격자(그룹)

In geometry and group theory, a lattice in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is a subgroup of the additive group ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ which is isomorphic to the additive group ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, and which spans the real vector space ${\displaystyle \mathb$$b {R} ^{n$ 즉, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 어떤 기준으로도, 기본 벡터의 정수 계수를 가진 모든 선형 결합의 하위 그룹이 격자를 형성한다$.$ 격자는 원시 세포에 의해 공간의 규칙적인 타일링으로 볼 수 있다.

격자는 특히 리 알헤브라스, 수 이론 및 집단 이론과 관련하여 순수 수학에 많은 중요한 응용을 한다. 그것들은 또한 코딩 이론과 관련하여 응용 수학, 암호학에서 여러 격자 문제에 대한 추측된 계산 경도 때문에 발생하며, 물리 과학에서 다양한 방법으로 사용된다. 예를 들어 재료과학과 고체물리학에서 격자는 결정체 구조물의 "프레임 작업"과 동의어로, 결정체에서 원자나 분자의 위치와 특별한 경우에 일치하는 규칙적으로 간격을 두고 있는 점들의 3차원 배열이다. 보다 일반적으로 격자 모델은 물리학에서, 종종 계산 물리학의 기법에 의해 연구된다.

대칭 고려사항 및 예시

격자는 n방향으로 분리된 번역 대칭의 대칭군이다. 이 변환 대칭의 격자를 가진 패턴은 더 많이 가질 수 없지만 격자 자체보다 더 적은 대칭을 가질 수 있다. 그룹으로서(기하학적 구조를 떨어뜨리는 것) 격자는 미세하게 생성된 자유 아벨리아 그룹이며, $따라서{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ Z ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}}$에 이형성이 있다$.$

결정의 원자 또는 분자 위치, 또는 보다 일반적으로 번역적 대칭에 따른 집단 작용의 궤도와 일치하는 규칙적인 간격 점의 3차원 배열의 의미에서 격자는 번역 격자: 코제트(coset)를 번역한 것으로, 기원을 포함할 필요가 없으므로 pr에 격자가 될 필요는 없다.사리에 맞지 않는 말다

A simple example of a lattice in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is the subgroup ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$. More complicated examples include the E8 lattice, which is a lattice in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, and the Leech lattice in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}$$\}\}.$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 주기 격자는 19세기 수학에서 개발된 타원함수 연구의 중심이며$$, 아벨함수 이론에서 더 높은 차원으로 일반화된다. 뿌리 격자라 불리는 격자는 단순한 리 알헤브라의 이론에서 중요하다. 예를 들어, E8 격자는 같은 이름으로 통하는 리 대수학과 관련이 있다.

격자에 따라 공간 분할

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$Lambda }$의 일반적인 격자 모양$$\$mathb {R} ^{n}$

$\displaystyle \Lambda =\왼쪽\{\왼쪽.\sum _{i=1}^{n}a_{n}v_{i}\;\right\vert \;a_{i}\mathb {Z}\right\}}}}}}$

여기서 {v₁, ..., v_n}은(는$)$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \mathb$ {$R} ^{n}$의 기초가 된다$.$ 다른 기초는 동일한 격자를 생성할 수 있지만 벡터 v의_i 결정요소의 절대값은 λ에 의해 고유하게 결정되며, D(D)로 표시된다. 만일 격자가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 전체를 동일한 다면체(lattice의 기본 영역으로 알려진 n차원 평행체의 복사)로$$ 나눈다고 생각한다면 d(DR)는 이 다면체의 n차원 부피와 같다. 이 때문에 d(DJ)를 격자의 공동 볼륨이라고 부르기도 한다. 이것이 1이면 격자를 단변형이라고 한다.

볼록 집합의 격자점

민코프스키의 정리는 대칭 볼록 세트 S의 수와 S에 포함된 격자 점의 수를 연관시킨다. 모든 정점이 격자의 요소인 폴리토프에 포함된 격자 점의 수는 폴리토프의 Ehrart 다항식으로 설명된다. 이 다항식의 일부 계수에 대한 공식은 d(DRU)도 포함한다.

계산 격자 문제

컴퓨터 격자 문제는 컴퓨터 과학에 많은 응용이 있다. 예를 들어, Lenstra-Lenstra-Lovasz 격자 기반 감소 알고리즘(LLL)은 많은 공개키 암호화 방식의 암호화에 사용되어 왔으며,^[1] 많은 격자 기반 암호 체계는 특정 격자 문제가 계산적으로 어렵다는 가정 하에 안전한 것으로 알려져 있다.^[2]

2차원의 선반: 상세 토론

결정학적 제한 정리에 의해 주어진 5가지 2D 격자 유형이 있다. 아래에는 대칭 영역을 보여주는 벽지 도표와 함께 IUC 표기법, Orbifold 표기법, Coxeter 표기법으로 격자의 벽지 그룹이 제시되어 있다. 이 변환 대칭의 격자를 가진 패턴은 더 많은 것을 가질 수 없지만 격자 자체보다 더 적은 대칭을 가질 수 있다. 하위 그룹의 전체 목록을 사용할 수 있다. 예를 들어 육각형/삼각형 격자 아래에는 완전한 6배 반사 대칭으로 두 번 주어진다. 패턴의 대칭 그룹이 n-폴드 회전을 포함하는 경우 격자는 짝수 n에 대해 n-폴드 대칭을 가지며 홀수 n에 대해서는 2n-폴드를 가진다.

주어진 격자 분류의 경우, 한 점으로 시작하고 가장 가까운 두 번째 점을 취한다. 같은 선에 있지 않은 세 번째 점의 경우 두 점까지의 거리를 고려하십시오. 이 두 거리 중 작은 거리일수록 작은 점 중에서 큰 거리일수록 작은 점을 선택한다. (논리적으로 동등하지는 않지만, 같은 결과를 주는 격자의 경우, "둘 중 큰 것이 가장 작은 점을 선택하라"는 것이다.)

이 다섯 가지 경우는 삼각형이 정삼각형, 우이등변, 우이등변, 이등변, 스칼렌에 해당한다. 롬빅 격자에서, 최단 거리는 대각선 또는 롬버스의 한 쪽일 수 있다. 즉, 처음 두 지점을 연결하는 선 세그먼트가 이등변 삼각형의 동일한 면 중 하나일 수도 있고 아닐 수도 있다. 이는 라임버스의 작은 각도가 60° 미만 또는 60°와 90° 사이인지에 따라 달라진다.

일반적인 경우는 주기 격자로 알려져 있다. 벡터 p와 q가 격자를 생성하면 p와 q 대신 p와 p-q 등을 취할 수 있다. 일반적으로 2D에서는 ad-bc가 1 또는 -1인 정수 a,b,c,d에 대해 p +b q와 c +d q를 취할 수 있다. 이렇게 하면 p와 q 자체가 다른 두 벡터의 정수 선형 결합이 된다. 각 쌍 p, q는 모두 동일한 면적과 교차 제품의 크기를 갖는 평행도를 정의한다. 하나의 평행사변형은 전체 물체를 완전히 정의한다. 더 이상의 대칭이 없는 이 평행사변형은 기본 평행사변형이다.

벡터 p와 q는 복잡한 숫자로 나타낼 수 있다. 크기와 방향까지, 한 쌍은 그들의 지수로 표현될 수 있다. 기하학적으로 표현된다: 두 격자점이 0과 1이면 세 번째 격자점의 위치를 고려한다. 동일한 격자를 발생시킨다는 의미에서 동등성은 모듈 그룹에 의해 표현된다. ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle z}$+ 1 ${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$은 같은 그리드에서 다른 세 번째 점을 선택하는 것을$$ 나타내며, ${\displaystyle S}$: z ${\displaystyle \mapsto }$- ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$은 삼각형의 다른 쪽을 기준면 0-1로 선택하는 것을$$ 나타내며, 일반적으로 라티스의 스케일 변경 및 회전하는 것을 의미한다. 영상의 각 "커브 삼각형"은 각 2D 격자 모양에 대해 하나의 복잡한 숫자 하나를 포함하며, 회색 영역은 위의 분류에 해당하는 표준 표현이며, 0과 1, 2 격자 점이 서로 가장 가까운 점이며, 경계의 절반만 포함함으로써 중복을 피한다. 롬빅 격자는 경계의 점들로 표현되며, 정사각형 격자는 정점으로, i는 정사각형 격자로 표시된다. 직사각형 격자는 상상의 축에 있고, 나머지 영역은 평행사변형 격자를 나타내며, 상상의 축에 거울 이미지로 표현되는 평행사변형의 거울 영상이 있다.

3차원의 격자

3D의 14개의 격자형은 브라바이스 격자라 불린다. 그것들은 우주 그룹에 의해 특징지어진다. 특정한 유형의 번역 대칭을 가진 3D 패턴은 더 많이 가질 수 없지만 격자 자체보다 더 적은 대칭을 가질 수 있다.

복잡한 공간의 격자

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 격자는 $Cn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$n}}}$의 이산 하위 그룹으로 실제$$$$ 벡터 공간으로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 걸쳐 있다. 실제 벡터 공간으로서의$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {C} ^{n}$의 치수가 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$과 같으므로$$$,$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $\mathb${$C$$} ^{n$$}}$의 격자는 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ 순위의 자유 아벨리아 그룹이 된다$.$

For example, the Gaussian integers ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$ form a lattice in ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$, as ${\displaystyle (1,i)}$ is a basis of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ over ${\displaystyle \mathbb$${R}$$}$ .

위치 그룹

보다 일반적으로, Lie 그룹 G의 격자 Ⅱ는 G에 대한 Haar 측정치(좌측 변량 또는 우측 변량)에서 상속된 지수 G/Ⅱ가 유한한 측정치(좌측 변량 또는 우측정은 그러한 선택과 무관하다. 그것은 G/TH가 컴팩트할 때는 분명 그러하겠지만, SL₂(R)의 모듈 그룹 사례에서 보듯이 충분한 조건이 필요하지 않다. SL(R)은 격자이지만, 그 몫이 콤팩트하지 않은 경우(쿠스프스가 있다). Lie 그룹에 격자의 존재를 나타내는 일반적인 결과가 있다.

격자는 G/NAT이 작을 경우 균일하거나 cocompact라고 하며, 그렇지 않을 경우 격자를 불균일하다고 한다.

일반 벡터 공간의 격자

우리는 $일반적$으로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ lattle을$$ R n ${\$의 Lattic을 고려하지만, 이$$ 개념은 모든 분야에 걸쳐 유한 차원 벡터 공간으로 일반화할 수 있다. 이는 다음과 같이 할 수 있다.

K를 필드로 하고, V를 n차원 K-벡터 공간으로 하고,${\displaystyle }B{\displaystyle }$ =${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B=\{1}\\mathbf {v},\ldots$ {v}$_{n}\mathbf {$n}}}을(를) V에 대한 K-basis로 하고 R을 링으로 한다. B가 생성한 V의 R 격자 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle {\mathcal{L}=\왼쪽\{\왼쪽.\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\, 오른쪽 a_{i}\in R\right\}.}$

일반적으로 베이스 B가 다르면 다른 격자가 생성된다. However, if the transition matrix T between the bases is in ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$ - the general linear group of R (in simple terms this means that all the entries of T are in R and all the entries of ${\displaystyle T^{-1}}$ are in R - which is equivalent to saying that the determinant of T $∗{\$에 있으며,$$ 이는 T가 두 개의 격자 사이에 이형성을 유도하기 때문에 이러한 염기들이 생성하는 격자는 이형성이 될 것이다.

그러한 격자의 중요한 경우는 p-adic 장과 R-p-adic 정수의 숫자 이론에서 발생한다.

내부 제품 공간이기도 한 벡터 공간의 경우 이중 격자는 세트로 구체적으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle {\mathbf{L}^{*}=\\\\mathbf {v}\mid \langle \mathbf {v},\mathbf {x} \angle \in R\,{\text{}}모든 },\mathbf {L}}},}},},}},$

또는 동등하게

${\displaystyle {\mathcal {L}^{*}=\\\\mathbf {v} \mid \langle \mathbf {v}, _{i}\angle \in R,\i=1,...,n\}}$

관련 개념

• 격자의 원시 원소는 격자 내 다른 원소의 양의 정수 배수가 아닌 원소다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 격자(주문)
• 격자(모듈)
• 상호 격자
• 단모듈라 격자
• 크리스털 시스템
• 말러의 콤팩트 정리
• 격자 그래프
• 격자 기반 암호법

메모들

참조

• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369

외부 링크

• 라티스의 목록(네베와 슬로운)