유클리드 평면 등각학

기하학에서, 유클리드 평면 등각은 유클리드 평면의 등각계, 또는 더 정확히 말하면 길이와 같은 기하학적 특성을 보존하는 평면을 변환하는 방법이다.변환, 회전, 반사 및 활공 반사의 네 가지 유형이 있습니다(아래의 유클리드 평면 등각계 분류 참조).

유클리드 평면 등각체의 집합은 구성 아래의 군을 형성한다: 2차원에서의 유클리드 군.그것은 선에서의 반사에 의해 생성되며, 유클리드 그룹의 모든 요소는 최대 세 개의 뚜렷한 반사를 합친 것이다.

비공식 토론

비공식적으로, 유클리드 평면 등각은 평면을 "변형"하지 않고 변환하는 방법이다.예를 들어, 유클리드 평면이 책상 위에 놓인 투명한 플라스틱 시트로 표현된다고 가정합니다.등각선의 예는 다음과 같습니다.

시트를 오른쪽으로 1인치 이동.
표시된 점(움직이지 않는 상태)을 중심으로 시트를 10도 회전시킵니다.
시트를 뒤집어서 뒤에서 보세요.시트의 한쪽에 그림이 그려져 있는 경우는, 시트를 넘긴 후에, 사진의 미러 이미지가 표시됩니다.

이것들은 각각 번역, 회전, 반사의 예입니다.활공 반사라고 불리는 등각계의 또 다른 유형이 있다(아래 유클리드 평면 등각계의 분류에서 참조).

그러나 시트를 접거나 절단하거나 녹이는 것은 등각선으로 간주되지 않습니다.구부러지거나 늘리거나 비틀리는 것과 같은 덜 급격한 변화도 아니다.

형식적 정의

유클리드 평면의 등각은 평면의 거리 보존 변환이다.즉, 이것은 지도입니다.

{displaystyle M: {\textbf {R}}^2}\ to {\textbf {R}^2}

평면의 모든 점 p와 q에 대해

d(p,q)=d(M(p),M(q),

여기서 d(p, q)는 p와 q 사이의 일반적인 유클리드 거리이다.

분류

유클리드 평면 등각성에는 네 가지 유형이 있다는 것을 보여줄 수 있다.(주의: 아래에 나열된 등각선 유형에 대한 표기는 완전히 표준화되지 않았습니다.)

리플리케이션

반사

반사, 즉 거울 등각계는 F로_c,v 표시되며, 여기서 c는 평면의 점이고 v는 R의² 단위 벡터이다. (F는 "플립"에 해당한다.)는 v에 수직이고 c를 통과하는 선 L의 점 p를 반영하는 효과가 있다.선 L을 반사축 또는 연관된 거울이라고 합니다.F의_c,v 공식을 구하려면 먼저 도트 곱을 사용하여 v 방향으로 p - c 성분 t를 구한다.

t=(p-c)\cdot v=(p_{x}-c_{x})v_{x}+(p_{y}-c_{y})v_{y}

그리고 p의 반사를 뺄셈으로 구한다.

F_{c,v}(p)=p-2tv.

원점에 대한 회전과 원점을 통과하는 선에 대한 반사의 조합은 직교 그룹 O(2)를 형성하는 모든 직교 행렬(즉, 행렬식 1과 -1)과 함께 구한다.행렬식이 -1인 경우 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle R_{0,\theta }(p)=cos \theta &\sin \theta \sin \theta &\mathbf {-} \cos \theta \end {pmatrix} p_{x}\p_y}\end {bmatrix}.}

이는 X축의 반사 후에 각도 θ가 회전하는 것으로, 또는 X축과 θ/2의 각도를 만드는 선의 반사이다.평행선에서의 반사는 그것에 수직인 벡터를 더하는 것에 대응합니다.

번역

번역.

여기서 v는 R의² 벡터인 T로 나타나는_v 변환은 평면을 v의 방향으로 이동시키는 효과가 있습니다.즉, 비행기의 어느 지점 p에 대해서도

T_{v}(p)=p+v,

또는 (x, y) 좌표의 관점에서,

\displaystyle T_{v}(p)=begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\p_{y}+v_{y}\end{bmatrix}}.}

번역은 두 개의 평행 반사를 합친 것으로 볼 수 있습니다.

회전수

회전

R로 표시되는_c,θ 회전. 여기서 c는 평면의 점(회전 중심)이고 θ는 회전 각도이다.좌표의 관점에서 회전은 두 개의 연산으로 나누어 가장 쉽게 표현됩니다.첫째, 원점 주위의 회전은 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle R_{0,\theta }(p)=cos \theta &-\sin \theta \sin \theta \theta \sin \theta \end {pmatrix} {\cos \theta \end {pmatrix} p_{x}\p_y}\end {bmatrix}.}

이러한 행렬은 직교 행렬이다(즉, 각 행렬은 정사각형 행렬임). G

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

, 전치는 역행렬인

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

T

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

2

GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.

. \

displaystyle

GG ^{T} =

G^{T}G=

I_{2} )이며

,

행렬식 1(직교 행렬에 대한 다른 가능성은 -1이며, 아래 참조).이들은 특수 직교 그룹 SO(2)를 형성합니다.

우선 c를 원점으로 변환한 후 원점을 중심으로 회전하고 마지막으로 원점을 c로 변환함으로써 c 주위의 회전을 실현할 수 있다.그것은,

R_{c,\theta}=T_{c}\circ R_{0,\theta }\display T_{-c

다른 말로 하자면

\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c+R_{0,\theta }(p-c)}

또는 원점 주위를 회전한 후 변환을 수행합니다.

\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c-R_{0,\theta }c+R_{0,\theta }(p)}

회전은 두 개의 평행하지 않은 반사의 합성물로 볼 수 있습니다.

경직된 변환

변환과 회전이 함께 강성 운동 또는 강성 변위를 형성합니다.이 집합은 구성 하의 군, 강체 운동 군, 유클리드 등각체의 전체 그룹의 하위 그룹을 형성합니다.

활공 반사

G로 나타나는_c,v,w 활공반사(여기서 c는 평면상의 점, v는 R의 단위벡터², w는 null이 아닌 v에 수직인 벡터는 c와 v로 기술된 선의 반사의 조합이며, w에 따른 변환이 뒤따른다).그것은,

G_{c,v,w}=T_{w}\circ F_{c,v

다른 말로 하자면

G_{c,v,w}(p)=w+F_{c,v}(p)

(또한 사실이다)

G_{c,v,w}(p)=F_{c,v}(p+w);

즉, 번역과 반사를 반대 순서로 해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.)

또는 행렬식 -1(원점을 통과하는 라인의 반사에 해당)을 가진 직교 행렬에 곱한 다음 변환을 한다.이것은 활공 반사입니다만, 변환이 반사선에 수직인 특수한 경우는 제외합니다.이 경우 조합 자체는 평행선상의 반사일 뿐입니다.

모든 지점 p에 대해 I(p) = p로 정의되는 동일성 등각은 변환의 특수한 경우이며 회전의 특수한 경우이기도 하다.위에서 설명한 유형 중 하나 이상에 속하는 유일한 등각계입니다.

모든 경우에 위치 벡터에 직교 행렬을 곱하고 벡터를 추가합니다.결정식이 1이면 회전, 변환 또는 항등식이 있고 -1이면 활공 반사 또는 반사가 있습니다.

테이블에서 종이 한 장을 꺼내 랜덤으로 눕히는 것과 같은 "랜덤" 등각계는 회전 또는 활공 반사입니다(3개의 자유도가 있습니다).이는 확률분포의 상세내용에 관계없이 θ와 가산 벡터의 방향이 독립적이고 균일하게 분포되어 있고 가산 벡터의 길이가 연속분포를 갖는 한 적용된다.순수 번역과 순수 성찰은 자유도가 두 개밖에 없는 특수한 경우인데 반해 정체성은 자유도가 없어 더욱 특별하다.

반사군으로서의 등각선

반사, 즉 거울 등각계를 조합하여 등각계를 만들 수 있습니다.따라서 등각계는 반사 그룹의 한 예이다.

미러 조합

유클리드 평면에서 우리는 다음과 같은 가능성을 가지고 있다.

[d] 아이덴티티

같은 미러에 2개의 반사가 있으면 각 점이 원래 위치로 복원됩니다.모든 점이 고정된 상태로 유지됩니다.동일한 미러 쌍은 동일한 효과를 발휘합니다.

[db] 반사

앨리스가 거울을 통해 발견한 것처럼 하나의 거울은 왼손과 오른손을 바꾸게 한다.(정식적인 용어로 위상적인 방향은 거꾸로 된다.)거울의 포인트는 고정된 채로 있습니다.각각의 거울은 독특한 효과를 가지고 있다.

[dp] 회전

두 개의 서로 다른 교차하는 거울은 공통점을 가지며, 공통점은 고정된 상태로 유지됩니다.다른 모든 점들은 거울 사이의 각도보다 두 배 정도 회전합니다.동일한 고정점과 동일한 각도를 가진 두 개의 미러는 올바른 순서로 사용되는 한 동일한 회전을 제공합니다.

[dd] 번역

교차하지 않는 두 개의 개별 거울은 평행해야 합니다.모든 점은 같은 양, 두 배의 거리를 같은 방향으로 이동합니다.포인트는 고정되어 있지 않습니다.동일한 평행 방향과 동일한 거리를 가진 두 개의 거울은 올바른 순서로 사용되는 한 동일한 변환을 제공합니다.

[dq] 활공 반사

거울 세 개.이 두 개가 모두 평행한 경우 효과는 단일 미러와 동일합니다(쌍을 슬라이딩하여 세 번째 미러를 취소합니다).그렇지 않으면 두 개가 평행하고 세 번째가 수직인 동등한 배치를 찾을 수 있습니다.그 효과는 거울과 평행한 번역과 결합된 반사입니다.포인트는 고정되어 있지 않습니다.

거울 세 개면 충분합니다.

미러를 더 추가해도 취소가 발생하도록 항상 재배치할 수 있기 때문에 평면에 더 많은 가능성이 추가되지는 않습니다.

증명. 등각도는 세 개의 독립된 (공직선이 아닌) 점에 대한 효과에 의해 완전히 결정된다.따라서 p₂, p₃, p가 q₂, q₃, q에₁ 매핑된다고 가정하면₁ 다음과 같이 미러 시퀀스를 생성할 수 있습니다.p와₁ q가 구별되는 경우₁ 수직 이등분선을 거울로 선택합니다.여기서₁ p는 q에₁ 매핑됩니다.다른 모든 미러를 q에₁ 통과시켜 고정합니다.이 반사₂ p'와₃ p' 아래의 p와₃ p의 이미지를₂ 호출합니다.q가 pθ와 다른₂ 경우₂ q의 각도를 새로운₁ 거울로 이등분한다.p와₂ p가 배치되어 있으면₁₃ p는 p'에₃ 있습니다.p'가 배치되어 있지 않으면 최종 미러 스루₁ q와₂ q가 q로₃ 플립됩니다.따라서 최대 3개의 반사로 모든 평면 등각도를 재현하기에 충분하다.∎

인식

다음 표와 같이 손을 유지하는지, 맞바꾸는지, 고정점이 하나 이상 있는지 여부에 따라 이러한 등각성 중 어느 것을 가지고 있는지를 알 수 있습니다(아이덴티티 제외).

		손보존?
		네.	아니요.
고정점?	네.	회전	반사
고정점?	아니요.	번역.	활공 반사

그룹 구조

홀수 미러(반사 및 활공 반사)가 필요한 등각선은 항상 왼쪽과 오른쪽을 반대로 합니다.동일성, 회전, 변환 등 고른 등각계는 절대 그렇지 않다. 그들은 강성운동에 대응하고 완전한 유클리드 등각계의 정규 서브그룹을 형성한다.예를 들어, 두 개의 평행 거울의 합성 순서를 반대로 하면, 완전한 군이나 짝수 부분군 모두 아벨리안이 아닙니다.

증명. 정체는 등각선이고 아무것도 변하지 않아, 거리는 변할 수 없어.한 등각계가 거리를 바꿀 수 없다면 두 개(또는 세 개 또는 그 이상) 연속으로 바꿀 수 없다. 따라서 두 개의 등각계의 구성은 다시 등각계가 되고, 한 쌍의 등각계는 구성 하에서 닫힌다.동일등각은 조성에 대한 동일성이며, 조성은 연관성이 있다. 따라서 등각은 반군의 공리를 만족한다.그룹의 경우 모든 원소에 대해 역수를 가져야 합니다.반사를 취소하기 위해 우리는 반사를 그 자체로 구성하기만 하면 됩니다(반사는 인볼루션입니다).그리고 모든 등각은 반사의 연속로서 표현될 수 있기 때문에 그 반경은 그 연속이 거꾸로 된 것처럼 표현될 수 있습니다.동일한 반사 쌍을 취소하면 반사의 수가 짝수만큼 감소하여 시퀀스의 패리티가 유지됩니다.또, ID에는 짝수 패리티가 있는 것에 주의해 주세요.따라서 모든 등각선은 그룹을 형성하고 심지어 등각선도 부분군을 형성합니다(홀수 등각선은 동일성을 포함하지 않으므로 부분군이 아닙니다).이 부분군은 정규 부분군입니다. 짝수 등각계를 두 홀수 사이에 끼우면 짝수 등각계가 생성되기 때문입니다.∎

짝수 부분군은 정규적이기 때문에, 그것은 몫군과 동형사상의 알맹이이며, 여기서 몫은 반사와 등식으로 이루어진 군과 동형사상입니다.그러나 전체 그룹은 짝수 부분군과 몫군의 직접곱이 아니라 반직접곱일 뿐이다.

구성.

등각선의 구성은 여러 가지 방법으로 종류를 섞는다.우리는 그 정체성을 두 개의 거울로 생각할 수도 있고, 없는 것으로 생각할 수도 있다; 어느 쪽이든, 그것은 구성에 아무런 영향을 미치지 않는다.그리고 두 개의 반사는 번역 또는 회전 또는 동일성(둘 다 사소한 방법으로)을 제공합니다.이들 중 하나로 구성된 반사는 단일 반사로 축소될 수 있다. 그렇지 않으면 유일하게 사용 가능한 3-미러 등각계인 활공 반사를 제공한다.한 쌍의 번역은 항상 1개의 번역으로 압축되기 때문에 어려운 경우 순환이 수반됩니다.회전 또는 변환으로 구성된 회전은 균일한 등각계를 생성해야 한다는 것을 알고 있습니다.번역이 있는 합성에서는 같은 양으로 (고정점이 어긋난) 다른 회전이 발생하지만, 회전이 있는 합성에서는 번역 또는 회전이 발생할 수 있습니다.흔히 두 회전을 구성하면 회전이 발생한다고 하는데, 오일러는 3D로 그 효과를 증명했습니다. 하지만 이것은 고정된 점을 공유하는 회전에 대해서만 해당됩니다.

변환, 회전 및 직교 부분군

따라서 두 가지 새로운 등각 부분군이 있습니다. 즉, 모든 변환과 고정점을 공유하는 회전입니다.둘 다 짝수 부분군의 부분군이며 변환은 정상입니다.변환은 정규 부분군이기 때문에 고정점인 직교 그룹이 있는 등각 부분군을 제외하고 인수분해할 수 있습니다.

증명. 만약 두 회전이 고정된 점을 공유한다면, 우리는 두 번째 회전의 미러 쌍을 회전시켜 4개(2개, 2개)의 시퀀스의 안쪽 미러를 취소하고 바깥쪽 페어만 남길 수 있습니다.따라서 공통 고정점을 가진 두 회전을 구성하면 동일한 고정점을 중심으로 한 각도의 합계가 회전합니다.

2개의 번역이 평행한 경우, 2번째 번역의 미러 페어를 슬라이드시켜 회전 케이스와 마찬가지로 4개의 시퀀스의 내부 미러를 취소할 수 있습니다.따라서 두 개의 병렬 변환의 구성은 같은 방향의 거리 합계에 의한 변환을 생성한다.다음으로 변환이 평행하지 않고 미러 시퀀스가 A, A₂(첫 번째 변환)에 이어₁ B, B₂(두 번째 변환)라고₁ 가정합니다.그₂ 후 A와₁ B는 예를 들어 c에서 교차해야 합니다.그리고 재결합하면 이 내부 쌍을 c 주위에 자유롭게 피벗할 수 있습니다.90°를 피벗하면 흥미로운 일이 발생합니다.A와₁₂ A'는 예를 들어 p에서 90° 각도로 교차하고, B'와₂ B'도 q에서₁ 교차합니다.다시 연관짓기에서는 첫 번째 쌍을 p를 중심으로 피벗하여 B'가₂ q를 통과하도록 하고, 두 번째 쌍을 q를 통과하도록₁ 피벗합니다.이제 내부 미러가 일치하여 취소되고 외부 미러가 평행하게 유지됩니다.따라서 두 개의 비병렬 번역의 구성도 하나의 번역이 됩니다.또한 세 개의 피벗점은 모서리가 벡터 덧셈의 머리-꼬리 규칙을 제공하는 삼각형을 형성한다: 2(p c) + 2(c q) = 2(p q).∎

중첩된 그룹 구성

부분군 구조는 임의 등각계를 구성하는 또 다른 방법을 제안합니다.

고정된 지점을 선택하고, 그 지점을 통해 거울을 봅니다.

등각도가 이상하면 거울을 사용하고, 그렇지 않으면 사용하지 마십시오.
필요한 경우 고정점을 중심으로 회전합니다.
필요한 경우 번역합니다.

이는 변환이 직교 그룹을 갖는 전체 등각성 그룹의 정규 부분군이고, 고정점에 대한 회전은 직교 그룹의 정규 부분군이며, 단일 반사를 갖는 정규 부분군이기 때문입니다.

이산 부분군

지금까지 설명한 부분군은 무한할 뿐만 아니라 연속(거짓말 그룹)이기도 합니다.하나 이상의 0이 아닌 변환을 포함하는 부분군은 무한해야 하지만 직교 그룹의 부분군은 유한할 수 있습니다.예를 들어, 정오각형 대칭은 가장자리를 수직으로 이등분하는 5개의 거울의 반사와 함께 72°(360°/5)의 정수 배수에 의한 회전으로 구성된다.이것은 10개의 요소를 가진 그룹 D입니다₅.반사를 제외한 반 크기의 부분군 C가₅ 있습니다.이들 2개의 그룹은 임의의 n> 1에 대해 D와_n C라는2개의_n 패밀리의 멤버입니다.이 패밀리는 함께 로제트 그룹을 구성합니다.

번역은 그 자체로 접히는 것이 아니라 유한번역의 정수배수, 즉 두 개의 독립번역의 정수배수를 부분군으로 삼을 수 있습니다.이것들은 평면의 주기적인 타일링의 격자를 생성합니다.

또, 이러한 2 종류의 이산 그룹(고정점 주위의 이산 회전과 반사, 이산 변환)을 조합해, 프리즈 그룹과 벽지 그룹을 생성할 수도 있습니다.특이하게도 소수의 고정 소수점 그룹만이 개별 번역과 호환성이 있는 것으로 나타났습니다.사실 격자 호환성은 동형사상까지 7개의 서로 다른 프리즈 그룹과 17개의 벽지 그룹만을 가질 정도로 심각한 제약을 가합니다.예를 들어, 오각형 대칭 D는₅ 이산적인 변환 격자와 호환되지 않는다(각 고차원도 한정된 수의 결정학적 그룹을 가지고 있지만, 그 수는 빠르게 증가한다. 예를 들어, 3D는 230개의 그룹을 가지고 있고 4D는 4783개를 가지고 있다).

복소평면의 등각선

복소수 측면에서, 평면의 등각은 다음 중 하나의 형태이다.

{\begin{array}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mapsto &a+\Omega z\end{array}

또는 형태의

{\begin{array}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mapsto &a+\motha {z} {\mbox{,}} \end{array}

일부 복소수 a와 θ의 경우 θ = 1이다.이것은 증명하기 쉽다: a = f(0) 및 θ = f(1) - f(0) 및 다음과 같이 정의되는 경우

{\begin{rcc}g &\mathbb {C} &\mathbb {C} &\&z&\mapsto & {\frac {f(z)-a} {\modox{,}} \end{array}

g는 등각도, g(0) = 0, g(1) = 1이다. 그러면 g는 항등도 또는 켤레임을 쉽게 알 수 있으며, 증명되는 문장은 f(z) = a + µg(z)라는 사실과 이것으로부터 나온다.

이는 분명히 이전의 평면 등각선 분류와 관련이 있다.

z → a + z 유형의 함수는 변환이다.
z → µz 유형의 함수는 회전이다(θ = 1인 경우).
활용은 반영입니다.

복소점 p에 대한 회전은 다음과 같은 복잡한 산술에 의해 구해진다.

({displaystyle z\mapto \obega (z-p)+p=\obega z+p(1-\obega)}

여기서 마지막 표현은 0에서의 회전과 변환에 해당하는 매핑을 나타냅니다.따라서 직접 $z\mapsto \omega z+a,$ $z\mapsto \omega z+a,$ z + a $,$ {\ $displaystyle$ $z\mapsto \omega z+a,$ $p(1-\omega )=a$ \ $mapsto\omega z+$ $p(1-\omega )=a$ } $=$ {\ $display p$ mega $)=a$ }를 $p(1-\omega )=a$ $p(1-\omega )=a$ 하여 $\omega \neq 1$ p $p(1-\omega )=a$ $p=a/(1-\omega )$ $p=a/(1-\omega )$ - $p=a/(1-\omega )$ ) { $displaystyle$ p $=a/(1-\$ $p=a/(1-\omega )$ $}$ 를 $p = a/(1 - \omega)$ $\omega \neq 1$ 의 중심으로 $p=a/(1-\omega )$ 수 $\omega \neq 1$ 직접 등각은 순수한 번역이 아닙니다.Cederberg가 말했듯이, "직접 등각은 회전 또는 ^[1]변환이다."

「」를 참조해 주세요.

단위 거리를 보존하는 변환으로서의 등각성의 특성화인 Beckman-Quarles 정리
일치(기하학)
회전 및 반사 조정
Hjelmslev의 정리, 선의 등각계에서 대응하는 점 쌍의 중간점은 공선이라는 진술

레퍼런스

^ Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. pp. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3., 151페이지에서 인용

외부 링크

평면 등각선

[1] Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. pp. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3., 151페이지에서 인용

[1]

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