때문이다.

예: 코인별 달러 금액 형성

4달러와 5달러 동전이 무한히 공급된다고 가정하자.인덕션은 이러한 동전의 조합에 의해 12달러 $이상$ 의 전액이 형성될 수 있다는 것을 증명하기 위해 사용될 수 있다. $S (k)$ 는 "k달러는 4달러와 5달러 동전의 조합으로 형성될 수 있다"는 문구를 나타낸다.모든 k $\leq$ 12에 $대해$ $S($ k)가참이라는 증명은 다음과 같이 k에 $대한$ 유도를 통해 얻을 수 있다.

베이스 케이스:S $(k)$ 홀드가 $k$ = $12임$ 을 $보여주는$ 것은 간단합니다. 4달러 동전 세 개를 고르십시오.

유도 단계: S $(k)$ 가 k $12$ 12(유도 가설)의 값을 유지한다고 가정할 때, $S (k$ + 1)도 유지함을 증명한다.임의의 k ≤ 12에 $대해$ $S($ k $)$ 가 참이라고 $가정$ 합니다.최소 1개의 4달러 동전이 포함된 k달러 $솔루션$ 이 있다면 5달러 동전으로 대체하여 k $+1달러$ 를 $만듭니다$ .그렇지 않으면 5달러짜리 동전만 사용한다면 $k$ 는 5의 배수이므로 최소 15가 되어야 하지만, 5달러짜리 동전 3개를 4달러짜리 동전 4개로 대체하여 k $+1달러$ 를 $만들$ 수 있습니다.어느 경우든 S $(k$ + 1 $)$ 는 참입니다.

따라서 유도 원리에 따라 S $(k)$ 는 모든 $k$ ≤ $12$ 에 대해 유지되며, 증명은 완전하다.

이 예에서 S $(k)$ 는 k ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ { ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ , ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ 5, ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ , ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ $}$ { $textstyle$ k $\in$ \ { $4,$ 5, $8,$ 9, $10$ \ ${\textstyle k\in \{4,5,8,9,10\}}$ }에도 대응하고 $있습니다$ 만, 상기의 증명은 12달러의 $최소치$ 를 m보다 작은 $값$ 으로 대체하도록 변경할 수 없습니다.m = $11$ 의 $경우$ 기준 케이스는 실제로 거짓입니다. m = $10$ 의 $경우$ , 유도 단계의 두 번째 케이스(5x4달러 동전 3개 포함)는 더 $낮은$ m은 말할 것도 없고 작동하지 않습니다.

둘 이상의 카운터에 유도

때로는 유도 과정을 반복하여 두 자연수 n과 m을 포함하는 진술을 증명하는 것이 바람직하다.즉, 하나는 n에 대한 베이스 케이스와 유도 스텝을 증명하고, 각각은 m에 대한 베이스 케이스와 유도 스텝을 증명한다.예를 들어, 자연수의 덧셈에 따른 교환성의 증명을 참조하십시오.3개 이상의 카운터를 포함하는 보다 복잡한 인수도 가능합니다.

무한 하강

무한 하강법은 피에르 드 페르마에 의해 사용된 수학적 귀납법의 변형이다.이는 모든 자연수 n에 대해 일부 문장의 Q(n)가 거짓임을 나타내기 위해 사용됩니다.전통적인 형태는 Q(n)가 어떤 자연수 n에 대해 참일 경우, 어떤 엄격히 작은 자연수 m에도 해당한다는 것을 보여주는 것으로 구성됩니다.자연수의 무한 감소 시퀀스는 존재하지 않기 때문에 이 상황은 불가능하며, 따라서 (반대에 의해) Q(n)가 n에 대해 참일 수 없다는 것을 보여줍니다.

이 방법의 타당성은 수학적 귀납의 일반적인 원리로 검증될 수 있다."Q(m)가 n보다 작거나 같은 모든 자연수에 대해 거짓"으로 정의된 문장 P(n)에 대한 수학적 귀납을 사용하면, 모든 n에 대해 P(n)가 유지되고, 이는 모든 자연수 n에 대해 Q(n)가 거짓임을 의미한다.

프리픽스 유도

수학적 귀납에 의한 가장 일반적인 증명 형태는 귀납 단계에서 증명하는 것을 필요로 한다.

(\displaystyle\forall k(P(k)\to P(k+1)))}

여기서 유도 원리는 P(0)에서 P(n)로 이동하는 이 단계의 응용 프로그램을 "자동화"한다.이것은 각 단계가 그 번호의 이전 번호에 대한 어떤 숫자에 대한 어떤 것을 증명하기 때문에 "사전 프로세서 유도"라고 불릴 수 있습니다.

계산 복잡성에 대한 관심의 변종은 "prefix induction"으로, 유도 단계에서 다음과 같은 진술을 증명합니다.

\displaystyle \forall k(P(k)\to P(2k)\land P(2k+1)}

또는 동등하게

\displaystyle \forall k\left(P\)!\left(\left\lfloor {2}}\rfloor\오른쪽)에서 P(k)\오른쪽)로

유도 원리는 P(0)에서 P(n)로 이동할 때 이 추론의 로그 n 적용을 "자동화"한다₂.실제로는, 각 스텝이, 바이너리 표현의 낮은 비트를 잘라내는 것에 의해서 형성되는, 그 숫자의 「프리픽스」에 관한 무엇인가로부터 숫자에 관한 것을 증명하기 때문에, 「프리픽스 유도」라고 불립니다.또한 이항 표현의 길이에 대한 전통적인 유도의 적용으로도 볼 수 있습니다.

기존의 선행 유도를 계산적으로 n 스텝루프로 해석할 경우 프리픽스 유도는 log-n 스텝루프에 대응합니다.그렇기 때문에 접두사 유도를 사용하는 증명은 선행 유도를 사용하는 증명보다 "가능성이 더 높다".

이전 인덕션에서는 동일한 문장에서 프리픽스 인덕션을 3가지 시뮬레이션할 수 있습니다.접두사 유도는 이전 유도를 시뮬레이션할 수 있지만 문장을 구문적으로 더 복잡하게 만드는 비용(유계 범용 수량화 추가)만으로 가능하기 때문에 다항식 시간 계산에 대한 접두사 유도와 관련된 흥미로운 결과는 제한되지 않은 수량화자를 완전히 배제하고, 유계 대학의 교대를 제한하는 것에 달려 있다.al 및 존재 한정자는 문에서 ^[17]허용됩니다.

한 걸음 더 나아갈 수 있다: 증명해야 한다.

\displaystyle \forall k\left(P\)!\left(\left\lfloor {k}\rfloor\오른쪽)에서 P(k)\오른쪽)로

여기서 유도 원리는 P(0)에서 P(n)로 가져올 때 이 추론의 로그 n 응용 프로그램을 "자동화"한다.이 형태의 유도는 로그-시간 병렬 ^{[citation needed]}계산을 연구하기 위해 유사하게 사용되어 왔다.

완전한 (강력한) 유도

완전한 유도, 가치 유도 또는 강한 유도라고 불리는 또 다른 변형은 (가끔 유도의 기본 형태는 약한 유도라고 알려져 있는 것과 대조적으로) 더 강한 가설을 사용하여 유도 단계를 증명하기 쉽게 한다: 하나는 다음과 같은 가정 하에 $P(m+1)$ P ( $P(m+1)$ + $P(m+1)$ 1 $)\displaystyle$ P ( $m+1$ )를 $P(m+1)$ 증명한다. $P(n)$ ( $P(n)$ ) $P(n)$ { $displaystyle$ P ( $n$ ) for $P(n)$ $m+1$ m + $m+1$ { $displaystyle$ m $+ 1$ 보다 $n$ 작은 모든 $자연수$ n { $displaystyle$ n } for for for for for for for 。반대로 기본형식은 $P(m)$ ( m $P(m)$ ) { $displaystyle P$ ( m ) $P(m)$ 가정합니다."강한 유도"라는 이름은 이 방법이 "약한 유도" 이상을 증명할 수 있다는 것을 의미하는 것이 아니라, 단지 유도 단계에서 사용된 더 강한 가설을 의미합니다.

실제로 아래 설명과 같이 두 방법이 실제로 동등하다는 것을 알 수 있다.이 완전 유도 형식에서는 여전히 베이스 케이스 $P(0)$ ( $P(0)$ $){displaystyle P$ (0 $P(0)$ 을(를) 증명해야 합니다.또한 피보나치 $F_{n}$ $n$ {\ $displaystyle$ F_n}의 예와 같이 일반 인수를 적용하기 전에 1 $P(1)$ { $displaystyle$ P( $1)}$ 등의 $P(1)$ $P(1)$ 베이스 케이스를 증명해야 할 수도 있습니다.

앞에서 설명한 폼에서는 베이스 케이스를 $P(m)$ 할 필요가 있습니다만, 모든 $m\geq 0$ 0 \ $display style$ m \ $geq$ . 0 \ display style 0 \ display style P ( $m$ $)$ m ）（ $P(m)$ $P(n)$ （ $P(n)$ ） all $P(n)$ $lower$ n \ $display style$ $P(n)$ P $P(n)$ ( $P(n)$ n $n$ ) ）。이것은 아래 설명과 같은 초한 유도의 특별한 경우이지만, 더 이상 일반 유도와 동등하지 않다.이 양식에는 기준 P(0){P(0)\displaystyle} 다른 P(n){P(n)\displaystyle}으로 추정되고, 이 경우 별도로 취급할 수 있지만 때로는 같은 주장 m이상인 경우)0{\displaystyle m=0}과 m을 적용되야 할 수 있다는 것을 드러냈다. 그 사건 m=0{\displaystyle m=0},;0{\display에 의해 잘 적용되어 있다.세인트 $yle$ m $>$ 0 $m>0$ } y 、증명이 간단하고 우아하게 됩니다.단, 이 방법에서는 예를 들어 " $n<m$ 의 $n<m$ n < $n<m$ m < $display style$ n < $m$ $n<m$ > $0$ 이라고 하거나 m 요소 세트에 요소가 있다고 가정함으로써 P $P(m)$ ( $P(m)$ ) $P(m)$ { $displaystyle$ $m>0$ P $(m)}$ 의 $P(m)$ 증명에 암묵적으로 $m>0$ m > $m>0$ 0이라고 가정하지 않는 것이 중요합니다.

완전 귀납은 한 방법에 의한 증명은 다른 방법에 의한 증명으로 변환될 수 있다는 점에서 위에서 설명한 일반적인 수학적 귀납과 동등하다.Suppose there is a proof of $P(n)$ by complete induction. $P(m)$ $)$ { $displaystyle$ $0\leq m\leq n$ Q $(n)}$ 를 $Q(n)$ " $0\leq m\leq n$ $)}$ { $displaystyle$ $P($ m $P(m)$ )} { $displaystyle$ $leq$ m $\leq$ n $}$ "으로 $m$ $설정$ 합니다. $Q(n)$ Q $)$ { $displaystyle$ Q $(n)}$ 는 $Q(n)$ $P(n)$ P $($ $n)$ { $displaystyle$ P $(n)}$ 가 $P(n)$ n $(n$ ) {displaystyle n $n$ $n$ 에 $n$ 대해 $P(n)$ 되며 $P(n)$ $n)$ { $displaystyle P($ n $P(n)$ )}의 증명은 Q $(n)$ 의 $Q(n)$ 증명으로 쉽게 변환됩니다. $P(0)$ P $P(n)$ ( $P(n)$ ) $P(n)$ \ $displaystyle$ $P(n)$ P ( $n$ ) $P(n)$ $P(0)$ induction complete complete : 、 P $P(0)$ ( $P(0)$ ) $P(0)$ \ $displaystyle$ P ( 0 ) $)$ 、 ptions 、 $P(n+1)$ ( $n + 1$ ) $step$ 、 step 、 step 、 step step 、 step step step 、 step step step step step step step step step step step step step if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if모든 이전 사례를 가정하지만 $P(n)$ P $P(n)$ ( n $)\displaystyle$ P $(n$ 만 사용해야 합니다.

예:피보나치 수

완전한 유도는 각 유도 단계에 대해 유도 가설의 여러 인스턴스가 필요할 때 가장 유용합니다.예를 들어, 완전한 유도를 사용하여 다음을 나타낼 수 있습니다.

F_{n}=varfrac {varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }

$F_{n}$ 서 F $F_{n}$ n(\ $displaystyle F_{n})$ 은 $F_{n}$ n번째 피보나치 수이고, ${\textstyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$ ${\textstyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$ + ${\textstyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$ 2(\ $textstyle \varphi$ = ${\textstyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$ 1 1 + {\ $timert {5}})$ \ $over2}($ 황금비) ${\textstyle \psi ={{1-{\sqrt {5}}} \over 2}}$ ${\textstyle \psi ={{1-{\sqrt {5}}} \over 2}}$ 1 ${\textstyle \psi ={{1-{\sqrt {5}}} \over 2}}$ - $(\$ \ $psi =$ = $1$ 1 - {\ $time$ rt { $5})$ 는 2 $}$ 의 ${\textstyle \psi ={{1-{\sqrt {5}}} \over 2}}$ 루트이다.각 $n\in {\mathbb {N}}$ N {\ $displaystyle$ $n$ $\in {mathbb {N$ 에 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ 대해 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ + $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ ${\textstyle F_{n+2}}$ $= F$ n + $1$ + F $_$ { $n$ } = F _ { n + $1 }$ = F _ { n } $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ N에 대해 위의 동일성은 이미 가정한 ${\textstyle F_{n+2}}$ F ${\textstyle F_{n+2}}$ + ${\textstyle F_{n+2}}$ { $textstyle F$ _ n $}$ 에 ${\textstyle F_{n+2}}$ 대해 직접 계산으로 확인할 수 있습니다. $(\$ 증명을 완료하려면 n $n=0$ $(\displaystyle$ n $=0)$ ${\textstyle n=1}$ n ${\textstyle n=1}$ $(\textstyle$ n $=1$ 의 두 가지 기본 케이스에서 신원을 확인해야 ${\textstyle F_{n}}$ .

예: 소인수분해

완전한 유도에 의한 또 다른 증거는 이 진술이 모든 $n$ 에 $n$ 대해 더 철저히 유지된다는 가설을 사용한다."1보다 큰 모든 자연수는 (하나 이상의) 소수의 곱"이라는 진술을 고려하자. 이는 산술의 기본 정리의 "존재" 부분이다.유도 단계를 증명하는 내용은 유도 이론이 주어진 n>1{\displaystyle n> 1}은 성명은 모든 작은 n을 대해 보유하고 있고;1{\displaystyle n> 1}. 소수 수열이야 만약 m{m\displaystyle}황금이 있다면 그것은 분명 제품 아니라면 정의에 따르면다면, 그것은 제품:m=n1n2. {\displayst $yle$ m $=n_{1}n_{2$ 여기서 두 요소 모두 1이 아닙니다.따라서 m{\ $displaystyle$ m $m$ 과(와) 같지 않습니다.따라서 둘 다 1보다 크고m {\ $displaystyle$ m}보다 작습니다.이제 유도 가설은 $({$ $n_{2}$ $({$ 에 적용되므로 각각 소수 곱이 됩니다. $따라서$ m $\displaystyle$ m은 $m$ 소수의 곱이며, 그 결과 소수의 곱이 된다.

예: 달러 재방문 금액

이번에는 강한 유도력을 가지고 위와 같은 예를 증명하도록 하겠습니다.스테이트먼트는 그대로입니다.

\displaystyle S(n): ,n\geq 12\displays,\displays,a,b\in \mathbb {N} .,n=4a+5b}

단, 확장 베이스 케이스부터 시작하여 구조와 입증 가정에 약간의 차이가 있을 것입니다.

증거.

베이스 케이스:S $)$ { $displaystyle$ S $(k)}$ 이 $S(k)$ ( $k=12,13,14,15$ ) k $k=12,13,14,15$ $k=12,13,14,15$ $,$ 14, 15 { $displaystyle$ k= $12, 13, 14, 15$ 에 대해 $S(k)$ 을 나타냅니다.

{{displaystyle}{cdot 3+5\cdot 0=12\\4\cdot 2+5\cdot 1=13\\4\cdot 1+5\cdot 2=14\4\cdot 0+5\cdot 3=15\end {aligned}}

베이스 케이스는 버틸 수 있습니다.

유도 단계: $j>15$ j > $({displaystyle j$ > 15 $j>15$ 가 주어지면 $(m)$ 가 $S(m)$ $12\leq m<j$ 의 $모든$ m({ $displaystyle$ $12$ m $12\leq m<j$ $j$ $12\leq m<j$ 에 $m$ 대해 $S(m)$ 된다고 가정합니다. $(j)$ 가 $S(j)$ 유지됨을 증명합니다.

m $m=j-4$ - 4 $({displaystyle$ m $=j-4$ 를 선택하고 15 $15<j\implies 12\leq j-4<j$ < $j$ 12 $15<j\implies 12\leq j-4<j$ j - $({displaystyle$ 15 $} <$ j\ $displaystyle$ 12 $\leq j-4$ $<$ $j$ 를 관찰하면 $m=j-4$ 가설에 따라 S $(j$ - $)$ 가 $S(j-4)$ $S(j-4)$ 을 알 수 있습니다.즉, j $j-4$ - $($ $디스플레이 스타일$ 4 $)$ 와 $4$ 5 $(디스플레이 스타일$ 5 $)$ 동전의 $4$ 으로 j - 4 $($ 디스플레이 스타일 4 $)$ 를 $5$ 구성할 $j-4$ 수 있습니다. $그리고$ 그 조합에 $4달러짜리$ $4$ 을 더하는 것만으로 $합계$ 가 됩니다 $j$ 즉, $)\style$ S $(j$ )\ $display$ S(j $)\$ style S(j)\를 유지합니다.∎

전진-후진 유도

때로는 $n에 대한$ 유효성을 고려할 때 $n-1$ n $n$ - $1에$ 문장의 유효성을 증명하는 역추론이 더 편리하다. 그러나 n에 $대한$ 문장의 유효성을 증명하는 것은 기본 대소문자를 확립하는 데 충분하지 않다. 대신, natura의 무한 부분집합에 대한 문장의 유효성을 증명해야 한다.l개의 숫자예를 들어, Augustin Louis Cauchy는 먼저 2의 모든 거듭제곱에 대한 산술적 및 기하학적 평균의 부등식을 증명하기 위해 정방향 유도법을 사용한 다음, 모든 ^[18]^[19]자연수에 대해 역방향 유도법을 사용했습니다.

유도 단계의 오류 예제

유도 단계는 n의 모든 값에 대해 입증되어야 한다.이걸 설명하기 위해, 조엘 E.코헨은 다음과 같은 주장을 제시했는데, 이는 모든 말이 같은 ^[20]색을 띠고 있다는 것을 수학적 귀납으로 증명하는 것을 전제로 한다.

기본 케이스: 말 한 마리 세트에는 한 가지 색상만 있습니다.

유도 단계: 유도 가설로서 n개의 $\displaystyle$ n개의 $n$ $말$ 세트 내에 단 하나의 색상만 있다고 가정합니다. $n+1$ n $(style$ n $+1)$ 말 세트를 보세요. $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ 1, $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ , $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ , $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ + $1,2,3,\dotsc ,n,n+1$ ({ $displaystyle$ 1, $2$ , $3,\dotsc, n, n+1$ ${\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc ,n\right\}}$ {1 ${\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc ,n\right\}}$ , ${\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc ,n\right\}}$ , ${\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc ,n\right\}}$ n $}{$ 및 ${\textstyle \left\{1,2,3,\dotsc ,n\right\}}$ ${\textstyle \left\{2,3,4,\dotsc ,n+1\right\}}$ { $,…,$ $}($ right ${\textstyle \left\{2,3,4,\dotsc ,n+1\right\}}$ 을 고려합니다.따라서 각 세트에는 n ${styleft$ \style\ $display$ n $}$ 만 $n$ 있습니다.그러나 두 세트가 겹치기 때문에 모든 $+$ ( $디스플레이$ $스타일$ n $+1$ ) 말 중 색상은 1개뿐입니다.

기준 n=1{\displaystyle n=1}은 사소한(자체로서 어떠한 말이 같은 색), 유도 단계는 모든 경우의 을 정확하다;1{\displaystyle n> 1}. 하지만, 유도 단계의 논리 nx1{\displaystyle n=1}의 성명 때문에 그것을"그 두개 겹쳐서"(거짓이 옳지 못하다.주목하고 있 $n+1=2$ + $n+1=2$ $=$ ( $제거$ 전 및 $제거$ 후 각각 1마리씩의 $n+1=2$ 말 세트가 겹치지 않음 $).$

형식화

2차 논리에서는 다음과 같이 "유도의 축"을 적을 수 있습니다.

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

(

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

(

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

)

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

→

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

(

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

+

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

1

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

)

→

n

(

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

)

\forall P{\Bigl (}P(0)\land \forall k{\bigl (}P(k)\to P(k+1){\bigr )}\to \forall n{\bigl (}P(n){\bigr )}{\Bigr )}

\

displaystyle

\

forall

P { \

Bigl

( }

P ( 0

) \

land

\

for all

k ( k (

k

) \

to

} \

for all

P ( k + 1 ) \ to

）

여기서 P(.)는 하나의 자연수를 포함하는 술어에 대한 변수이고 k와 n은 자연수에 대한 변수입니다.

즉, 베이스 $케이스$ P(0 $)$ 와 유도 단계(즉, 유도 $가설$ P $(k$ $)$ 가 P $(k$ + 1 $)$ 를 의미함)는 모두 $자연수$ n에 대해 P $(n)$ 를 암시한다.유도 공리는 기본 케이스와 유도 단계에서 $자연수$ n에 대해 P $(n)$ 가 유지한다고 추론하는 타당성을 주장한다.

이 공리의 첫 번째 수량화자는 개별 번호가 아니라 술어 위에 있습니다.이것은 2차 양자화이며, 이것은 이 공리가 2차 논리로 기술되어 있음을 의미합니다.1차 논리에서의 산술 귀납을 공리화하려면 각 가능한 술어에 대해 별도의 공리를 포함하는 공리 스키마가 필요합니다.Peano 공리 기사에는 이 문제에 대한 추가 논의가 포함되어 있습니다.

자연수에 대한 구조 유도의 공리는 페아노에 의해 처음 공식화되었고, 페아노는 다음 4개의 다른 공리와 함께 자연수를 지정하기 위해 그것을 사용했다.

0은 자연수입니다.
모든 자연수의 후속 $함수$ s는 자연수 $(s (x) = x$ + $1$ )를 생성합니다.
후속 함수는 주입식입니다.
0은 s의 $범위$ 가 아닙니다.

1차 ZFC 집합론에서는 술어에 대한 정량화가 허용되지 않지만, 여전히 집합에 대한 정량화에 의한 유도를 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle \forall A {\Bigl (}0\in A\forall k\in \mathbb {N}\in A\to (k+1)\mathbb {N}\subseteq A{\Bigr}로 \forall k\in A\mathbbb {N}\in A\mathbbbbb {N}\l (\b {n}\b}\b {n}\c}\l (\bb\b\b\b\c\c\c\c\c\c\c\

$A$ 는 명제를 나타내는 자연수를 포함한 명제가 보유하는 집합으로 해석할 수 있다.자연수가 ZFC 집합론의 언어에서 Peano의 것과 유사한 공리에 의해 정의된다는 것을 고려하면 이것은 공리가 아니라 정리이다.

초한 유도

완전 귀납 원리의 한 변형은 충분히 근거가 있는 집합, 즉 무한 하강 사슬을 포함하지 않는 비반사적 관계를 가진 집합의 원소에 대한 진술에 대해 일반화 될 수 있다.서수를 나타내는 모든 집합은 충분한 근거가 있으며, 자연수의 집합도 그 중 하나입니다.

충분한 근거가 있는 세트에 적용하면 1단계로 반한 유도를 공식화할 수 있다.문장 P(n)가 각 서수에서 유지됨을 증명하려면:

각 서수 n에 대해 P(m)가 모든 m < n에 대해 유지되면 P(n)도 유지됨을 나타냅니다.

이러한 형태의 유도는 순서수 집합에 적용될 때(잘 정렬되어 있고 따라서 잘 기초가 된 클래스를 형성함) 초한 유도라고 불립니다.집합론, 위상 및 기타 분야에서 중요한 증명 기술입니다.

반한 유도에 의한 증명은 일반적으로 다음 세 가지 경우를 구별한다.

n이 최소 요소일 때, 즉 n보다 작은 요소는 존재하지 않는다.
n이 직접 선행 요소를 갖는 경우, 즉 n보다 작은 요소의 집합이 가장 큰 요소를 갖는 경우.
n에 직접 선행자가 없는 경우, 즉 n은 소위 한계 서수이다.

엄밀히 말하면, P가 모든 n < m에 대해 참이면 P는 m에 대해 참이라는 명제의 공허한 특수한 경우이기 때문에, 염기 케이스를 증명하기 위해 초한 유도에서는 필요하지 않다.반례가 될 수 있는 n < m의 값이 없기 때문에 그것은 정확하게 진실이다.그래서 특별한 경우는 일반적인 경우의 특별한 경우입니다.

질서 정연한 원칙과의 관계

수학 귀납의 원리는 보통 자연수의 공리로서 언급된다; 페아노 공리 참조.그것은 다른 페아노 공리들의 맥락에서 질서정연한 원칙보다 엄격하다.다음과 같이 가정합니다.

삼분법 공리:자연수 n과 m에 대해 m이 n보다 작거나 같은 경우에만 n이 m보다 작습니다.
자연수 n에 대해 n + $1$ 은 n보다 큽니다.
모든 자연수 n에 대해 $n$ 과n + $1$ 사이의 자연수는 없습니다.
0보다 작은 자연수는 없다.

그러면 위에 열거된 공리들이 주어진 귀납이 잘 정렬된 원리를 의미함을 증명할 수 있다.다음 증명은 완전한 귀납과 첫 번째와 네 번째 공리를 사용합니다.

증명. 최소 원소가 없는 자연수 집합 S가 있다고 가정합니다.P(n)가 n이 S에 없다고 가정하자.그러면 P(0)가 참입니다. 거짓일 경우 0이 S의 최소 원소이기 때문입니다.또한 n을 자연수로 가정하고 n + $1$ 보다 작은 모든 자연수에 대해 P(m)가 참이라고 가정합니다. $P (n +$ 1)가 $false$ n + 1이면 S에 있고, 따라서 S에서 최소 원소가 되는 것은 모순입니다. $따라서$ P $(n$ + 1 $)$ 는 참입니다.따라서, 완전한 유도 원리에 의해, P(n)는 모든 자연수 n에 대해 유지되므로, S는 비어 있고 모순이다.∎

세트

{(

0,

n):

\mathbb {N}

N {\

displaystyle \mathbb {N}

} { {(

1,

n):

\mathbb {N}

N {\

displaystyle \mathbb {N}

。숫자는 쌍의 두 번째 구성 요소를 나타냅니다. 첫 번째 구성 요소는 색상 또는 위치에서 얻을 수 있습니다.

한편, 그림에서 나타내는 집합 $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ ( $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ , $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ ) : $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ N $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ } $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ { ( $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ , $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ ) : $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ N $}$ { $displaystyle$ \ { ( 0 , $n$ ) : $n$ \ $in$ \ $mathbb { N$ } \ $cup$ \ { ( 1 $, n$ ) : n \ $in$ \ $mathbb { N$ } \ $\{(0,n):n\in \mathbb {N} \}\cup \{(1,n):n\in \mathbb {N} \}$ } }은 사전순으로 정렬되어^[21]^{: 35lf} 있다.또한 유도 공리를 제외하고 모든 Peano 공리를 만족하며, 여기서 Peano의 상수 0은 쌍(0, 0)으로 해석되며, Peano의 후속 함수는 $x\in \{0,1\}$ x $x\in \{0,1\}$ † { $x\in \{0,1\}$ $x\in \{0,1\}$ $}$ {\ $displaystyle$ x\ $in \0, 1\}$ 및 $x\in \{0,1\}$ \ $style n$ 에 대해 succ $(x, n)$ $n\in \mathbb {N}$ ( $x,$ n + $1)$ 에 의해 쌍으로 정의된다.유도 공리의 olation, 술어 $P (x$ $,$ $n$ )를 ( $,$ $n)$ = ( $0, 0$ $y\in \{0,1\}$ 또는 ( $x,$ $n)$ $=$ $succ (y,$ m)로정의한다({0 $,1\}$ $m\in \mathbb {N}$ m $m\in \mathbb {N}$ {{ $displaystyle$ m $\in \mathbbb$ {N $m\in \mathbb {N}$ 그 다음 P의 경우,단, 세트 내의 모든 쌍에 대해 P가 참인 것은 아닙니다.

유도 원리를 가진 페아노의 공리는 고유하게 자연수를 모델링합니다.유도 원리를 정렬 원리로 대체하면 모든 ^[21]공리를 충족하는 보다 이국적인 모델을 만들 수 있습니다.

몇몇^[21] 책과 출처에 잘 정렬된 원리가 유도 공리와 동등하다고 잘못 인쇄되어 있다.다른 페아노 공리들의 맥락에서, 이것은 사실이 아니지만, 다른 공리들의 맥락에서,^[21] 그것들은 동등하다; 특히, 잘 정렬된 원칙은 위에 열거된 공리들의 맥락에서 유도 공리를 의미한다.

어떤 $자연수$ n에 대해 $모든$ 자연수는 0 $또는$ n + 1입니다.

많은 오증에서 흔히 볼 수 있는 실수는 n - $1$ 이 다른 Peano ^[21]공리에 의해 암시되지 않는 특성인 고유하고 잘 정의된 자연수라고 $가정$ 하는 것이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Matt DeVos, Simon Fraser University 수학유도학 박사
^ Gerardo con Diaz, 2013년 5월 2일 Harvard University Wayback Machine에서 수학 귀납법 아카이브
^ Anderson, Robert B. (1979). Proving Programs Correct. New York: John Wiley & Sons. p. 1. ISBN 978-0471033950.
^ Suber, Peter. "Mathematical Induction". Earlham College. Retrieved 26 March 2011.
^ Acerbi 2000.
^ 하이드앤라프만 2018.
^ ^a ^b Cajori, 197페이지: '수학 귀납'이라고 불리는 추론의 과정은 몇 가지 독립적인 기원을 가지고 있다.그것은 스위스인 Jakob (James) Bernouli, 프랑스인 B로 거슬러 올라간다.파스칼과 P.페르마, 그리고 이탈리아 F.마우롤리쿠스. [...] 행간을 조금 읽음으로써 힌두교도와 그리스인들의 글에서 수학 귀납의 흔적을 찾을 수 있다. 예를 들어, 바스카라의 "순환적 방법"과 유클리드의 소수 수가 무한하다는 증거에서 말이다.
^ 1994년 쇄신, 페이지 62-84
^ 수학적 지식과 실천의 상호작용 "수학적 귀납에 의한 최초의 암묵적 증거는 페르시아의 수학자 알-카라지의 작품에서 약 1000개가 주어졌다."
^ 1994년, 페이지 62
^ Simonson 2000.
^ 라비노비치 1970년
^ "어떤 양의 n이 정수 또는 정수일 때는 항상 참이 되는 정리를 증명해야 하는 경우가 있는데, 증명 방법은 보통 다음과 같다.1 .이 정리는 n = 1. 2차일 때 참임을 증명한다.n이 주어진 정수일 때 정리가 참이면 n이 다음으로 큰 정수일 때 참이 된다는 것이 증명되었다.그러므로 그 정리는 보편적으로 참이다.이 논쟁의 종류는 연속적인 소라이트라고 할 수 있다.(Boole c. 1849 Elementary Treates not mathematical treates on Logic, Ivor and Bornet, Gerrard, 1997년) Gerrattan-Guines, Ivor and Bornet, Gerrard, 1997년)에 전재된 Gerrattan-Guill: 논리학과 그것의 철학에 게재된 Birlag, Birlag, Birlag, Bern.
^ 피어스 1881년
^ 쉴즈 1997.
^ Ted Sundstrom, 수학적 추론, 190페이지, Pearson, 2006, ISBN 978-0131877184
^ Buss, Samuel (1986). Bounded Arithmetic. Naples: Bibliopolis.
^ "Forward-Backward Induction Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 23 October 2019.
^ 코시, 오귀스틴 루이(1821년.Cours d'analyse de l'cole Royale Polytecique, premierre partie, Analyze algébrique, 2017년 10월 14일 Wayback Machine Paris에서 보관.산술적 평균과 기하학적 평균의 부등식에 대한 증거는 457ff 페이지에서 찾을 수 있다.
^ 1973년 Crane, Russak & Co., Random Walk in Science (R. L. Weber, ed.)에 전재Cohen, Joel E. (1961). "On the nature of mathematical proof". Opus..
^ ^a ^b ^c ^d ^e Öhman, Lars–Daniel (6 May 2019). "Are Induction and Well-Ordering Equivalent?". The Mathematical Intelligencer. 41 (3): 33–40. doi:10.1007/s00283-019-09898-4.

레퍼런스

서론

Franklin, J.; Daoud, A. (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7. (제8장)
"Mathematical induction". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Hermes, Hans (1973). Introduction to Mathematical Logic. Hochschultext. London: Springer. ISBN 978-3540058199. ISSN 1431-4657. MR 0345788.
Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. (섹션 1.2.1: 수학적 유도, 11-21페이지)
Kolmogorov, Andrey N.; Fomin, Sergei V. (1975). Introductory Real Analysis. Silverman, R. A. (trans., ed.). New York: Dover. ISBN 978-0-486-61226-3. (섹션 3.8: 초한 유도, 페이지 28-29).

역사

Acerbi, Fabio (August 2000). "Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?". Archive for History of Exact Sciences. 55 (1): 57–76. doi:10.1007/s004070000020. JSTOR 41134098. S2CID 123045154.
Bussey, W. H. (1917). "The Origin of Mathematical Induction". The American Mathematical Monthly. 24 (5): 199–207. doi:10.2307/2974308. JSTOR 2974308.
Cajori, Florian (1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"". The American Mathematical Monthly. 25 (5): 197–201. doi:10.2307/2972638. JSTOR 2972638.
Fowler, D. (1994). "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?". Physis. 31: 253–265.
Freudenthal, Hans (1953). "Zur Geschichte der vollständigen Induction". Archives Internationales d'Histoire des Sciences. 6: 17–37.
Hyde, Dominic; Raffman, Diana (2018). "Sorites Paradox". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2018 ed.).
Katz, Victor J. (1998). History of Mathematics: An Introduction. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.
Peirce, Charles Sanders (1881). "On the Logic of Number". American Journal of Mathematics. 4 (1–4): 85–95. doi:10.2307/2369151. JSTOR 2369151. MR 1507856. 전재(CP 3.252–288), (W 4:299–309)
Rabinovitch, Nachum L. (1970). "Rabbi Levi Ben Gershon and the origins of mathematical induction". Archive for History of Exact Sciences. 6 (3): 237–248. doi:10.1007/BF00327237. MR 1554128. S2CID 119948133.
Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Sciences (in French). 9 (1): 1–21. doi:10.1007/BF00348537. MR 1554160. S2CID 124040444.
Rashed, R. (1994). "Mathematical induction: al-Karajī and al-Samawʾal". The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 156. Springer Science & Business Media. ISBN 9780792325659.
Shields, Paul (1997). "Peirce's Axiomatization of Arithmetic". In Houser, Nathan; Roberts, Don D.; Evra, James Van (eds.). Studies in the Logic of Charles S. Peirce. Indiana University Press. pp. 43–52. ISBN 0-253-33020-3. MR 1720827.
Simonson, Charles G. (Winter 2000). "The Mathematics of Levi ben Gershon, the Ralbag" (PDF). Bekhol Derakhekha Daehu. Bar-Ilan University Press. 10: 5–21.
Unguru, S. (1991). "Greek Mathematics and Mathematical Induction". Physis. 28: 273–289.
Unguru, S. (1994). "Fowling after Induction". Physis. 31: 267–272.
Vacca, G. (1909). "Maurolycus, the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction". Bulletin of the American Mathematical Society. 16 (2): 70–73. doi:10.1090/S0002-9904-1909-01860-9. MR 1558845.
Yadegari, Mohammad (1978). "The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā' Ibn Aslam (850-930)". Isis. 69 (2): 259–262. doi:10.1086/352009. JSTOR 230435. S2CID 144112534.

[1] Matt DeVos, Simon Fraser University 수학유도학 박사

[2] Gerardo con Diaz, 2013년 5월 2일 Harvard University Wayback Machine에서 수학 귀납법 아카이브

[3] Anderson, Robert B. (1979). Proving Programs Correct. New York: John Wiley & Sons. p. 1. ISBN 978-0471033950.

[4] Suber, Peter. "Mathematical Induction". Earlham College. Retrieved 26 March 2011.

[FOOTNOTEAcerbi2000-5] Acerbi 2000.

[FOOTNOTEHydeRaffman2018-6] 하이드앤라프만 2018.

[Induction_Bussey-7] Cajori, 197페이지: '수학 귀납'이라고 불리는 추론의 과정은 몇 가지 독립적인 기원을 가지고 있다.그것은 스위스인 Jakob (James) Bernouli, 프랑스인 B로 거슬러 올라간다.파스칼과 P.페르마, 그리고 이탈리아 F.마우롤리쿠스. [...] 행간을 조금 읽음으로써 힌두교도와 그리스인들의 글에서 수학 귀납의 흔적을 찾을 수 있다. 예를 들어, 바스카라의 "순환적 방법"과 유클리드의 소수 수가 무한하다는 증거에서 말이다.

[FOOTNOTERashed199462–84-8] 1994년 쇄신, 페이지 62-84

[9] 수학적 지식과 실천의 상호작용 "수학적 귀납에 의한 최초의 암묵적 증거는 페르시아의 수학자 알-카라지의 작품에서 약 1000개가 주어졌다."

[FOOTNOTERashed199462-10] 1994년, 페이지 62

[FOOTNOTESimonson2000-11] Simonson 2000.

[FOOTNOTERabinovitch1970-12] 라비노비치 1970년

[13] "어떤 양의 n이 정수 또는 정수일 때는 항상 참이 되는 정리를 증명해야 하는 경우가 있는데, 증명 방법은 보통 다음과 같다.1 .이 정리는 n = 1. 2차일 때 참임을 증명한다.n이 주어진 정수일 때 정리가 참이면 n이 다음으로 큰 정수일 때 참이 된다는 것이 증명되었다.그러므로 그 정리는 보편적으로 참이다.이 논쟁의 종류는 연속적인 소라이트라고 할 수 있다.(Boole c. 1849 Elementary Treates not mathematical treates on Logic, Ivor and Bornet, Gerrard, 1997년) Gerrattan-Guines, Ivor and Bornet, Gerrard, 1997년)에 전재된 Gerrattan-Guill: 논리학과 그것의 철학에 게재된 Birlag, Birlag, Birlag, Bern.

[FOOTNOTEPeirce1881-14] 피어스 1881년

[FOOTNOTEShields1997-15] 쉴즈 1997.

[16] Ted Sundstrom, 수학적 추론, 190페이지, Pearson, 2006, ISBN 978-0131877184

[Buss:BA-17] Buss, Samuel (1986). Bounded Arithmetic. Naples: Bibliopolis.

[18] "Forward-Backward Induction Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 23 October 2019.

[19] 코시, 오귀스틴 루이(1821년.Cours d'analyse de l'cole Royale Polytecique, premierre partie, Analyze algébrique, 2017년 10월 14일 Wayback Machine Paris에서 보관.산술적 평균과 기하학적 평균의 부등식에 대한 증거는 457ff 페이지에서 찾을 수 있다.

[20] 1973년 Crane, Russak & Co., Random Walk in Science (R. L. Weber, ed.)에 전재Cohen, Joel E. (1961). "On the nature of mathematical proof". Opus..

[Ohman2019-21] Öhman, Lars–Daniel (6 May 2019). "Are Induction and Well-Ordering Equivalent?". The Mathematical Intelligencer. 41 (3): 33–40. doi:10.1007/s00283-019-09898-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

Search

수학적 귀납

네임스페이스

더

목차

역사

묘사

예

연속 자연수의 합계

삼각 부등식

변종

0 또는 1 이외의 베이스 케이스

예: 코인별 달러 금액 형성

둘 이상의 카운터에 유도

무한 하강

프리픽스 유도

완전한 (강력한) 유도

예:피보나치 수

예: 소인수분해

예: 달러 재방문 금액

전진-후진 유도

유도 단계의 오류 예제

형식화

초한 유도

질서 정연한 원칙과의 관계

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

서론

역사

Search

수학적 귀납

역사

묘사

예

연속 자연수의 합계

삼각 부등식

변종

0 또는 1 이외의 베이스 케이스

예: 코인별 달러 금액 형성

둘 이상의 카운터에 유도

무한 하강

프리픽스 유도

완전한 (강력한) 유도

예:피보나치 수

예: 소인수분해

예: 달러 재방문 금액

전진-후진 유도

유도 단계의 오류 예제

형식화

초한 유도

질서 정연한 원칙과의 관계

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

서론

역사

「」를 참조해 주세요.