순서(그룹 이론)

이 글은 검증을 위해 추가 인용문이 필요합니다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주십시오. 조달되지 않은 자재는 제거될 수 있습니다.출처 : '주문' 그룹 이론– 뉴스 · 신문 · 서적 · 학자 · JSTOR (2011년 5월) (이 템플릿 메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학에서 유한군의 순서는 유한군의 원소수이다.어떤 집단이 유한하지 않으면 그 질서는 무한하다고 말한다.그룹의 요소 순서(기간 길이 또는 기간이라고도 함)는 요소에 의해 생성된 하위 그룹의 순서입니다.군 연산이 곱셈으로 나타나는 경우, 군의 원소 a의 순서는 따라서 a=e, 여기서 e는 군의 항등원소를 나타내며^m a는 a의 m복사의 곱을 나타내도록 가장^m 작은 양의 정수 m이다.이러한 m이 존재하지 않는 경우 a의 순서는 무한합니다.

그룹 G의 순서는 ord(G) 또는 G로 나타내며 요소 a의 순서는 ord${\displaystyle (\text{'}a\text{'}),}$\$displaystyle \operatorname {ord}(\langle$ a$\rangle)$가 ${\displaystyle \mathrm{아닌}}$ ord(a) 또는 a로 나타냅니다.여기서 각 괄호는 생성된 그룹을 나타냅니다.

라그랑주 정리는 유한군 G의 어떤 부분군 H에 대하여, 부분군의 순서는 그룹의 순서를 나눈다. 즉, H는 G의 제수이다. 특히, 어떤 원소의 순서 a는 G의 제수이다.

예

대칭군₃ S에는 다음과 같은 곱셈표가 있다.

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

이 그룹에는 6개의 요소가 있으므로, ord(S₃) = 6. 정의에 따르면, 동일성 e의 순서는 e = e이기 때문에 1이다.s, t 및 w의 각 제곱은 e이므로 이들 그룹 요소의 차수는 s = t = w = 2입니다.마지막으로 u = vu = e 및 v³ = uv = e이므로³ u와 v는 차수가 3이다.

순서 및 구조

그룹 G의 순서와 그 요소의 순서는 그룹의 구조에 대한 많은 정보를 준다.대략적으로 G의 인수분해가 복잡할수록 G의 구조는 복잡해진다.

G = 1의 경우, 그룹은 사소한 것입니다.어떤 그룹에서든, 오직 항등 원소 a = e만이 Ord(a) = 1. G의 모든 비항등 원소가 그 역(즉 ${\displaystyle \mathrm{a²}}$ = e)과 같다면, Ord($a$)${\displaystyle {}^{}}$= 2이다. 이는 ${\displaystyle b{}^{}=}$ (${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ b${\displaystyle {}^{}}$= b - ${\displaystyle 1{}^{}}$ {{$displaystyle ab =$ 1 ab$^{$b} }이므로 G는 것을 의미한다.예를 들어 정수 모듈로 6의 (가산) 순환군₆ Z는 아벨리안이지만 숫자 2는 차수가 3입니다.

${\displaystyle 2}$+${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{6\mu }}$0 ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$6 )$${ $displaystyle$2 +$2$ + 2$= 6$ \ $equiv 0µpmod${$6$}$$。

질서의 두 개념 사이의 관계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \rangle a\{a^{k}\display k\in \mathbb {Z} \}$

a에 의해 생성된 부분군의 경우

$\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\controlle a\rangle)}$

임의의 정수 k에 대해서,

a^k = e if 및 ord(a)가 k를 나누는 경우에만.

일반적으로 G의 부분군의 순서는 G의 순서를 나눕니다. 보다 정확하게는 H가 G의 부분군이라면,

ord(G) / ord(H) = [G : H] (여기서 [G : H]는 G에서 H의 지수, 정수)라고 한다.이것은 라그랑주의 정리이다.(단, 이것은 G가 유한 차수를 가지고 있는 경우에만 해당됩니다.ord(G) = ∞이면, 몫 ord(G) / ord(H)는 의미가 없습니다.)

상기의 직접적인 결과로서, 우리는 그룹의 모든 요소의 순서가 그룹의 순서를 나누는 것을 볼 수 있다.예를 들어, 위에 표시된 대칭 그룹에서, 여기서₃ ord(S) = 6인 경우, 요소의 가능한 순서는 1, 2, 3 또는 6입니다.

다음 부분역전은 유한군에 대해 해당된다: 만약 d가 군 G의 순서를 나누고 d가 소수라면, G에 순서 d의 요소가 존재한다(이것을 코치의 정리라고 부르기도 한다).복합 주문에는 해당 문구가 적용되지 않습니다. 예를 들어, Klein 4-group에는 4-group의 요소가 없습니다.)이것은 유도 증명으로 ^[1]증명될 수 있다.이 정리의 결과는 다음과 같다: 만약 ord(a)가 ^[2]G의 모든 a에 대한 p의 어떤 거듭제곱인 경우에만 군 G의 차수는 소수 p의 거듭제곱이다.

a가 무한 차수를 갖는 경우 a의 0이 아닌 모든 거듭제곱도 무한 차수를 가집니다.a의 차수가 유한한 경우 a의 거듭제곱 차수의 공식은 다음과 같습니다.

ord(a^k) = ord(a) / gcd(ord(a), k)^[3]

모든 정수 k에 대해특히 a와 그 역a의⁻¹ 순서는 같다.

어떤 그룹에서도

${\displaystyle \operatorname {ord}(ab)=\operatorname {ord}(ba)}$

a와 b의 순서와 ab의 순서를 관련짓는 일반적인 공식은 없다.실제로 a와 b는 모두 유한 차수를 가지며 ab는 무한 차수를 가지거나 a와 b는 무한 차수를 가지며 ab은 유한 차수를 가질 수 있다.전자의 예로는 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ S ${\displaystyle y}$ m$)$의 a(x) = 2-x, b(x) = 1-x(x) = x-1(x)이며$,$ 후자의 예로는 Ab(x)의 a(x) = x+1, b$($x) = x-1(x)이다.그 결과, 유한 아벨 군에서, 만약 m이 그룹의 모든 원소의 차수의 최대를 의미한다면, 모든 원소의 차수가 m을 나눈다는 것을 증명할 수 있다.

요소 순서별 카운트

G가 순서 n의 유한군이고 d가 n의 제수라고 가정합니다.G의 d차 원소의 수는 θ(d)(아마도 0)의 배수이며, 여기서 θ는 오일러의 전체 함수이며, d보다 크지 않은 양의 정수 수와 그에 대한 공역수를 제공한다.예를 들어, S의₃ 경우, θ(3) = 2이며, 차수 3의 원소는 정확히 두 개입니다.이 정리는 θ(2) = 1이기 때문에 2차 원소에 대한 유용한 정보를 제공하지 않으며, θ(6) = 2이기 때문에 d = 6과 같은 합성 d에 대해서만 제한적이며, S에는₃ 6차 원소가 0개이다.

동형사상에 관하여

군 동형사상은 원소의 순서를 줄이는 경향이 있다: 만약 f: G → H가 동형사상이고, a가 유한 차수의 G의 요소라면, ord(f(a)는 ord(a)를 나눈다.f가 주입식이면 ord(f(a) = ord(a)이다.이것은 종종 없다는 homomorphisms 또는 두개의 명시적으로 주어진 그룹 사이에 아무런injective homomorphisms, 한다는 것을 증명하다.(예를 들어 h:S3→ Z5 있을 수 없다 심상치 않은 불완전 변태, 왜냐하면 Z5에 0을 제외한 모든 번호 1,2,3S3에 있는 요소의 명령으로 나누지 않기 위해 5 가지고 있다.)추가적인 결과 conju 사용할 수 있다.GET의 과거e 요소의 순서는 동일합니다.

클래스 방정식

차수에 관한 중요한 결과는 클래스 방정식이다. 유한군 G의 차수와 중심 Z(G)의 차수 및 단순하지 않은 켤레 클래스의 크기를 관련짓는다.

${\displaystyle G = Z(G) +\sum _{i}d_{i}\;}$

여기서 d는_i 비사립 공역 클래스의 크기이며, 이들은 1보다 큰 G의 적절한 약수이며, 또한 비사립 공역 클래스의 대표 중 G에 있는 중앙집중기의 지수와 같다.예를 들어, S의₃ 중심은 단일 요소 e를 가진 단순한 군이며, 방정식은 S = 1+2+3으로 되어₃ 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비틀림 부분군

메모들

레퍼런스

• 젠장, 데이비드 푸트, 리처드추상 대수학, ISBN 978-0471433347, 페이지 20, 54-59, 90
• 아틴, 마이클대수학, ISBN 0-13-004763-5, 페이지 46-47